Algebra Lineal IX: Vectores Coordenados.

Álgebra Lineal IX: Vectores Coordenados.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1.
Vectores coordenados.
En estas notas definiremos vectores coordenados y algunas de sus propiedades.
Teorema. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y una base, B = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }
de V. Entonces, todo vector ~v ∈ V puede representarse como
~v = a1~v1 + a2~v2 + . . . + an~vn ,
donde los escalares son únicos.
Prueba: Suponga que un vector ~v ∈ V tiene dos “diferentes” representaciones dadas por
~v = a1~v1 + a2~v2 + . . . + an~vn ,
~v = b1~v1 + b2~v2 + . . . + bn~vn ,
Entonces
~0 = ~v − ~v = (a1~v1 + a2~v2 + . . . + an~vn ) − (b1~v1 + b2~v2 + . . . + bn~vn )
~0 = (a1 − b1 )~v1 + (a2 − b2 )~v2 + . . . + (an − bn )~vn .
Puesto que B es una base, los vectores ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn son linealmente independientes y la única solución
es la trivial, por lo tanto
a1 = b 1 , a2 = b 2 . . . an = b n
Las dos representaciones son iguales y la representación es única.
Definición de vector coordenado. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y una
base, B = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } de V. La única n−ada ordenada (a1 , a2 , . . . , an ) de Kn tal que
~v = a1~v1 + a2~v2 + . . . + an~vn ,
se denomina el vector coordenado de ~v con respecto a la base B, y ai es la i−ésima coordenada del
vector ~v con respecto a la base B.
Teorema. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y una base arbitraria B =
{~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } de V. Entonces, todo elemento (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Kn es el vector coordenado de un
único elemento ~v ∈ V y viceversa.
Prueba: El primer teorema de estas notas, número IX, indica que todo vector ~v ∈ V existe
un único elemento (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Kn que es el vector coordenado del vector ~v , con respecto a la
base B. Por otro lado, para cada elemento (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Kn , la unicidad de las operaciones de
multiplicación por escalar y adicional vectorial, el vector
~v = a1~v1 + a2~v2 + . . . + an~vn ,
en V es único.
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2.
Ejemplos.
En esta sección se mostrarán algunos ejemplos de bases de diferentes espacios vectoriales.
Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial R3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el
campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar
real. Considere el siguiente vector, ~v , y la siguiente base de R3 y determine el vector coordenado de ~v
con respecto a la base, B.
1. ~v = (5, −1, 3) B = {~v1 = (1, 0, 0), ~v2 = (0, 1, 0), ~v3 = (0, 0, 1)}
2. ~v = (5, −1, 3) B = {~v1 = (1, 1, 1), ~v2 = (1, 1, 0), ~v3 = (1, 0, 0)}
Ejemplo 2. Considere el espacio vectorial P2 de polinomios de coeficientes reales, sobre el campo
de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real.
Considere el siguiente vector, ~v , y la siguiente base de P2 y determine el vector coordenado de ~v con
respecto a la base, B.
1. ~v = t2 B = {~v1 = t, ~v2 = t − 1, ~v3 = (t − 1)2 }
2. ~v = 2 + t − 5t2 B = {~v1 = 1, ~v2 = (1 − t), ~v3 = (1 − t)2 }
Ejemplo 3. Considere el espacio vectorial M2×2 de matrices 2 × 2 de coeficientes reales, sobre el
campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar
real. Considere el elemento
4 −5
M=
,
6 −3
y la base
1 0
1 0
0
B = M1 =
, M2 =
, M3 =
0 1
0 −1
1
1
0
, M4 =
0
1
−1
0
Determine el vector coordenado de M respecto a la base B.
Ejemplo 4. Considere el espacio vectorial de funciones continuas sobre el intervalo (−∞, ∞),
sobre el campo de los números reales R generado por las funciones f1 (t) = sin2 t, f2 (t) = cos2 t, con
las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Pruebe que B = {f1 (t) =
sin2 t, f2 (t) = cos2 t} es una base del espacio vectorial y determine los vectores coordenados de las
siguientes funciones f (t) = 1 y g(t) = Cos2t respecto a la base B = {f1 (t), f2 (t)}.
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