Dirección de Operaciones

Dirección de Operaciones
DIRECCIÓN DE OPERACIONES
Sesión No.5
Nombre: El método simplex. Segunda parte.
Objetivo
Al finalizar la sesión, el alumno será capaz de identificar las herramientas que
permiten resolver problemas de programación lineal a través del método simplex
Contextualización
¿Qué me falta por conocer del método simplex?
En la sesión anterior dimos inicio a la explicación del método simplex. Ahora
conoceremos el resto de los pasos que nos llevarán a la correcta aplicación del
mismo y a una segunda forma de representación a través de tablas.
Podemos considerar lo visto en la sesión anterior como los fundamentos en los
cuales se va a desarrollar todo el método.
Estos fundamentos permiten una mayor comprensión del método y poder tener
los elementos necesarios para una correcta resolución de problemas a través del
método simplex ya sea algebraico o tabloide.
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DIRECCIÓN DE OPERACIONES
Introducción al Tema
Es innecesaria una introducción exhaustiva en esta sesión, por tratarse de una
continuación de la sesión anterior.
Es importante destacar que el objetivo que perseguimos al finalizar esta sesión
es tener las suficientes herramientas que nos permitan resolver problemas de
programación lineal a través del método simplex y conocer los casos especiales
que se pueden dar al momento de utilizar esta metodología.
Al igual que la sesión anterior, primero explicaremos los conceptos y al final
utilizaremos un ejemplo en dónde se ilustren los conocimientos adquiridos
durante esta sesión.
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Explicación
Formulación del método
La formulación del método consiste en plantear el problema de programación
lineal que se nos propone en términos que permitan su resolución a través del
método simplex. Como señalaba en una sesión anterior, es traducir la realidad a
estudiar, en términos que permitan resolverse a través del método elegido.
Recordemos que para el caso específico del
método simplex es necesario que se cumplan las
siguientes condiciones al momento de formularlo.
En caso de que no se cumpla alguna de ellas, el
problema no podrá ser resuelto a través de este
método.
•
El objetivo se debe plantear en la forma de maximización o de
minimización.
•
Todas las restricciones deben ser de igualdad.
•
Todas las variables deben ser no negativas.
•
Las constantes a la derecha de las restricciones deben ser no negativas.
Se podría resumir lo anterior en la siguiente fórmula general:
Max o Min Z = cx
Sujeto a: Ax = b
X>0
b>0
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Tablado simplex
La tabla simplex o el tabloide es una herramienta que hace más sencillo el
trabajo con el problema, pues representa a modo de resumen detallado toda la
información del mismo. Al finalizar la sesión a través de un ejemplo veremos la
manera de realizar dicha tabla y cómo utilizarla para la resolución de problemas.
Metodología de solución
Los pasos a seguir para poder resolver un problema a través del método simplex
son:
1. Convertir las desigualdades en igualdades.
2. Igualar la función objetivo a cero.
3. Escribir la tabla inicial simplex.
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable
de holgura que sale de la base.
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
6. Ver si se ha encontrado la solución óptima, de ser así, hemos
terminado el problema, sino seguir al paso 7.
7. Repetir el proceso a partir del paso 4.
Se podrá pensar que esto es diferente al método simplex algebraico, pero en
realidad estamos hablando del mismo método pero con herramientas diferentes.
Es decir, en lugar de escribir la tabla inicial, se buscaría una solución factible,
después verificaremos si se trata de ésta o no, en caso contrario se sigue
buscando otra solución factible y así hasta llegar a la óptima.
Casos especiales
Al igual que en el método gráfico, en este método se pueden dar casos
especiales en los resultados que se obtengan al momento de resolver el
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problema. No se definirán pues ya se han definido anteriormente cada uno de
ellos. Los posibles casos son:
2
1
Solución no
acotada
Óptimos
3
Solución
infactible
alternos
Ejemplo:
A continuación te presentamos un ejemplo del autor Vergara, J. (s/f, s/p) que se
resolverá a través del método simplex para visualizar lo estudiado en esta sesión
y la anterior.
Max Z = 100X 1 + 200X 2
Sujeto a:
4X 1 + 2X 2 < 16
8X 1 + 8X 2 < 16
2X 2 < 10
X1, X 2 , > 0
1. Convertir la función objetivo en 0 y las restricciones en igualdades a
través de variables de holgura
-100x 1 –200x 2 + z = 0
4x 1 + 2x 2 + H 1 = 16
8X 1 + 8x 2 + H 2 = 16
2x 2 + H 3 = 10
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2. Escribir la tabla simplex inicial
En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las
filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada
restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:
X1
X2
H1
H2
H3
Sol
H1
8
8
1
0
0
16
H2
4
2
0
1
0
16
H3
0
1
0
0
1
10
Z
-100 -200 0
0
0
0
3. Iniciar con las iteraciones hasta encontrar una solución óptima única. Para
ello hay que encontrar la variable de decisión que entra en la base y la
variable de holgura que sale de la base
El método para elegir qué variable de decisión va a entrar en la base es
necesario revisar la última fila en donde están los coeficientes de la función
objetivo y se toma la variable con el coeficiente negativo que es mayor en su
valor absoluto. En nuestro caso, la variable x 2 de coeficiente -200.
X1
X2
H1
H2
H3
Sol
H1
8
8
1
0
0
16
H2
4
2
0
1
0
16
H3
0
1
0
0
1
10
Z
-100 -200 0
0
0
0
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Si se llegara a dar el caso de que dos o más coeficientes cumplen la condición
de ser el menor con su valor absoluto, se elige cualquiera de ellos.
En caso de que en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo no
existe ningún valor negativo, entonces se ha alcanzado la solución óptima.
De ahí que concluyamos que lo que determina el final del proceso de aplicación
del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.
El criterio de decisión para decidir qué variable de holgura es la que tiene que
salir de la base, es dividiendo cada término de la última columna (valores
solución) entre el término correspondiente de la columna pivote, sólo si estos
últimos son mayores que cero; posteriormente, seleccionamos aquel que su
valor sea el menor cociente (éste tiene que ser positivo). En nuestro caso: 16/8
[=2], 16/2 [=8] y 10/1 [=10]. Aquí la fila de la variable de holgura que sale de la
base es H 1, pues el valor menor de la división es el correspondiente a dicha
columna, [2]. Esta fila se llama fila pivote.
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En
el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces
tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir aplicando el método
para la solución del problema.
Cuándo al hacer el cálculo de los cocientes, dos o más son iguales, esto indica
que cualquiera de las variables correspondientes puede salir de la base.
En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote
operacional, 8.
4. Elaborar la nueva tabla simplex
Para calcular los valores de la nueva tabla es necesario aplicar las
siguientes operaciones.
a. Para la nueva fila pivote= Fila pivote / elemento pivote
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b. Nuevas filas= (Fila anterior – coeficiente de la columna pivote) *
fila pivote
X1
X2
H1
H2
H3
Sol
X2
1
1
1/8
0
0
2
H2
2
0
-1/4
1
0
12
H3
-1
0
-1/8
0
1
8
Z
100
0
25
0
200
400
Dado que ya no existen coeficientes de Z negativos, ya nos encontramos ante la
solución óptima y no es necesario hacer más iteraciones. El resultado al
problema es que el valor máximo puede tomar Z= 400 con un valor de X 2 = 2
En caso de que existiera aun algún coeficiente Z negativo, se repetirían las
iteraciones hasta ya no tener el valor de Z negativo.
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Conclusión
¿Qué puedo concluir al finalizar esta sesión?
Ya en esta sesión hemos concluido todo el método simplex.
Es un método sencillo y aunque el día de mañana no seamos unos expertos en
la resolución de problemas a través de este método, ya que existen muchos
sistemas computacionales que los resuelven automáticamente, es importante
saber interpretar los resultados que arrojan las tablas con las variables de
decisión.
El auge que ha tenido esta herramienta dentro de
las empresas ha sido grande, porque permite de
forma sencilla encontrar soluciones a problemas
de
Fuente imagen: Piixabay
gran
esperados.
alcance
para
lograr
los
objetivos
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Para aprender más
•
Bellini, F. (2004). Problemas de programación lineal, método simplex.
Consultado el 14 de julio de 2013:
http://brd.unid.edu.mx/problemas-de-programacion-lineal-metodo-simplex/
Maestro dirige una clase a sus alumnos sobre la resolución de problemas a
través del método simplex.
•
Método simplex. (2011). Consultado el 14 de julio de 2013:
http://brd.unid.edu.mx/metodo-simplex/
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones:
¿Qué vas a hacer?
Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión resuelve e interpreta el siguiente problema a través de método simplex
tabular.
Max Z = 3X 1 + 5X 2
Sujeto a:
X1< 4
2X 2 < 12
3X 1 + 2X 2 < 18
X1, X2> 0
Material: Como material inicial de consulta puedes usar la lectura de la sesión,
además de aquellas publicaciones especializadas, libros, artículos, materiales
universitarios y productos que sean pertinentes.
¿Cuál es la forma de entrega?
Guarda tu archivo en Word y súbelo a la plataforma.
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¿Cómo serás evaluado?
En esta actividad se tomará en cuenta lo siguiente:
Criterios
Valor
Referencias bibliográficas completas y pertinentes.
5 pts.
Ortografía y redacción adecuada.
10 pts.
Solución e interpretación del problema empleando el método
simplex tabular
70 pts.
Organización adecuada de la información.
15 pts.
Total
100 puntos
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Bibliografía
Arreola, A y Arreola J. (1984).Programación lineal, introducción a la toma de
decisiones cuantitativa. (Edición preliminar) México: ITESM.
Hillier, F. y Lieberman, G. (2001).Introducción a la investigación de operaciones.
(8ª Ed). México: McGraw Hill.
Schroeder, R. (2011). Administración de operaciones. España: McGraw Hill.
Cibergrafía
Vergara, J. (s/f). Ejercicios resueltos. Investigación de operaciones. Consultado
el 16 de julio de 2013:
http://juancarlosvergara.50webs.org/Apuntes/Ejercicios%20Resueltos%201,%20
Metodo%20grafico%20y%20simplex.pdf
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