Solución - IES Francisco Ayala

IES Mediterráneo de Málaga
Reserva1.- 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Propuesta A
1A.- a) Enuncia el teorema de valor medio de Lagrange y da su interpretación geométrica (1 punto)
b) Calcular un punto del intervalo [0 , 2] en que la recta tangente a la gráfica de la función
f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 sea paralela a la cuerda (o segmento) que une a los puntos de f(x) en x = 0 y x = 2
(1’5 puntos)
a) Teorema del valor medio o de Lagrange
Si f(x) es continua en [a , b] y derivable en (a , b), entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a , b )
tal que: f (b ) − f (a ) = f ' (c ) (b − a )
Geométricamente, como f’(c) es la pendiente de la recta tangente en el punto c y
f (b ) − f (a )
es
b−a
la pendiente de la cuerda que une los puntos [a , f(a)] y [b , f(b)], el teorema dice que dichas
rectas tienen la misma pendiente; luego si una función es continua en [a , b] y tiene tangente en
todos los puntos de (a , b), es decir, es derivable en (a , b), entonces existe, al menos, un punto
de (a , b) en el cual la recta tangente es paralela a la cuerda limitada por los puntos
[a , f(a)] y [b , f(b)]
b)
 f (0 ) = 3 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 + 1 = 1
16
⇒ De Lagrange ⇒ 17 − 1 = f ' (c ) (2 − 0 ) ⇒ f ' (c ) =
=8

2
2
 f (2 ) = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 1 = 17
f ' (x ) = 6 x + 2 ⇒ f ' (c ) = 8 ⇒ 6c + 2 = 8 ⇒ 6c = 6 ⇒ c = 1
x+2
dx (2’5 puntos)
3
+ x2
Ax 2 + Bx (x + 1) + C (x + 1)
x+2
x+2
A
B C
=
=
+
+
=
⇒
x 3 + x 2 = 0 ⇒ (x + 1) x 2 = 0 ⇒ 3
(x + 1) x 2
x + x 2 (x + 1) x 2 x + 1 x x 2
2A.- Calcula las siguiente integral
∫x

x = 0 ⇒ A ⋅ 0 2 + B ⋅ 0 (0 + 1) + C (0 + 1) = 0 + 2 ⇒ C = 2

2
Ax 2 + Bx (x + 1) + C (x + 1) = x + 2 ⇒  x = −1 ⇒ A ⋅ (− 1) + B ⋅ (− 1) (− 1 + 1) + C (− 1 + 1) = −1 + 2 ⇒ A = 1
 x = 2 ⇒ A ⋅ 2 2 + B ⋅ 2 ⋅ (2 + 1) + C (2 + 1) = 2 + 2 ⇒ 4 A + 6 B + 3C = 4

x+2
x+2
1
1 2
=
=
− + 2
4 ⋅ 1 + 6 B + 3 ⋅ 2 = 4 ⇒ 6 B = −6 ⇒ B = −1 ⇒ 3
2
2
(x + 1) x x + 1 x x
x +x
x+2
1 −1
dx
dx
dx
dt
t
I =∫ 3
− ∫ + 2 ∫ 2 = ∫ − ln x + 2 ∫ x − 2 dx = ln t − ln x + 2 ⋅
dx = ∫
x = ln − 2 ⋅ x −1
2
(− 1)
x +1
x
t
x
x +x
x
x + 1 = t ⇒ dx = dt
x +1 2
− +K
I = ln
x
x
1
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Reserva1.- 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
0 0 1
 3 0 0




3A.- Dada las matrices A =  0 1 0  y B =  0 3 0  se pide:
1 0 0
 0 0 3




a) Calcula An cuando n ∈ N es par (0’75 puntos)
b) Resuelve la ecuación matricial 6A20X = B – 3AX, donde X es una matriz cuadrada de orden 3.
(Indicación: Sustituye de inicio el valor de A20 para facilitar los cálculos) (1’75 puntos)
a)
0 0 1 0 0 1 1 0 0

 

 
A = A ⋅ A =  0 1 0  ⋅  0 1 0  =  0 1 0  = I ⇒ A3 = I ⋅ A = A ⇒ A 4 = A 2 ⋅ A 2 = I ⋅ I = I 
1 0 0 1 0 0 0 0 1

 
 

n
 si n es par ⇒ A = I
Cuando n ∈ N ⇒ 
n
si n es impar ⇒ A = A
2
b)
Como A 20 = I
6 IX = B − 3 AX ⇒ 6 IX + 3 AX = B ⇒ (6 I + 3 A) X = B ⇒ 3(2 I + A) X = B ⇒ (2 I + A) X =
(2 I + A)−1 (2 I + A)X
1
B⇒
3
1
(2 I + A)−1 B ⇒ IX = 1 (2 I + A)−1 B ⇒ X = 1 (2 I + A)−1 B ⇒
3
3
3
1
3
−1
−1
−1
X = (2 I + A) ⋅ 3 ⋅ I ⇒ X = (2 I + A) ⋅ I =⇒ X = (2 I + A)
3
3
=
1 0 0 0 0 1 2 0 0 0

 
 
 
2I + A = 2 ⋅  0 1 0  +  0 1 0  =  0 2 0  +  0
0 0 1 1 0 0 0 0 2 1

 
 
 
2 0 1
−1
2 I + A = 0 3 0 = 12 − 3 = 9 ≠ 0 ⇒ Existe (2 I + A)
1 0 2
0 1 2 0 1
 

1 0 = 0 3 0 ⇒
0 0   1 0 2 
⇒ (2 I + A) =
−1
[
]
1
t
⋅ adj (2 I + A) ⇒
2I + A
2 0 1
 6 0 − 3
 6 0 − 3





1 
t
−1
(2 I + A) =  0 3 0  ⇒ adj (2 I + A) =  0 3 0  ⇒ (2 I + A) = ⋅  0 3 0 
9 
 1 0 2
− 3 0 6 





− 3 0 6 
1
 2
0 − 

3
 3
1

X = 0
0 


3
 1
2 
0

−
3 
 3
t
2
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x +1
z −1
4A.- Dadas las rectas r ≡
=y=
2
3
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
 x=λ

y s ≡  y = a + λ , con λ ∈ ℜ
 z = −λ

a) Calcular el valor del parámetro a ∈ ℜ para que r y s se corten en un punto. Da dicho punto de corte
(1’25 puntos)
b) Para el valor de a obtenido, calcula la ecuación general del plano π que contiene a r y s (1’25 puntos)
a)

 x = −1 + 2t


r ≡  y = t
− 1 + 2t = λ
λ − 2t = −1
 z = 1 + 3t

λ − 2t = −1



⇒  t = a + λ ⇒  λ − t = −a ⇒ 
⇒ −5t = 0 ⇒ t = 0 ⇒ λ − 2 ⋅ 0 = −1 ⇒

 x=λ
− λ − 3t = 1




1 + 3t = −λ
λ + 3t = −1
 s ≡  y = a + λ

 z = −λ


λ = −1 ⇒ −1 + 0 = −a ⇒ a = 1
 x = −1 + 2 ⋅ 0

⇒ P (− 1 , 0 , 1)
El punto de corte P de r y s es ⇒ r ≡ 
y=0
 z = 1+ 3⋅ 0

b) El plano π queda determinado por los dos vectores directores de las rectas r y s y por el vector PG
siendo G el punto genérico del plano buscado y P el punto de corte de las rectas hallado en el apartado
anterior.
Estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano) y el vector PG es combinación lineal de los
otros dos, por eso el determinante de la matriz formada por ellos es nulo y la ecuación pedida del plano

v r = (2 , 1 , 3)
x +1 y z −1

1
3 =0⇒
v s = (1 , 1 , − 1)
⇒π ≡ 2

 PG = (x , y , z ) − (− 1 , 0 , 1) = (x + 1 , y , z − 1)
1
1 −1

− x − 1 + 3 y + 2 z − 2 − z + 1 − 3 x − 3 + 2 y = 0 ⇒ −4 x + 5 y + z − 5 = 0 ⇒ π ≡ 4 x − 5 y − z + 5 = 0
3
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Propuesta B
1B.- Sabiendo que la función f ( x ) =
ax + b
a, b ∈ ℜ tiene un punto crítico en (1 , 1), calcula a y b y
x2 +1
demuestra que el punto crítico es un máximo (2’5 puntos)
(
)
a x 2 + 1 − 2 x (ax + b )
f ' (x ) =
(x
2
)
+1
2
=
a x 2 + a − 2ax 2 − 2bx
(x
2
)
+1
2
=
− ax 2 − 2bx + a
(x
2
)
+1
2
a ⋅1 + b
a+b

f (1) = 1 ⇒ 2
=1⇒
=1⇒ a + b = 2

a = 2
2
1 +1
⇒ a + 0 =1⇒ 
⇒

− a ⋅ 12 − 2b ⋅ 1 + a
− 2b
b=0

b
=
⇒
=
⇒
=
⇒
0
0
0
 f ' (1) = 0 ⇒
2
4

12 + 1
2x + 0
2x
f (x ) = 2
= 2
x +1 x +1
(
)
2.B.- a) Esboza la región encerrada entre el eje de abcisas y las parábolas f ( x ) = x y
2
g ( x ) = x 2 − 4 x + 4 (0’5 puntos)
b) Calcula el área de la región anterior (2 puntos)
a)

x2 = 0 ⇒ x = 0
4
Punto de corte de las funciones con OX ⇒ y = 0 ⇒  2
2
 x − 4 x + 4 = 0 ⇒ ∆ = (− 4 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 0 ⇒ x = 2 = 2
Punto de corte entre funciones ⇒ x 2 = x 2 − 4 x + 4 ⇒ −4 x + 4 = 0 ⇒ 4 x = 4 ⇒ x = 1
1
2
(
)
A = ∫ x dx + ∫ x 2 − 4 x + 4 dx =
2
0
A=
1
[ ]
1 3
⋅ x
3
1
0
[ ]
1
+ ⋅ x3
3
2
1
[ ]
1
− 4 ⋅ ⋅ x2
2
2
1
+ 4 ⋅ [x ]1
2
1 3
1
1 7
8
8−6 2 2
⋅ 1 − 0 3 + ⋅ 2 3 − 13 − 2 ⋅ 2 2 − 12 + 4 ⋅ (2 − 1) = + − 6 + 4 = − 2 =
= u
3
3
3 3
3
3
3
(
)
(
)
(
)
4
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
3B.- a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m ∈ ℜ
mx + z = 1


(1’5 puntos)
my + z = m

− mx − my + (m + 1)z = −m − 1

b) Calcular la solución cuando sea compatible indeterminado (1 punto)
a)
m
0
1
m 0
1
m 0
1
A= 0
m
1 = 0 m
1 = 0 m
1 = m 2 (m + 3) ⇒ Si A = 0 ⇒ m 2 (m + 3) = 0 ⇒
− m − m m +1 0 − m m + 2 0 0 m + 3
 m2 = 0 ⇒ m = 0

m + 3 = 0 ⇒ m = −3
∀m ∈ ℜ − {− 3 , 0} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
Si m = −3
− 3 0
1 1  − 3 0
1 1  − 3 0 1 1 

 
 

 0 − 3 1 − 3 ≡  0 − 3 1 − 3 ≡  0 − 3 1 − 3 ⇒
 3
3 − 2 2   0
3 − 1 3   0
0 0 0 

rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
Si m = 0
 0 0 1 1   0 0 1 1   0 z = −1 ⇒ z = − 1 ⇒ Sin solución

 
 
0
⇒ Sistema Incompatible
0 0 1 0  ≡ 0 0 0 −1 ⇒ 
 0 0 1 − 1  0 0 0 − 2  0 z = −2 ⇒ z = − 2 ⇒ Sin solución

 
 
0
b)
Si m = −3 ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
− 3 0 1 1 


z
 0 − 3 1 − 3  ⇒ −3 y + z = −3 ⇒ 3 y = z + 3 ⇒ y = + 1 ⇒ −3 x + z = 1 ⇒ 3 x = −1 + z ⇒
3
 0
0 0 0 

1
λ 
 1
x = − + z ⇒ Solución ⇒ ( x , y , z ) =  − + λ , 1 + , λ 
3
3

 3
5
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
 x = 2λ

4.B.- Dado el plano π ≡ y − z = 3 y la recta r ≡  y = 1 + λ , λ ∈ ℜ una recta r’ que pase por P y
 z = −1 + λ

a) Estudia la posición relativa de π y r (1’25 puntos)
b) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s paralela a
punto P(0 , 1 , -1) (1 punto)
π
que corta a r perpendicularmente en el
a) La recta y el plano pueden ser paralelos, cortarse en un punto o el plano contener a la recta.
En los casos de paralelismo o estar contenida la recta en el plano los vectores directores de recta y plano
son perpendiculares y su producto escalar nulo, si no tienen punto en común son paralelas, de tenerlo la
recta está contenida en el plano.
Si el producto escalar no es nula, recta y plano se cortan en un punto
vπ = (0 , 1 , − 1)
⇒ vπ ⋅ v r = (0 , 1 , − 1) ⋅ (2 , 1 , 1) = 0 + 1 − 1 = 0 ⇒ vπ ⊥ v r ⇒

 v r = (2 , 1 , 1)
Son paralelos o la recta esta contenida en el plano ⇒
Tomemos el punto R(0 , 1 , − 1) det er min ado en la ecuación de r ⇒ 1 − (− 1) = 3 ⇒ 2 ≠ 3 ⇒ No pertenece a π
El plano π y la recta r son paralelos
b) Como el vector director de la recta s es perpendicular, a la vez, al vector director del plano y al de la
recta, es igual al producto vectorial de ambos vectores
i j k
vπ = (0 , 1 , − 1)
⇒ vπ × v r = 0 1 − 1 = i − 2 j − 2k + i = 2i − 2 j − 2k ⇒ v s = (2 , − 2 , − 2 ) ≡ (− 1 , 1 , 1) ⇒

 v r = (2 , 1 , 1)
2 1 1
 x = −µ

s ≡  y = 1+ µ , µ ∈ℜ
 z = −1 + µ

6