septiembre1

Prueba extraordinaria de septiembre.
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones
1.- Un sastre dispone de 80 m2 de tela de lana y 40 m2 de tela de algodón. Un traje de
caballero requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana. Un vestido de señora requiere 2 m2 de
cada una de las telas.
a) Hallar la cantidad de trajes de cada tipo que debe hacer para maximizar sus ingresos,
teniendo en cuenta que un traje de caballero se vende por 120 euros y un vestido de
señora por 90 euros.
b) Hallar los ingresos que obtendrá si vende todos los trajes y vestidos calculados en el
apartado anterior. Hallar la tela que le sobrará de cada clase si es que sobra.
Solución:
El sastre debe confeccionar x trajes de caballero e y trajes de señora. Con ello, si los vende todos,
obtendrá unos ingresos z = 120 x + 90 y .
El gasto de telas en metros cuadrados será: de algodón x + 2 y ; y de lana 3x + 2y
Se trata de hallar los valores de x e y que maximizan los ingresos (la función z) teniendo en cuenta
que sólo se dispone de 40 m2 de algodón y 80 m2 de lana. Esto produce unas restricciones que
pesan sobre los valores de x e y que se pueden expresar por:
x≥0
y≥0
x + 2 y ≤ 40 (tela de algodón)
3x + 2 y ≤ 80 ( tela de lana)
Para hallar la región factible, esto es el conjunto de puntos que verifican el sistema de
inecuaciones, representamos en primer lugar las rectas asociadas:
x=0 es el eje OY; y=0 es el eje OX .
Representamos la recta 3x+2y=80 buscando las coordenadas de dos de sus puntos que pueden ser
los puntos de corte con los ejes. El punto A(80/3 ,0 ) y D(0 , 40)
Análogamente representamos la recta x + 2y = 40 que corta a los ejes en los puntos E(40,0) y
C(0,20).
Una vez representadas las rectas, hemos de concretar qué puntos del plano cumplen todas las
inecuaciones. Esto lo hacemos evaluando las inecuaciones para un punto de prueba que no
pertenezca a ninguna de las rectas. Por ejemplo el punto P(5,5). Al sustituir las coordenadas de
este punto en las inecuaciones vemos que todas ellas se satisfacen. Esto nos permite añadir a la
figura, en cada una de las rectas unas flechitas que indican la zona en la que se cumple la
inecuación, que es la zona que contiene al punto P, de las dos en que cada recta divide al plano.
Así concluimos que la región factible definida por el conjunto de restricciones es el cuadrilátero
ABCO.
Tenemos las coordenadas de todos estos puntos menos las del punto B. Las hallaremos
 x + 2 y = 40
Restando la segunda ecuación menos la
resolviendo el sistema de ecuaciones: 
3 x + 2 y = 80
primera, se obtiene: 2 x = 40 ; x = 20 ; y sustituyendo en la primera: 20 + 2y = 40 ; y = 10
Las coordenadas del punto B son por tanto: B(20,10)
Sabemos por la teoría de la programación lineal que, si existe una sola solución óptima, ésta se
encuentra en un vértice de la región factible. Si existen infinitas, se encuentran en un lado de la
región factible.
Evaluamos pues en los vértices la función objetivo z = 120 x + 90 y
Z(O) = 0
Z(A) = 120·80/3 + 90·0 = 3200
Z(B) = 120·20+90·10 = 3300
Z(C) = 120·0 + 20.10
El punto óptimo es por tanto el punto B(20,10) . Para maximizar sus ingresos el sastre debe
fabricar 20 trajes de caballero y 10 de señora.
A la misma conclusión hubiéramos llegado representando las líneas de nivel de la función
objetivo, es decir las rectas 120x + 90 y = z (donde vamos dando a z valores). En la siguiente
figura, se ve que es en el punto C donde se alcanza el máximo de la función z .
2.- a) Discutir el siguiente sistema para los distintos valores de m. b) Interpretarlo
geométricamente en cada caso. c) Resolverlo en particular para m = 1.
x-y+z=1
2x-y+z=m
3x+2y-mz=4
Solución:
El determinante del sistema viene dado por:
1 −1 1
A = 2 − 1 1 = m + 4 + 3 − (−3 + 2 + 2m) = − m + 2
3 2 −m
Si A ≠ 0 , tendremos un sistema de solución única, compatible y determinado. Esto ocurre cuando
m ≠ 2 . En este caso el sistema se interpreta geométricamente como tres planos (cada una de las
ecuaciones ) que se cortan en el espacio con un único punto común entre ellos.
Si |A| = 0 , entonces m = 2 y tenemos que estudiar, en este caso, el rango de la matriz A y el de la
matriz ampliada con los términos independientes A’.
1 −1
Puesto que
= −1 + 2 = 1 ≠ 0 ; la matriz A tiene un menor de orden 2 distinto de 0 por lo que
2 −1
su rango es 2.
Veamos ahora el rango de la matriz ampliada:
1 −1 1 1


A' =  2 − 1 1 2  Evaluamos el menor formado por las dos primeras columnas y la cuarta:
 3 2 − 2 4


1 −1 1
2 − 1 2 = −4 + 4 − 6 − (−3 + 4 − 8) = −6 − (−7) = 1 ≠ 0
3 2 4
Tenemos pues que r(A’) = 3 > r(A) = 2 y, por tanto el sistema es incompatible para m = 2.
En este caso el sistema se interpreta geométricamente como tres planos que se cortan dos a dos,
pero no tienen ningún punto común a los tres como en la figura:
Resumimos la discusión del sistema: si m = 2 el sistema es incompatible (no hay soluciones). Si m
≠ 2 el sistema es compatible y determinado (solución única).
Sólo nos queda resolver el sistema cuando m = 1. En este caso, se trata de un sistema de solución
única que resolveremos por el método de Gauss.
1
1 −1 1
1 −1 1 1

 F2 → F2 − 2 F1 

 0 1 − 1 − 1
2 −1 1 1
 3 2 − 1 4  F3 → F3 − 3F1  0 5 − 4 1 




1
 x − y + z =1
1 −1 1



F3 → F3 − 5 F2  0 1 − 1 − 1 →  y − z = −1

0 0
1
6 
z=6


Ecuaciones que nos llevan directamente a la solución: x = 0 ; y = 5 ; z = 6 ;
3.- Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función. Representarla.
 x 2 − 2 x si x < 2
f ( x) = 
2 x − 4 si x ≥ 2
Solución:
a) Continuidad:
Tanto si x es mayor que 2 o menor que 2, f(x) es un polinomio y por tanto es una función
continua. Es decir, si x es distinto de 2 , f(x) es continua. El único posible punto de
discontinuidad podría ser x = 2. Estudiamos pues la continuidad en ese punto hallando los
límites por la izquierda y derecha en x = 2.
Límite por la izquierda en x =2:
Lím− f ( x) = Lím x 2 − 2 x = 4 − 4 = 0
x→2
x→2
Límite por la derecha en x = 2 : Lím+ f ( x) = Lím (2 x − 4) = 4 − 4 = 0
x→2
x→2
El valor de la función en x = 2 es : f(2) = 2·2-4 = 0
Los tres valores son iguales, por tanto f(x) es también continua en x = 2 y, por tanto,
continua en (− ∞, ∞)
b)Derivabilidad:
Tanto si x es mayor que 2 o menor que 2, f(x) es un polinomio y por tanto es una función
derivable y, en esos puntos, su derivada viene dada por:
  x 2 − 2 x  ′ = 2 x − 2 si x < 2


f '( x) = 
′
[ 2 x − 4] = 2 si x > 2
Queda por estudiar la derivabilidad en x = 2 . f(x) será derivable en x = 2 si los límites por
la izquierda y por la derecha de f '(x) en 2, son iguales:
Lím− f '( x ) = Lím 2 x − 2 = 4 − 2 = 2
x→2
x →2
Lím+ f '(2) = Lím 2 = 2
x→2
x→2
Puesto que ambos límites coinciden, f(x) es derivable y su derivada para cualquier valor de
x se puede calcular con la fórmula:
2 x − 2 si x < 2
f '( x) = 
2 si x ≥ 2
4.- Dibuja la función f(x) = 25 - x2 y halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas
entre los puntos de abscisa x =1 y x = 6.
Solución:
Los puntos de corte de f(x) con el eje X vienen dados por la ecuación 25 – x 2 = 0 cuyas soluciones
son x = 5 y x = -5. Además, si x = 0 , y = 25. Por otra parte al ser f(x) un polinomio en el que sólo
figuran potencias pares de x se cumple que f(-x) = f(x) por lo que la función es simétrica respecto
al eje vertical. Resumiendo esto en una tabla y hallando algunos valores más:
x -5 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 6
y 0 16 21 24 25 24 21 16 0 -11
El área que nos piden calcular es la señalada en gris en la figura y viene dada por:
5
A = ∫ (25 − x 2 )dx +
1
∫
6
5
(25 − x 2 )dx
Obsérvese que hemos puesto la segunda integral entre barras, lo que indica que hay que tomar el
valor absoluto. Esto es así porque, al estar la función f(x), entre 5 y 6 , por debajo del eje X, la
integral es negativa. Si no tomamos el valor absoluto estaríamos restando esa área y no sumándola.
Por esa misma razón, no podemos calcular el área evaluando la integral entre 1 y 6.
5
A=∫
5
1
= (125 −
=
6

x3  
x3 
(25 − x )dx + ∫ (25 − x )dx =  25 x −  +  25 x −  =
5
3 1 
3 5

2
6
2
125
1
216
125
) − (25 − ) + (150 −
) − (125 −
)=
3
3
3
3
250 74 234 250 176 16 192
− +
−
=
+ =
= 64 u 2
3
3
3
3
3
3
3
5.- En un centro de enseñanza de idiomas estudian 80 alumnos entre los cuales 20 cursan
francés e inglés simultáneamente, 50 cursan inglés y 45 cursan francés. Se escoge un alumno
al azar.
a) Calcular la probabilidad de que el alumno elegido no estudie francés.
b) Calcular la probabilidad de que el alumno elegido no estudie ni francés ni inglés.
c) Sabemos que el alumno elegido no estudia francés. Calcular la probabilidad de que estudie
inglés.
Solución:
Tratamos en primer lugar de organizar los datos del problema en la tabla de más abajo. La
empezamos a rellenar siguiendo el orden en el que se nos proporcionan los datos del problema. En
la casilla del extremo inferior derecho ponemos los 80 alumnos del centro de enseñanza. Los 20
que estudian francés e inglés simultáneamente los ponemos en la primera casilla de la primera fila.
Los 50 que cursan inglés en el total de la primera columna. Los 45 que cursan francés en el total de
la primera fila. Una vez puestos estos datos, las casillas que quedan vacías las rellenamos haciendo
una resta con los demás datos de la fila o de la columna. Llegaremos así a la tabla completa:
Estudiantes que Estudiantes que Totales
cursan inglés
no cursan inglés
Estudiantes que cursan
francés
20
25
45
Estudiantes que no
cursan francés
30
5
35
Totales
50
30
80
Los valores de la tabla nos permiten responder directamente a las preguntas del problema.
a) El total de los que no estudian francés es 35. La probabilidad de que un alumno elegido al azar
no estudie francés es 35/80 = 0,4375
b) Hay 5 alumnos que no estudian ni francés ni inglés. La probabilidad de elegir uno de ellos es
5/80 = 0,0625
c) Sea I el suceso <<el alumno elegido estudia inglés>>. Sea F el suceso <<el alumno elegido
estudia francés>> Llamaremos F’ al suceso contrario de F.
I ∩ F’ son los alumnos que estudian inglés pero no francés. En la tabla aparecen 30
F’ es el conjunto de los alumnos que no estudian francés: en total son 35.
Por tanto, la probabilidad de que estudie inglés, sabiendo que no estudia francés es:
30
P( I I F ')
30 6
P( I / F ') =
= 80 =
= = 0,8571
35
P( F ')
35 7
80
6.- Se estima que el tiempo empleado por un deportista en la realización de cierta prueba
sigue una distribución normal con media de 20 segundos y desviación típica de 5.
a) Se escoge un deportista al azar. Calcular la probabilidad de que tarde más de 30
segundos en realizar prueba.
b) Se escoge una muestra de 45 deportistas y se calcula la media de los tiempos empleados
en realizar la prueba. Calcular la probabilidad de que resulte una media superior a 22
segundos.
c) Halla un intervalo en el que esté contenida la media de esa muestra de 45 deportistas, con
un nivel de confianza del 90%.
Solución:
Sea X la variable: tiempo empleado por el deportista en la realización de la prueba. El problema
nos dice que X = N(20,5)
30 − 20
a) P(X > 30) = 1 – P( X ≤ 30 ) = 1 − P(Z ≤
) = 1 − P( Z ≤ 2) = 1 - φ(2) = 1 – 0,9772 =
5
0,0223 . ( φ(k) es la función de distribución Normal, cuyos valores obtenemos de la tabla).
b) Designaremos con M, la variable: media de los tiempos empleados por los 45 deportistas. La
5
variable M sigue una distribución normal de media 20 y desviación típica
= 0,7454.
45
22 − 20
) = 1 − P( Z ≤ 2,68) =
M = N(20, 0,7454) ⇒ P(M > 22) = 1 − P(M ≤ 22) = 1 − P( Z ≤
0,7454
=1- φ(2,68) = 1- 0,9963 = 0,0037
c) El intervalo pedido es tal que la probabilidad de que M pertenezca a ese intervalo es 90 % = 0,9
α
1 - α = 0,9 ; α = 0,1 ; 1 − = 0,95 ; z α/2 = 1,645 .
2
Para hallar el valor de z α/2 se hace una lectura inversa de la tabla de la función normal. Es decir, φ(
z α/2 ) = 0,95 . Se busca el valor 0,95 entre los números del interior de la tabla y z α/2 será el valor
que le corresponde, leído en la primera columna de la izquierda y , el segundo decimal, en la
cabecera.
El intervalo es I = (µ - z α/2·
σ
σ
, µ + z α/2·
) = (20 – 1,645·0,7454 , 20 + 1,645·0,7454 ) =
n
n
= (18,77 , 21,23 )
=====================================