Matemática Discreta
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Matemática Discreta
Sobre el concepto de Infinito
Adaptado y traducido por Margarita Toro de: Martin Gardner, The Hierarchy of Infinities and the Problems It Spawns, Scientific American, Marzo,
1966.
En 1963 Paul Cohen, un matemático de 29 años de la Universidad de Stanford, encontró una respuesta sorprendente a uno de los grandes problemas de la
teorı́a moderna de conjuntos: ¿Hay un orden de infinito mayor que el número
de enteros pero menor que el número de puntos en la lı́nea? Para clarificar
lo que Cohen probó debemos decir algo acerca de estos dos conocidos niveles
inferiores de infinito.
George Cantor fue el primero en descubrir que mas allá del infinito de los
enteros, un infinito al que él bautizó con el nombre aleph-cero, ℵ0 , hay no solo
infinitos mayores sino también un infinito número de ellos. Los principales
matemáticos de la época reaccionaron de maneras muy diferentes ante los trabajos de Cantor. Henri Poincaré llamo al cantorismo una enfermedad de la
cual las matemáticas tendrı́an que recobrarse, y Hermann Weyl habló de las
jerarquı́as de alephs de Cantor como de “niebla en la niebla”. Por otro lado,
David Hilbert dijo: “Del paraı́so creado para nosotros por Cantor nadie nos
podrá expulsar”, y Bertrand Russell una vez elogió los resultados de Cantor
como de los más importantes de la época.
Hoy en dı́a, solo matemáticos de la escuela intuicionista y unos pocos filósofos
se sienten aun incómodos con los alephs. La mayorı́a de los matemáticos hace
tiempo les perdieron el miedo y las pruebas mediante las cuales Cantor estableció
sus “terribles dinastı́as”, como las ha llamado el escritor argentino Jorge Luis
Borges, son ahora universalmente consideradas entre las más brillantes y hermosas en la historia de las matemáticas.
Cualquier conjunto infinito que pueda ser “contado” tiene el número cardinal
ℵ0 , el peldaño inferior en la escalera de alephs de Cantor. Por supuesto, no
es posible en efecto contar tal conjunto; uno simplemente muestra que existe
una correspondencia uno-a-uno con el conjunto de los números naturales. Por
ejemplo el conjunto de los números primos puede ser puesto fácilmente en una
1
correspondencia uno-a-uno con los enteros positivos:
1
↓
2
2
↓
3
3
↓
5
4
↓
7
5
↓
11
6
↓
13
···
↓
Figura 1
El conjunto de los primos es por tanto un conjunto aleph-cero, y se llama “contable” o “numerable”. Acá nos encontramos con una paradoja básica de todos
los conjuntos infinitos. A diferencia de un conjunto finito, los conjuntos infinitos
pueden ser puestos en una correspondencia uno-a-uno con una parte de ellos,
o más técnicamente, con uno de sus subconjuntos propios. Ası́, aunque los
primos son solo una pequeña porción de los enteros positivos, como conjuntos
tienen el mismo número aleph. Igualmente, los enteros son solo una parte de
los racionales, pero los racionales son también un conjunto ℵ0 .
Es fácil probar que existe un conjunto con un infinito número de elementos
mayor que ℵ0 . Para explicar una de las mejores pruebas consideremos primero
un conjunto de 3 objetos, digamos S = {♠, ♦, } . Cada subconjunto de S, (hay
23 = 8 de tales subconjuntos), puede ser representado por una columna de ceros
y unos con la convención: si hay un 0 significa que el objeto de esa fila no
pertenece al subconjunto y si hay un 1 el objeto si pertenece al subconjunto,
vea la gráfica:
♠
♦
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Subconjuntos de un conjunto de 3 elementos.
Figura 2
La primera columna (todos unos) representa S, las siguientes 3 representan
los 3 subconjuntos de 2 elementos, las siguientes 3 los subconjuntos con solo
1 elemento y la última el conjunto vacı́o. Este proceso se puede repetir para
cualquier conjunto con n elementos, y en ese caso tendrı́amos 2n subconjuntos
y los representarı́amos mediante un arreglo de n-filas y 2n -columnas.
Ahora, sinaplicamos este proceso
a un conjunto infinito pero contable, (alepho
cero), S = 1 , 2 , 3 , · · · ¿Pueden los subconjuntos de S ponerse en una
correspondencia uno-a-uno con los naturales? Supongamos que si se puede;
2
obtenemos un arreglo como se muestra a continuación:
1
2
3
4
5
..
.
1
1
1
1
1
1
..
.
2
1
0
1
1
1
..
.
3
1
1
0
1
1
..
.
4
0
1
1
1
0
..
.
5
1
0
0
0
1
..
.
6
0
1
0
1
1
..
.
7
0
0
1
0
1
..
.
8
0
0
0
1
1
..
.
···
···
···
···
···
···
Figura 3
en el cual hay infinitas columnas, que representan los subconjuntos. Imaginémonos que estas infinitas columnas están ordenadas de algún modo y las
numeramos 1, 2, 3, · · · . ¿Si continuamos formando tales columnas, formaremos
todos los subconjuntos? No, puesto que hay infinitas formas de producir subconjuntos que no pueden aparecer en la lista que estamos formando. La forma
más simple es considerando la diagonal del arreglo de números y haciendo la
siguiente sustitución: si aparece 1 cambiarlo por 0 y si aparece 0 cambiarlo
por 1. El nuevo conjunto diagonal representa un subconjunto de S que no
puede aparecer como una de las columnas del arreglo. Veamos por qué. No
puede ser el subconjunto 1, (la primera columna), porque el primer elemento
del nuevo arreglo difiere del primer elemento de la columna 1. No puede ser
el segundo subconjunto, pues el segundo elemento difiere del segundo elemento
de la columna 2. En general, no puede ser el subconjunto n-ésimo porque el
elemento n-ésimo difiere del elemento n-ésimo de la columna n. Puesto que
hemos producido un subconjunto que no puede estar en la lista, incluso aunque
la lista es infinita, tenemos que concluir que nuestra suposición es falsa. Es
decir, el conjunto de subconjuntos de un conjunto ℵ0 no se puede poner en una
correspondencia uno-a-uno con los naturales, y por tanto es un conjunto “no
contable”, y le corresponde un aleph mayor.
La famosa prueba de la diagonal de Cantor, en la forma en la que acabamos
de presentarla, esconde una sorpresa. Permite probar que el conjunto de los
números reales es no contable. Considere un segmento de lı́nea, con sus extremos
numerados 0 y 1. Cada racional entre 0 y 1 corresponde a un punto en este
segmento. Entre dos racionales hay un número infinito de otros racionales; no
importa, incluso después de que todos los racionales hayan sido identificados,
aun quedan una infinidad de puntos sin identificar, puntos que corresponden
a los decimales no periódicos que identifican los números irracionales. Cada
punto en el segmento, racional o irracional, puede ser escrito en notación binaria.
Entonces cada punto en el segmento puede ser representado por una sucesión
de 00 s y 10 s , y cada sucesión de 00 s y 10 s representa un punto de la lı́nea.
Considerando el arreglo de la Figura 3 y modificándolo para poner un punto
binario al inicio de cada columna
3
1
2
3
4
5
..
.
1
.1
1
1
1
1
..
.
2
.1
0
1
1
1
..
.
3
.1
1
0
1
1
..
.
4
.0
1
1
1
0
..
.
5
.1
0
0
0
1
..
.
6
.0
1
0
1
1
..
.
7
.0
0
1
0
1
..
.
8
.0
0
0
1
1
..
.
···
···
···
···
···
···
Figura 4
obtenemos una lista infinita de diferentes puntos entre 0 y 1. Pero el conjunto
diagonal de sı́mbolos, después de que se intercambian los 0’s por 1’s y viceversa,
es un número binario que no puede estar en la lista. De acá vemos que hay
una correspondencia uno-a-uno entre los 3 conjuntos: los subconjunto de un
conjunto ℵ0 , los puntos de un segmento de lı́nea y los números reales. Cantor
le dio a este infinito mayor el número cardinal C, y lo llamo “la potencia del
continuo”. Y conjeturó que C era también ℵ1 , (aleph-uno), o sea, el primer
infinito más grande que ℵ0 .
Mediante una variedad de pruebas simples y elegantes, Cantor probó que
C es el número de conjuntos infinitos tales como los irracionales trascendentes,
(números tales como π, e), el número de puntos de una lı́nea infinita, el número
de puntos de una figura plana o de un plano, y el número de puntos de un
sólido o de todo el espacio tridimensional. Considerar dimensiones más altas
no aumenta el número de puntos. El número de puntos de un segmento de
1 centı́metro de longitud puede ponerse en correspondencia uno-a-uno con los
puntos de un sólido de mayor dimensión, o incluso con los puntos de todo el
espacio de mayor dimensión.
Cantor estaba convencido que su jerarquı́a infinita de alephs, cada uno
obtenido al elevar 2 a la potencia del aleph anterior, (ℵ1 = 2ℵ0 , ℵ2 = 2ℵ1 ,
etc.), representaban todos los posibles infinitos. No hay ningún aleph en el
medio, ası́ como tampoco hay un “Ultimo Aleph”. La perpetua jerarquı́a de
infinitos, sostenı́a Cantor, es un sı́mbolo del Absoluto.
Toda su vida, Cantor trató de probar que no existı́a un aleph entre ℵ0 y
C, la potencia del continuo, pero nunca obtuvo una prueba. En 1938 Kurt
Gödel probó que la conjetura de Cantor, la cual se conoce como “Hipótesis
del Continuo”, podı́a suponerse como cierta y que no presentaba conflictos con
los axiomas de la teorı́a de conjuntos. Lo que Cohen probó en 1963 fue que
lo contrario también puede suponerse como cierto. Uno puede suponer que C
no es ℵ1 ; que existe al menos un aleph entre ℵ0 y C, aunque no se tenga la
más remota idea de cómo especificar un conjunto que pueda tener ese número
cardinal. Esto también es consistente con la teorı́a. La hipótesis de Cantor es
indecidible. Como el postulado de las paralelas de la geometrı́a euclidiana, es
un axioma independiente que puede ser afirmado o negado. Y ası́ como las dos
4
suposiciones sobre el axioma de las paralelas de Euclides dividió la geometrı́a
en geometrı́a euclidiana y geometrı́a no-euclidiana, las dos suposiciones sobre la
hipótesis de Cantor divide la teorı́a de conjuntos infinitos en teorı́a cantoriana
y no-cantoriana. Aunque la situación es incluso peor que eso. El lado nocantoriano abre la posibilidad de un infinito sistema de teorı́as de conjuntos,
todas tan consistentes como la teorı́a estandar, y todas difiriendo con respecto
a la suposición acerca del poder del continuo.
Por supuesto, lo que Cohen probó fue que la hipótesis del continuo es indecidible con respecto a la teorı́a de conjuntos estandar, incluso cuando se supone
el Axioma de Elección. Muchos matemáticos esperan y creen que algún dı́a se
encontrará un axioma “más evidente”, que no sea equivalente a la afirmación o
a la negación de la hipótesis del continuo, y que cuando este axioma se añada
a la Teorı́a de Conjuntos, la Hipótesis del Continuo será decidible. En efecto,
ambos Gödel y Cohen creen que ésto es posible, y mas aún, están convencidos
que la hipótesis del continuo es falsa, en contraste con Cantor.
Bibliografı́a recomendada:
P. Halmos, Teoria Intuitiva de los Conjuntos, Compañia Editorial Continental, 1973.
T. Jech, Set Theory, Academic Press, 1978
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