Universidad de la República 19 de julio de 2013 Facultad de

Universidad de la República
19 de julio de 2013
Facultad de Ingenierı́a-IMERL
EXAMEN: CALCULO III
Múltiple opción (Total: 30 puntos)
1-B
2-E
3-E
4-A
5-D
6-A
Ejercicio de desarrollo (Total: 30 puntos)
Ejercicio 1
1. Ver teórico.
2. Ver teórico.
1
2
n R
P
−ydx + xdy siendo Ci el segmento que une los puntos (xi , yi ) con
x(t) = xi + t (xi+1 − xi )
(xi+1 , yi+1 ) que parametrizamos a través de
0 ≤ t ≤ 1.
y(t) = yi + t (yi+1 − yi )
Luego el área buscada es igual a
n Z
1X 1
− (yi + t (yi+1 − yi )) (xi+1 − xi ) + (xi + t (xi+1 − xi )) (yi+1 − yi ) dt
2 i=1 0
3. Area del polı́gono =
i=1
Ci
los términos en t se cancelan mientras que los otros quedan constantes (a los efectos de la
integral), integrados entre 0 y 1 queda la constante, por lo tanto nos queda
n
n
1X
1X
(−yi (xi+1 − xi ) + xi (yi+1 − yi )) =
(−yi xi+1 + xi yi+1 ) .
2 i=1
2 i=1
4.
1
2
(1 ∗ 2 + 1 ∗ 4 + (−4) ∗ (−3) + 2 ∗ 2 + (−2) ∗ (−4) + (−3) ∗ (−4) + 4 ∗ 1 + (−4) ∗ (−1)) = 25.
Ejercicio 2
1. Ver teórico.
R
2. div(A, B, C) = 2 + 2y, luego C dη =
ZZZ
Z 1/2
Z
(2 + 2y) dxdydz =
dx
C
−1/2
1/2
Z
1/2
dz
−1/2
1
Z
1/2
(2 + 2y) dy =
−1/2
(2 + 2y) dy = 2.
−1/2