Series de Tiempo Estacionarias (Multivariadas)

Econometrı́a de series de tiempo aplicada a
macroeconomı́a y finanzas
Series de Tiempo Estacionarias (Multivariadas)
Carlos Capistrán Carmona
ITAM
Vectores Autorregresivos (VARs)
1
Principios de Pronóstico.
2
Pruebas de Hipótesis.
3
Estimación por Máxima Verosimilitud.
4
Vectores Autorregresivos.
Vectores Autorregresivos (VARs)
Principios de pronóstico
y1t−1 , y1t−2 , . . . , y1t−p
y2t−1 , y2t−2 , . . . , y2t−p
Queremos pronosticar y1t con base en:
..
.
ynt−1 , ynt−2 , . . . , y3n−p
En adición, podemos agregar funciones determinı́sticas del
tiempo, como 1, t, cos( πt
6 ), dummies estacionales, etc.
Vectores Autorregresivos (VARs)
Principios de pronóstico
Definimos:
yt
(nx1)
xt
(kx1)
= (y1t , y2t , ..., ynt )0
= (1, y0 t−1 , y0 t−2 , ..., y0 t−p )0
k = np + 1
Vectores Autorregresivos (VARs)
Principios de pronóstico
Consideramos el pronóstico lineal:
ŷ1t|t−1 = β0 xt
El mejor pronóstico es: el valor de β que minimiza:
E(y1t − β0 xt )2
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Principios de pronóstico
Proposición: Si yt es estacionario en covarianza, y E(xt xt ) es
no-singular, el pronóstico óptimo utiliza:
β∗ = E(xt xt )−1 E(xt yt )
Vectores Autorregresivos (VARs)
Principios de pronóstico
Definición: El pronóstico lineal óptimo
ŷ1t|t−1 = β∗0 xt
es llamado “proyección lineal poblacional” de y1t sobre xt .
Vectores Autorregresivos (VARs)
Principios de pronóstico
Definición: La estimación de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios
(OLS por sus siglas en inglés) está dada por:
T
β̂ =
∑ xt x 0 t
! −1
t=1
T
Proposición: Si yt es ergódica, entonces
p
β̂→ β∗
∑ xt yt
t=1
!
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Principios de pronóstico
Prueba (Ley de los grandes números):
T
T − 1 ∑ xt x 0 t
β̂ =
! −1
t=1
p
−1
T
T −1 ∑ xt yt
→ E(xt x0t ) E(xt yt )
t=1
!
Vectores Autorregresivos (VARs)
1
Principios de Pronóstico.
2
Pruebas de Hipótesis.
3
Estimación por Máxima Verosimilitud.
4
Vectores Autorregresivos.
Vectores Autorregresivos (VARs)
Pruebas de hipótesis
Hasta ahora hemos asumido que:
I
I
yt es estacionaria y ergódica
E(xt x0t ) es no singular
a partir de eso concluimos que:
I
Mı́nimos cuadrados ordinarios (OLS) arroja estimadores
consistentes de los pesos de pronóstico óptimos.
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Pruebas de hipótesis
Supongamos que deseamos hacer una prueba de hipótesis, e.g.
H0 : y2,t−1 , y2,t−2 , . . . , y2,t−p
no ayudan a pronosticar y1t
Vectores Autorregresivos (VARs)
Pruebas de hipótesis
Necesitamos supuestos mas fuertes para hacer pruebas de
hipótesis:
ε t = y1t − β∗0 xt
E( ε t
E(ε2t )
E(ε4t )
| y1t , y2t , ..., y1 ) = 0
= σ2
< ∞
Entonces: todas las pruebas usuales de OLS t o F sobre β̂ son
válidas para obtener conclusiones acerca de β∗
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Pruebas de hipótesis
Siguiendo con el ejemplo, la prueba de hipótesis,
H0 : y2,t−1 , y2,t−2 , . . . , y2,t−p
no ayudan a pronosticar y1t
se puede llevar a cabo usando una prueba F usual.
Si los coeficientes de y2,t−1 , y2,t−2 , . . . , y2,t−p son todos cero (i.e. si
no rechazamos la hipótesis nula), entonces decimos que “y2 no
causa a la Granger a y1 ”
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1
Principios de Pronóstico.
2
Pruebas de Hipótesis.
3
Estimación por Máxima Verosimilitud.
4
Vectores Autorregresivos.
Vectores Autorregresivos (VARs)
Estimación por máxima verosimilitud
Ahora hagamos un supuesto más fuerte:
ε t | yt−1 , yt−2 , ..., y1 ∼ N (0, σ2 )
En este caso, la función de (log) verosimilitud condicional
muestral serı́a:
T
∑ log f (y1t
|
yt−1 , yt−2 , ..., yt−p )
t=1
T
T
= − log(2πσ2 ) −
2
∑ (y1t − β0 xt )
t=1
2σ2
2
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Estimación por máxima verosimilitud
El valor de β que maximiza la (log) verosimilitud es el estimador
de OLS β̂.
El estimador de máxima verosimilitud (MLE) de σ2 es:
T
σ2 = T −1 ∑ (y1t − β̂0 xt )2
t=1
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Estimación por máxima verosimilitud
Una opción es maximizar la función de verosimilitud incluso si no
creemos el supuesto sobre la distribución, en ese caso, tenemos
estimación por cuasi-máxima verosimilitud.
Si el supuesto de la distribución es incorrecto (lo cierto es que
ε t ∼Student t), entonces MLE aún es consistente, pero ya no es
eficiente.
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Estimación por máxima verosimilitud
Por otro lado, si estamos convencidos de que los errores siguen
una distribución t de Student, es mejor escoger ( β, σ, ν) para
T
maximizar ∑ qt :
t=1
qt = log Γ
ν+1
2
1
log(σ2 νπ )
2
2
ν+1
(yt − β0 xt )2
−
log 1 +
2
νσ2
− log Γ
ν
−
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Principios de Pronóstico.
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Pruebas de Hipótesis.
3
Estimación por Máxima Verosimilitud.
4
Vectores Autorregresivos.
Vectores Autorregresivos (VARs)
Hasta ahora, sólo hemos considerado el pronóstico de y1t , el
primer elemento del vector yt , usando:
y1t = π10 xt + ε 1t
xt
(kx1)
= (1, yt0 −1 , yt0 −2 , . . . , yt0 −p )0
k = np + 1
ε 1t = error al pronosticar la variable 1
Vectores Autorregresivos (VARs)
Obviamente, es posible establecer modelos análogos para
pronosticar la segunda variable:
y2t = π20 xt + ε 2t
xt
(kx1)
= (1, yt0 −1 , yt0 −2 , . . . , yt0 −p )0
Vectores Autorregresivos (VARs)
Apilando las ecuaciones en un sistema de vectores, tenemos:



  0 
ε 1t
π1
y1t
 ε 2t 
 y2t   π 0 



  2 
 ..  =  ..  xt +  .. 
 . 
 .   . 
ynt
πn0
ε nt
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yt
(nx1)
= Π0
xt
(nxk) (kx1)
+ εt
(nx1)

Π 0 xt =
c Φ1 Φ2 · · ·
1
 yt−1


Φp  yt−2
 ..
 .
yt−p







Vectores Autorregresivos (VARs)
yt = c + Φ1 yt−1 + Φ2 yt−2 + . . . + Φp yt−p + ε t
Llamado un Vector Autorregresivo (VAR)
Vectores Autorregresivos (VARs)
Si todos los escalares z (incluso complejos) que satisfacen
| In − Φ1 z − Φ2 z2 − ... − Φp zp |= 0
tambien satisfacen ||z|| > 1, entonces yt es estacionario en
covarianza.
Vectores Autorregresivos (VARs)
Ahora hacemos el supuesto de que ε t ∼ N (0, Ω):
log f yt , y2 , . . . , yT | y0 , y−1 , . . . , y−p+1
T
=
∑ log f
yt | yt−1 , yt−2 , . . . , yt−p
t=1
=
0
−Tn
T
1 T
log (2π ) − log |Ω| − ∑ yt − Π0 xt Ω−1 yt − Π0 xt
2
2
2 t=1
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Resultado 1: el i-ésimo renglón del estimador de máxima
verosimilitud de Π0 está dado por:
bt0 =
π
T
∑ yit xt0
t=1
!
T
∑ xt xt0
t=1
Es decir, es OLS ecuación por ecuación.
! −1
Vectores Autorregresivos (VARs)
Resultado 2: el estimador de máxima verosimilitud Ω está dado
por:
T
b = T −1 ∑ b
Ω
ε tb
ε0t
t=1
Vectores Autorregresivos (VARs)
Resultado 3: el valor máximo de la log-verosimilitud está dado
por:
T
−Tn
b
[1 + log (2π )] − log Ω
2
2
Vectores Autorregresivos (VARs)
Aplicación del resultado 3: prueba (contraste) de la razón de
verosimilitud
Prueba con la muestra completa de:
H0 : p − 1 rezagos
HA : p rezagos
donde
T
b (p − 1 ) = T −1 ∑ b
Ω
ε t (p − 1) b
ε0t (p − 1)
t=1
T
b (p ) = T −1 ∑ b
Ω
ε t (p) b
ε0t (p)
t=1
b
ε t (s) = residuales de un VAR con s rezagos
Vectores Autorregresivos (VARs)
entonces, dos veces la razón de verosimilitud es:
i
h
b
b
( p ) ∼ χ 2 n2
(p − 1) − log Ω
T log Ω
la corrección de Sims para muestras pequeñas:
i
h
b
b
(p − 1) − log Ω
(p) ∼ χ2 n2
(T − k) log Ω
Vectores Autorregresivos (VARs)
Criterio de información de Akaike:
2
pn
b
minimizar log Ω(p) + 2
T
Criterio de información de Schwarz:
2
pn
b
minimizar log Ω(p) + log T
T
“Regla de dedo”: p ≥ 4 para datos trimestrales, usar rezagos 1 − 6
y 11 − 13 para datos mensuales
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