Notas sobre el modelo de crecimiento de Ramsey

Modelo de consumo óptimo (Ramsey-Cass-Koopmans)
Curso Macroeconomı́a II, FCE-UBA∗
June 2, 2008
1
Aspectos generales
1. Modelo de equilibrio con mercados de bienes, activos y factores. No hay gobierno. La
economı́a es cerrada. Existe capital fı́sico. El objetivo es determinar la trayectoria óptima
del consumo y la inversión (acumulación de capital fı́sico).
2. Institucionalmente, el modelo se puede presentar como un ejercicio descentralizado de
mercado, un esquema Robinson Crusoe o como un problema de asignación óptima de
recursos de un planificador social.
3. Es un modelo de equilibrio: El ahorro es igual a la inversión planeada para todo t y hay
pleno empleo, por lo que cada configuración de las variables es una relación de equilibrio.
4. Es un modelo dinámico: El objetivo es estudiar una trayectoria óptima a lo largo del
tiempo. Existen funciones objetivo que se maximizan en el tiempo por parte de consumidores y firmas. Se hace un tratamiento en tiempo continuo del modelo.
2
Desarrollo del modelo
1. Problema de optimización de las familias.
El conjunto de familias de la economı́a percibe utilidad del consumo. Sin embargo, la
utilidad presente vale más que la utilidad futura. La actualización del valor de la utilidad
del consumo futuro se mide por una tasa de descuento ρ.
Z ∞
U=
e−ρt u(c(t))L(t)dt
0
Evolución constante de la población: L(t) = L(0)ent , normalizando L(0) = 1. DenoL̇
taremos además L
= n.
Es un problema de horizonte temporal infinito.
∗
Notas preparadas por Ariel Wirkierman para el curso Macroeconomı́a II, FCE-UBA, del Profesor Daniel
Heymann.
1
Función de elasticidad intertemporal de sustitución constante (CIES).
u(c(t)) =
c(t)1−θ − 1
1−θ
La elasticidad de sustitución u0 ,c mide la curvatura de la utilidad marginal en función del
nivel de consumo. Se pregunta cómo se modifica proporcionalmente la utilidad marginal
conforme se modifica el consumo proporcionalmente. Si esta elasticidad es muy alta (en
valor absoluto, pues la utilidad marginal cae conforme aumenta el nivel de consumo) el
individuo tendrá una fuerte preferencia por suavizar el perfil de su consumo, dado que
separar en muchos perı́odos su consumo le reportará más utilidad que consumir todo en
un sólo instante. El hecho de que en este caso esta elasticidad sea constante puede verse
en:
0 0 du (c)
du (c)
dc
u0 (c)
u00 (c)c
= 0 = 0
u0 ,c =
= −θ
dc
u (c)
u (c)
c
c
pues u0 (c) = (1 − θ)c−θ /(1 − θ) = c−θ y u00 (c) = −θc−θ−1 .
La concavidad de u(c(t)) manifiesta el deseo de suavizar el consumo en el tiempo.
Restricción presupuestaria: Las famlias consumen bienes o ahorran en activos financieros,
y perciben ingresos laborales y por la propiedad de los activos.
+ rB}
C
+ Ḃ} = wL
| {z
| {z
usos
recursos
Problema de Control Óptimo de las Familias:
El problema consiste en maximizar U sujeto a la restricción presupuestaria en términos
wL
B
C
Ḃ
per cápita: Ḃ
L = L + r L − L ⇐⇒ ḃ = w + rb − c − nb, pues L = ḃ + nb. La variable de
control será c (que es un flujo), y la variable de estado será b (que es un stock).
Para resolver se construye el Hamiltoniano para la utilidad instantánea en t y la restricción
presupuestaria per cápita.
c(t)1−θ − 1
H = u(c(t), b(t), t) + vg(c(t), b(t), t) = e−(ρ−n)t
+v [w + (r − n)b(t) − c(t)]
|
{z
}
1−θ
|
{z
}
ḃ=0
u
Condiciones de Primer Orden:
∂H
∂c
∂u
∂g
+v
= 0,
∂c
∂c
∂H
∂u
∂g
+ v̇ =
+v
+ v̇ = 0 ,
∂b
∂b
∂b
lim h(t)b(t) = 0
=
t→∞
2
(1)
(2)
(3)
Ecuación (3) es la condición de transversalidad en horizonte infinito del problema. Indica
que el valor de los bonos al final de los tiempos debe ser nulo.
Aplicamos (1) sobre H: ∂u/∂c = e−(ρ−n)t c(t)−θ y ∂g/∂c = −1.
Entonces: e−(ρ−n)t c(t)−θ = v.
Ahora aplicamos (2) sobre H: ∂u/∂b = 0, ∂g/∂b = (r − n).
Entonces: −v̇ = v(r − n).
Tomando logaritmos y derivando respecto al tiempo sobre la primera CPO, y reemplazando
por la segunda CPO, se despeja ċ/c:
ln(e−(ρ−n)t ) + ln(c−θ )
d
(−(ρ − n)t − θln(c))
dt
d
−(ρ − n) − θ ln(c)
dt
d
Pero como:
ln(x(t))
dt
v̇
Y además por la CPO:
v
ċ
−(ρ − n) − θ
c
Por lo que, finalmente, se tiene que:
ċ
ρ+θ
c
= ln(v)
d
=
ln(v)
dt
d
=
ln(v)
dt
1 dx(t)
ẋ
=
=
x(t) dt
x
= n−r
=
v̇
=n−r
v
= r
(4)
La Ecuación de Euler (4) define la tasa de crecimiento óptima del consumo y refleja el
trade-off intertemporal entre consumo y ahorro. Intuitivamente puede verse como:
ċ
1
= (r − ρ)
c
θ
Si r > ρ, ċ/c > 0, el perfil de consumo será creciente en el tiempo, porque el retorno
por ahorrar supera la impaciencia por consumir. Si hoy se ahorra más, se sacrifica más
consumo presente. Ese ahorro se invierte, y se transforma en consumo futuro.
Si r < ρ, ċ/c < 0, el perfil de consumo será decreciente en el tiempo, porque hay mayor
impaciencia por consumir hoy respecto del retorno por ahorrar en activos.
2. Problema de optimización de las firmas.
Empresas competitivas (tomadoras de precios).
Normalización del precio de venta p(t) a uno. Asimimso, existe un único bien que se
consume y se invierte. Por lo tanto, el precio relativo de los bienes de capital en términos
de los bienes de consumo es 1.
La tecnologı́a de transformación de insumos en productos es una función de producción
3
agregada con rendimientos constantes a escala en los factores capital fı́sico y trabajo.
Para Y = F (K, L), F (λK, λL) = λF (K, L).
Si λ = 1/L, F (K/L, 1) = F (K,L)
= f (k). Es decir, Y = Lf (k).
L
Además, el producto marginal de cada factor es positivo pero decreciente: ∂F/∂K > 0,
∂ 2 F/∂K 2 > 0, ∂F/∂L > 0, ∂ 2 F/∂L2 > 0, entocnes: f 0 (k) > 0 y f 00 (k) < 0.
Depreciación, rendimiento de activos y del capital fı́sico. En la economı́a existen activos financieros (bonos) y capital fı́sico. Una porción de la acumulación de capital se
destina a reponer maquinaria existente. Quien alquila el capital recibe una remuneración
R por unidad de K, pero para obtener su beneficio debe restarle la tasa de depreciación (δ).
Asimismo, existen activos financieros (B) que tienen un rendimiento (r). Al ser un modelo de equilibrio, sin riesgo y perfecta previsión, el rendimiento de activos coincide con el
rendimiento del capital r = R − δ.
Optimización estática de la firma. Puede mostrarse que el problema de maximizar el
valor presente del flujo de beneficios de las firmas π(t) se reduce a maximizar el beneficio
en cada perı́odo. Entonces, las firmas maximizan: π = pY − RK − wL s.a. Y = F (K, L).
Aprovechando que p = 1, los rendimientos constantes a escala y la condición de arbitraje en el mercado de activos, se tiene π = Lf (k) − (r + δ)K − wL. Las firmas maximizan
su π eligiendo cantidades de K y L.
Condciones de Primer Orden:
∂π
∂K
∂π
∂L
∂f ∂k
− (r + δ) = 0 ⇐⇒ f 0 (k) = r + δ
∂k ∂K
∂f
= f (k) + L ∂L − w = 0 ⇐⇒ f (k) − kf 0 (k) = w
∂k
= L
(5)
(6)
pues k = K/L, ∂(K/L)/∂K = 1/L y ∂(K/L)/∂L = −K/L2 .
Distribución factorial del ingreso endógena (dada por los productos marginales) que se
agota en la remuneración competitiva al capital fı́sico y al trabajo. De reemplazar las
CPO en la ecuación de beneficio, se obtiene que π(K ∗ , L∗ ) = 0. No hay beneficios extraordinarios porque estamos en una economı́a con rendimientos constantes a escala.
3. Equilibrio es:
Optimalidad, derivada de las condiciones de primer orden (4), (6) y (5), y
Consistencia agregada, derivada de la condición de conservación:
˙ + C(t) = F (K(t), L(t)) − δK(t)
K(t)
k̇
En este caso, buscamos una trayectoria óptima para el vector
.
ċ
4
Si la economı́a es cerrada y no hay gobierno, todo lo que presten los individuos tiene
que igualar a todo lo que reciben los que piden prestado. Entonces, el único activo en
oferta neta positiva es el capital fı́sico: B = K → b = k. En todo momento la tasa de
interés real r iguala al ahorro con la inversión.
Reemplazando las condiciones de primer orden del problema de la firma en la restricción
presupuestaria de las familias, se obtiene una versión per cápita de la condición de conservación:
ḃ = (r − n)b + w − c
Como b = k → ḃ = k̇
k̇ = (r − n)k + f (k) − k f 0 (k) −c
| {z }
r+δ
|
{z
w
}
Entonces: k̇ = f (k) − c − (δ + n)k
| {z } | {z }
ahorro
(7)
depreciacion
La ecuación (7) es la trayectoria óptima para el capital per cápita. Al introducir condiciones de optimalidad en una restricción de presupuesto, se ha obtenido una condición de
conservación en términos per cápita.
Reemplazando la condición de optimalidad del mercado del factor capital (f 0 (k) = r + δ)
en la Ecuación de Euler (4), obtenemos:
ċ
= f 0 (k) − ρ − δ
c
(8)
La ecuación (8) es la trayectoria óptima para el consumo per cápita.
Por último, como b = k, obtenemos la condición de transversalidad a partir de (3):
lim v(t)k(t) = 0
t→∞
(9)
Esta última ecuación indica que el valor del stock de capital debe ser nulo al final de los
tiempos.
Caracterización con una función Cobb-Douglas.
Si trabajamos con F (K, L) = AK α L1−α , tenemos en términos intensivos: f (k) = Ak α ,
pudiendo definir nuevamente (7) y (8) para poder llegar a formas cerradas:
k̇ = Ak α − c − (δ + n)k
1
αAk α−1 − δ − ρ
ċ/c =
θ
5
(10)
(11)
4. Dinámica de Transición y Estados Estacionarios.
Definición de los estados estacionarios.
k̇
con un diagrama de fases en el
ċ
espacio (k: capital per cápita, c: consumo per cápita).
Vamos a representar la dinámica de equilibrio para
En este modelo, la economı́a se encuentra en un estado estacionario cuando todas las
variables crecen a la misma tasa. Esto implica que k̇/k = K̇/K − L̇/L = 0 y ċ/c =
Ċ/C − L̇/L = 0, es decir, K̇/K = Ċ/C = n en estado estacionario. Por lo tanto, el nivel
per cápita de las variables en estado estacionario se mantiene constante.
Para caracterizar la dinámica en un espacio (k, c) se busca definir el lugar geométrico
de los puntos que cumplen k̇ = 0 y ċ = 0.
A partir de (10), si k̇ = 0: c = Ak α − (δ + n)k. Por lo tanto, como Ak α es una función
exponencial que crece a tasas decrecientes (pues α < 1) y −(δ + n)k es una función lineal
decreciente, la curva que refleja el nivel de consumo consistente con k̇ = 0 tendrá la forma
de U invertida.
Desde k̇ = 0 nos preguntamos qué ocurre con k si cambia c. Si sube c respecto de un
nivel consistente con k̇ = 0 caerá el ahorro de equilibrio en (10), por lo que el capital
estará cayendo. De manera inversa cuando cae c respecto de cualquier nivel compatible
con k̇ = 0. El diagrama de fase correspondiente se observa en la Parte (A) del gráfico
presentado más abajo.
A partir de (11), resolvemos k compatible con ċ = 0. En primer lugar, si c = 0 tendremos que ċ = 0, independientemente del valor de k. Por lo tanto a lo largo de todo el
eje (k, 0) se cumple la condición buscada.
Pero si c 6= 0 (que es la situación de interés), (1/θ)((f 0 (k) − δ − ρ) = 0 ⇐⇒ f 0 (k) = δ + ρ.
Por lo tanto, para (11) tendremos αAk α−1 = δ + ρ, de modo que podemos despejar aquel
nivel de k que cumple con ċ = 0 para c 6= 0:
1
αA 1−α
∗
k =
(12)
δ+ρ
Este será el nivel de capital per cápita del estado estacionario que nos interesará. El lugar
geométrico donde se cumple ċ = 0 será el conjunto (k, 0) ∪ (k ∗ , c), para k ≥ 0 y c > 0. La
forma de esta curva de demarcación será la unión del eje horizontal con una lı́nea vertical
a lo largo de la cual se cumple ċ = 0 para k = k ∗ y c 6= 0. El diagrama de fase correspondiente se observa en la Parte (B) del gráfico presentado más abajo.
Ahora, desde ċ = 0 nos preguntamos qué ocurre con c si cambia k. Si sube k en (11)
cae su producto marginal (f 0 (k)), por lo que el perfil de consumo estará cayendo. De
manera inversa cuando cae k respecto de cualquier nivel compatible con ċ = 0 y c 6= 0.
6
Al superponer las curvas de demarcación k̇ = 0 de la Parte (A) y ċ = 0 de la Parte (B),
se obtiene el diagrama de fases del sistema en la Parte (C), donde se observa que existen
tres puntos que cumplen simultáneamente k̇ = 0 y ċ = 0 (puntos e1 , e2 y e3 ). Estos son
los tres estados estacionarios del sistema.
El espacio (k, c) se divide en cuatro regiones como se observa en el gráfico. Partiendo
de una posición inicial (k0 ,c0 ), según el sentido de las flechas se irá obteniendo una trayeck
.
toria de equilibrio para
c
Existen infinitas trayectorias y tres estados estacionarios. Se debe definir hacia cuál de
ellos el sistema va a converger.
En el estado estacionario e2 , ċ = 0 y k̇ = 0 se intersectan en (k, c) = (0, 0). Este estado será dinámicamente inestable, pues salvo que (k0 , c0 ) = (0, 0), las flechas llevan
inequı́vocamente a alejarse de él.
1
1−α
A
En el estado estacionario e3 , ċ = 0 y k̇ = 0 se intersectan en (k, c) =
,
0
n+δ
(a partir de despejar k en (10) cuando k̇ = 0 y c = 0). El estado será dinámicamente
estable (las flechas apuntan hacia él), pero debe notarse que implica cantidades nulas de
consumo en estado estacionario.
Aquel estado estacionario que nos interesa es e1 , pues ċ = 0 y k̇ = 0 se intersectan
donde c∗ 6= 0, pero sólo dos conjuntos de flechas apuntan hacia él. Por lo tanto, e1 será
un saddle point. Es decir, existe una única trayectoria estable que converge a e1 .
Puede mostrarse que cualquier trayectoria por encima de la trayectoria estable viola (4),
y cualquiera por debajo viola (9) (ver Sala-i-Martin (2000, pp. 102-104)). Por lo tanto, la
única trayectoria que satisface simultaneamente (4), (5), (6) y (9) es la trayectoria estable
que converge al saddle point e1 .
Una vez que la economı́a está ubicada en el estado estacionario e1 , surge el interés de
caracterizar en términos de bienestar los niveles (k ∗ , c∗ ). Si el objetivo de la sociedad fuera
7
maximizar la utilidad intertemporal de los individuos, dado que los hogares sólo perciben
utilidad del consumo, la pregunta de interés es ¿Cuál es el nivel de capital per cápita de
estado estacionario (k ∗ ) que maximiza el consumo per cápita de estado estacionario (c∗ )?
Para resolver esta pregunta se maximiza c para k̇ = 0, eligiendo k. A partir de (7),
para k̇ = 0 se obtiene la CPO:
d
(f (k) − c − (δ + n)k) = f 0 (k) − (δ + n) = 0 ⇐⇒ f 0 (k oro ) = δ + n
dk
Para una tecnologı́a Cobb-Douglas como en (10), dado que f 0 (k) = αAk α−1 , el nivel de
1
αA 1−α
oro
maximiza el consumo de estado estacapital de estado estacionario k
= δ+n
cionario.
Puede verse que como ρ > n, k ∗ de e1 es menor que k oro . Esto, por un lado, justifica
la ubicación de la curva vertical que pertenece al conjunto ċ = 0 a la izquierda del máximo
de la curva k̇ = 0, pero, por otro lado, manifiesta que como la impaciencia es mayor que
la tasa a la que crece la población (que es la misma tasa a la que crece el consumo y
se acumula capital en estado estacionario), los individuos no podrán alcanzar el máximo
consumo posible, dado que valoran más el consumo presente que aquel de las generaciones
futuras.
3
Referencias
Sala-i-Martin, X. (2000), Apuntes de Crecimiento Económico, 2da. Ed., Antoni Bosch Editores,
España.
8