hoja 3

ESTADÍSTICA
Grado en Ingenierı́a Quı́mica
Curso 2014/2015
Relación 3 de problemas
la normal
1. Halla el área que queda bajo la curva normal en los siguientes casos: a) A la derecha de 1.25. b)
A la izquierda de −0.40. c) Entre −1.35 y 1.35. d) Fuera del intervalo de −1.5 a 1.5.
2. El cociente de inteligencia IQ es una variable X que se distribuye según una N (100, 15).
a) Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga un IQ superior a 120.
b) Suponiendo que un individuo con carrera universitaria debe tener un IQ superior a 110, halla
la probabilidad de que un licenciado tenga un IQ superior a 120.
3. Un botánico ha observado que la anchura X de las hojas del álamo sigue una distribución
N (μ, σ) con μ = 6 cm, y que el 90 % de las hojas tiene una anchura inferior a 7.5 cm. Halla σ y la
probabilidad de que una hoja mida más de 8 cm.
4. Una compañı́a de petróleo tiene un contrato para vender grasa en envases de 500 gramos. La
cantidad de grasa que la máquina de llenado pone en los envases sigue una distribución normal
con la media que el encargado elija y σ = 25. ¿Qué valor medio deberá elegir el encargado si la
compañı́a no desea que le rechacen más del 2 % de los envases por tener un peso por debajo de lo
especificado?
varias normales
5. (a) La permeabilidad intrı́nseca del hormigón producido en una fábrica quı́mica sigue una distribución N(μ = 40; σ = 5). Se reciben 60 remesas de hormigón. ¿Cuál es la probabilidad de que
alguna remesa tenga una permeabilidad intrı́nseca inferior a 30?
(b) El 30 % de las remesas de hormigón enviadas a un almacén tiene una permeabilidad que
sigue una distribución N(μ = 40; σ = 5). El 70 % de las remesas restantes tiene una permeabilidad
que sigue una distribución N(μ = 45; σ = 5). ¿Cuál es el porcentaje total de remesas que tienen
una permeabilidad inferior a 35?
6. Un fabricante produce varillas y recipientes para insertar las varillas. Ambos tienen secciones
circulares. Los diámetros de las varillas siguen una distribución N(μ = 1; σ = 0,2); los diámetros de
los recipientes siguen una distribución N (μ = 1,05; σ = 0,15). Un ingeniero selecciona al azar una
varilla y un recipiente. ¿Cuál es la probabilidad de que la varilla pueda insertarse en el recipiente?
7. En un dı́a con alto ı́ndice de contaminación la concentración (en μg/m3 ) de NO2 en un punto
al azar de la ciudad de Madrid sigue una distribución normal de media μ = 69 y desviación tı́pica
σ = 6.
(a) Calcula la probabilidad de que en una estación de medición de la Red de Vigilancia de la
Calidad del Aire del Ayuntamiento se mida una concentración de NO2 superior a 63,96 μg/m3 .
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en las medidas tomadas independientemente
en dos estaciones sea superior a 4 μg/m3 ?
(c) Se toman diez mediciones independientes en diversas estaciones. ¿Cuál es la probabilidad
de que exactamente 5 de ellas sean mayores que 63,96 μg/m3 ?
8. El nivel de tensión sanguı́nea diastólica (en mmHg) en una población es una variable con distribución normal de media μ = 87 y desviación tı́pica σ = 7,5. Un individuo se clasifica como
pre-hipertenso cuando su tensión está entre 80 y 89 mmHg.
(a) Calcula la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar en esta población sea prehipertenso.
(b) Calcula el valor aproximado del tercer cuartil de la población, es decir, el valor Q3 tal que la
tensión sanguı́nea del 25 % de los individuos de la población es mayor que Q3 .
(c) Si se seleccionan aleatoriamente cuatro individuos de la población y se promedian sus cuatro
presiones sanguı́neas diastólicas, calcula la probabilidad de que el promedio sea inferior a 86.
9. La cantidad de kcal en el menú diario de una residencia de mayores es una variable aleatoria con
distribución normal de media 2700 y desviación tı́pica 272, mientras que la cantidad de carbohidratos (en g/1000 kcal) es una variable aleatoria con distribución normal de media 122 y desviación
tı́pica 8.
(a) Si se considera adecuado consumir 2400 kcal diarias, ¿cuál es la probabilidad de que se supere
esta cantidad en el menú?
(b) Si el valor recomendado para la cantidad de carbohidratos es 125 g/1000 kcal, ¿cuál es la
probabilidad de que la cantidad de carbohidratos en el menú no difiera del valor recomendado
en más de 10 g/1000 kcal?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de la cantidad de kcal en los 7 menús de una
semana sea mayor que 2800 kcal?
aproximación normal
10. Si se lanza un dado 100 veces, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que la suma de los puntos
obtenidos sea mayor que 375?
11. El 42 % de los individuos de una población tiene sangre del grupo A. Si se seleccionan 25
individuos de la población, calcula la probabilidad de que la proporción muestral con sangre de
grupo A sea mayor que 0.44.
12. Para estudiar la viabilidad económica de una mina de carbón, consideramos la variable aleatoria
X=“Número de kg de carbón obtenidos por tonelada de mineral”. Supongamos que, en cierta mina,
X sigue una N(μ = 150; σ = 25).
(a) Calcula la probabilidad de que en una tonelada de mineral el contenido de carbón sea
superior a 130 kg.
(b) Calcula la probabilidad de que en 2 toneladas de mineral extraı́das independientemente la
diferencia en el contenido de carbón sea inferior a 30 kg.
(c) Extraemos independientemente 100 toneladas de mineral. Calcula la probabilidad de que en
más de 80 de ellas el contenido de carbón sea superior a 130 kg.
13. Una compañı́a de seguros tiene 10 000 asegurados. Ha estimado que el pago anual X a cada
uno de ellos es una variable aleatoria con valores 0, 1 y 100 (euros) y probabilidades 70 %, 25 %
y 5 %, respectivamente. ¿Cuál es el montante de pago que espera hacer al cabo del año? Calcula
(aproximadamente) la probabilidad de que ese pago total no supere los 80 000 euros.