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Pandora y las cajas negras
MIGUEL ESCUDERO *
E
n el capítulo sexto de Libro III de su
Física, Aristóteles dice que “lo
infinito resulta ser lo contrario de lo
que se nos dice que es: no es aquello fuera de
lo cual no hay nada, sino que el infinito es
aquello fuera de lo cual siempre hay algo” y
que “nada es completo (téleion) si no tiene fin
(télos), y el fin es un límite”. Medio siglo
después de que Gauss afirmase en una carta
que el infinito era en matemáticas sólo una
manera de hablar, Cantor estableció nuevas
especies de infinito y orientó la matemática
como ciencia del infinito. Georg Cantor nació
en Rusia en 1845, se fue de niño a vivir a
Alemania, sus padres eran daneses (la madre,
católica y artista; el padre, protestante y
negociante). El padre de Cantor le instaba a
ser ingeniero, pero él se volcó, influido por su
profesor Weierstrass, en la matemática no
aplicada. Su tesis doctoral, presentada en
1866, llevaba el título latino “In re
matemática ars propendi pluris facienda est
quam solvendi”, esto es, en matemática el
arte de hacer preguntas es superior al de
resolver problemas, en ella se hacía cargo de
unas omisiones de Gauss en un trabajo sobre
aritmética. A Cantor se le debe la teoría de
conjuntos y el concepto de números
transfinitos. Demostró que los números
racionales (esto es, los que se pueden
expresar como cociente de números enteros)
se pueden poner en correspondencia uno a
uno con los enteros positivos, por ello son
numerables, algo que no les ocurre a los
números reales. Sus vigorosas e innovadoras
ideas sobre las distintas clases de infinitos le
hicieron sufrir la implacable hostilidad del
influyente matemático Kronecker (quien
había sido profesor suyo y proferido la
conocida frase: “Dios hizo los números
enteros y el resto es obra de los hombres”,
una vana ocurrencia), así como el rechazo de
Klein y Poincaré. En particular, Weyl dijo
que la jerarquía de alephs de Cantor era como
*Profesor titular de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Barcelona.
una niebla en medio de la niebla. En 1883,
Cantor escribió sobre la generalización del
concepto de número, de la que decía que “sin
ella no podría dar ni siquiera pequeños pasos
adelante en la teoría de conjuntos. Espero que
esta situación justifique o, si es necesario,
excuse
la
introducción
de
ideas
aparentemente tan extrañas en mis
argumentaciones. De hecho, el objetivo
consiste en generalizar o extender la serie de
los enteros reales más allá del infinito. Por
atrevido que esto pueda parecer, tengo no
sólo la esperanza, sino la firme convicción de
que a su debido tiempo esta generalización
será reconocida como un paso bastante
simple, apropiado y natural. Aun así, soy muy
consciente
de
que
adoptando
tal
procedimiento me sitúo a contracorriente con
respecto a las opiniones generales sobre el
infinito en matemáticas y sobre la naturaleza
de los números”. Son proverbiales las
paradojas que sus estudios originaron.
Haciendo uso de sensatez, Du Bois-Reymond
objetó a una demostración de Cantor que
“repugna al sentido común. De hecho, se trata
simplemente de la conclusión de un tipo de
razonamiento que permite la intervención de
ficciones ideales, a las que se hace jugar el
papel de cantidades genuinas aunque no sean
siquiera límites de representaciones de
cantidades. Ahí es donde reside la paradoja”.
Cantor afinaría posteriormente su método,
pero acabaría topando con la hipótesis del
continuo.
Sin embargo, todo en la vida acaba por
requerir un amable reconocimiento. Catorce
años después, Hurwitz y Hadamard
encontraron provechosos aquellos análisis, y
no tardaron en mostrarse importantes
aplicaciones en topología y en la teoría de la
medida. En 1884 Cantor evidenció una
enfermedad mental que fue sobrellevando y
falleció en 1918, con el fin de la Segunda
Guerra Mundial. Unos años más tarde, el
matemático más destacado y respetado del
momento, David Hilbert, afirmó que nadie
podría expulsarnos del paraíso que Cantor
había creado para nosotros y que su
aritmética transfinita era “el producto más
impresionante del pensamiento matemático,
una de las más bellas realizaciones de la
actividad humana en el dominio de lo
puramente inteligible”. En una breve historia
del infinito encontré hace unos años un par de
líneas con las que me quedé clavado y
caviloso durante unos días: “¿Por qué el
infinito evoca la muerte? Porque no tolera la
ficción de sí mismo”. Resulta inquietante esta
combinación de infinito, muerte y ficción.
Podríamos añadir a esta insustituible y
extraña lista de conceptos, el cero, el vacío, la
nada, Dios como padre o madre. Se cuenta
que en el siglo XII dos docenas de pensadores
se reunieron para hablar de Dios y ofrecer
cada uno por separado una fórmula sobre el
Ser Supremo. Veamos seis de aquellas
respuestas, agrupadas en el Libro de los
veinticuatro filósofos.
No constan sus autores. Para uno de ellos
“Dios es la tiniebla que permanece en el alma
después de toda luz”, otro destaca que “Dios
es el único que tiene presente todo cuanto
pertenece al tiempo”. Dos de ellas se
decantan por la paradoja lógica, así “Dios es
principio sin principio, proceso sin mudanza,
fin sin fin” o bien “Dios está todo él en
cualquier parte de sí”. Consignemos por
último, dos visiones vertiginosas de Dios
como estructura geométrica: “Dios es una
esfera que tiene tantas circunferencias como
puntos” y, la más celebrada de tales
definiciones metafóricas, “Dios es una esfera
infinita cuyo centro se halla en todas partes y
su circunferencia en ninguna”.
Comprenderán ustedes que haya que hacer
altos en el camino de esta lectura y que no se
pueda bajar en tobogán por estas letras si se
quiere conseguir una interpretación adecuada.
Cifra es palabra de origen árabe y antes de
hacerse sinónimo de dígito significaba cero o
vacío. La importancia del cero es asombrosa
para el poder simbólico que exhibe nuestro
sistema de números (curiosamente se postula
la referencia del cero absoluto como la
temperatura a la cual la presión de un gas
ideal es nula). Y, aunque menos conocido, es
asimismo importante el conjunto vacío en el
mundo del álgebra. El vacío tiene un sentido
peyorativo como vano, nulo, malogrado, pero
también puede suponer un hueco prometedor
que llenar.
Se habla de “hacer el vacío a alguien”,
“volver de vacío” o “caer en el vacío”, pero
cuando decimos “lograr el vacío” se entiende
el éxito de una técnica que permite, por
ejemplo, fabricar lámparas eléctricas o
envasar alimentos al vacío, y que se usa en
medicina para succionar drenajes, en las
jeringas o en las bombas para sacar agua. Por
otra parte, la nada indica inexistencia y
etimológicamente viene de nacer. Res nata
era cosa alguna nacida. Este pronombre juega
a veces un papel de adverbio: “No me hace
nada de gracia”; “No llueve nada”. Podemos
decir: “Ahí es nada”; “De nada”; “Nada que
ver”; “Nada me importa”; “No hace nada que
lo vi”.
Sucede con la nada algo curioso, ha
evolucionado con aparente falta de lógica, así
cuando decimos “no sabe nada” hay doble
negación, al decir “nada vi” el pronombre
pasa a tener valor negativo en sí mismo; en
catalán esta expresión se enuncia como res no
vaig veure (“no vi cosa alguna”, “nada no
vi”) Los procesos naturales en el universo
ocurren espontáneamente en una dirección.
La termodinámica estudia sistema físicos a
través de magnitudes macroscópicas, esto es,
que se pueden aplicar a todo el sistema
considerado como un todo, un sistema
homogéneo, tales como, entre otras, el
trabajo, el volumen, la masa, la densidad, la
temperatura, el calor. El renombrado segundo
principio se refiere a procesos imposibles,
una máquina no puede transformar en trabajo
todo el calor que se le entrega, no puede
existir una máquina cíclica que extraiga
continuamente calor de una única fuente y la
convierta íntegramente en trabajo mecánico
(omitamos entrar aquí en entropías y procesos
reversibles). En física se llama cuerpo negro
al que absorbe todas las frecuencias y no
refleja ninguna.
Desde 1945 se emplea el término black box
(caja negra) que, en sentido general, es algo
que tiene mecanismos o funciones internas
misteriosas o desconocidas, suele ser un
complicado y receptivo e intocable ingenio
electrónico, al que se recurre como testigo en
caso de accidente. No sólo trenes y aviones
tienen su caja negra para abrir en las
desgracias, el terreno de la ciencia está
plagado de ellas. En la mecánica clásica de
Newton no se planteaba la velocidad de la
gravedad, ésta era instantánea; su velocidad,
infinita. En 1916, Einstein postuló en su
teoría general de la relatividad que la
gravedad se desplaza a la misma velocidad
que la luz, es decir, 300.000 kilómetros por
segundo en el vacío. Ahora se ha calculado la
velocidad de las ondas gravitatorias
aprovechando una rectitud entre la Tierra,
Júpiter y un quasar (una protogalaxia, núcleos
de galaxia activos en la formación del
universo, los más alejados de nuestro
planeta). En esas mediciones se ha empleado
una red de radiotelescopios puestos en varios
continentes y se ha encontrado un grado de
desviación prácticamente nulo con respecto a
los fotones de la luz u ondas
electromagnéticas. También ahora sabemos
que ratones y hombres tienen el mismo
número de genes, prácticamente iguales pero,
no obstante, algunos de ellos pueden no
funcionar igual en ambas especies. Dice
Javier Marías en Tu rostro mañana que “todo
está ahí a la vista, en realidad todo es visible
desde muy pronto en las relaciones como en
los relatos honrados, basta con atreverse a
mirarlo, un solo instante encierra el germen
de muchos años venideros y casi de nuestra
historia entera”, “pero nadie quiere ver nada y
así nadie ve casi nunca lo que está delante”.
Quizá eso le sucedió a Pandora, la primera
mujer del género humano en la mitología
griega. Cuando casó la llena de dones con un
hermano de Prometeo (el titán que quiso
asaltar el cielo), cada uno de los dioses le
regaló un don para granjearse el favor de los
hombres y labrar su desgracia. Aquellos
presentes quedaron empaquetados en una
caja, que nunca debía abrir (un regalo en
potencia). Por descuido o por curiosidad,
Pandora abrió su caja y los males que
contenía se desataron y esparcieron por la
Tierra. En el fondo no quedó sino la
esperanza.