Inecuaciones e Intervalos.

MATEMÁTICA II
Desigualdades, Intervalos e Inecuaciones
DESIGUALDADES
Cuando dos números “a” y “b” no son iguales, se escribe a≠b. Por lo tanto
uno de ellos es menor y otro mayor. Si “a” es le mayor, decimos “a” es mayor que
“b”, también podríamos decir que “b” es menor que “a”.
En este sentido, una desigualdad es una expresión que indica que una
cantidad es mayor o menor que otra. Estas cantidades pueden ser un numero real
conocido o una expresión algebraica que representa un numero real.
Los símbolos que se utilizan en las desigualdades son:
>
Mayor que
<
Menor que
≥
Mayor o igual que
≤
Menor o igual que
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1. Si a ambos miembros de la desigualdad se les suma o resta el mismo
número la desigualdad no cambia de sentido. Ejemplo:
4>2
8 < 10
le sumamos 5 a cada miembro
le restamos 2 a cada miembro
4+5
y
2+5 queda 9 > 7
8-2
y
10-2 queda 6 < 8
2. Si a ambos miembros de la desigualdad se les multiplica o divide por el
mismo número positivo, la desigualdad no cambia de sentido. Ejemplo:
8>4
IUTLA
multiplicamos cada miembro por 2
8.2
y
4.2 queda 16 > 8
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8 < 10
Dividimos cada miembro entre 2
8:2
y
10:2 queda 4 < 5
3. Si a ambos miembros de la desigualdad se les multiplica o divide por el
mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo:
8>3
Multiplicamos cada miembro por -1
-6 < 2
Dividimos cada miembro por -2
8.(-1) y 3.(-1) queda -8 < -3
-6 : (-2)
y
2 : (-2) queda 3 > -1
INTERVALOS
Un intervalo es un segmento de recta formado por un conjunto infinito de
puntos.
−∞
a
b
∞
Existen dos tipos de intervalos: los intervalos finitos y los intervalos infinitos.
Los intervalos finitos: están formados por dos números reales conocidos
como extremos, que pueden o no pertenecer a él. Estos se clasifican en:
1. Abierto: (a,b) cuando no se incluyen los extremos.
2. Cerrado: [a,b] cuando se incluyen los extremos.
3. Semi-abiertos: un intervalo es Semi-abierto cuando tiene la forma:
[a,b) = incluye el punto “a” pero no incluye el punto “b”
(a,b] = no incluye el punto “a” pero si incluye el punto “b”.
Los intervalos infinitos: son aquellos donde se conoce solo uno de los
extremos: (-∞,a); (a, ∞); (-∞,a]; [a, ∞); (−∞, ∞)
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INTERVALOS EN LA RECTA REAL
Notación Con Intervalo
Representación grafica
___(________)____
(a,b)
Finito y abierto
a
b
___[________]____
[a,b]
Finito y cerrado
a
b
___(________]____
Finito y
(a,b]
a
b
semi-abierto
___[________)____
Finito y
[a,b)
a
b
semi-abierto
___________)____
(-∞,a)
Infinito abierto
−∞
b
___________]____
Infinito y
(-∞,a]
−∞
b
semi-abierto
___(____________
(a, ∞)
Infinito abierto
a
∞
___[____________
Infinito
[a, ∞)
a
∞
semi-abierto
INECUACIONES
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Una inecuación es una desigualdad que se satisface para infinitos valores
de la incógnita. Cada número real que satisface la inecuación se llama solución de
la inecuación y al conjunto de números reales que son solución de la inecuación
se llama conjunto solución de la inecuación.
Para resolver una inecuación se sigue el mismo procedimiento utilizado
para resolver una ecuación pero tomando en cuenta la propiedad de las
desigualdades que nos indica que: “si a ambos miembros de la desigualdad se les
multiplica o divide por el mismo número negativo, la desigualdad cambia de
sentido”.
Ejemplo 1:
Resolver la inecuación
𝑋−1>3
Se despeja x
𝑋 >3+1
x>4
Se obtiene el intervalo y el conjunto solución: (4, ∞)
Ejemplo 2:
Resolver la inecuación
3𝑋 + 6 ≤ −9
Se despeja X
3𝑋 ≤ −9 − 6
3𝑋 ≤ −15
𝑋≤
−15
𝑋 ≤ −5
3
Solución: (- ∞, −5)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. 4(𝑋 + 3) − 2(𝑋 + 4) ≥ 3(2𝑋 − 1)
2.
3.
4.
5.
IUTLA
3𝑋+4
𝑋+2
𝑋−3
𝑋+2
≤ −3
≥0
3(2𝑋−1)
2
3𝑋+2
3
≤
≤ −2
4𝑋+3
2
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