Unidad 8 La diferencial

Unidad 8
La diferencial
Objetivos
Al terminar la unidad, el alumno:
Comprenderá el concepto de diferencial de una función.
Aplicará la diferencial de funciones compuestas.
Encontrará la diferencial de funciones implícitas.
Encontrará la diferencial aplicando logaritmos.
Utilizará las diferenciales en el cálculo de elasticidades.
2
Matemáticas
Introducción
U
na vez que se ha trabajado con elementos diversos del cálculo y sus
aplicaciones, es pertinente hacer hincapié en la noción de diferencial,
ya que de manera implícita se trabajó con ellas, pero no se estableció la
diferencia entre ésta y una derivada.
La importancia de la diferencial se encuentra en la noción misma de derivada
dentro del cálculo, porque además de denotar cambios pequeños, lo hace a
través de incrementos ocurridos en diversas variables que tienen un sinnúmero
de aplicaciones prácticas.
incremento, el cual es aplicado en la vida diaria para determinar algunos resultados
que se desean. Es pertinente mencionar que la aplicación de las diferenciales tiene
diversos métodos para generar resultados, como la diferenciación implícita, la
diferenciación compuesta y la diferenciación logarítmica, entre otros, las cuales
La aplicación que tiene la diferenciación logarítmica está directamente
vinculada con un elemento que se trabajó en otra unidad, este elemento es la
elasticidad, sólo que ahora será vista con otro enfoque.
8.1. Incremento de una función
Cuando se trabaja con diferenciales es necesario hacer referencia al
denominado análisis de estática comparativa, el cual sugiere que se debe efectuar
una comparación entre los distintos valores que toman las variables dependiente
e independiente, con objeto de observar y medir sus cambios.
Un análisis estático comparativo puede ser de carácter cualitativo o cuantitativo.
Por ejemplo, si únicamente interesa conocer si el consumo aumentará o disminuirá
al incrementar el ingreso disponible de los consumidores, el análisis serácualitativo
porque sólo se considera cómo habrá de cambiar el consumo si se mueve el
ingreso, esto es, la dirección en la que se mueve el consumo (aumenta o disminuye)
al moverse el ingreso.
Si se hace referencia a la magnitud del cambio en el consumo dado un
cambio en el ingreso disponible, el análisis será cuantitativo. Al obtener
un resultado cuantitativo, automáticamente se determina la dirección del
cambio, que depende del signo algebraico del resultado, por lo cual el análisis
cuantitativo siempre incluye al cualitativo.
309
Unidad
8
comparativa, ya que el cálculo diferencial tiene una relación directa con la
noción de tasa de cambio.
Al considerar la función y = f (x) se plantea cómo se verá afectada la variable
y al estar en función de la variable x
el comportamiento de la función.
Como ya se mencionó, la noción de cambio ocupa un lugar relevante,
requiriéndose un símbolo especial para representarlo. Cuando la variable x cambia
de x0 a un valor nuevo x1, el cambio se mide por la diferencia x1–x0, denotando el
cambio como ; así, el cambio o incremento de una variable es:
x = x1–x0
Para representar el valor de la función f(x) al considerar los distintos valores
de x, se emplea la notación f(xi
f(x) cuando x = xi,
es decir, el subíndice i muestra que la variable x puede tomar distintos valores
dentro de un intervalo; por ejemplo, si i = 0,1,2,...,9 se observa que existen 10
valores diferentes para la variable x.
Por ejemplo, si se tiene la función f(xi) = 8 + xi 3, con xi = i para i = 0,1,2,...,
n los valores de la función serán f(x0) = 8 + (x0)3 = 8 + 0 = 8, f(x1) = 8+(x1)3
= 8 + 1 = 9, etcétera.
Cuando x cambia de un valor inicial x0 a uno nuevo x1 = (x0 + x), el valor
que toma la función y = f(x) cambia de f(x0) a f(x0+ x).
El cambio que se da en la variable y si la variable x cambia es:
y
f ( x0
x)
f ( x0 )
y = f (x1) – f (x0)
310
Figura 8.1. Incrementos.
2
Matemáticas
Si suponemos que la función y = f(x) muestra que la oferta está en función
del precio, donde y es la oferta de un artículo y x es el precio, y se quiere conocer
qué pasa con la oferta al incrementarse el precio, consideremos que el punto
x0 denota el precio inicial o de equilibrio y y0 = f(x0) indica la oferta inicial. Al
incrementarse el precio se estará en x1, con un nuevo nivel de oferta y1 = f(x1).
x = x1 – x0, mientras que el cambio
El incremento en el precio se mide por
en la oferta se determina por y = f(x1) – f(x0). Como puedes observar, existe una
relación directa entre las variables, y puede esperarse que al aumentar el precio
de un artículo, la oferta aumentará debido a que ese incremento incentiva al
productor a colocar una mayor cantidad de producto en el mercado.
Ejemplo 1
Una empresa quiere determinar en qué magnitud deberá aumentar su nivel
de gastos si se incrementa la producción como resultado de un incremento de
la demanda de sus artículos en el mercado. Para ello la empresa determina la
siguiente función:
G(x) = 2x2 – 1 200
Donde se indica que los gastos G(x) están en función de la producción x.
La producción inicial es x0 = 25.
si la producción aumenta a x1 = 30.
b) Calculemos la razón de los incrementos que debe darse en los gastos al
incrementarse la producción en una unidad.
Solución: a) La producción inicial es x0 = 25, por l o que los gastos
iniciales son:
G(x0) = 2x02 – 1 200 = 2(25) 2 – 1 200 = 2(625) – 1 200 = 1 250 – 1 200 = 50
Esto muestra que al tener un nivel de producci ón de 25, los gastos
ascienden a 50.
Como la producción a la que se piensa llegar por las necesidades existentes
en el mercado es x1 = 30, el nivel de gastos es:
G(x1) = 2x12 – 1 200 = 2(30) 2 – 1 200 = 2(900) – 1 200 = 1 800 – 1 200 = 600
311
Unidad
8
De ello se desprende que con un nivel de producción de 30, se incurre en un
x = 30 –25 = 5
Figura 8.2. Incremento en el nivel de gastos.
el incremento de los gastos es de 550, y se concluye que ante un incremento de 5
artículos en la producción, los gastos se incrementan 550 unidades.
b) De los datos:
x0 = 25; G(x0) = 50
x1 = 30; G(x1) = 600
x = x1 – x0 = 30 – 25 = 5
Por lo tanto:
G = G(x1) – G(x0) = 600 – 50 = 550
Si se emplea la fórmula
312
Se tiene: =
G
x
G
x
G( x0
x) G( x0 )
x
G( 25 5) G(25) 600 50 550
=
=
= 110
5
5
5
Con el resultado se observa que al incrementarse en 5 unidades la producción,
los gastos se incrementan en 550 unidades, por lo cual se deduce que al
incrementarse la producción en una unidad, los gastos aumentan 110 unidades.
2
Matemáticas
Ejemplo 2
Una agencia de publicidad desea conocer en qué magnitud se incrementa el
planes estratégicos que lleven a que los consumidores gasten mayor parte de
su ingreso en ciertos artículos. Para efectuar el estudio, la agencia cuenta con
la siguiente función de consumo:
C = 10 + 0.8(Yd)
Donde C es el consumo y Yd es el ingreso disponible de los consumidores.
se tiene un nivel de ingreso de 100 y se espera que se incremente el
ingreso a 120.
b) Calculemos la razón de los incrementos que tendrá el consumo al
aumentar el ingreso.
Solución: a) Los datos muestran que inicialmente se tiene un ingreso
Yd0 = 100 con un consumo C0 = 10 + 0.8(Yd0) = 10 + 0.8(100) = 10 + 80 = 90.
Yd1 = 120, con lo que el consumo que se espera es:
C1 = 10 + 0.8(120) = 10 + 96 = 106.
Esto es:
Yd0 = 100
Yd1 = 120
C0 = 90
C1 = 106
C
= C(yd1) – C(yd0)
= 106 – 90 = 16
yd
yd = 120 – 100 = 20
Figura 8.3. Incremento en el consumo.
313
Unidad
8
En la gráfica puede apreciarse que al incrementarse el ingreso en 20
unidades, el consumo aumentará 16 unidades, es decir, que si el ingreso de
los consumidores se incrementa en $20, por ejemplo, el consumo aumentará
en $16 o, lo que es lo mismo, de esos $20 que se incrementa el ingreso, los
consumidores destinarán $16 a consumir.
b) Para realizar el cálculo empleamos los datos:
Yd0 = 100
Yd1 = 120
C0 = 90
C1 = 106
C = C1 – C0 = 106 – 90 = 16
Yd = Yd1 – Yd0 = 120 – 100 = 20
C 16
=
= 0.8
Yd 20
El resul tado indica una relaci ón directa (por el si gno) en l a cual al
incrementarse el ingreso en una unidad, el consumo aumentará en 0.8 unidades,
esto es, la agencia puede esperar que por cada peso que se incremente el ingreso
de los consumidores, destinen 80 centavos a consumir, por lo que es posible
establecer una estrategia de mercado encaminada a atraer ese dinero al consumo
de los artículos que interesan a la agencia.
Ejercicio 1
1. Con la función y = f(t) = t2 – 6t + 9 con t0 = 10 calcula la razón de los
incrementos que tendrá y al aumentar t en 3 unidades.
314
2. Partiendo de la función y = f(x) = 4x3 – 9x2 + 6x + 2 con x0 = 5, calcula la
razón de los incrementos que tendrá y al aumentar x en 2 unidades.
3. Siendo C(x) el costo total de la fabricación de x juguetes en dólares,
con una producción inicial de 50 unidades, y teniendo la siguiente función:
C(x) = 110 + 4x + 0.02x2, calcula la razón de los incrementos que tendrá el
costo al aumentar la producción de juguetes x en 20 unidades.
2
Matemáticas
4. Si I(x) es el ingreso total de una compañía por la venta de x mesas,
1
con una venta inicial de 100 mesas, e I(x) = 300x – x2 , calcula la razón
2
de los incrementos que tendrá el ingreso al aumentar la venta de mesas x
en 50 unidades.
5. Los gastos de una persona son f(t) miles de pesos t días después de adquirir
un negocio, donde G = f(t) = 98.6 + 1.2t – 0.12t2 con 0 t 10. Calcula la razón
de los incrementos que tendrán los gastos al transcurrir 3 días.
6. Se estimó que un trabajador en una tienda donde se fabrican marcos para
pinturas, puede pintar y marcos en x horas después de comenzar a trabajar. Con
x0 = 5, se tiene y = 3x + 8x2 – x3. Calcula la razón de los incrementos que tendrá
la cantidad de marcos pintados al transcurrir 4 horas.
8.2. Diferencial de una función
Como recordarás, para representar la derivada de y con respecto de x, se
dy
, pero esta expresión no debe
emplea la notación de Leibniz teniéndose
dx
considerarse como una relación, sino como un sinónimo de f (x), es decir, como
y
cuando x tiende a cero. Las cantidades
un símbolo para denotar el límite de
x
dy y dx se denominan operadoresde diferenciación, porque indican la operación
de diferenciación que es el proceso de calcular una derivada.
Si se tiene f(x), la función f es diferenciable en x si es posible obtener la
derivada de la función f (x).
Si f (x) es la derivada de y = f(x) para x, y x es una variación o incremento
de x asignado arbitrariamente, denominado también como la diferencial de la
variable independiente dx, esto es, dx = x; entonces, la diferencial de y, es decir,
la diferencial de la variable dependiente y, denotada por el símbolo df(x) o bien
por dy
dy = f (x) dx =
dy
dx
x
315
Unidad
8
I nterpretación geométrica de la diferencial
Si observamos en la figura 8.4, vemos que el punto P (x, f (x)) está
sobre la curva y = f (x), y que PR es la tangente en P, por lo que f (x)
representa la pendiente de PR. Suponiendo que x cambia en x, tenemos
un nuevo valor x + x, el valor de la función es f(x+ x) y el punto sobre
la curva es Q (x+ x, f (x+ x)). Si la pendiente es la razón de la elevación
entre el recorrido, tenemos entonces de x a x + x un recorrido PS, donde
PS = x = dx, en este caso la tangente PR tiene una el evaci ón TS, de
tal manera que:
Pendiente de la línea tangente PR =
Si
TS
PS
f '( x) , entonces TS
dy
elevación
recorrido
f '( x) PS
TS
PS
f '( x)
f '( x) dx dy de donde
f '( x) dx
es claro observar que si bien dx = x, la diferencial dy no es lo mismo
que el incremento en y; x y y son los incrementos de x y y
de la función, mientras que dx y dy son los incrementos a lo largo de la
recta tangente. Por consiguiente, cuando dx está cercano a cero dy es una
aproximación a y, y dy.
Figura 8.4
316
Ejemplo 3
Dada y = 3x2 – 2x, encontremos dy para:
a) Cualesquiera x y dx.
b) x = 2 y dx = 0.5
c) x = 2 y dx = 0.05
2
Matemáticas
Solución: a) Como y = 3x2 – 2x , sea f(x) = 3x2 – 2x
f (x) = 2(3x) – 2 = 6x – 2
y como:
dy = f (x) dx
dy = (6x – 2) dx
b) y = 3x2– 2x con x = 2 y dx = 0.5, sustituimos en la fórmula para obtener
la diferencial de y:
dy = (6x – 2) dx
= (6(2) – 2)(0.5) = (12 – 2)(0.5) = (10)(0.5) = 5
dy = 5
La diferencial de y es de 5, e indica que el cambio de la variable dependiente
es de 5 unidades cuando la variable independiente cambia en 0.5 unidades.
c) Como y = 3x2 – 2x con x = 2 y dx = 0.05, para obtener la diferencial
de y se emplea:
dy = (6x – 2) dx
= (6(2) – 2)(0.05) = (12 – 2)(0.05) = (10)(0.05) = 0.5
dy = 0.5
La diferencial de y es de 0.5, lo cual indica que el cambio de la variable
dependiente es de 0.5 unidades cuando la variable independiente tiene un
cambio de 0.05 unidades.
Ejemplo 4
Dada y 4 x
x con x = 2 y dx = 0.03, calculemos dy.
Solución: como y 4 x
f (x) =
4
x
2
x, sea f(x) = 4x1/2 – x
1/ 2
1
dy = f (x) dx = ( 2x
1/ 2
1) dx
2
1 dx
x
Sustituimos los datos del problema:
dy
2
x
dy = 0.01
1 dx
2
2
1 (0.03) (1.4142 1)0.03 0.01
317
Unidad
8
La diferencial de y es 0.01, por lo cual se indica que el cambio en la
variable dependiente es de 0.01 unidades cuando la variable independiente
cambia en 0.03 unidades.
Ejercicio 2
1. Dada y = 4x2 – 3x + 1, encuentra dy para:
a) Cualesquiera x y dx
b) x = 2 y dx = 0.1
c) x = 2 y dx = 0.01
2. Siendo y = x2 – 3x con x = 2 y dx = 0.02, calcula dy.
3. Partiendo de la función y = x2 +1, donde x = 1 y dx = 0.5, calcula dy.
4. Se tiene la función y ( x 3)( x2 6), donde x = 1 y dx = 0.1, calcula dy.
5. Con la función y
x2 4 x 1
, donde x = 5 y dx = 0.5, calcula dy.
x 6
6. Partiendo de la función y
x3 16
, donde x = 2 y dx = 0.1, calcula dy.
x2
8.3. Diferencial de funciones compuestas
Recordemos qué se entiende por composición de funciones: aquella operación
matemática consistente en construir una función a partir de dos funciones,
donde estas funciones guardan una relación cercana por las variables que
las conforman.
8.3.1. Funciones compuestas
318
En general, dadas dos funciones cualesquiera, f y g, se inicia con un número
x en el dominio de g y se calcula su imagen g(x). Si el número g(x) se encuentra
en el dominio de f, se puede calcular el valor f(g(x)). El resultado es una
función, h(x) = f(g(x)), que se obtiene al sustituir g en f. Esto nos lleva a:
Dadas dos funciones, f y g, la función compuesta f
composición de f y g
(f g)(x) = f(g(x))
o
g (también llamada
2
Matemáticas
Ejemplo 5
Supongamos que una empresa recibe una cierta cantidad de materia prima
(input) para producir una artículo (output). Para obtener el producto terminado
es necesario que la materia prima pase por un proceso en una máquina A
y posteriormente se lleve a un segundo proceso en la máquina B y de esa
manera obtener un producto terminado. Si a la empresa le interesa obtener
una manera para representar lo anterior, ¿cuál es el diagrama de la función
compuesta y su dominio?
Solución: aquí puede suponerse la función f(g(x)) donde:
u = g(x) = Proceso en la máquina A que está en función de la materia
prima x.
y = f(u) = Obtención del producto terminado que está en función del proceso
en la máquina B donde se emplea el producto del proceso de
la máquina A.
f(g(x)) = y = f(u)
El diagrama del proceso es:
x
Entrada
(input)
g (proceso en
la máquina
A)
g(x)
Producto
intermedio
f (proceso en
la máquina
B)
f(g(x))
Salida
(output)
Diagrama 1. Flujo input-output para la producción de una empresa.
Como puede apreciarse, el dominio de la función g está dado por las materias
primas a utilizar, la función g indica que las materias primas x deben pasar
por un proceso en la máquina A, de donde se obtendrá un producto sin acabar
g(x). La función f muestra que se emplea el producto
intermedio para darle un acabado en la máquina B, por lo que el dominio de f lo
conforman esos productos intermedios.
En resumen el dominio de la composición son las materias primas y el
contradominio el producto terminado.
319
Ejemplo 6
Determinemos la función compuesta de f
f(x) = x2 y g(x) = x – 3.
o
gy
Unidad
8
Solución: se tiene:
f(x) = x2
g(x) = x – 3
o
(f g)(x) = f(g(x))
Por lo que:
(f
o
g)(x) = f(g(x)) = f(x – 3) = (x – 3)2
Esto indica que como f(x) es una función de g(x), primero hay que sustituir
g(x) por x – 3 y se tiene f(x – 3), pero como f(x) = x2, entonces hay que elevar al
cuadrado la función g, teniéndose f(x – 3) = (x – 3)2.
(f
o
g)(x) = f(g(x)) = (x – 3)2
f o g = (x – 3)
f
g
x
2
g(x) = x – 3
f (g(x)) = (x – 3)
2
Diagrama 2. Dominios de la función compuesta.
El dominio de f o g está dado por todo el conjunto de los números reales, ya
que al existir el cuadrado, no importa el signo de la diferencia.
8.3.2. Diferenciación de funciones compuestas
Para calcular la diferencial de una función compuesta es necesario aplicar la
regla de la cadena, que como recordarás es uno de los teoremas más importantes
en cálculo. Esto es, se tiene una función y = f(u), donde u es a su vez función
de otra variable x, es decir, u = g(x). Entonces la diferencial de y es igual a la
derivada de y con respecto de u multiplicada por la derivada de u con respecto de
x y el producto de esas derivadas se multiplica por la diferencial de x.
320
dy
dy
du
du
dx
dx
f '(u) g '( x)dx
Sobre la base de la función u = g(x) se puede expresar la función y = f(u)
como y = f(g(x)), que es una función compuesta, es decir, es una función
de otra función.
2
Matemáticas
Sean u = g(x) y y = f(u) dos funciones cualesquiera, tales que existen sus derivadas
du dy
,
y si y = f g
y (x)= f g(x) = f (g(x)),
dx du
entonces la diferencial dy existe y está dada por el producto
dy =
dy du
dx
du dx
Ejemplo 7
Sean y = f(u) = u2 + 5u + 5 y u = g(x) = x + 1. Obtén la función compuesta y
diferencia la función compuesta empleando la regla de la cadena.
Solución: a) Con las funciones:
y = f(u) = u2 + 5u + 5
u = g(x) = x + 1
La función compuesta es:
y = f(g(x)) = (x + 1)2 + 5(x + 1) + 5
= (x2 + 2 x + 1) + 5 x + 5 + 5
= x2 + 7x + 11
(f o g)(x) = f(g(x)) = x2 + 7x + 11
Para diferenciar las funciones empleamos (f ° g) (x) dx = dy =
dy du
dx
du dx
Como y = f(u) = u2 + 5u + 5, derivamos:
dy
= (2u + 5)
du
u = g(x) = x + 1
du
=1
dx
Por lo tanto, la diferencial de la función compuesta es:
dy =
dy du
dx = (2u + 5)(1)dx = (2u + 5)dx
du dx
Sustituyendo u = x + 1:
dy = (2(x + 1) + 5)dx = (2x + 7)dx
Así, el cambio que tenga y es dy = (2x + 7)dx
321
Unidad
8
Ejemplo 8
Si y = (x2 + 1)2/3 es una función compuesta, determinemos dy.
Solución: en primer lugar, se definen las funci ones. Sea u = x2 + 1;
entonces y = (u)2/3
Derivando las funciones:
dy
du
2
u
3
1/ 3
como u = x2 + 1
du
= 2x
dx
Por lo tanto, la diferencial de la función compuesta es:
2 1/ 3
dy du
u
( 2x)dx
dx
dy =
3
du dx
Sustituyendo u = x2 + 1
dy
2 2
(x
3
1)
1/ 3
(2x)dx
4x( x2
Así, el cambio que tenga y será dy
1)
3
1/ 3
dx
4x
3 (x
2
1)1/ 3
4x
2
3( x
1)1/ 3
dx
dx
Ejemplo 9
Los dueños de diversas tiendas de venta de juguetes compran productos
importados a un almacén que se dedica a la venta de artículos de importación. El
administrador del almacén realiza un estudio sobre la demanda de esos productos
322
(diciembre a enero 6), la población de vendedores es una función f (x), donde
x es el número de compradores en el mercado, el cual a su vez es una función
g(t), donde t
venta. Si se tiene la siguiente función:
y = f(x) =
1 2
x – 2x + 50 y x = g(t) = 4t + 52
48
2
Matemáticas
Donde 0 t
15, encontremos:
a) La función compuesta del número de vendedores dependiendo del número
conozca la posible demanda que habrá de los artículos que vende.
b) La diferencial del número de vendedores en función del número de días
cantidad de vendedores al transcurrir los días.
Solución: a) La población de vendedores t días después del cierre de la
temporada alta de ventas está dada por f(g(t)), por lo cual:
(f g)(t) = f(g(t))
1 2
f(x) =
x – 2x + 50 y g(t) = 4t + 52
48
g(t) = 4t + 52
Población de compradores en el mercado dependiendo de los
f(g(t)) = f(4t + 52)
1
(4t + 52)2 – 2(4t + 52) + 50
48
La fórmula anterior proporciona la función compuesta del número de
f(g(t)) =
número de días transcurridos a partir de que ésta terminó.
b) Con los datos que se proporcionan se tiene que las derivadas de las
funciones son:
y=
dy
dx
1 2
x – 2x + 50
48
2
x 2
48
x = 4t + 52
dx
dt
4
x
2
24
323
Unidad
8
La diferencial de la función compuesta es:
dy
x
2 (4) dt
24
4x
8 dt
24
x
8 dt
6
Al sustituir x = 4t + 52
dy
x
8 dt
6
2t
3
26
3
4t 52
8 dt
6
24
dt
3
2t
3
2
dt
3
4t
6
52
8 dt
6
2t 2
dt
3
Del resultado se deduce que el cambio que existe en el número de vendedores
dy
2t 2
dt
3
Ejercicio 3
Calcula la diferencial de las siguientes funciones compuestas empleando
la regla de la cadena:
1. Sean y = f(u) = u3 y u = g(x) = 2x – 1
2. Si y = u3 + u2 + 1 y u = 2x2 – 1
3. Con y = u2 y u = x2 + 2x + 3
324
4. Si y = u2 – 2u + 3 y u
5. Sabiendo que y = u3 y u
5 6x
x 1
x2 2x
x 2
2
Matemáticas
8.4. Diferenciación implícita
diferenciar una función simple y una función compuesta, donde se emplea la regla
de diferenciarla, así como su utilidad.
La diferenciación implícita es un proceso mediante el cual puede obtenerse
la diferencial dy cuando se parte de una ecuación y no de una función,
pudiendo existir más de un elemento de la variable y.
Un ejemplo muestra que si se tiene la función y = f(x) = 4x3, se observa que
ésta es una función explícita al indicar que y está en función de x, pero si
la función se escribe y – 4x3 = 0, ya no se tiene una función explícita, porque y
ya no está en función de x, dado que ahora se tiene una ecuación que muestra la
diferencia entre los elementos de la función, entonces, la ecuación y = f(x) = 4x3
implícitamente por la ecuación y – 4x3 = 0.
por ejemplo, si se tiene una ecuación como x4 – 3x = 3y4 + y3 – y2, ésta no puede
resolverse para y en términos de x ya que existe más de un elemento para y.
Si tenemos una ecuación como x4 – 3x = 3y4 + y3 – y2 y sabemos que y = f(x),
entonces la ecuación se puede resolver mediante la diferenciación implícita ya que
cualquier valor de y será sustituido por f(x)
x4 – 3x = 3(f(x))4 + (f(x))3 – (f(x))2
Así la ecuación se cumple para todos los valores de x en el dominio de f. En tal
caso, la función f
implícitamente por una ecuación dada.
La ecuación x4 – 3x = 3y4 + y3 – y2 es un tipo especial en donde aparecen
x y y debido a que puede escribirse de manera que los términos que contienen
x estén en un miembro de la ecuación y los términos en y se ubiquen en el
otro miembro.
El miembro izquierdo de la ecuación (x4 – 3x) es una función de x y el
miembro de la derecha (3y4 + y3 – y2) es una función de y. Sea F la función
G
derecho, se tiene:
F(x) = x4 – 3x
G(y) = 3y4 + y3 – y2
325
Unidad
8
En donde y es una función de x, y = f(x), de modo que x4 – 3x = 3y4 + y3 – y2
F(x) = G(y)
F(x) = G(f(x))
Se dice entonces que la ecuación F(x) = G(f(x)) se satisface para todos los
valores de x del dominio de f para los cuales G(f(x)) existe. Si f es diferenciable
para todos los valores de x, d(x4 – 3x) = d(3y4 + y3 – y2)
Diferenciando el miembro izquierdo tenemos d(x4 – 3x) = (4x3 – 3)dx
Al diferenciar el miembro derecho tenemos d(3y4 + y3 – y2) = (12y3 + 3y2 – 2y)dy
Como d(x4 – 3x) = d(3y4 + y3 – y2)
Obtenemos (4x3 – 3)dx = (12y3 + 3y2 – 2y)dy
Despejamos dy
4x3 3
dx
12 y3 3y2 2 y
Al emplear la diferenciación implícita se obtuvo una expresión para dy que
contiene a las variables x y y. Esta expresión muestra el cambio existente en y.
Ejemplo 10
Dada la función x4 + y4 = 16, determinemos la diferencial dy.
Solución: como puede observarse, la función, tal y como está dada, es una
función implícita, por lo que:
F(x) = x4
G(y) = y4
326
Diferenciamos:
d(x4) + d(y4) = d(16)
d(x4) = 4x3 dx
d(y4) = 4y3 dy
2
Matemáticas
d(16) = 0
Recuerda que la derivada de una constante es cero, ya que el
cambio que tiene una constante es nulo.
Con lo anterior:
d(x4) + d(y4) = d(16)
4x3 dx + 4y3 dy = 0
4y3 dy = – 4x3 dx
Despejamos:
dy
4x3
dx
4 y3
La diferencial de y para la función implícita dada es:
dy
x3
dx
y3
Ejemplo 11
Sea x2 + y2 = 16 una función determinada, obtengamos dy.
Solución: la función que se presenta es implícita y con ello se tiene:
F(x) = x2
G(y) = y2
Al diferenciar tenemos:
d(x2) + d(y2) = d(16)
d(x2) = 2x dx
d(y2) = 2y dy
d(16) = 0
327
Unidad
8
Con lo anterior:
d(x2) + d(y2) = d(16)
2x dx + 2y dy = 0
2y dy = – 2x dx
dy
2x
dx
2y
x
dx
y
La diferencial de y para la función implícita dada es: dy
x
dx
y
Ejemplo 12
Una fábrica produce un líquido mediante un proceso químico y la función
del costo total C está dada por:
C(x) = 6 + 4 x donde x es la cantidad de litros producidos.
Determinemos:
a) El cambio en el costo cuando se producen 16 litros.
b) El número de litros producidos cuando el cambio en el costo es de $2 por
litro y el cambio en la producción es de 5 litros.
Solución: a) En primer lugar hay que diferenciar la función de costo y para
eso se debe indicar el radical como exponente, por lo que la función es:
328
C(x) = 6 + 4
x = 6 + 4x1/2
Diferenciando obtenemos:
dC(x) = d(6) + d(4x1/2)
d(6) = 0
2
Matemáticas
d (4x1/ 2 ) 4
d (4x1/ 2 )
1
x
2
2
x
1/ 2
dx
4
x
2
1/ 2
dx 2x
1/ 2
dx 2
1
dx
x1/ 2
2
dx
x
dx
Sustituimos:
2
dx
x
dC
Lo cual muestra la fórmula del cambio en el costo. Como necesitamos
tenemos:
x = 16
dC
2
dx
x
2
dx
16
2
dx
4
1
dx
2
dC= 0.5 dx
El cambio en el costo, si suponemos que dx = 1, es de $0.5 por litro, esto
es, que al incrementar la producción en un litro, el costo aumentará 50 centavos
siempre y cuando la producción inicial sea de 16 litros.
b) Si el cambio en el costo es de $2 por litro y partimos de la ecuación
de costo, se tiene:
dC
2
x
dx
El número de litros producidos x es:
x
x
x
dC
dx
2
dC
dx
2dx
dC
2
329
Unidad
8
4( dx) 2
( dc) 2
x
Sustituyendo dC = 2 y dx = 5
x
4( dx) 2
( dC) 2
4(5) 2
( 2) 2
100
4
25
cinco litros, la producción total es de 25 litros.
Ejercicio 4
Para las siguientes funciones calcula dy.
1. Sea x2 + y2 = 25
2. Sea x2 – y3 = 8
3. Dada 4x2 + 9y2 = 36
4. Si
x
y
4
5. El número de dólares del costo total por producir x unidades de cierto
artículo está dado por C(x) = 40 + 3x + 9 2x . Determina el incremento
en el costo, dado un incremento en la producción, cuando se producen 25
unidades.
6. La producción diaria de una fábrica es y = f(x) unidades cuando el
capital invertido es x miles de dólares, y y – 200 2x 1 = 0. Si la capitalización
actual es de $7 600, calcula la variación en la producción cuando el capital
330
8.5. Diferenciación logarítmica y elasticidad
La función exponencial f(x) = ax con a > 0 y a 1, es creciente si a > 1 o
decreciente si 0 < a < 1, por tanto tiene una función inversa f –1, llamada función
logarítmica con base a, representándose por loga.
2
Matemáticas
Si se empl ea l a formul aci ón de l a f unci ón i nversa expresada por
f(y) = x, f –1(x) = y
Entonces logax = y por lo cual ay = x
Así, si x > 0, logax es el exponente al que se debe elevar la base a para
obtener x.
Usualmente se emplea la notación del logaritmo natural ln donde:
logex = lnx
por tanto
si lnx = y, entonces ey = x
donde x pertenece al conjunto de los números reales.
tienen que ver con el hecho de que una función sea creciente o decreciente y
están relacionados en gran medida con los exponentes.
Una manera de entender la relación de los logaritmos y sus características es
mostrando sus propiedades, como se detalla a continuación:
a) Para obtener el logaritmo de una potencia, se tiene que multiplicar el
exponente por el logaritmo de la base.
ln ax = x ln a
b) El logaritmo del producto de dos variables es igual a la suma de los
logaritmos de esas variables:
ln (ab) = ln a + ln b
c) El logaritmo del cociente de dos variables es igual a la diferencia de los
logaritmos de esas variables:
ln
a
= ln a – ln b
b
331
8.5.1. Diferenciación logarítmica
Lo anterior sirve para trabajar con diferenciales logarítmicas ya que el
cálculo de derivadas de funciones donde intervienen productos, cocientes
diferenciación logarítmica.
Unidad
8
Al diferenciar logarítmicamente se emplea la fórmula de la derivada de
un logaritmo:
d
dx
ln x
1
x
1
dx
x
Lo anterior implica que para diferenciar logarítmicamente, primero hay que
aplicar el logaritmo a una función, diferenciar implícitamente con respecto a x y
dy
despejar
de la ecuación resultante.
dx
con lo cual, si y es una función diferenciable de x, entonces d ln x =
Ejemplo 13
x3/ 4 x2 1
Empleando la diferenciación logarítmica a la función y = (3x 2)3
obtén dy.
Solución: en primer lugar, hay que aplicar logaritmos a cada extremo de la
existen muchos exponentes en la función:
ln y = ln
3/ 4
= lnx
= ln
ln( x2 1)1/ 2 ln(3x 2)3
3
1
ln( x2 1) 3ln(3x 2)
= lnx
4
2
Diferenciando implícitamente tenemos:
dln y =
332
3
1
dlnx
dln( x2 1) 3dln(3x 2)
4
2
1
dln( x2 1) se obtiene multiplicando la constante
2
1
1
por la diferencial del logaritmo dln( x2 1)
y por la diferencial de
2
x 1
2
En este caso, la diferencial
d(x2 + 1) = 2x, con lo cual
1
1
1
dln( x2 1) = 2 x2 1 2x
2
2
Matemáticas
Cuando diferenciamos la función tenemos:
1
dy
y
3
4
1
dy
y
3
4x
1
(1)
x
1
2
1
1
( 2x) (3)
(3) dx
x2 1
3x 2
x
9
dx
x2 1 3x 2
Despejamos para obtener dy:
3
4x
dy = y
x
(x
2
1)
9
dx
3x 2
x3/ 4 x2 1
Como y = (3x 2)3
Al sustituir en dy, el cambio de la variable y debido a un cambio en x es:
x3/ 4 x2 1
dy = (3x 2)3
3
4x
x
2
x
9
dx
1 3x 2
Ejemplo 14
Calculemos dy si tenemos la función y = (5x – 4)(x2 + 3).
Solución: aplicamos logaritmos a la función para facilitar la diferenciación:
333
ln y = ln((5x – 4)(x2 + 3)) = ln (5x – 4) + ln (x2 + 3)
Diferenciando obtenemos:
dln y = dln (5x – 4) + dln (x2 + 3)
Unidad
8
1
1
dy = 5x 4 (5)
y
1
5
(2x) dx =
x2 3
5x 4
5
1
dy =
5x 4
y
2x
x
2
2x
dx
x2 3
dx
3
Despejamos para obtener dy:
5
5x 4
dy = y
2x
x
2
dx
3
Sustituimos el valor de y en la fórmula para denotar el cambio que existe
en y
x:
5
2
dy = (5x 4)( x 3) 5x 4
2x
x
2
3
dx
Ejemplo 15
Los administradores de una empresa saben que cuando se inicia una campaña
de ventas, el número de ventas por día se incrementa, siendo las ventas promedio
S = 1 000. Sin embargo, observaron que el número de ventas extras diarias
disminuye conforme el impacto de la campaña disminuye. Para una campaña
S(t) ventas extras diarias como
resul tado de la campaña y han transcurrido t días desde que la campaña
terminó, entonces:
S(t) =
334
t2 1
(t 1)2 / 3
Calculemos el monto en el cual las ventas extras diarias crecen cuando:
a) t = 4
b) t = 6
2
Matemáticas
Solución: la función que se tiene es S(t) =
t 2 1 (t 2 1)1/ 2
=
, por lo que
(t 1)2 / 3
(t 1) 2 / 3
al emplear logaritmos tenemos:
ln S(t) = ln
1
2
(t 2 1)1/ 2
ln(t 1)
= ln(t 2 1)1/ 2 ln(t 1) 2/ 3 = ln(t 2 1)
2/ 3
2
3
(t 1)
Diferenciando obtenemos:
dln S(t) =
1
2
1
dS =
S
1
t
2
2
3
( 2t )
1
1
2
dln(t 2 1)
dln(t 1)
2
3
1
t 1
(1) dt =
2t
2(t
2
2
1)
3(t 1)
dt
1
2
t
dt
dS = 2
S
t 1 3(t 1)
Despejamos para obtener dS:
dS = S
t
(t
2
2
1)
3(t 1)
dt
a) Conociendo las ventas promedio S = 1 000 y que han pasado t = 4 días
dS = (1 000)
= (1 000)
dS =
4
2
(4
1)
4 2
15 15
2
4
2
dt = (1 000)
dt
3( 4 1)
16 1 3(5)
dt = (1 000)
2 000
dt = 133.3333 dt
15
2
dt
15
335
Unidad
8
El monto en el que las ventas extras diarias crecen cuando las ventas
promedio son 1 000 y han pasado 4 días desde que la campaña terminó es
de 133.3333 dt.
b) Se conoce que las ventas promedio son S = 1 000 y que han pasado t = 6
días desde que la campaña terminó.
dS = (1 000)
= (1 000)
6
2
(6
1)
2
6
dt = (1 000)
3(6 1)
(36 1)
2
dt
3(7)
6 2
dt
35 21
dS = (1 000)(0.1714 – 0.0952) dt = (1 000)(0.0762) dt = 76.2 dt
El monto en el que las ventas extras diarias crecen cuando las ventas
promedio son 1 000 y transcurrieron 6 días desde que la campaña terminó
es de 76.2 dt. Con ello se muestra que al pasar el tiempo, el impacto de la
campaña ha perdido fuerza.
8.5.2. Elasticidad
Como se ha visto, dada una función y = f(x), la derivada de y mide el cambio
instantáneo o crecimiento de y.
En el caso de la elasticidad, recordemos que se define como la razón del
cambio porcentual en la demanda x al cambio porcentual en el precio, teniendo
como expresión:
x dy
y dx
336
Podemos encontrar otra expresi ón de l a el asti ci dad en términos de
logaritmos.
x dy x dy 1 dy
y dx dx y dx y
x
2
Matemáticas
Sabemos que:
d ln y
por lo tanto
1
dy
y
1
d (ln y)
d (ln x)
d ln x
1
dx
x
d (ln y)
d (ln x)
Ésta es una vía alternativa para hallar la elasticidad en un punto de una
función usando logaritmos, los cuales suelen proporcionar una fácil aproximación
si la función dada aparece como una expresión multiplicativa o en forma
de cociente.
La elasticidad indica en qué magnitud habrá de cambiar la variable
Esta noción de elasticidad es similar a la tratada en la unidad 5, sólo
que aquí se emplean logaritmos, porque se acepta que existen funciones
exponenciales y es necesario facilitar su cálculo, pero la definición de la
elasticidad es la misma.
Ejemplo 16
k
Hallar la elasticidad en un punto de la demanda, dada Q = , donde k es
P
una constante positiva.
Solución: en primer término se aplican logaritmos a la ecuación, quedando:
ln Q = ln
k
= ln k – ln P
P
La elasticidad de la demanda (Q con respecto a P) es en realidad:
337
=
d (lnQ) d (lnk) d (lnP)
=
–
= –1
d (lnP) d (lnP) d (lnP)
Unidad
8
Puede observarse, en la derivación anterior, que al derivar el logaritmo de
k con respecto al logaritmo de P, como k no contempla ningún elemento P, la
derivada es cero, además de que k es una constante y la derivada de una constante
es cero ya que no tiene ningún cambio, por lo que sólo queda derivar el logaritmo
de P con respecto de P, cuyo resultado es 1, pero ya que al logaritmo de P
le precede un signo negativo, la elasticidad tiene signo negativo. Esto quiere
decir que si se incrementa el precio en una unidad, la demanda disminuirá
una unidad.
Ejemplo 17
Hallemos la elasticidad de la demanda, si Q =
k
.
P3
Solución: aplicamos logaritmos a la ecuación: ln Q = ln
k
= ln k – 3 ln P
P3
La elasticidad de la demanda (Q con respecto a P) es:
d (lnQ) d (lnk)
d (lnP)
=
–3
=–3
d (lnP) d (lnP)
d (lnP)
La elasticidad de la demanda para la función dada es –3, esto es, que
al incrementarse el precio en una unidad monetaria, la demanda disminuirá
3 unidades.
Ejercicio 5
1. Si y
x 1
, determina dy.
x 2
338
2. Partiendo de la función y
3. Sea y
x3
x2
4
, obtén dy.
x2 2
, calcula dy.
x 1
2
Matemáticas
4. Si y
x2 1
calcula dy.
x 2
k
, donde k y n son constantes
Pn
en un punto de la demanda.
5. Dada la función de demanda Qd =
positivas, halla la elasticidad
Ejercicios resueltos
1. Una empresa quiere determinar en qué magnitud deberá aumentar su
nivel de ventas si se incrementa la demanda de sus artículos en el mercado. Para
ello la empresa determina la siguiente función:
V = 3x2 – 3 000
donde se indica que las ventas V están en función de la demanda x. La demanda
inicial es x0 = 32.
ventas si la demanda aumenta a x1 = 40.
b) Calculemos el incremento que debe darse en las ventas al incrementarse
la demanda en 8 unidades.
Solución: a) La demanda inicial es x0 = 32, por lo que el nivel de ventas
inicial es:
V0 = 3x0 2 – 3 000 = 3(32) 2 – 3 000 = 3(1 024) – 3 000 = 4 800 – 3 000 = 72
Esto muestra que para tener un nivel de demanda de 32 es necesario que
exista un nivel de ventas de 72.
Como la demanda a la que se piensa llegar debido a las necesidades existentes
en el mercado es x1 = 40, el nivel de ventas que se deberá tener es:
V1= 3x12 – 3 000 = 3(40) 2 – 3 000 = 3(1 600) – 3 000 = 4 800 – 3 000 = 1 800
De ello se desprende que para un nivel de demanda de 40 es necesario que
exista un nivel de ventas de 1 800.
339
Unidad
8
Figura 8.5. Incremento en el nivel de ventas.
mientras que el incremento que se da en las ventas es de 1 728, concluyéndose
que para que se pueda lograr un incremento de 8 unidades en la demanda es
necesario que las ventas se incrementen en 1 728 unidades.
b) De los datos:
x0 = 32; V0 = 72;
x = x1 – x0 = 40 – 32 = 8
x1 = 40; V1 = 1 800; V = V1 – V0 = 1 800 – 72 = 1 728
v 1 728
216
se tiene
x
8
Con el resul tado se observa que al i ncrementarse en 8 uni dades l a
demanda, las ventas deben incrementarse en 1 728 unidades, por lo cual se
deduce que al incrementarse la demanda en una unidad, las ventas deben
aumentar 216 unidades.
2. Dada y = 3x2 – 2x con x = 4 y dx = 0.5, calcula dy.
Solución: a) Como y = 3x2– 2x , sea f(x) = 3x2 – 2x entonces y = f(x) y
dy = f (x) dx:
340
f(x) = 3x2 – 2x
f (x) = 6x – 2
dy = f (x) dx = (6x – 2) dx
Al sustituir los datos del problema tenemos:
dy = (6x – 2) dx
= (6(4) – 2)(0.5) = (24 – 2)(0.5) = (22)(0.5) = 11
dy = 11
2
Matemáticas
La diferencial de y es de 11, indicando que el cambio de la variable
dependiente es de 11 unidades.
3. Sean y = f(u) = 3u2 + 2u y u = g(x) = 3x + 1.
Calculemos la diferencial de la función compuesta empleando la regla
de la cadena.
Solución: empleando la regla de la cadena:
y = 3u2 + 2u
dy
6u 2
du
u = 3x + 1
du
dx
3
La diferencial de la función compuesta es:
dy [(6u 2)(3)] dx (18u 6) dx
Al sustituir u = 3x + 1 tenemos:
dy (18u 6) dx (18(3x 1) 6)dx (54x 18 6) dx (54x 24) dx
Del resultado se deduce que el cambio que existe en y es dy = (54x + 24)dx
5. Sea 6x2 + 3y2 = 9 una función implícita determinada, obtengamos dy.
Solución: como puede observarse, la función, tal y como está dada, es una
función implícita, por lo que:
F(x) = 6x2
G(y) = 3y2
Diferenciamos y obtenemos:
d(6x2) + d(3y2) = d(9)
d(6x2) = 12x dx
341
Unidad
8
d(3y2) = 6y dy
d(9) = 0
Con lo anterior:
d(6x2) + d(3y2) = d(9)
12x dx + 6y dy = 0
6y dy = – 12x dx
Despejando dy =
12x
dx
6y
2x
dx
y
La diferencial de y para la función implícita dada es dy =
2x
dx
y
6. Cal cul emos dy empl eando l a di f erenci aci ón l ogarítmi ca si
y = (3x – 4)2 (x2 + 1)
Solución: aplicando logaritmos a la función:
ln y = ln((3x – 4) 2 (x2 + 1)) = 2ln (3x – 4) + ln (x2 + 1)
Diferenciamos y obtenemos dln y = 2dln (3x – 4) + dln (x2 + 1)
1
1
(3)
dy = (2)
y
3x 4
1
x
2
1
(2x) dx =
6
1
dy =
3x 4
y
6
3x 4
2x
2
x
1
2x
x
2
dx
Despejamos para obtener dy:
342
dy = y
6
3x 4
2x
2
x
1
dx
Sustituyendo y en la fórmula, el cambio que existe en y
x es:
1
dx
2
Matemáticas
2
2
dy = ((3x 4) ( x 1))
6
3x 4
2x
dx
x2 1
Ejercicios propuestos
1. Con la función y = f(x) = 7x2 – 4x – 2 y x0 = 7, calcula
y
si x1 = 9.
x
2. Dada y = 9x2 – 3x con x = 2 y dx = 0.2, calcula dy.
3. Sean y = f(u) = 6u3 + 5u2 + u y u = g(x) = 5x – 2, calcula la diferencial de
la función compuesta empleando la regla de la cadena.
4. Sea 4x3 + 5y2 = 12 una función determinada, obtén por diferenciación
implícita dy.
5. Calcula por diferenciación logarítmica dy si y =
x2
4x2 3
Autoevaluación
1. Sea y = f(x) = 2x2 – x + 2 con x = 25, y dx = 0.05, dy es:
a)
b)
c)
d)
5.95
4.95
3.95
2.95
2. Si se tiene la función y = 8x2 – x con x = 3 y dx = 0.6, dy es:
a)
b)
c)
d)
28.2
28.7
27.8
26.8
3. La diferencial compuesta de y = f(u) = 8u2 – 2u y u = g(x) = 5x + 1 es:
a) [60(5x + 1) – 10] dx
b) [80(5x + 1) – 5] dx
343
Unidad
8
c) [80(5x + 1) – 10] dx
d) [60(5x + 1) – 5] dx
4. Sea 3 x + 3y2 = 5 una función determinada, la diferencial implícita
dy es:
a)
b)
c)
d)
1
4y x
dx
x
dx
4y
1
y x
y
4 x
dx
dx
4 5x
x2 1
5. La diferencial logarítmica de y =
344
a)
4 5x
x2 1
1
4 5x
b)
4 5x
x2 1
1
4 5x
c)
4 5x
x2 1
5
4 5x
d)
( 4 5x)
x2 1
x
2
x
dx
1
2x
x
2
dx
1
x
2
x
2(4 5x)
dx
1
5
2x
x
es:
2
1
dx
6. Una empresa determina que su función de ingresos por ventas es
I = 6x3 – 4 000. Si el nivel de producción es de x = 40 artículos, ¿cuál es
el cambio que se da en el ingreso cuando se producen y venden x = 50
artículos?
2
Matemáticas
7. Si tenemos la función y = 4x3 – 6x con x = 3 y dx = 0.3, ¿cuál es el
cambio que se da en y?
8. La diferencial compuesta de las funciones y = f(u) = 6u3 + 3u y u = g(x)
= 12x + 3 es:
9. Con la función 14y2 – 5x2 = 6, calcula la diferencial dy.
10. Con la función y = (6x3 – 2)(x4 + 3)2, calcula mediante diferenciación
logarítmica la diferencial dy.
11. El costo que tiene una empresa para producir cierta cantidad de artículos
es C = (15x2 + 1)(x3 – 3). Calcula el cambio que hay en el costo cuando se
12. Calcula la diferencial dy con la función 3x2 – 2y2 = 3.
345
2
Matemáticas
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1.
y
= 17
x
2.
y
= 334
x
3.
C
= 6.4
x
4.
I
= 175
x
5.
T
= 0.84
t
6.
y
= –36
x
Ejercicio 2
1. a) dy = (8x – 3)dx
b) dy = 1.3
c) dy = 0.13
2. dy = 0.02
3. dy = 1
4. dy = 1.15
5. dy = – 6
6. dy = – 0.3
347
Unidad
8
Ejercicio 3
1. dy = 6(2x – 1)2 dx
2. dy = [12x(2x2 – 1)2 + 8x(2x2 – 1)]dx
3. dy = [(2x2 + 4x + 6)(2x + 2)]dx
4. dy =
14x 12
dx
( x 1)3
5. dy = 3
( x2 2x) 2
dx
( x 2)2
Ejercicio 4
1. dy
x
dx
y
2. dy
2x
dx
3 y2
3. dy
4x
dx
9y
y
4. dy
dx
x
5. dc 4.27 dx
6. dy = 1.622 dx
Ejercicio 5
348
1. dy
x 1
x 2
2. dy
x2 2
x 1
1
2( x 1)
2x
2
x
1
x 2
1
2
x 1
dx
dx
2
Matemáticas
3. dy
4. dy
5.
=
x3
x
2
4
( x2 1)
( x 2)
dlnQ
dlnP
2x
3
x
2
x
4
x
( x2 1)
dx
1
dx
2( x 2)
n
Respuestas a los ejercicios propuestos
1.
y
= 108
x
2. dy = 6.6
3. [90(5x – 2)2 + 50(5x – 2) + 5] dx
4. dy
6x2
dx
5y
5. dy
x2
( 4x2 3)
2
x
8x
dx
(4x2 3)
Respuestas a la autoevaluación
1. b)
2. a)
3. c)
4. a)
349
Unidad
8
5. d)
6. El incremento que se da en el ingreso es 366 000.
7. dy = 9
8. dy = [216 (12x + 3)2 + 36]dx
9. dy
10. dy (6x3 2)( x4 3)2
18x2
(6x3 2)
8x3
dx
( x4 3)
11. dC (15x2 1)( x3 3)
30x
(15x2 1)
3x2
dx
( x3 3)
12. dy
350
5x
dx
14 y
3x
dx
2y