Métodos Numéricos Ejercicio 1.

Métodos Numéricos
IMERL - Facultad de Ingenierı́a - UDELAR
Solución del Examen del 30 de Enero de 2010
Ejercicio 1.
i) Ver teórico.
ii) Ver teórico.
iii) Ver página siguiente
1
Ejercicio 1) iv)
Datos
t
0
1
2
3
y
0
1
-2
3
k
0
xk
1
1
1
-0,48076
1,20532
2
-0,37902
0,943647
3
-0,50689
0,324101
F(xk)
1,000
2,718
7,389
20,086
-0,481
-1,605
-5,356
-17,878
-0,379
-0,974
-2,502
-6,429
J(xk)
J'(xk)*J(xk)
Y-F(xk)
1,000
0,000
466,416 1326,872 -1,000
2,718
2,718
1326,872 3856,641 -1,718
7,389
14,778
-9,389
20,086
60,257
-17,086
1,000
0,000
1519,140 -2554,336 0,481
3,338
-1,934 -2554,336 4349,683
2,605
11,141
-12,912
3,356
37,187
-64,647
20,878
1,000
0,000
338,871 -342,221
0,379
2,569
-0,919 -342,221 354,358
1,974
6,601
-4,722
0,502
16,961
-18,199
9,429
J'(xk)*(Y-F(xk))
-418,219
-1172,940
pk
-1,481
0,205
||r(xk)||
19,60
822,966
-1398,086
0,102
-0,262
21,31
168,689
-175,781
-0,128
-0,620
9,65
Ejercicio 2.
i) Llamando al interpolante p2 (x),
p2 (x) =
3
X
li (x)zi
i=1
Con:
l1 (x) =
(x − x2 )(x − x3 )
(x1 − x2 )(x1 − x3 )
l2 (x) =
(x − x1 )(x − x3 )
(x2 − x1 )(x2 − x3 )
l3 (x) =
(x − x1 )(x − x2 )
(x3 − x1 )(x3 − x2 )
ii) Integrando de los dos lados de la ecuación diferencial tenemos:
y(tk+1 ) − y(tk ) =
tk+1
Z
f (t, y)dt
tk
En el lado derecho aproximamos la integral (I) sustituyando f (t, y) por el interpolante
sugerido.
En el lado izquierdo al aproximar la integral nos queda: yk+1 − yk .
La integral (I) la podemos escribir como:
Z
tk+1
tk
3
X
Li (t)Zi dt =
i=1
3
X
i=1
Zi
Z
tk+1
Li (t)dt =
tk
3
X
Zi Ci
i=1
Con: Z1 = f (tk−2 , yk−2 ), Z2 = f (tk−1 , yk−1 ), Z3 = f (tk , yk ).
L1 (t) =
(t − tk−1 )(t − tk )
(tk−2 − tk−1 )(tk−2 − tk )
L2 (t) =
(t − tk−2 )(t − tk )
(tk−1 − tk−2 )(tk−1 − tk )
L3 (t) =
(t − tk−2 )(t − tk−1 )
(tk − tk−2 )(tk − tk−1 )
Con lo cual, haciendo el cambio de variable w = t − tk y usando el hecho que los ti
están equi-espaciados, las integrales Ci resultan:
1
C1 = 2
2h
C2 = −
C3 =
1
2h2
Z
1
h2
Z h
Z
h
(w + h)wdw =
0
h
0
5
h
12
4
(w + 2h)wdw = − h
3
(w + 2h)(w + h)dw =
0
2
23
h
12
Finalmente el método multipaso tiene la siguiente expresión:
yk+1 = yk + h
µ
¶
4
23
5
f (yk−2 , tk−2 ) − f (yk−1 , tk−1 ) + f (yk , tk )
12
3
12
iii) Para k = 1 y k = 2 calculamos la solución con Euler Hacia Adelante, luego usamos
el método multipaso de la parte anterior.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tk
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
yk
1
1.1000
1.2291
1.3596
1.5022
1.6600
1.8346
2.0274
2.2406
2.4762
2.7365
f (yk , tk )
1
1.2906
1.6125
1.9144
2.2138
2.5137
2.8136
3.1135
3.4135
3.7134
Ejercicio 3.
i) Ver teórico.
ii) Ver teórico.
iii) Ver teórico.
iv) El paso iterativo del Método del Trapecio se escribe:
yk+1 = yk +
h
(f (tk , yk ) + f (tk+1 , yk+1 ))
2
Usando la f dada:
yk+1 = yk +
¢
h¡ 2
2tk yk + 2t2k+1 yk+1
2
Despejando yk+1 y usando tk+1 = tk + h :
yk+1 = yk
1 + ht2k
1 − h(tk + h)2
3