Problemasátomo

ÁTOMO. CUESTIONES RESUELTAS Y PROBLEMAS.
C1.
El electrón excitado del hidrógeno hasta un nivel O, si cae hasta el N, la radiación emitida ¿A qué serie espectral
correspondería?
SOLUCIÓN:
Se identifican primero los niveles relacionándolos con n. O: n=5; N: n=4
Dado que las series espectrales corresponden a saltos a determinado nivel, para n=4, se trata de la primera raya de la
serie de Brackett.
C2.
¿Cuántos electrones podrían alojarse en un nivel completo N?, ¿Cuántos en un subnivel g?.
SOLUCIÓN:
2
Dado que el nº de e por nivel es 2n , habrá que averiguar el valor de n, que corresponde al nivel N (n=4), o sea que será
2.16 = 32e. El nº de electrones por subnivel es 2(2l+1), para g, l=4, por lo tanto 2.9 = 18e
C3.
El nivel de Bohr N, en cuantos subniveles se dividiría según la teoría de Sommerfeld. ¿En qué relación estarían los
semiejes de la elipse más excéntrica?
SOLUCIÓN:
Dado el nivel N corresponde a n=4, y por lo tanto k=1,2,3 y 4 o sea cuatro subniveles (l=0,s ; l=1,p; l=2, d; l=3,f), las más
excéntrica será aquella cuya relación a/b sea mayor. Como a/b =n/k, corresponderá a 4/1, o sea una relación 4.
C4.
Razonar cual de las disposiciones de los cuatro números cuánticos (n,l,m, s) dados son posibles para el electrón de un
átomo:
(1,1,1,½), (2,-1,1,- ½), (2,1,2, ½), (2,1,-1,- ½)
SOLUCIÓN:
Se sabe que l=0,1…n-1, m=+l,..0…-l. Por lo tanto:
(1,1,1,½), no puede ser dado que l= n. (2,-1,1,- ½), no puede ser porque l≥0
(2,1,2, ½), no puede ser porque m≤l. La única válida es (2,1,-1,- ½).
C5.
Explique el significado de cada uno de los tres números cuánticos que caracterizan un orbital y diga cuáles de
los siguientes grupos (n, l, m) no son posibles indicando la causa de su imposibilidad.
a) (3, 2, 2)
b) (3, 0, -1)
c) (4, 2, 1)
d) (1, 1, 0 ) e) (2, -1, 0)
SOLUCIÓN:
Tomando como base lo explicado en la cuestión anterior, solo son inviables la d, dado que l nunca puede ser
igual a n, y e por que no puede ser negativo.
C6. ¿Qué son números cuánticos? Qué valores puede tomar el número cuántico m para :
a) un orbital 1s
b) un orbital 3d
c) un orbital 4p
Justifíquelo y dibuje las representaciones gráficas de las superficies límites para dichos orbitales
SOLUCIÓN:
Los números cuánticos son los condicionamientos matemáticos necesarios para que las soluciones de la ecuación de
Schrödinger sean válidas, en el entorno dado. Dado que m=+l..0...-l, a) 1s, m=0
b) 3d, m=2,0,1,-1,-2 y 4p, m =1,0,-1.
EJERCICIOS BÁSICOS.
P1
Calcular la máxima longitud de onda correspondiente a la serie de Balmer del espectro del hidrógeno.
SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que la longitud de onda es inversamente proporcional a la frecuencia y ésta directamente proporcional
a la energía, su máximo valor corresponde al mínimo energético o sea al menor salto, que en la serie de Balmer es de 3 a 2.
Por lo tanto sustituyendo en la fórmula de Balmer-Rydberg:
7 -1
2
2
6
-1
-7
1/8 = 1,09.10 m (1/2 – 1/3 ) = 1,51.10 m , 8 =6,6.10 m
P2 Determinar la energía asociada a la producción de la 3 raya de la serie espectral de Lyman.
SOLUCIÓN:
La tercera raya de la serie de Lyman corresponde al tránsito de n=4, a n=1. Empleando la fórmula de Bohr para los niveles:
E=-13,6eV/n2 =
-19
2
-18
-18
-18
-13,6.1,6.10 J/n = -2,18. 10 J/n2. La diferencia energética será según dicho salto: 2,18. 10 J (1/1-1/16) =2,05. 10 J.
P3
Determinar la longitud de onda, correspondiente a los fotones de la luz amarilla de una lámpara de sodio de una farola de
14
la calle, cuya frecuencia es de 5,18.10 Hz. ¿Qué energía transportarían?.
8
-1
-34
DATOS: c=3.10 ms . h=6,63.10 J.s.
SOLUCIÓN:
La Relación entre 8 (longitud de onda) y < (frecuencia) 8< = c . Energía de la radiación = h < (Fórmula de Planck)
-34
14 -1
-19
8 = c/< = 3.108ms-1 /5,18.1014 Hz = 0,58.10-6 m.
E = 6,63.10 J.s. 5,18.10 s =3,43.10 J.
1
P4.
Una fuente energética emite fotones de 15MeV, determinar su longitud de onda.
-19
8
-1
-34
DATOS: 1eV = 1,6.10 J. c=3.10 ms . h=6,63.10 J.s.
SOLUCIÓN:
Primero se hará la conversión de unidades al S.I.después se determinará la frecuencia (fórmula de Planck), y el cálculo
de la longitud de onda (λ=c/ <)
15MeV= 15.106eV .(1,6.10-19J /eV) = 2,4.10-12 J. 2,4.10-12 J = 6,63.10-34 J.s. < = 3,62.1021 s-1;
8 = c/< = 3.108ms-1 / 3,62.1021 s-1 =8,28.10-14 m
P5.
Calcular la frecuencia emitida correspondiente a la 2 raya de la serie de Paschen, a través de la fórmula de Balmer y
comprobándola a través de la teoría de Bohr ¿En cuantas rayas se desdoblaría según la teoría de Sommerfeld?
8
-1
-34
7 -1
DATOS: c=3.10 ms . h=6,63.10 J.s. Ry=1,09.10 m
SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que la serie de Paschen corresponde a los saltos al nivel 3, y que la segunda raya, implica un estado
inicial del electrón excitado en ni =5. Los desdoblamientos de niveles que corresponden a 3 en el estado final ( k=1,2,3) y a
5 en el estado inicial ( k=1,2,3,4,5). La regla de selección impone que )k = "1, ello limita las posibilidades de los saltos, y
por lo tanto el número de rayas (cada raya corresponde a un salto). Se considerarán sólo los saltos posibles en los que )k
= "1.
7 -1
2
2
5
-1
La aplicación de la Fórmula de Balmer:
1/8 = 1,09.10 m (1/3 – 1/5 ) = 7,75.10 m
8
-1
5
-1
< = c(1/8) = (3.10 ms )( 7,75.10 m ) = 2,33.1014 s-1.
Si se calcula a través de la energía desprendida por saltos entre niveles de Bohr:
-18
2
-20
-18
2
-19
E5 = - 2,18.10 /5 J = -8,72.10 J
E3 = - 2,18.10 /3 J = - 2,42.10 J
-19
-34
14 -1
)E = 1,55.10 J = h < ; h= 6,63.10 J.s.
< = 2,34.10 s
Número de rayas: Teniendo en cuenta los saltos y la regla )k = "1 (k final 1,2,3) : k( inicial, 1,2,3,4,5).
Sólo serán posibles :
De 1 a 2.
De 2 a 1, de 2 a 3.
De 3 a 2.
De 4 a 3.
O sea 5 saltos posibles, que producirán 5 rayas espectrales.
P6.
¿Cuántos electrones podrían alojarse en un nivel completo P?, ¿Y en un hipotético subnivel i?
SOLUCIÓN:
2
Dado los el nº de e por nivel es 2n , habrá que averiguar el valor de n, que corresponde al nivel P (n=6), o sea que será
2.36 = 72e. El nº de electrones por subnivel es 2(2l+1), para i, l=6, por lo tanto 2.13 = 26e
P7
Calcular la longitud de onda de un balón de fútbol de 425g, que es lanzado en un penalty a 100km/h.
-34
DATOS: h=6,63.10 J.s.
SOLUCIÓN:
A partir de la fórmula de De Broglie 8=h/mv, convirtiendo previamente las unidades al S.I.
-1
-1
3
v=100km/h = (100km/h )/ 3,6ms /km/h)= 27,78ms
m=425g = 425g/ (10 g/kg) = 0,425 kg
-34
-1
-1
-35
8 = h/mv = 6,63.10 J.s./( 4,25.10 kg. 27,78ms ) = 5,61.10 m
P8.
¿Cuál será la incertidumbre en la posición de una mosca de 1g que se mueve a una velocidad de 20m/s?
-34
DATOS: h=6,63.10 J.s.
SOLUCIÓN:
El Principio de Incertidumbre de Heisenberg, indica que )p.)x $h/2B.
Puesto que )x $h/(2B.)p)
)p =)m v=(20ms-1 )(10-3kg)=2.10-2 kg.ms-1 ; )x = (6,63.10-34 J.s)/ (2.3,14). (2.10-2 kg.ms-1 ) =5,27.10-33m
P9
¿Cuántos OA de tipo f existirán? ¿Cuántos planos nodales tendrían?
SOLUCIÓN:
Tantos como valores de m. Para los OA f, l=3, m=3,2,1,0,-1,-2,-3, o sea 7, con 3planos nodales pues l=3
P10.
Determinar la energía de ionización del hidrógeno.
8
-1
-34
23
-1
DATOS: c=3.10 ms . h=6,63.10 J.s. nº Avogadro = 6,02.10 mol
SOLUCIÓN:
Fundamentos: la ionización del electrón del hidrógeno implica pasarlo del nivel n=1, hasta el infinito (n f=4, energía final
0), invirtiendo la fórmula de Bohr, puesto que supondría absorción de energía.
Desarrollo:
-18
2
-18
E1 = - 2,18.10 /1 J = - 2,18.10 J
)E = 2,18.10-18 J.
Referido al mol de electrones
E4 = 0 =
-18
23
-1
6
-1
E. I = (2,18.10 J) (6,02.10 mol ) = 1,31.10 Jmol
-5
P11. La longitud de onda de un fotón de luz verde es 5,4. 10 cm. Calcular la energía de un mol de fotones de luz verde.
2
-34
8
23
-1
h= 6,63. 10 J.s. c=3.10 m/s. N=6,02.10 mol
SOLUCIÓN:
-34
8
-7
-19
Se aplica la fórmula de Planck E=hν =hc/λ= (6,63.10 J.s) (3.10 m/s )/( 5,4.10 m) = 3,68.10 J.
-19
23
-1
5
Al referirse a un mol de fotones: (3,68.10 J.)( 6,02.10 mol )=2,22.10 J
P12. Si te dicen que el primer potencial de ionización del Cs es de 3,890eV, determina la frecuencia de iluminación necesaria para
arrancarle el electrón.
1eV=1,6.10-19J. h=6,6.10-34 J.s
SOLUCIÓN:
2
Ec. de Einstein: ½ mv =hν-Φ. Como se trata sólo de arrancar el electrón , v=o, hν=Φ.
-19
-34
14
En el S.I.: 3,89ev (1,6.10 J/eV) = (6,6.10 J.s.) ν ; ν= 9,4.10 Hz
P13. Determinar la máxima energía cinética (en electrón voltios) de los electrones emitidos por una superficie metálica cuya trabajo
14
-7
de extracción que corresponde a una frecuencia umbral de 5.10 Hz , si se ilumina con luz cuya λ es de 4.10 m .
-34
-19
8
-1
h=6,63.10 Js, 1eV=1,6.10 J, c=3.10 ms .
SOLUCIÓN:
2
Ec. de Einstein: ½ mv =hν-Φ.
-34
14 -1
-19
Se calcula Φ = hν0 siendo ν0 la frecuencia umbral. Así: Φ = (6,63.10 Js)( 5.10 s )=3,32.10 J.
8
-1
-7
14 -1
Se calcula la ν de la radiación incidente = c/λ =3.10 ms /4.10 m =7,5.10 s
-34
14 -1
-19
-19
Se aplica la ecuación de Einstein . Ec=(6,63.10 Js)( 7,5.10 s )- 3,32.10 J. =1,66.10 J
-19
-19
Para convertirlo a eV, Ec=(1,66.10 J)( 1ev/1,6.10 J)=1,03 eV
14
15
P14. La radiación visible tiene una frecuencia entre 10 y 10 Hz. Indica si ésta puede producir efecto fotoeléctrico sobre una
placa de rubidio, si el primer potencial de ionización de este metal es de 4,176 eV
h=6,6.10-34 J.s. c=3.108ms-1
DATOS: 1eV=1,6.10-19J.
SOLUCIÓN:
El primer potencial de ionización es el trabajo de extracción. Φ = hν0 = hν
-19
-34
ν0 = 1.1015 Hz
4,176ev (1,6.10 J/eV) = (6,6.10 J.s.) ν0 ;
18
P15 Determinar la velocidad con que sale un electrón de un metal cuando sobre él incide una onda de frecuencia 10 Hz si la
energía de extracción es de 1,5eV .
-31
-34
-19
8
-1
1eV=1,6.10 J, c=3.10 ms .
Me=9,1.10 kg, h=6,63.10 Js.
SOLUCIÓN:
Φ = 1,5ev (1,6.10-19 J/eV)=2,4.10-19J. Si ½ mv2=hν-Φ. ½ (9,1.10-31 kg )v2 = (6,6.10-34 J.s) (1018 s-1 )- (2,4.10-19J.)
5
-1
v =7,27.10 ms
P16 Un electrón excitado de un átomo de hidrógeno vuelve a su estado fundamental y emite radiación electromagnética de 180nm.
Calcular:
a) La frecuencia de la radiación.
b) La diferencia de energía interna entre los dos niveles electrónicos expresada en julios.
-34
7
-1
8
-1
h=6,63.10 J.s ; Ry=1,09.10 m ; c=3.10 ms
SOLUCIÓN:
8
-1
-7
15 -1
Se calcula la ν de la radiación = c/λ =3.10 ms /1,8.10 m =1,67.10 s
-34
15 -1
-18
Aplicando la ecuación de Planck E=hν = (6,6.10 J.s) (1,67.10 s )=1,1.10 J
P17
Determinar la velocidad del electrón excitado del hidrógeno en una órbita del nivel N.
-31
-18
2
DATOS: me =9,1.10 kg. Energía =- 2,18.10 /n J
SOLUCIÓN:
2
2 2
La energía total correspondiente al electrón es –e /2r según se ha visto en el desarrollo teórico. Como se conoce que e /r
2
= mv /r,
2
2
-18
2
-18
-31
6
-1
- ½mv = –e /2r =- 2,18.10 /2n J , de lo que:
v= √ (2. 2,18.10 /. 9,1.10 kg) / n = 2,19. 10 /n ms
aplicando al nivel N, n=4 (excitado)
6
-1
6
-1
v4 = 2,19. 10 /4 ms = 0,55. 10 ms
P18
La tercera raya del espectro del hidrógeno de la serie de Lyman, a qué frecuencia correspondería. ¿Cuánta energía se
liberaría en el salto? ¿En cuántas rayas se desdoblaría en su estructura fina?.
3
8
-1
-34
7
-1
DATOS: c=3.10 ms . h=6,63.10 J.s. Ry=1,09.10 m
SOLUCIÓN:
Se puede plantear a través de la fórmula de Balmer-Rydberg, teniendo en cuenta que nf=1 (Serie de Lyman) y n i =4, al
ser la tercera raya; salto de 4 a 1.
7 -1
2
2
15 -1
Así 1/λ= ν/c = 1,09.10 m (1/1 – 1/4 ); ν = 3,09.10 s .
-34
15 -1
-18
Puesto que E=hν = (6,63.10 J.s)( 3,07.10 s ) = 2,05.10 J.
El desdoblamiento corresponde a saltos en los que )k = "1 Como n f=1,k final 1. Si n inicial=4, k inicial: 1,2,3,4. Por ello
sólo será posible un salto: de 2 a 1, por lo que no se produce desdoblamiento.
P19
¿Cuál deberá ser la longitud de onda y la energía de un fotón capaz de ionizar al electrón excitado del hidrógeno situado
en el nivel L.
8
-1
-34
7 -1.
DATOS: c=3.10 ms . h=6,67.10 J.s. Ry=1,09.10 m
SOLUCIÓN:
Para ionizar el electrón excitado en n=2 (nivel L) y pasarlo al infinito, se podrá emplear la fórmula de Balmer- Rydberg,
considerándola al revés, esto es con absorción de energía, siendo el estado inicial n=2 y el final n=∞, sustituyéndola en la
fórmula de Planck para calcular la energía.
7 -1
2
2
6
-7
(1/λ) =1,09.10 m (1/2 – 1/∞ )= 2,73.10 m-1; λ=3,65.10 m
-34
8
-1
7 -1
2
2
-19
E=hν = hc(1/λ) = (6,67.10 J.s). 3.10 ms . 1,09.10 m (1/2 – 1/∞ ) = 5,45.10 J.
2
P20. Definir el potencial de ionización y determinar a partir de la fórmula de Rydberg, multiplicada en este caso por Z , el
potencial de ionización del sodio (Z=11).
7
-1
-34
8
-1
DATOS:Ry=1,09.10 m ; h=6,63.10 J.s; c=3.10 ms
SOLUCIÓN:
1
El sodio tiene su electrón de valencia en su estado fundamental en 3s , o sea para n=3, por lo tanto aplicando la fórmula
7 -1 2
2
2
de Balmer-Rydberg como en el caso anterior pero modificada : (1/λ) =1,09.10 m Z (1/3 – 1/∞ ),
7 -1
2 2
8 -1
(1/λ)=(1,09.10 m )11 /3 = 1,465.10 m
-34
8
-1
8 -1
-17
Como E=hc(1/λ)=(6,63.10 J.s)( 3,00.10 ms )( 1,465.10 m ) = 2,91.10 J
-10
P21
El virus de la gripe tiene un tamaño aproximado de 400Å (1Å=10 m). Cuál deberá ser la energía mínima de los
electrones para poder observarlo en el microscopio electrónico
8
-1
-34
DATOS: c=3.10 ms . h=6,63.10 J.s
SOLUCIÓN:
-8
Dado que para ser observado la longitud de onda λ debe ser como máximo del tamaño del objeto, o sea 400Å = 4. 10 m y
-34
8
-1
-8
-18
que mediante la fórmula de Planck, E= hν = hc/λ = (6,63.10 J.s.)( 3.10 ms )/ 4. 10 m = 4,97.10 J.
P22
Calcular la longitud de onda de una pelota de tenis de 60g que en un saque se mueve a una velocidad de 200km/h.
-34
h=6,63.10 J.s.
SOLUCIÓN:
Tal como en el 1.5A, se partiría de la fórmula de De Broglie 8=h/mv, convirtiendo previamente las unidades al S.I.
Desarrollo:
-1
-1
v=200km/h = (200km/h )/ 3,6ms /km/h)= 55,56ms
3
-2
m=60g = 60g/ (10 g/kg) = 6.10 kg
8 = h/mv = 6,63.10-34 J.s./( 6.10-2kg. 55,56ms-1 ) = 2.10-34m
P23
Determinar la longitud de onda de De Broglie del electrón excitado del hidrógeno en el nivel M. DATOS: c=3.10 ms .
h=6,63.10-34 J.s. me =9,1.10-31 kg. Energía cinética = 2,18.10-18 /n2 J.
SOLUCIÓN:
Se determina la velocidad del electrón como en el ejemplo para posteriormente aplicar la fórmula de De Broglie 8=h/mv,
como en el 1.4A
2
2 2
La energía total correspondiente al electrón es –e /2r según se ha visto en el desarrollo teórico. Como se conoce que e /r
2
= mv /r,
2
2
-18
2
- ½mv = –e /2r =- 2,18.10 /2n J , de lo que:
-18
-31
6
-1
v= √ (2. 2,18.10 /. 9,1.10 kg) / n = 2,19. 10 /n ms
Como el nivel M corresponde a n=3 ( electrón excitado)
6
-1
6
-1
v3 = 2,19. 10 /3 ms = 0,73. 10 ms Sustituyendo en 8=h/mv,
-34
-31
6
8 = 6,63.10 J.s./( 9,1.10 kg)( 0,73. 10 ms-1) =1,0.10-9 m=1nm.
P24.
8
-1
Determina la longitud de onda de De Broglie de un neutrón que tiene una energía de 1MeV.
-27
-34
-19
Masa del n= 1,69.10 kg
h=6,63.10 J.s.
1eV=1,6.10 J
SOLUCIÓN:
-27
2
6
-19
-13
7
-1
E=½ (1,69.10 kg ) v = 10 eV (1,6.10 J/eV)=1,6.10 J; v=1,37.10 ms
-34
-27
7
-1
-14
Como 8 = h/mv = 6,63.10 J.s./ (1,69.10 kg ) (1,37.10 ms ) = 2,85.10 m
P25. ¿Cuál sería la longitud de onda asociada a un neutrón térmico empleado en fisiones nucleares cuya energía es de 0,05eV.?
4
-27
-34
-19
Masa del n= 1,69.10 kg
h=6,63.10 J.s.
1eV=1,6.10 J
SOLUCIÓN:
El planteamiento es idéntico al anterior para otra energía y velocidad.
E=½ (1,69.10-27 kg ) v2= 0,05eV (1,6.10-19 J/eV)=1,6.10-13J; v=3,076.103 ms-1
-34
-27
3
-1
-10
Como 8 = h/mv = 6,63.10 J.s./ (1,69.10 kg ) (3,076.10 ms ) = 1,27.10 m
P26. ¿Cuál sería la longitud de onda asociada a un protón en un acelerador de partículas cuya energía es de 1eV.?
-27
-19
-34
Masa del protón=1,67.10 kg.
1eV=1,6.10 J.
h=6,6.10 J.s
SOLUCIÓN:
-27
2
-19
-13
4
-1
E=½ (1,67.10 kg ) v = 1eV (1,6.10 J/eV)=1,6.10 J; v=1,38.10 ms
-34
-27
4
-1
-11
Como 8 = h/mv = 6,63.10 J.s./ (1,67.10 kg ) (1,38.10 ms ) = 2,87.10 m
P27
¿Qué dice el Principio de Incertidumbre de Heisenberg?. Si un electrón se mueve con una velocidad de 0,17c, ¿Cuál sería
la incertidumbre de su posición?
-34
-31
8
-1
DATOS: h=6,6.10 J.s.. m (electrón) =9,1.10 kg. c=3.10 ms
SOLUCIÓN:
8
-1
7
-1
Se determina la velocidad v=0,17c=0,17 (3.10 ms )=5,1.10 ms
Al aplicar la expresión de la incertidumbre de Heisenberg, )p.)x $h/2B. Por lo que )x $h/(2B.)p)
)p =)m v=(5,1.107 ms-1)( 9,1.10-31 kg)=4,64.10-23 kg.ms-1; )x = (6,63.10-34 J.s)/ (2.3,14). (4,64.10-23 kg.ms-1 ) =2,27.10-12m
P28. Determinar la velocidad con que debería moverse un electrón en el núcleo de un átomo, si debieran existir en dicho espacio
para justificar la radiación beta, por aplicación del Principio de Incertidumbre de Heisenberg
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DATOS: h=6,6.10 J.s. m(electrón) =9,1.10 kg. Radio medio de un núcleo: 10 m.
SOLUCIÓN:
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-14
-10
-1
Como )mv.)x $h/2B. ; )v $h/(2B.m)x); )v = (6,63.10 J.s)/ (2.3,14). (9,1.10 kg )( 10 m) =1,16.10 ms
velocidad que sería superior a la de la luz.
CUESTIONES DE núcleo atómico
C1. Un determinado núclido de A= 238 y Z=92, emite sucesivamente 2 partículas alfa y dos beta, determinar la estructura del
núcleo producido.
238
92
X − 2( 24 α ) − 2( −10β ) =
238 − 8
92 − 4 + 2
Y=
230
90
Y
C2. Un núcleo con A=126 y Z=50 después de emitir dos partículas de la misma naturaleza, va a producir el núcleo de un elemento
dos lugares mas allá de su posición en el sistema periódico.¿Cuáles serían las características de la radiación emitida?
126
50
X − 2( ZA u ) =
A1
52
Y
126 − 2 A = A1
50 − 2 z = 52
z = −1, por lo que
A = 0 A1 = 126
lo que indica que las partículas emitidas son β
C3. Un núcleo con A=240 y Z=90 emite fundamentalmente dos tipos de radiaciones para estabilizarse ¿Cuáles serán?
Dado que está por encima de la franja de estabilidad, cabe esperar que para aproximarse a ella, emita radiación
αacompañada de la β, para aproximarse a la pendiente 1,5 en la relación n/p.
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