introduccin al anlisis de sistemas de control

CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
CAPITULO I.
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL.
El control automático ha jugado un papel importante en el avance de la ciencia y de la
ingeniería. Los sistemas de control ejercen una poderosa influencia sobre cada faceta de
la vida moderna. Desde aparatos con los que convivimos cotidianamente con secadoras
y lavadoras automática, hornos de microondas, tránsito colectivo, etc. hasta naves
espaciales, satélites y robots entre una gama sin número de utilidades que ha permitido
el paso a una era moderna.
Como los avances en la teoría y práctica del control automático brindan medios
para lograr el funcionamiento óptimo de sistemas dinámicos, mejorar la productividad,
liberarse de la monotonía de muchas operaciones manuales rutinarias y repetitivas, y
otras ventajas, la mayoría de los ingenieros y científicos deben poseer un buen
conocimiento de este campo.
Antecedentes históricos.
Podemos hacer una breve revisión histórica de cómo inicio el control
automático. Citaremos a continuación a algunos personajes:
1. James Watt. (Siglo XVIII) su Regulador Centrífugo para el control de la velocidad
de una máquina de vapor, constituyó el primer trabajo significativo.
2. Minorsky. En 1922, trabajo en controladores automáticos de dirección en barcos y
mostró cómo se podría determinar la estabilidad a partir de ecuaciones diferenciales
que describen el sistema.
3. Nyquist. En 1932, desarrollo un procesamiento relativamente simple para determinar
la estabilidad de los sistemas de lazo cerrado sobre la base de respuesta de a lazo
abierto con excitación sinusoidal con régimen permanente.
1
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
4. Hazen. En 1934, introdujo el término servomecanismos para los sistemas de control
de posición.
Hacia 1960, gracias a la disponibilidad de las computadoras digitales, se hace posible
el análisis de sistemas complejos en el dominio de tiempo; desde entonces se ha
desarrollado la teoría de control moderna basada en el análisis y síntesis en el dominio
del tiempo.
Ahora que las computadoras se han abaratado y reducido en tamaño, estas pueden
utilizarse como parte integral de los sistemas de control. Las aplicaciones recientes de la
teoría de controlo moderna incluyen sistemas no ingenieriles como la biología
biomedicina, economía y socioeconomía.
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS.
Algunas definiciones importantes.
ƒ
Variable Controlada. Es la cantidad o condición que se mide y controla.
ƒ
Variable manipulada. Es la cantidad o condición modificada por el controlador, a
fin de afectar la variable controlada. Normalmente la variable controlada es la salida
del sistema.
ƒ
Control. Significa medir el valor de la variable controlada del sistema, y aplicar al
sistema la variable manipulada para corregir o limitar la desviación del valor
medido, respecto al valor deseado.
ƒ
Plantas. Una planta es un equipo, quizá simplemente un juego de piezas de una
máquina, funcionando conjuntamente, cuyo objetivo es realizar una operación
determinada.
ƒ
Procesos. Es cualquier operación que deba controlarse.
ƒ
Sistemas. Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente y
cumplen determinada objetivo. Un sistema no se limita a objetos físicos, también,
puede referirse a fenómenos dinámicos abstractos, como la economía o la biología.
2
CONTROL I
ƒ
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Perturbaciones. Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida
de un sistema. Y puede ser externa o interna.
ƒ
Control retroalimentado. Es una operación que, en presencia de perturbaciones,
tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de
referencia, realizándolo sobre la base de esta diferencia. Sólo consideraremos las
perturbaciones no previsibles.
ƒ
Sistemas de control retroalimentado. Se le conoce así a cualquier sistema que
tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y alguna entrada de
referencia, comparándolas y utilizando, la diferencia como medio de control.
Ejemplos de estos son los sistemas de control de temperatura en las habitaciones.
Incluso, el cuerpo humano es sistema perfecto y muy avanzado de control
retroalimentado; la retroalimentación cumple una función vital: hace al cuerpo
humano relativamente insensible a perturbaciones externas, permitiéndole
desenvolverse adecuadamente en un medio ambiente cambiante.
ƒ
Servosistemas. O servomecanismo, es un sistema de control retroalimentado en el
que la salida es algún elemento mecánico, sea posición, velocidad o aceleración. Por
tanto, los términos servosistema o sistema de control de posición o de velocidad o
de aceleración, son sinónimos.
ƒ
Sistemas de control de lazo cerrado. Con frecuencia se llama así a los sistemas de
control retroalimentado. La señal de error actuante, que es la diferencia entre la
señal de entrada y la de retroalimentación (que puede ser la señal de salida o una
Función de la señal de salida y sus derivadas), entra al controlador para reducir el
error y llevar la salida del sistema a un valor deseado. Por lo tanto, el término lazo
cerrado implica siempre el uso de la acción de control retroalimentado para reducir
el error del sistema.
ƒ
Sistemas de control de lazo abierto. Es todo sistema de control en los que la salida
no tiene efecto sobre la acción de control. En otras palabras, la salida ni se mide ni
se retroalimenta para compararla con la entrada.
Existen además de los ya mencionados otros sistemas como los de regulación
automática, de control de procesos, los sistemas de control adaptable etc. Se deja al
3
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
lector ampliar su conocimiento de estos sistemas mediante la investigación
bibliográfica.
Clasificación de los sistemas de control.
Se presenta a continuación una de tantas clasificaciones conocidas.
¾ Sistemas de control lineal versus no lineal. Generalmente, los sistemas físicos son
no lineales. Sin embargo, si la extensión de variaciones de las variables del sistema
no es amplia, el sistema puede linealizarse dentro un rango muy estrecho de valores
de las variables.
¾ Sistemas de control invariables en el tiempo versus control variable en el tiempo.
Un sistema invariable en el tiempo es aquel en el que los parámetros no varían con
el tiempo. No así en los sistemas en el cual los parámetros pueden variar con el
tiempo.
¾ Sistemas de control de tiempo continúo versus de tiempo discreto. En un sistema de
control de tiempo continuo, todas las variables son función de un tiempo continuo t.
Un sistema de control de tiempo discreto abarca una o más variables que son
conocidas sólo en instantes discretos.
¾ Sistemas de control con una entrada y una salida versus con múltiples entradas y
salidas. Obviamente es distinguible un sistema con una salida y una entrada de los
sistemas con múltiples entradas y sistemas.
¾ Sistemas de control con parámetros concentrados versus con parámetros
distribuidos. Los sistemas de control que pueden describirse mediante ecuaciones
diferenciales ordinarias, son sistemas de control con parámetros concentrados,
mientras que sistemas de control distribuidos son aquellos que pueden describirse
mediante ecuaciones diferenciales parciales.
¾ Sistemas de control determinísticos versus estocásticos. Un sistema es
determinístico si la respuesta a la entrada es predecibles. De no serlo sería
estocástico.
4
CONTROL I
‰
Ejemplos de sistemas de control.
*
Sistema de control de velocidad.
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Sistema de control de un brazo de robot.
5
CONTROL I
*
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Sistema de control numérico.
Sistema de control de la fuerza de agarre de un robot.
6
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
*Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace es una técnica que nos permitirá resolver ecuaciones
diferenciales lineales. Con el uso de esta, muchas funciones sinusoidales, amortiguadas
y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja
s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones
algebraicas en el plano complejo A este nivel se supone haber acreditado el curso de
Ecuaciones Diferenciales (matemáticas IV), y Cálculo diferencial e Integral desde el
primer semestre. Es por eso que sólo se resolverán algunos ejercicios considerando que
el lector es ya un experto en el tema de Laplace.
Se ofrece la siguiente tabla y algunos ejercicios resueltos.
7
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Tabla de las transformadas de Laplace.
8
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Como hallar la n-ésima derivada.
⎫ n
⎧dn
(n −2 ) −
n −1
−
n−2
−
(0 ) − Sf (n−1) (0 − )
⎨ n f (t )⎬ = s F (s ) − S f (0 ) − S f ' (0 ) − ... − Sf
dt
⎭
⎩
1.2. MODELOS MATEMÁTICOS FÍSICOS.
PRINCIPIOS BÁSICOS DE SISTEMAS DE CONTROL.
-
MODELO MATEMÁTICO.
Los componentes de los sistemas de control, son generalmente físicos. En
ingeniería de control, en lugar de operar con sistemas físicos, se les reemplaza por sus
modelos matemáticos.
Obtener un modelo matemático razonable exacto de un bloque de componentes, es uno
de los problemas más importantes. En ingeniería de control se usan ecuaciones
diferenciales lineales.
-
ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL.
Por diseño de un sistema se entiende hallar uno que cumpla una tarea dada. Por
síntesis se entiende encontrar, mediante un procedimiento directo, un sistema de control
que se comporte de un modo específico.
-
PASOS DE DISEÑO.
Dada una planta industrial, se debe(n) elegir sensores y actuadores adecuados.
Luego hay que construir modelos matemáticos adecuados a la planta, sensores y
actuadores. Después, usando los modelos matemáticos construidos, se diseña un
controlador de tal modo que el sistema cumpla todas (o gran parte de ellas)
especificaciones dadas. Después de todo esto, el ingeniero de control simula el modelo
en una computadora para verificar el comportamiento del sistema. Generalmente, la
configuración del sistema inicial no resulta satisfactoria.
9
CONTROL I
1.2
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
FUNCION DE TRANSFERENCIA
Un instrumento (sistema) se puede caracterizar formalmente mediante su función de
transferencia, es decir, por su modelo matemático Entrada/Salida, donde la entrada es el
valor real de la propiedad censada y la salida es la lectura en el instrumento. Por
descontado, toda ganancia deberá ser unitaria; pero tanto la forma dinámica de la
respuesta (si oscila, por ejemplo) entre cambios como el tiempo de respuesta pueden ser
importantes para la aplicación que se esté diseñando. Las funciones de transferencia de
instrumentos de alta calidad suelen estar disponibles desde el fabricante. De no ser tal el
caso, esta se deberá construir mediante el análisis dinámico clásico (según se analiza en
el trabajo de laboratorio del curso, puede ser útil, también, recordar la respuesta
dinámica del transductor diferencial de presión ya analizado).
La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales en el
tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida
(función de respuesta) y la transformada
de Laplace de la entrada (función
excitadora), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.
T (s ) =
Y (s )
cuando todas las condiciones iniciales son cero.
R (s )
Ejemplo:
Considere el sistema descrito por:
d2y
dy
dr
+ 6 + 8 y = − + 5r .
2
dt
dt
dt
10
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
La transformada de Laplace cuando las condiciones son cero,
s 2Y (s ) + +6sY (s ) + 8Y (s ) = − sR (s ) + 5R (s ) .
T (s ) =
−s+5
Y (s )
.
= 2
R (s ) 0 s + 6 s + 8
En el ejemplo anterior, para encontrar la función de transferencia, se aplica la
transformada de Laplace al sistema de ecuaciones, con condiciones iniciales cero, y se
forma la relación de la transformada de salida a la transformada de entrada.
La aplicación del concepto de función de transferencia queda limitada a sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales. No obstante, el procedimiento de función de
transferencia es de uso extensivo en el análisis de tales sistemas. A continuación se en
listan algunos comentarios importantes.
1. La función de transferencia es un modelo matemático.
2. Es una de un sistema en sí.
3. Se puede estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el
objeto de lograr una comprensión del sistema.
4. La función de transferencia, nos brinda una descripción completa de las
características dinámicas de un sistema.
Podemos analizar el siguiente ejemplo.
11
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
* Halle la función de transferencia del siguiente circuito:
-
Usamos las reglas de Kirchoff para encontrar la ecuación que exprese la entrada.
⎛1⎞ t
Vin = Ri + ⎜ ⎟ ∫ idt. Es decir :
⎝C ⎠ 0
.
(
i
RCD + +1)i
Vin = Ri +
=
. Donde D = d / dt (operador )
CD
CD
-
A continuación, encontramos la función de respuesta.
i
1 t
idt =
. y así :
∫
0
C
CD
.
i = DV0C
V0 =
-
La función de transferencia está dada por la transformada de Laplace del cociente de
la función de respuesta y la función de entrada:
V0
1
=
Vin RCD + 1
Pueden usarse las siguientes tablas para entender alguna forma de cómo hacer la
función de transferencia de algunos modelos.
12
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Sistemas mecánicos: Masa, Resorte y Amortiguador.
M a(t) =
M dv(t)/dt
K x(t)
B v (t)
B
K
M
x(t)
x(t)
x(t)
F
F
F
13
CONTROL I
1.3
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
DIAGRAMAS A BLOQUES.
Un sistema de control puede constar de cierta cantidad de componentes. Para
mostrar la función que realiza cada una de ellas, se usan unos diagramas conocidos
como diagrama a bloques.
•
Diagrama a bloques.
El Diagrama a Bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones
realizadas por cada componente y del flujo de las señales.
14
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
El diagrama a bloques del circuito anterior es el siguiente:
E(s) representa la entrada (función excitadora) del sistema y l(s) representa la
función de respuesta.
El elemento de un diagrama a bloques se representa
por.
Función de
transferencia
G(s)
•
Procedimiento para trazar diagramas de bloques.
Para trazar un diagrama a bloques de un sistema, primero se escriben las ecuaciones que
describen el comportamiento dinámico de cada componente.
Luego se toman las transformadas de Laplace de cada una, suponiendo las
condiciones iniciales cero, y ecuación transformada de Laplace se representa
individualmente en forma de bloque. Finalmente se integran los elementos en diagrama
a bloques.
•
Reducción del diagrama de bloques.
15
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Es importante notar que los bloques se pueden conectar en serie solamente si la
salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente.
1. Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo con muchos pasos de
retroalimentación, modificando paso a paso usando el álgebra de diagrama de
bloques.
16
CONTROL I
1.4
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
DIAGRAMA DE SEÑALES DE FLUJO.
Un gráfico de flujo de señales es un diagrama que representa un conjunto de
ecuaciones algebraicas simultáneas lineales. Al aplicar este método al análisis del
control, primero hay que transformar las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones
algebraicas en función del tiempo.
Un gráfico de flujo de señal en una red en la cual los nodos están conectados por
ramas con dirección y sentido.
A continuación, se muestran algunos diagramas a bloques con su respectivo gráfico de
flujo de señal.
R(s)
C(s)
G(ts)
R(s)
E(s)
R(s)
G(s)
C(s)
C(s)
G(st)
R(s)
E(s)
-H(s)
H(s)
N(s)
R(s)
N(s)
C(s)
E(s)
G(s)
C(s)
G(s)
R(s)
C(s)
E(s)
H(s)
H(s)
17
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Hagamos un breve repaso por medio de los siguientes ejercicios resueltos.
Inmediatamente después se recomienda seguir el repaso en un libro de consulta que se
citará posteriormente.
Ejemplo 1.
Sea el siguiente diagrama a bloques conectado en serie:
e
S1
A
B
S
Lo resolveremos tomando en cuenta que consiste en dos salidas (S1 y S) y una entrada
(e). Como sigue:
S1 = A1e
S = BS1 = ABe
•
Lo anterior es equivalente al siguiente diagrama:
e
•
AB
S
Y por lo tanto, la función de transferencia es:
S
= AB .
e
Ejemplo 2.
•
Podemos hacer el análisis del siguiente diagrama en paralelo si nos enfocamos a
buscar las ecuaciones que describen el sistema en función de las salidas.
18
CONTROL I
•
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Y así tenemos:
S1 = A1e
S 2 = A3 S
S 3 = S1 − S 2 = A2 A1e − A2 A3 S
S = A2 S 3 =
•
A2 A1e
(1 + A2 A3 )
Lo anterior queda expresado por el siguiente diagrama, reducido:
e
•
A1 A2 e
1 + A2 A3
S
Y por lo tanto la relación entrada/salida es:
S = A2 S 3 =
A2 A1e
(1 + A2 A3 )
Resumen
Las representaciones de los sistemas por medio de bloques, constan de bloques,
sumadores y uniones. Se utilizan para describir gráficamente las partes componentes de
los sistemas y sus interconexiones.
19
CONTROL I
ING. QUIRINO JIMENEZ D.
Reducir un diagrama de bloques de un sistema de una entrada salida simple,
significa encontrar, usando las equivalencias de diagramas de bloques, un diagrama de
un solo bloque que contenga la función general de transferencia del sistema. Se pueden
simplificar los diagramas de entrada y salidas múltiples, reduciendo a series de
diagramas de entrada simple y salida simple, uno por cada combinación diferente de
entrada y salida.
La regla de ganancia de Manson establece que la función de transferencia de un
sistema de entrada simple y salida simple es:
T (S ) =
∑ P∆
i
i
∆
i
.
Donde los términos Pi son las ganancias de la trayectoria, i es el cofactor de la
i-ésima trayectoria, es la determinante de la gráfica del flujo de señal.
Los sistemas de primer orden se caracterizan por funciones de transferencia que
tienen una raíz característica real.
Los de segundo orden tienen funciones de transferencia y una ecuación
característica de segundo orden. En fin, el orden de las funciones depende del orden de
las ecuaciones que describen al sistema.
Ya sólo me que invitarlos a ampliar sus conocimientos en el campo del control
moderno. Sin duda, el que refuerza su conocimiento investigando en otros libros estará
bien preparado y dominará una de las mejores herramientas (e indispensable) con el que
debe contar todo ingeniero. Además, recuerden que la materia de Sistemas Lineales
consta de dos semestres siendo este material una ayuda para tener los principios y
conceptos fundamentales para el análisis de control.
Bibliografía.
1. Ingeniería de Control Moderno de K. Ogata. (Ejercicios Págs. 76-97).
2. Gráficas de flujo de señal. Span. R. N. And Manson. Mc Graww Hill.
20