hoja 2

ESTADÍSTICA
Grado en Ingenierı́a Quı́mica
Curso 2014/2015
Relación 2 de problemas
probabilidad
1. Se lanza un dado (“equilibrado”) 10 veces. Calcular la probabilidad de que
a) salga al menos un 6;
b) nunca aparezca ni el 2 ni el 3;
c) salga exactamente un 6.
2. El temario de una oposición consta de 71 temas. En el examen se eligen dos temas al azar
y el opositor tiene que desarrollar uno a su elección.
a) Si el opositor se sabe 30 temas, ¿cuál es la probabilidad de aprobar?
b) ¿Cuántos temas hay que preparar para que la probabilidad de aprobar sea del 90 %?
3. Sabemos de que entre los vacunados contra la gripe, un 10 % enferma; y de entre los no
vacunados, enferma un 30 %. Este año se ha vacunado el 40 % de la población.
a) Calcula la proporción de enfermos que esperamos tener.
b) ¿Con qué tasa de vacunación enfermarı́a un 15 % de la población?
4. Se ha hecho un estudio de 100 000 coches utilitarios de tres marcas A, B y C durante un
año, resultando los siguientes datos:
Tuvieron un accidente
No tuvieron un accidente
A
B
C
650
200
150
49350 19800 29850
(a) ¿Cuál de las tres marcas ha resultado ser más segura?
(b) Calcular la probabilidad de que si un coche ha sufrido un accidente sea de la marca A.
5. Tenemos una prueba de diagnóstico para un cierto tipo de cáncer. La prueba da positivo
con probabilidad 96 % si el paciente tiene cáncer; y da positivo con probabilidad 5 % si el
paciente no tiene cáncer. Solo un 0.5 % de la población tiene dicho tipo de cáncer.
Se elige un individuo al azar en la población. Calcular:
(a) La probabilidad de que el individuo dé positivo y tenga cáncer.
(b) La probabilidad de que el individuo dé positivo y no tenga cáncer.
(c) Si sabemos que el individuo ha dado resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de
que tenga realmente cáncer?
modelos y variables discretas
6. Suponiendo que la probabilidad de que un niño que nace sea varón es 51 %, hallar la
probabilidad de que una familia de 6 hijos tenga
a) por lo menos una niña,
b) por lo menos un niño,
c) por lo menos dos niños y una niña.
7. Una compañı́a de seguros con 10000 asegurados halla que el 0,005 % de la población fallece
cada año de un cierto tipo de accidente.
a) Hallar la probabilidad de que la compañı́a tenga que pagar a más de tres asegurados,
por dicho accidente, en un año determinado.
b) ¿Cuál es el número medio de accidentes por año?
8. La probabilidad de que una pieza tenga un fallo durante el primer año de funcionamiento
es 0,001. Halla la probabilidad de que, entre 2000 piezas, presenten un fallo (a) exactamente
tres, (b) más de 2.
9. Un emisor envı́a señales una vez cada hora, y en media, es capaz de enviar señales durante
5 horas.
a) Calcula la probabilidad de que siga emitiendo tras 8 horas.
b) Un sistema consta de 10 emisores. El sistema se considera operativo si al menos cuatro
de los emisores están funcionando. Calcula la probabilidad de que el sistema siga operativo
tras 8 horas.
10. El número de bacterias por cm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria X con
distribución de Poisson de parámetro λ = 0,5.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un cm3 de agua del estanque no haya ninguna
bacteria?
(b) En 40 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 cm3 de agua en
cada tubo). ¿Qué distribución sigue la variable Y que representa el número de tubos de
ensayo, entre los 40, que no contienen bacterias? Calcula P(Y ≥ 20).
(c) Si sabemos que en un tubo hay bacterias, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos
de tres?
modelos y variables continuas
11. Tras un estudio estadı́stico, una compañı́a de transportes urbanos sabe que el tiempo
en minutos que invierte cada uno de sus vehı́culos en efectuar un recorrido completo es una
variable aleatoria con función de densidad:
f (x) =
120
,
x2
si 40 ≤ x ≤ 60.
(a) Por término medio, ¿cuánto tardan los vehı́culos en completar el recorrido?
(b) Calcula la probabilidad de que un vehı́culo invierta más de 55 minutos en hacer el
recorrido.
(c) El 50 % de los recorridos duran menos que T y el 50 % restante duran más. Determina
razonadamente si T es menor, mayor o igual a 50 minutos (no es necesario calcular T ).
12. El tiempo de vida activa de un plaguicida (en dı́as) es una variable aleatoria X con
función de densidad
1 −x/500
e
, si x ≥ 0
500
f (x) =
0,
si x < 0
(a) Calcula el valor m tal que la probabilidad de que X sea menor o igual que m es 0.5.
Interpreta el resultado obtenido.
(b) Si al cabo de 800 dı́as el plaguicida ya no estaba activo, ¿cuál es la probabilidad de
que tras 600 dı́as todavı́a lo estuviera?
13. El tiempo (medido en horas) hasta la evaporación completa de un cierto compuesto viene
dado por
1 − x/2 si 0 ≤ x ≤ 2
f (x) =
0
en otro caso
a) Calcula el tiempo medio de evaporación.
b) Calcula la probabilidad de que la evaporación se complete antes de 1 hora.
14. Una fábrica produce una pieza en dos calidades diferentes: el 60 % de la producción es
de calidad A. La duración (en años) de una pieza de esta calidad viene dada por la función
de densidad
−x
e
si x > 0
fA (x) =
0
en el resto.
El 40 % restante es de calidad B. La duración viene dada, en este caso, por la función de
densidad
−2x
si x > 0
2e
fB (x) =
0
en el resto.
(a) Calcula la probabilidad de que una pieza de calidad A dure más de 1 año.
(b) Si tomamos una pieza al azar de toda la producción, ¿cuál es la probabilidad de que
dure más de 1 año?
15. El tiempo (en minutos) que tarda un isótopo radiactivo de Bismuto-214 en decaer a
Polonio-214 sigue una distribución exponencial con función de densidad
f (x) =
1 −x/20
e
, si x > 0,
20
y f (x) = 0, si x ≤ 0.
(a) Calcula la probabilidad de que un isótopo tarde en decaer más de 20 minutos.
(b) Calcula la probabilidad aproximada de que, en una muestra de 100 isótopos, al
menos 40 de ellos tarden en decaer más de 20 minutos.