INECUACIONES

Inecuaciones
INECUACIONES DE 1° GRADO
INECUACIONES
Indicadores
Representa gráficamente el conjunto solución de inecuaciones de
primer y segundo grado, así como de inecuaciones fraccionarias.
Resuelve inecuaciones utilizando las propiedades de los números
reales, así como el método de
de puntos críticos.
Resuelve problemas con inecuaciones de primer y segundo grado.
Contenido
Inecuaciones





Lineales
Fraccionarias
Irracionales
Cuadráticas y de orden superior
Con valor absoluto
Para resolver una inecuación lineal o de primer grado debemos usar
las propiedades de las desigualdades además de tener en cuenta los
siguientes casos:
Caso 1
Resolver:
2x > 8
x>4
–
4
+
x  4; 
Caso 2
Resolver:
–3x  15
3x  –15
x  –5
–5
–
+
x   ; 5
Caso 3
Resolver:
–6x < –18
6x > 18
–
3
+
x   3;   
INECUACIONES
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza
por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica
nos da como resultado un conjunto en el cual la variable
independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto
cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como
Intervalo.
Profesor: Javier Trigoso
SISTEMAS DE INECUACIONES
La solución de un sistema de inecuaciones supone la solución de cada
una de las inecuaciones dadas, siendo el conjunto solución, la
intersección de todas las soluciones obtenidas.
Página 1
Inecuaciones
Ejemplo:
05.
Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación:
2x  1 3x  2 2x  1 2



5
6
2
3
Rpta. -18
2x  1  x  2
Resolver: 
3x  4  2x  9
2x  1  x  2  x  3
3x  4  2x  9  x  5
3
–
5
06.
La suma de los enteros que verifican simultáneamente las
inecuaciones:
 4x  5
 x3

 7
, es:

 3x  8  2x  5

 4
Rpta. -21
+
x  3;5 
… PARA LA CLASE
01.

Resolver: 2 2x  1

 3 3x – 4  – 6  4 – 3x   – 3
Rpta. x  –, 1
02.


 

Rpta. x   ;2
03.
Resolver :
Rpta. x  ,
2x  6 x
 5
3
4
36
5
2x
5x 7x

 11
3
6
12
Rpta. x   ;12 
04.



Resolver: x  1 x  3 – x  8 x – 6  6 x  7  1
Resolver:
5x  3y  2

07.
Resuelve para valores enteros:  2x  y  11

y3

Rpta. x = 3; y = 4
08.
El mayor valor entero de x que satisface al siguiente sistema
de inecuaciones es:
x  y  76

x  y  10
x  2y  112

Rpta. 43
09.
Si J, R, T є Z+ . halla R.T en:
J  R  T  8

J  R  T  4

T R 1


R4

Rpta. 15
Profesor: Javier Trigoso
Página 2
Inecuaciones
10.
Si se duplica la edad de Carlos, está resulta menor que 84.
Pero si a la mitad de dicha edad se le resta 7 resulta mayor que 12.
Hallar la suma de las cifras de la edad de Carlos, si dicha suma es
mayor que 5.
Rpta. 12
11.
Si al doble de un número entero se le disminuye 5, no resulta
más que 28 y si al triple del número se le aumenta 7, no resulta
menos que 53. Halla el número y da como respuesta la suma de sus
cifras.
Rpta. 7
12.
Javier tenía cierto número de cigarrillos. Triplicó esta
cantidad, luego vendió 100 y le quedaron menos de 82. Luego, le
regalaron 13 y posteriormente vendió la tercera parte de los que
tenía, quedándose con más de 60. ¿Cuántos cigarrillos tenía
inicialmente?
Rpta. 60
… PARA LA CASA
01.
B. x    ;1 
C. x    1;  
D. x   1;  
02.
Resolver:  x – 2 x – 3   x – 5  x  7   2  x – 3
Y da como respuesta el mayor valor entero
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Profesor: Javier Trigoso
Resolver :  4x – 3  3x – 2  x  7x – 13
2
A. x  –5, +
C. x  [–5, +
04.
Resolver:
A. x  –11, +
C. x  [–11, +
2
B. x  –3, +
D. x  [–3, +
x  2 5(x  7) 7  x


3
4
2
B. x  –, 11
D. x  [–, 11
x  3 3  2x x  8


 2
5
10
30
A. x    ;59 
B. x  59;  
C. x    ; 59
D. x  59;  
05.
Resolver:
06.
Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación:
2x  1 3x  2 2x  1 2



5
6
2
3
A. -18
B. -16
C. 16
D. 18
5  7x 4  2x
x

1
3
5
2
y señala el mayor valor entero que puede tomar “x”
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Resolver: 2 1 – x  +3 2 – 5x   – 9
A. x    ; 1 
03.
2
07.
Resuelve:
08.
Señala el mayor valor entero que satisface:
13x  5
1 8  5x
 4x  
3
2
6
B. -1
D. 1
A. -2
C. 0
Página 3
Inecuaciones
09.
A. -2
C. 1
Señala el menor valor entero que se obtiene al resolver:
2x  3 3x  1 1  2x


3
2
4
B. -1
D. 2
 2x  2 5  2x

1


3
10.
Resolver:  5
 x  2  2x  3  3

4
4
 3
A. x   ;84 
B. x  84;  
C. x   84;  
D. x   84;  
11.
La suma de los valores enteros de x que satisfacen el
siguiente sistema de inecuaciones:
13x  5 3x  8 2x  7


1

 2
5
3
, es:

 3x  1  1  x  1  x

2
7
 5
A. 5
B. 9
C. 14
D. 20
12.
¿Cuántos números enteros mayores o iguales a -7 satisfacen
el siguiente sistema?
A. 1
C. 3
Profesor: Javier Trigoso
 7x  5 3x


2
 3

 x  6  x  2   1  5x

2
5
B. 2
D. 4
2x  5y  30

13.
Resuelve para valores enteros:  x  3y  22

y  8

A. x = 2; y = -7
B. x = -2; y = 7
C. x = -7; y = 2
D. x = -2; y = -7
14.
5x  3y  2

Resuelve en R+: 2x  y  11

y 3

2
2
Y señala el valor de P  x  y
A. 1
C. 3
15.
B. 2
D. 4
x  y  z  8

x  y  z  4
Resuelve para valores enteros: 
zy0


z5

Y da como respuesta « x + y + z »
A. 8
B. 9
C. 10
D. 13
16.
Siendo: x, y, z los valores enteros que satisfacen el sistema:
x  y  z  14

x  y  z  6

yz


z7

Halla y.z
A. 5
B. 15
C. 25
D. 30
Página 4
Inecuaciones
17.
Tengo cierto número de cuadernos. Si regalara los 3/5 de mis
cuadernos, me quedarían más de 20, pero si regalara solo la mitad,
me quedarían menos de 30. ¿Cuántos valores podría tomar el número
de cuadernos que tengo?
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES POR "PUNTOS
18.
El dinero de Juan es el triple del dinero del dinero de Pedro,
aumentado en 6; además, el quíntuplo del dinero de Pedro, más el
cuádruple del dinero de Juan es mayor que 500. ¿Cuánto tiene como
mínimo Pedro? (considera una cantidad entera de soles)
A. S/.26
B. S/.27
C. S/.28
D. S/.29
Los pasos a seguir son los siguientes:
19.
Después de un partido de futbol, un futbolista empezó
comiendo un cierto número de naranjas, después compró 3 más,
también se las comió, resultando que había comido menos de 10
naranjas. Compró 8 naranjas más y, al comérselas observó que había
comido en total, menos del triple de naranjas que comió la primera
vez. El número total de naranjas que comió fue:
A. 14
B. 16
C. 17
D. 18
20.
Se tiene una fracción cuyo denominador es menor en una
unidad que el cuadrado del numerador. Si añadimos 2 unidades al
numerador y al denominador, el valor de la fracción será mayor que
1/3. Si del denominador y el numerador se restan 3 unidades, la
fracción sigue siendo positiva, pero será menor que 1/10. calcular la
suma del numerador y denominador de la fracción original.
A. 13
B. 15
C. 17
D. 19
Profesor: Javier Trigoso
CRÍTICOS"
Este método lo vamos a utilizar para cualquier desigualdad de
grado mayor o igual a 2, sea esta entera o fraccionaria.

Factorizamos la expresión dada.

Igualamos cada uno de los factores a CERO y
hallando los valores de “x” determinamos los PUNTOS
CRÍTICOS (P.C)

Llevamos los P.C a la recta numérica, quedando esta
dividida en intervalos. Al primer intervalo (contado
desde la derecha) le asignamos el signo positivo (+), los
demás signos van alternados.
–
+
a
b
+
c
+

Cuando la desigualdad es > ó ≥ tomaremos todos los
intervalos POSITIVOS.

Cuando la desigualdad es < ó ≤ tomaremos todos los
intervalos NEGATIVOS.

El conjunto solución quedará determinado por la
UNIÓN de todas las zonas sombradas
Página 5
Inecuaciones
Ejemplo 1:
Resuelve: x2  5x  6  0
Solución:
 Llevamos los P.C a la recta numérica:
-
 Igualando cada factor a cero:
x 2  0  x  2
+
2
3
+
 Como la desigualdad es menor que cero, escogemos los
intervalos NEGATIVOS:
+
2
–
+
 El conjunto solución es: x  2;3
Ejemplo 2:




Resuelve: 2x  1 x  3 x  2  0
Solución:
 Como la expresión ya esta factorizada, solo nos queda
igualar cada factor a cero:
1
2x  1  0  x 
2
x  3  0  x  3
x 2  0  x  2
Profesor: Javier Trigoso
2
1/2
+
-
+
-3
+
2
1/2
+

1
 El conjunto solución es: x   3;   2;  
2

Ejemplo 3:
Resuelve:
+
3
–
+
+
 Como la desigualdad es mayor que cero, escogemos los
intervalos POSITIVOS:
x 3  0  x  3
 Llevamos los P.C a la recta numérica:
–
-3
–
 Factorizando:  x  2 x  3  0
-
+
Solución:
3x  2
0
x5
 Sabemos que el denominador debe ser diferente de cero,
por lo tanto x ≠ 5.
 Igualando cada factor a cero:
2
3x  2  0  x  
3
x 3  0  x  5
 Llevamos los P.C a la recta numérica:
+
–
-2/3
+
5
+
 Como la desigualdad es mayor que cero, escogemos los
intervalos POSITIVOS:
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Inecuaciones
+
–

-2/3
07.
+
5
+

2
El conjunto solución es: x   ;    5;  
3

Resuelve:
(3  x) (x  1) (x  5)
(x  2) (x  2)
0
Rpta. x  –, –2]  [–1, 2]  [3, 5]
08.
Resuelve:
x 1
3
x
Rpta. x  0 < x < 1/2
……… PARA LA CLASE
01.
Resuelve: (x + 4)(x + 2) > 0
Rpta. x  –, -4  -2, +
02.
Resuelve: (x + 3)(x - 5) < 0
Rpta. x  –3, 5
x8
0
x2
Rpta. B. x  –2, 8
03.
Resuelve:
x 8 x 2

x3
x 1
Rpta. x  [–3, –1]  [–1/2, +[
09.
Resuelve:
10.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
2

3x  7x  2  0
 2

 x  3x  10  0


Rpta. x   2; 1   2;5 


3


……… PARA LA CASA
x9
0
x 1
Rpta. x  –, –9]  1, +
01.
Resuelve: (x + 6)(x + 6)  0
A. [–6, + [
B.]–, –6]
C. R - {–6}
D. {–6}
05.
Resuelve: 3x2 – 10x  – 3
Rpta. [1/3, 3]
02.
Resuelve: x2 – 7x + 10  0
A. x  –, 2  5, +
B. x  [2, 5]
C. x  [5, +
D. x  , 2
04.
06.
Resuelve:
Señala el mayor valor entero que satisface:
(x  2) (x  5) (x  2)
0
(x  1) (x  7)
Rpta. 6
Profesor: Javier Trigoso
03.
Resuelve: x2 + 4x – 45 > 0
A. x  –, –9  5, +
B. x  –, –15  3, +
C. x  [–9, 5]
D. x  [–15, 3
Página 7
Inecuaciones
04.
Resuelve:
A.]1/2, + [
C. x > 5 ó x < 1/2
05.
Resuelve:
2x  1
0
x5
x6
0
x(x  4)
A.]–6, 0[
C. [–6, –4[  ]0, +[
06.
Resuelve:
Resuelve:
B. ]–, –6]  ]-4, 0[
D. 
(4  2x) (x  1)
x
A. [–1, 0]  [2, +[
C.]–1, 0]  [2, +[
07.
B.]–, 1/2[
D. ]1/2, 5[
0
B.]–1, 0[  ]2, +[
D. 
(x  3) (x  5)
x (x  2)
0
A.] –, –3]  [5, +[
B.] –, –3]  ]–2, 0[  ]5, +[
C.] –, –3[  ]–2, 0[  ]5, +[ D.] –, –3]  ]–2, 0[  [5, +[
08.
Resuelve:
x (x  2)
(x  1) (x  3)
A.] –, –1[  ]0, 2[  ]3, +[
C.] –, –1[  ]0, 2[  [3, +[
09.
Resuelve:
B.] –, –1]  [0, 2]  [3, +[
D.] –, –1[  ]3, +[
(2  x) (x  1)
A. 0, –1
C. <–1, 0]
Profesor: Javier Trigoso
(2  x) x
0
0
B. –1, 0
D. [–1, 0]
(5  x) (2  x)
0
x2  4x  5
A. <–, –2]  [–1, +>
B. <–, –2]  [–1, +> – {5}
C. [–1, +> – {5}
D. <–, –2>  <–1, +> – {5}
10.
Resuelve:
11.
Resuelve:
x2
x x6
A. –3, –2  2, +
C. 2, +
12.
Resuelve:
2
x2  5x  14
x2  1
A. –7, –1
C. –7, –1  1, 2
13.
Resuelve:
0
B. –, –1
D. 3, +
0
B. 1, 2
D. [–7, –1  1, 2]
x2
2
x 1
A.]4, + [
C.]–, 1[  ]4, + [
B.]1, + [
D.] –, 4[
3x  6
2
x 1
A. x  –, 3  4, +
C. x  –, 2  5, +
B. x  [–4, –1
D. x  5, 7
14.
Resuelve:
x 3
x

x4 x6
A. x  5, 6  8, +
B. x  –, 4  6, +
15.
Resuelve:
C. x  –, 3  7, 9]
D. x  –, –6   18 , 4
7
Página 8
Inecuaciones
x  9 x 1

x 3 x 1
A. [–3, –1]  [3, +
B. [–3, –1]  3, +
C. R – {3, 1}
D. 
16.
Resuelve:
x 1
x

2x 3x
A. x  –, –3  2, +
B. x  –, 3  5, +
C. x  3, 4  5, +
D. x  [–3, 2]
17.
18.
Resuelve:
Resuelve:
A.]–2, 3[
C.] –, –2[
19.
Resuelve
x 1
1
x


5
x2 5
B.]3, +[
D.]–, 3[
x
x 4
2
A. 2,  
C. 3, 

x 3
x x4
B. 3, 10
D. R
2
20.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
2

x  2x  15  0

2

 x x6 0
A. 2; 1  2;3
B. 2;3
B.  2; 1
D.  1;2
INECUACIONES IRRACIONALES:
Para resolver inecuaciones con radicales debemos tener muy
presente el sentido de la desigualdad, sobre todo cuando
eliminamos los radicales. Primero debemos analisar el campo de
variación de la variable contenida en el radical. Para una mejor
comprensión veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Resuelve:
Solución:
x2  16  3
 Analicemos el campo de variación de la variable contenida
en el radical:
x2  16  0
 x  4  x  4   0
 S1 : x   ; 4    4;  
 Eliminemos el radical:
x2  16  3  x2  16  9
x2  25  0
 x  5  x  5   0
 S2 : x   5;5 
 Intersectamos S1 con S2
+
-5
-4
4
5
 SF  S1  S2   5; 4  4;5
Profesor: Javier Trigoso
Página 9
Inecuaciones
……… PARA LA CLASE
……… PARA LA CASA
01. Resolver:
3x  2  5
Rpta. x  [2/3; 9[
01. Calcula la suma de todos los valores enteros de "x"
A. 13
B. 15
C. 18
D. 25
02. Resolver:
Rpta. x > 23/2
03. Resolver:
Rpta. x ≥ 1/2
4x  3  7
3x 
02. Resolver 2x  8  x e indica la suma de valores enteros que
satisfacen la inecuación
A. -4
B. -1
C. 1
D. 4
x 2
03. Resolver:
A. 1; 23/2
C. –1; 23/2
04. Resolver: 5  2x  x  3
Rpta. x  [–3; 5/2]
05. Encuentra el mayor valor entero de:
Rpta. 3
06. Resolver:
9  x2
4x2  25
07. Resolver:
x2  x  6  16  x
 0 e indicar el número de valores enteros
que asume “x”
Rpta. 2
Rpta. x  [–6; 0[  ]3; 4]
B. –3; 4
D. –23/2; 1
x2  3  12x
A. 1
C. 3
B. 2
D. 4
4  x  2x  6
 10 
A.  , 4 
3

B.
 10
C.  ; 
3
D. R
06. Resolver:
9 
A.  ;8
5 
Profesor: Javier Trigoso
2x  23  x  4
04. Calcula la suma de todos los valores enteros de "x" en:
05. Resolver:
24  2x  x2
1
x
2x  5  13
;
10 

3
4x  1  8  x  0
B. ;8
Página 10
Inecuaciones
1 9
C.  ;
4 5
07. Resolver la inecuación:
A. 1; 2
C. 0; 3
3
09. Resolver:
A. ] –; -6]
C. ]32/3;
x2  2x  24  x  4
x
2


 1 x2 4x  5  0
A. [–2; 2]
C. {-1; 1}
B. {-2; 2}
D. [–1; 1]
B. [–1; 0
D.
0; +
x2  5x  4 es real.
A. ] –; 4]
C. [ 4;  [
3
Para resolver inecuaciones con valor absoluto debemos tener
presente la definición de valor absoluto, así como las
siguientes propiedades:
11. Calcula el conjunto de valores de “x” para los cuales el número:
P
B. ]2; 3[
D. [2; 7]
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:
x 3  x  3
–; 1
7x
B. ] –; -6]
 [8; + [
D. ] –; -6]  ]32/3; + [
A. [0; 1
C.
 [6, + [
D. ] -4; 6[
[
10. Resolver:
15. Resolver
B. ] –, -4]
[
3 x 2 
A. [2; 3[
C. [2; 7[
x2  2x  24  4
A. ] –; 4]
B. 2
D. 4
14. Resolver
x3  7  x  1
B. –2; 2
D. –1; 2
08. Resolver:
C. [ -6;
A. 1
C. 3
1
D.  ;8
4
B. ] –; 1 ]  [ 4;  [
D. ] –; 3 [
Propiedades :
P1. Si x  a  a  0   a  x  a
P2. Si x  a  x  a  x  a
12. Halla el mayor valor entero que satisface la inecuación:
1  x  1  3x  3  x  3  x
A. -1
C. 1
B. 0
D. 2
13. Determina la cantidad de valores enteros que asume “x” en la
siguiente inecuación:
Profesor: Javier Trigoso
Propiedades Auxiliares:
P1. Si x  y   x  y   x  y   0
P2. Si x  y   x  y   x  y   0
2 9x 1
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Inecuaciones
……… PARA LA CLASE
Resuelve las siguientes inecuaciones:
2

 |x  4|  5

2

 | x  5x  6 |  2
Rpta. {2; 3}
10.
01. |3x – 5| < 7
Rpta. ]–2/3; 4[
02. |4x – 3| > 5
Rpta. ]–; –1/2[  ]2; +[
03. |3x – 1|  5
Rpta. [–4/3; 2]
04. |5x + 2| ≥ 1
Rpta. ]–, –3/5]  [-1/5, +[
05. |12 - x2 |  13
Rpta. ]–, –5]  [5, +[
06. |x2 – 6x + 8|  4 – x
Rpta. [1,3] {4}
07. 3
x  1 x  1 3x  1


 2, 5
2
4
3
Rpta. ]–7/3, 5/3[
08. |3x + 1|  |x - 2|
Rpta. ]–, –3/2]  [1/4, +[
09. |x2 – 2x – 5| < |x2 + 4x – 7|
Rpta. [–3, 1/3]  [2, +[
Profesor: Javier Trigoso
……… PARA LA CASA
01. Resolver: |2x + 6|  –4
A. { }
C. R
B. R–
D. R+
02. Resolver: |x – 3| < 1
A. x  ]–, 2[
C. x  ]2, 4[
B. x  [2, 4]
D. x  ]4, +[
03. Resolver: |3x – 6| < 9
A. x  ]1, 5[
C. x  ]–5, 1[
B. x  [1, 5]
D. x  ]–1, 5[
04. Resolver: |x – 4|  1
A. x  ]3, 5[
C. x  ]3, 5]
B. x  ]–, 3]  [5, +[
D. x  ]–, 3[  [5, +[
05. Resolver: |x + 2|  3
A. [–5, 1[
C. ]0, 5]
B. [–5, 1]
D. [1, 5]
06. Resolver: |1 – 5x| < 1
A. [0, 2/5]
C. ]0, 5[
B. [0, 1]
D. [0, 1[
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Inecuaciones
07. Resolver:
1
0
| x  3|
A. R
C. R – {3}
14. Hallar la mayor solución de:
B. R – {0}
D. [–3, 3]
A. 18
C. 20
08. Resolver: |3x + 4|  3x + 8
A. [–2, +[
B. ]–8/3, +[
C. [2, +[
D. R
09. Resolver: |2x + 3| < x + 1
A. [–1, +[
B. ]–2, –4/3 [
C. ]–1, +[
D. ]–4/3, +[
15. Resolver:
A. ]– ∞, –2]
B. [–3, 2]  {3}
9  5x
4
x3
B. 19
D. 21
x2  x  6
x 1
0
B. [–3, 2] – {1}
D. [–2, 3] – {1}
10. Resolver: |2x + 6|  2x + 1
A. R
B. R–
C. { }
D. R+
11.
Hallar el mayor entero que satisface:
A. 0
C. 1
5
1
| 2x  3 |
B. 1
D. 3
12. La suma de las raíces enteras negativas que verifican:
x 5  x 3
A. –30
C. –34
13. Resolver:
B. –32
D. –36
x  5  2x  1
A. ]4, +∞]
C. ]2, +∞[
Profesor: Javier Trigoso
B. ]–8, –4[  ]2, +∞[
D. [5, +∞[
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