Sección 4.5 Teorema de Bayes Estadística descriptiva y probabilidad Sección 4.5 Teorema de Bayes Teorema de Bayes: Si los eventos 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑘 constituyen una partición del espacio muestral 𝑆, tal que 𝑃(𝐵𝑖 ) ≠ 0 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘, entonces, para cualquier evento 𝐴 de 𝑆: 𝑃(𝐴|𝐵𝑟 )𝑃(𝐵𝑟 ) 𝑃 𝐵𝑟 |𝐴 = 𝑘 σ𝑖=1 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 )𝑃(𝐵𝑖 ) No obstante, el denominador se puede reemplazar por 𝑃 𝐴 por la regla de la probabilidad total: 𝑷(𝑨|𝑩𝒓 )𝑷(𝑩𝒓 ) 𝑷 𝑩𝒓 |𝑨 = 𝑷(𝑨) Elaborado por: Jeyms Villanueva Cantillo Sección 4.5 Teorema de Bayes Ejemplo 1: Los habitantes de un pequeño municipio son 65% son adultos y 35% niños. También se conoce que el 20% de lo adultos tiene algún problema de visión, mientras que el porcentaje en los niños sube al 24%. Si al seleccionar aleatoriamente un habitante de este municipio que tiene problemas de visión, ¿cuál es la probabilidad de que sea un adulto? Del problema tomamos: 𝐵1 = habitante adulto 𝐵2 = habitante niño 𝐴 = habitante con algún problema de visión 𝑃 𝐵1 = 0.65 𝑃 𝐴|𝐵1 = 0.20 𝑃 𝐵2 = 0.35 𝑃 𝐴|𝐵2 = 0.24 Elaborado por: Jeyms Villanueva Cantillo Sección 4.5 Teorema de Bayes Ejemplo 1: Ahora, utilizando el teorema de Bayes 𝑃 𝐵1 = 0.65 𝑃 𝐴|𝐵1 = 0.20 𝑃 𝐵2 = 0.35 𝑃 𝐴|𝐵2 = 0.24 𝑷(𝑨|𝑩𝟏 )𝑷(𝑩𝟏 ) 𝑷 𝑩𝟏 𝑨 = 𝑷(𝑨) Aplicando la regla de la probabilidad total: (0.20)(0.65) 𝑃 𝐵1 𝐴 = = 0.6075 = 𝟔𝟎. 𝟕𝟓% 0.214 𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑨 𝑩𝟏 𝑷 𝑩𝟏 + 𝑷 𝑨 𝑩 𝟐 𝑷 𝑩𝟐 𝑃 𝐴 = 0.20 0.65 + 0.24 0.35 𝑃 𝐴 = 0.214 La probabilidad de que un habitante del municipio con problemas de visión escogido aleatoriamente sea adulto es 60.75% Elaborado por: Jeyms Villanueva Cantillo Sección 4.5 Teorema de Bayes Ejemplo 2: Del problema tomamos: Suponga que los cuatro inspectores (John, Karla, Jeff y Patty) colocan la fecha de caducidad en cada producto terminado al final de la línea de montaje. Ellos tienen asignado la inspección del 25%, 20%, 40% y 15% de los productos, respectivamente, y fallan 0.2%, 0.1%, 0.4% y 0.3% de las veces en colocar la fecha de caducidad. 𝐼1 = producto inspeccionado por John 𝐼2 = producto inspeccionado por Karla 𝐼3 = producto inspeccionado por Jeff 𝐼4 = producto inspeccionado por Patty 𝐶 = producto sin fecha de caducidad Si un cliente se queja de que su producto no muestra la fecha de caducidad, ¿cuál es la probabilidad de dicho producto haya sido inspeccionado por Jeff? 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 = 0.25 𝑃 𝐶|𝐼1 = 0.20 𝑃 𝐶|𝐼2 = 0.40 𝑃 𝐶|𝐼3 = 0.15 𝑃 𝐶|𝐼4 = 0.002 = 0.001 = 0.004 = 0.003 Elaborado por: Jeyms Villanueva Cantillo Sección 4.5 Teorema de Bayes Ejemplo 2: 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 = 0.25 𝑃 𝐶|𝐼1 = 0.20 𝑃 𝐶|𝐼2 = 0.40 𝑃 𝐶|𝐼3 = 0.15 𝑃 𝐶|𝐼4 = 0.002 = 0.001 = 0.004 = 0.003 Aplicando la regla de la probabilidad total: 𝑷 𝑪 = 𝑷 𝑪 𝑰𝟏 𝑷 𝑰𝟏 + 𝑷 𝑪 𝑰𝟐 𝑷 𝑰𝟐 + 𝑷 𝑪 𝑰𝟑 𝑷 𝑰𝟑 + 𝑷 𝑪 𝑰𝟒 𝑷 𝑰𝟒 𝑃 𝐶 = 0.002 0.25 + 0.001 0.20 + 0.004 0.40 + (0.003)(0.15) 𝑃 𝐶 = 0.00275 Elaborado por: Jeyms Villanueva Cantillo Sección 4.5 Teorema de Bayes Ejemplo 2: 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 = 0.25 𝑃 𝐶|𝐼1 = 0.20 𝑃 𝐶|𝐼2 = 0.40 𝑃 𝐶|𝐼3 = 0.15 𝑃 𝐶|𝐼4 Ahora, utilizando el teorema de Bayes = 0.002 = 0.001 = 0.004 = 0.003 Aplicando la regla de la probabilidad total: 𝑷(𝑪|𝑰𝟑 )𝑷(𝑰𝟑 ) 𝑷 𝑰𝟑 𝑪 = 𝑷(𝑪) (0.004)(0.40) 𝑃 𝐼3 𝐶 = = 0.5818 0.00275 𝑃 𝐼3 𝐶 = 𝟓𝟖. 𝟏𝟖% 𝑷 𝑪 = 𝑷 𝑪 𝑰𝟏 𝑷 𝑰𝟏 + 𝑷 𝑪 𝑰𝟐 𝑷 𝑰𝟐 + 𝑷 𝑪 𝑰𝟑 𝑷 𝑰𝟑 + 𝑷 𝑪 𝑰𝟒 𝑷 𝑰𝟒 𝑃 𝐶 = 0.002 0.25 + 0.001 0.20 + 0.004 0.40 + (0.003)(0.15) 𝑃 𝐶 = 0.00275 La probabilidad de que un producto que no tiene fecha de caducidad haya sido inspeccionado por Jeff es 58.18% Elaborado por: Jeyms Villanueva Cantillo ¿Preguntas? Actividades asociadas a esta presentación: • Quiz 4.5 • Examen segundo parcial Elaborado por: Jeyms Villanueva Cantillo Bibliografía • Anderson, D. R., Sweeney, D. J., y Williams, T. A. (2019). Estadística para negocios y economía (13 ed.). México: Cengage. • Devore, J. (2016). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9 ed.). México: Cengage. • Johnson, R., y Kuby, P. (2016). Estadística Elemental (11 ed.). México: Cengage. • Mendenhall, W., Beaver, R., y Beaver, B. (2015). Introducción a la probabilidad y estadística (14 ed.). México: Cengage. • Newbold, P., Carlson, W. y Thorne, B. (2013). Estadística para administración y economía (8 ed.). Madrid: Pearson. • Walpole, R. Myers, R. Myers, S. y Romero Ramos, E. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9 ed.). México: Pearson. Elaborado por: Jeyms Villanueva Cantillo
