Universidad de la República 19 de julio de 2013 Facultad de
Anuncio
Universidad de la República 19 de julio de 2013 Facultad de Ingenierı́a-IMERL EXAMEN: CALCULO III Múltiple opción (Total: 30 puntos) 1-B 2-E 3-E 4-A 5-D 6-A Ejercicio de desarrollo (Total: 30 puntos) Ejercicio 1 1. Ver teórico. 2. Ver teórico. 1 2 n R P −ydx + xdy siendo Ci el segmento que une los puntos (xi , yi ) con x(t) = xi + t (xi+1 − xi ) (xi+1 , yi+1 ) que parametrizamos a través de 0 ≤ t ≤ 1. y(t) = yi + t (yi+1 − yi ) Luego el área buscada es igual a n Z 1X 1 − (yi + t (yi+1 − yi )) (xi+1 − xi ) + (xi + t (xi+1 − xi )) (yi+1 − yi ) dt 2 i=1 0 3. Area del polı́gono = i=1 Ci los términos en t se cancelan mientras que los otros quedan constantes (a los efectos de la integral), integrados entre 0 y 1 queda la constante, por lo tanto nos queda n n 1X 1X (−yi (xi+1 − xi ) + xi (yi+1 − yi )) = (−yi xi+1 + xi yi+1 ) . 2 i=1 2 i=1 4. 1 2 (1 ∗ 2 + 1 ∗ 4 + (−4) ∗ (−3) + 2 ∗ 2 + (−2) ∗ (−4) + (−3) ∗ (−4) + 4 ∗ 1 + (−4) ∗ (−1)) = 25. Ejercicio 2 1. Ver teórico. R 2. div(A, B, C) = 2 + 2y, luego C dη = ZZZ Z 1/2 Z (2 + 2y) dxdydz = dx C −1/2 1/2 Z 1/2 dz −1/2 1 Z 1/2 (2 + 2y) dy = −1/2 (2 + 2y) dy = 2. −1/2
