SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS

SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS:
Se dice que un conjunto de sucesos A1 , A2 ,..., An constituyen un sistema completo de
sucesos para un experimento aleatorio de un espacio muestral E, si se verifican las
siguientes condiciones:
1º ) A1  A2  .....  An  E
2º ) Ai  Aj   cuando i  j
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL:
Sea A1 , A2 ,..., An un sistema completo de sucesos tales que p ( Ai )  0 para todo i.
Sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades p ( B / Ai ) .
Entonces la probabilidad del suceso B, viene dada por la siguiente expresión:
p ( B )  p ( B / A1 )  p ( A1 )  p ( B / A2 )  p ( A2 )  .........  p( B / An )  p( An )
TEOREMA DE BAYES:
Sea A1 , A2 ,..., An un sistema completo de sucesos tales que p ( Ai )  0 para todo i.
Sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades p ( B / Ai ) , que
llamaremos verosimilitudes.
Entonces, las probabilidades p ( Ai / B) vienen dadas por la siguiente expresión:
p ( B / Ai )  p ( Ai )
p ( B / Ai )  p ( Ai )
p ( Ai / B ) 

p( B)
p ( B / A1 )  p ( A1 )  p ( B / A2 )  p ( A2 )  .........  p( B / An )  p( An )
Nota: A las probabilidades p ( Ai ) se les llama probabilidades a priori y a las
probabilidades p ( Ai / B) se les llama probabilidades a posteriori.
Ejemplo1:
Se tienen dos urnas U1 U 2 con las siguientes composiciones:
U1 contiene 10 bolas blancas y 7 bolas negras.
U 2 contiene 24 bolas blancas y 5 bolas negras
Se saca una bola al azar de la primera urna y sin mirarla se introduce en la segunda. A
continuación se extrae una bola de la segunda urna y resulta ser negra. ¿Cuál es la
probabilidad de que la bola pasada de la primera a la segunda urna haya sido blanca?
Llamemos:
A1  pasar bola blanca deU 1 aU 2
A2  pasar bola negra deU 1 aU 2
10
7
Entonces tenemos: p ( A1 ) 
p ( A2 ) 
17
17
(Estas son las probabilidades a priori o probabilidades de las causas)
Sea B  extraer posteriormente bola negra deU 2
Podemos calcular las siguientes probabilidades (llamadas verosimilitudes):
p ( B / A1 ) 
5
30
p ( B / A2 ) 
6
30
Queremos calcular la probabilidad de que la primera bola que pasamos fuese blanca, es
decir: p ( A1 / B) .
Aplicando el Teorema de Bayes, resulta:
10 5

p ( B / A1 )  p ( A1 )
25
17 30
p ( A1 / B ) 


10
5
7
6
p ( B / A1 )  p ( A1 )  p ( B / A2 )  p ( A2 )
46
  
17 30 17 30
Ejemplo 2:
Elegido un individuo al azar y observado por rayos X, se diagnosticó que estaba
tuberculoso. La probabilidad de que en la población de la que se eligió el individuo, uno
de ellos sea tuberculoso, es de 0,01.
La probabilidad de que el aparato detecte a un enfermo como tuberculoso, siéndolo, es
de 0,97.
La probabilidad de que el aparato detecte como tuberculoso a un individuo sano es de
0,001. ¿Qué podemos decir acerca del diagnóstico?
Definimos los siguientes sucesos:
T  que un individuo sea tuberculoso
T  que un individuo sea sano
A  det ectar que un individuo es tuberculoso
Se tienen las siguientes probabilidades:
p (T )  0, 01
P(T )  1  p (T )  0,99
p ( A / T )  0,97
p ( A / T )  0, 001
En el problema se nos pide encontrar la probabilidad siguiente: p(T/A).
Aplicando el Teorema de Bayes, resulta:
p (T / A) 
p ( A / T )  p (T )
0,97  0, 01

 0,97
p ( A / T )  p (T )  p ( A / T )  p (T ) 0,97  0, 01  0, 001  0,99
Ejemplo 3:
Una enfermedad puede ser producida por tres virus: A, B y C. En un laboratorio se
tienen tres tubos con virus A, dos con virus B y cinco con virus C. La probabilidad de
que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca el virus B es 2/3 y que
la produzca el virus C es 1/7.
Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de
que el virus que se le inoculó fuera el C?
Llamemos Z al suceso “el animal contrae la enfermedad”. Tenemos entonces:
p ( A) 
3
10
p ( Z / A) 
p( B) 
1
3
2
10
p(Z / B) 
p (C ) 
2
3
5
10
p(Z / C ) 
1
7
Aplicando el Teorema de Bayes, tenemos:
1 5
5

p ( Z / C )  p (C )
105
7 10
p (C / Z ) 

 70 
1
3
2
2
1
5
32
p ( Z / A)  p ( A)  p ( Z / B )  p ( B )  p ( Z / C )  p (C )
448
    
3 10 3 10 7 10 105