OPCIÓN A ado er In Compatible Sistema a a Cuando ado Deter

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Solución Septiembre 2004
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
⎧ x + y − 2z = 0
⎪
A.1.- Sea el sistema homogéneo de ecuaciones ⎨ ax − y + z = 0
⎪ x + 2ay − z = 0
⎩
a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distinta
de la nula
b) Resolver el sistema para el valor o los valores hallados en el apartado anterior
a) Son aquellos que hacen que el determinante de los coeficientes sea nulo y que generan
sistemas compatibles indeterminados
1 −2
A = a − 1 1 = 1 + 1 − 4a 2 − 2 − 2a + a = −4a 2 − a = − a (4a + 1) ⇒ Si A = 0 ⇒ − a (4a + 1) = 0 ⇒
1 2a − 1
1
a=0
⎧⎪
⎧ 1 ⎫
⎨4a + 1 = 0 ⇒ a = − 1 ⇒ ∀a ∈ ℜ − ⎨− , 0⎬ = rang ( A) = 3 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
⎩ 4 ⎭
⎪⎩
4
⎧⎪ a = 0
1 ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
Cuando ⎨
a
=
−
⎪⎩
4
1
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A.2.- La recta
x=
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1− y 2 − z
=
corta a los tres planos coordenados en tres puntos
3
2
a) Determinar las coordenadas de estos puntos
b) La distancias existentes entre cada par de ellos
c) Indicar cual es el que se encuentra en medio de los otros dos
a)
⎧
x =1
⎧
⎪
⎪
⎪Corte con OXY ≡ z = 0 ⇒ 2 − 2λ = 0 ⇒ λ = 1 ⇒ A⎨ y = 1 − 3.1 = −2
⎪ z = 2 − 2.1 = 0
⎪
⎩
⎪
1
⎧
⎪
x=
⎧ x=λ
⎪
⎪
3
y −1 z − 2 ⎪
1
⎪
⎪
x=
⇒ ⎨ y = 1 − 3λ ⇒ ⎨ Corte con OXZ ≡ y = 0 ⇒ 1 − 3λ = 0 ⇒ λ = ⇒ B ⎨
=
y=0
3
−2
−3
⎪ z = 2 − 2λ ⎪
⎪
2. 4
⎩
⎪
⎪z = 2 − 3 = 3
⎩
⎪
⎧x = 0
⎪
⎪
⎪
Corte con OYZ ≡ x = 0 ⇒ λ = 0 ⇒ C ⎨ y = 1
⎪
⎪z = 2
⎪⎩
⎩
b)
2
2
⎧
1
4
2
4
2
4
4 + 36 + 16
56 2
⎪ AB = ⎛⎜ , 0 , ⎞⎟ − (1 , − 2 , 0 ) = ⎛⎜ − , 2 , ⎞⎟ ⇒ AB = ⎛⎜ − ⎞⎟ + 2 2 + ⎛⎜ ⎞⎟ =
=
= ⋅ 14 u
3⎠
3⎠
9
3
3
⎪
⎝3
⎝ 3
⎝ 3⎠
⎝3⎠
⎪
2
2
2
AC = (0 , 1 , 2 ) − (1 , − 2 , 0 ) = (− 1 , 3 , 2 ) ⇒ AC = (− 1) + 3 + 2 = 14 u
⎨
⎪
2
2
4⎞ ⎛ 1
2⎞
1+ 9 + 4
14 1
⎪
⎛2⎞
⎛ 1⎞
⎛1
2
=
= ⋅ 14 u
⎪ BC = (0 , 1 , 2 ) − ⎜ 3 , 0 , 3 ⎟ = ⎜ − 3 , 1 , 3 ⎟ ⇒ BC = ⎜ − 3 ⎟ + 1 + ⎜ 3 ⎟ =
9
3
3
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎩
c) El punto medio es el B, se denota en las distancias, los mas alejados son A y C cuya
distancia es igual a la suma de la distancias de A a B y de B a C
2
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A.3.- Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los
logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima
Calcular dicha suma
e = x+ y ⇒ y =e−x
⎧
1 (− 1) e − x − x e − 2 x
⇒ S ' = 0 ⇒ e − 2x = 0 ⇒
=
=
⇒ S'= +
⎨
x e − x x(e − x ) ex − x 2
⎩S = ln x + ln y = ln x + ln (e − x )
e
e = 2x ⇒ x =
2
− 2 x(e − x ) − (e − 2 x ) ⋅ (e − 2 x ) − 2 xe + 2 x 2 − e 2 − 4ex + 4 x 2
− 2 x 2 − e 2 + 2ex
=
=
S''=
2
2
2
x 2 (e − x )
x 2 (e − x )
x 2 (e − x )
(
)
2
2
2
⎛e⎞
⎛e⎞
− 2⎜ ⎟ − e 2 + 2e⎜ ⎟ (− 2 ) e − e 2 + e 2 (− 2) e
⎛e⎞
⎝2⎠ =
⎝2⎠
4
4 = − 2 = − 8 < 0 ⇒ Máximo
=
S ''⎜ ⎟ =
2
2
2
2
2
2
2
e2
e e
e
⎝2⎠
e ⎛e⎞
⎛ e ⎞ ⎡ ⎛ e ⎞⎤
⋅
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎢e − ⎜ ⎟ ⎥
4 4
4
4 ⎝2⎠
⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
e e
y =e− =
2 2
b)
⎛ e2
e
e
⎛e e⎞
+ ln = ln ⎜ ⋅ ⎟ = ln ⎜⎜
2
2
⎝2 2⎠
⎝ 4
⎞
⎟⎟
⎠
Tambien se puede dar como ⇒ S = ln e 2 − ln 4 = 2. ln e − ln 4 = 2.1 − ln 4 = 2 − ln 4
S = ln
3
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A.4.- Calcular el área encerrada entre las gráficas de la recta
y = x + 2 y la parábola y = x 2
Puntos de corte entre funciones ⇒ x + 2 = x 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒ Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ⇒ x =
1+ 3
⎧
⎪x= 2 =2
⎧0 + 2 = 2
⇒ x + 2 > x2
⇒ x=0⇒⎨ 2
⎨
1− 3
⎩ 0 =0
⎪x =
= −1
2
⎩
2
A=
∫ (x + 2) dx − ∫ x
−1
A=
2
−1
2
dx =
[ ]
1 2
⋅ x
2
2
−1
en − 1 ≤ x ≤ 2 ⇒
[ ]
1
2
+ 2[x ]−1 − ⋅ x 3
3
1± 9
⇒
2
2
−1
=
[
]
[
1 2
1
2
3
⋅ 2 − (− 1) + 2.[2 − (− 1)] − ⋅ 2 3 − (− 1)
2
3
1
1
3
9 3
9
⋅ (4 − 1) + 6 − ⋅ [8 − (− 1)] = + 6 − = + 3 = u 2
2
3
2
3 2
2
4
]
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OPCIÓN B
⎛ 2 − 2⎞
⎟⎟ siendo
⎝3 3 ⎠
B.1 a) Determinar una matriz cuadrada X que verifique AX + XA = ⎜⎜
⎛1 0 ⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝1 1 ⎠
.
b) Analizar, posteriormente, si la matriz X es invertible, y en el caso de serlo calcular su matriz
inversa.
a)
b ⎞ ⎛ a + b b ⎞ ⎛ 2 − 2⎞
⎛1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 2 − 2 ⎞ ⎛ a
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒
⎝1 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ a + c b + d ⎠ ⎝ c + d d ⎠ ⎝ 3 3 ⎠
3
⎧
a
a
−
=
⇒
=
2
1
2
2a + b = 2
⎧
⎪
2
2b ⎞ ⎛ 2 − 2 ⎞ ⎪⎪2b = −2 ⇒ b = −1 ⎪⎪ 3
⎛ 2a + b
3
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ ⎨
⇒⎨
+ 2c + d = 3
⇒ 2c + d = 3 − ⇒
2
⎝ a + 2c + d b + 2 d ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎪ a + 2c + d = 3
⎪ 2
d
d
−
+
=
⇒
=
1
2
3
2
⎪⎩ b + 2d = 3
⎪
⎪⎩
⎛ 3
⎞
− 1⎟
⎜
1
1
3
3
⎟
2c + 2 = ⇒ 2c = − 2 = − ⇒ c = − ⇒ X = ⎜ 2
2
4
2
2
⎜⎜ − 1 2 ⎟⎟
⎝ 4
⎠
b)
3
X = 2
1
−
4
−1
2
=
1
1 12 − 1 11
1
3
⋅2− = 3− =
= ≠ 0 ⇒ ∃X −1 ⇒ X −1 =
⋅ adj X t ⇒
X
4
4
4
4
2
(
1⎞
⎛3
⎛2
− ⎟
t
t
⎜
⎜
X = 2
4 ⎟ ⇒ adj X = ⎜ 1
⎜
⎝4
⎝−1 2 ⎠
(
)
1⎞
1 ⎛⎜ 2
3 ⎟ ⇒ X −1 =
⋅ 1
⎟
11 ⎜
2⎠
⎝4
4
1⎞ 4 ⎛2
3 ⎟ = ⋅⎜ 1
⎟ 11 ⎜
2⎠
⎝4
)
⎛8 4⎞
1⎞ ⎜
⎟
3 ⎟ = ⎜ 11 11 ⎟
1 6⎟
⎟
2 ⎠ ⎜⎜
⎟
⎝ 11 11 ⎠
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B.2.
⎧x + 2 y − z = 3
⎩2x − y + z = 1
a) Sea r la recta intersección de los dos planos ⎨
a) Determinar el plano
π que contiene a la recta r y que pasa por el origen de coordenadas.
b) Escribir la ecuación de la recta perpendicular a
π y que pasa por el punto (1 , 0 , 1)
a) Utilizaremos la ecuación del haz de planos que pasa por la recta intersección de los planos.
Calcularemos el parámetro de ese haz que pasador el punto dado (el origen de coordenadas)
que nos da el parámetro con el que calcularemos el plano pedido
x + 2 y − z − 3 + λ (2 x − y + z − 1) = 0 ⇒ 0 + 2.0 − 0 − 3 + λ (2.0 − 0 + 0 − 1) = 0 ⇒ −3 − λ = 0 ⇒ λ = −3
x + 2 y − z − 3 − 3 ⋅ (2 x − y + z − 1) = 0 ⇒ x + 2 y − z − 3 − 6 x + 3 y − 3 z + 3 = 0 ⇒ −5 x + 5 y − 4 z = 0
⇒ π ≡ 5x − 5 y + 4 z = 0
b) La recta r, pedida, tiene como vector director el del plano π
⎧ x = 1 + 5λ
x −1
y
z −1
⎪
v r = vπ = (5 , − 5 , 4 ) ⇒ r ≡ ⎨ y = −5λ ⇒
=
=
5
−5
4
⎪ z = 1 + 4λ
⎩
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B.3.- Sea el polinomio
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x 3 + ax 2 + bx + c
a) Determinar los coeficientes a , b y c sabiendo que tiene extremos en x = - 1 y en x = 1 y que
pasa por el origen de coordenadas
b) Estudiar la naturaleza de ambos extremos
a)
⎧
f (0 ) = 0 ⇒ 0 3 + a.0 2 + b.0 + c = 0 ⇒ c = 0
⎪
2
f ' ( x ) = 3x 2 + 2ax + b ⇒ ⎨ f ' (− 1) = 0 ⇒ 3.(− 1) + 2a.(− 1) + b. = 0 ⇒ 3 − 2a + b = 0 ⇒ −2a + b = −3 ⇒
⎪
f ' (1) = 0 ⇒ 3.12 + 2a.1 + b. = 0 ⇒ 3 + 2a + b = 0 ⇒ 2a + b = −3
⎩
2b = −6 ⇒ b = −3 ⇒ 2a − 3 = −3 ⇒ 2a = 0 ⇒ a = 0
f (x ) = x 3 − 3x
b)
⎧ f ' ' (− 1) = 6.(− 1) = −6 < 0 ⇒ Máximo ⇒ f (− 1) = (− 1)3 − 3.(− 1) = −1 + 3 = 2 ⇒ (− 1 , 2)
f ' ' (x ) = 6 x ⇒ ⎨
f ' ' (1) = 6.1 = 6 > 0 ⇒ Mínimo ⇒ f (1) = 13 − 3.1 = 1 − 3 = −2 ⇒ (1 , − 2 )
⎩
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B.4,- Sea la parábola f ( x ) = x − 6 x + 9
2
a) Probar que es tangente a uno de los ejes coordenados, indicando a cual
b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la parábola y los dos ejes coordenados
a)
f ' (x ) = 2 x − 6 ⇒ f ' (x ) = 0 ⇒ x = 2 x − 6 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ f (3) = 3 2 − 6.3 + 9 = 0 ⇒ En (3 , 0 )
Tangente al eje OX (abcisas ) en el punto indicado
b)
f ( x ) = 0 ⇒ x 2 − 6 x + 9 = 0 ⇒ Δ = 36 − 36 = 0 ⇒ x =
6
=3
2
f (2 ) = 2 2 − 6.2 + 9 = 1 ⇒ f ( x ) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ / 0 ≤ x ≤ 3
3
(
)
A = ∫ x 2 − 6 x + 9 dx =
0
A=
[ ]
1 3
⋅ x
3
3
0
[ ]
1
− 6 ⋅ ⋅ x2
2
3
0
+ 9 ⋅ [x ]0 =
3
(
)
(
)
1 3
⋅ 3 − 0 3 − 3 ⋅ 3 2 − 0 2 + 9 ⋅ (3 − 0 )
3
27
− 3⋅9 + 9⋅3 = 9 u2
3
8