Ó COMBINACIONES CON REPETICIÓN • Tenemos k objetos

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COMBINACIONES CON REPETICIÓN
Ó
• Tenemos k objetos idénticos para distribuir en n cajas distintas
¿de cuántas formas distintas se pueden introducir los k objetos
en las n cajas, teniendo en cuenta que cada caja puede
contener los k objetos?
Elegimos k de las n cajas para colocar en ellas los objetos,
pudiendo elegir la misma caja más de una vez.
42
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• La alineación de las n cajas da lugar a n  1 tabiques de
separación entre las cajas.
ooo
oo
oooo
ooo
o
o
Hay que elegir la posición de k objetos (ceros) ó de (n  1)
t bi
tabiques
(
(unos)
) de
d entre
t un total
t t l de
d (n
( 1)
1) + k elementos.
l
t
CRn , k
 n 1  k   n 1  k 



 k   n 1 
(Jacob Bernouilli, 1700)
43
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• Combinación con repetición es una
na Selección no
ordenada de k elementos escogidos entre n tipos
diferentes de elementos, donde el mismo elemento se
puede elegir hasta k veces.
veces
El número de selecciones no ordenadas es
CRn , k
 n 1 k   n 1 k 



 k   n 1 
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Ejemplo
En una pastelería hay 12 clases de pasteles.
Un cliente desea comprar 24 pasteles, ¿de cuántas formas
puede hacer su elección?
ooo
Hay que elegir
oo
oooo
k = 24
ooo
o
o
pasteles de un conjunto con
n = 12 clases distintas de pasteles.
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La alineación de las n = 12 cajas da lugar a n  1 = 11
tabiques de separación entre las cajas.
Hay que elegir la posición de
ó la posición de
de entre un total de
CRn12,k 24
k = 24 pasteles
n  1 = 11 tabiques
(n 1) + k = 35 elementos.
 35   35 
     
 24   11 
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Ejemplo
¿Cuántos
¿C
á t resultados
lt d distintos
di ti t saldrán
ld á all lanzar
l
t
tres
d d
dados
iguales a la vez?
Solución
Hay que elegir tres resultados (k = 3) del conjunto
A = { 1, 2, ... , 6 } con n = 6 cajas.
Si xi = nnº de veces que sale i en los dados,
dados entonces
 x1  x 2  ...  x6  3

0  xi  3

8
CRn 6, k 3     56
 3
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• Si tenemos k objetos idénticos para distribuir en n cajas
distintas, teniendo en cuenta que cada caja puede contener k
objetos, se puede considerar que elegimos xi objetos de
tipo i para alguna nupla
 x 1 , , x n  con x i  0 y  x i  k
i 1
n
• Combinación con repetición de k objetos elegidos entre n
es una solución entera no negativa de la ecuación
 x1    x n  k

 0  xi  k
CRn,k
n 1 k  n 1 k 
  

 
 k
  n 1 
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Ejemplos
1) El número de soluciones enteras no negativas de la ecuación
 x1  x 2  x3  x 4  x5  30

0  xi

es
CRn 5,k 30
 34 
  
 30 
2) ¿De cuántas formas se pueden seleccionar 8 piezas de fruta de
una cesta que contiene
i
manzanas, naranjas
j y peras sii ell orden
d en
que se seleccionan las piezas no se tiene en cuenta?
 x1  x 2  x3  8

 0  xi  8
tiene
10 
CRn 3,k 8     45
8
soluciones
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• Una
U solución
l ió entera
t positiva
iti de
d la
l ecuación
ió x1 
  xn  k
es una combinación con repetición de k objetos elegidos
entre n tipos de objetos de modo que se elige, al menos, un
objeto de cada tipo
1º  se elige un objeto de cada tipo n, de una única manera.
2º  se eligen
g k  n objetos
j
de los n tipos,
p , de
CRn, k  n
 n 1 k  n   k 1 



 k  n  k  n
maneras distintas.
di ti t
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Ejemplos
1) El número de soluciones enteras positivas de la ecuación
 x1  x 2  x3  x 4  x5  30

1  xi

es
 29 
CRn 5,k 30 5   
 25 
2) ¿De cuántas formas se pueden repartir 15 caramelos idénticos
entre 4 niños, si cada niño recibe al menos un caramelo?
 x1  x 2  x 3  x 4  15

1  xi

CRn  4,k 15 4
14 
  
 11 
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PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
• Tenemos n objetos de m tipos distintos,
con ki objetos idénticos de cada tipo i,  i  1, , m ,
k1    k m  n
para distribuir
di t ib i en n cajas
j distintas,
di ti t
¿de cuántas formas distintas se pueden introducir los n
objetos en las n cajas, teniendo en cuenta que cada caja
contiene un único objeto?
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• Permutación con repetición
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es una
selección ordenada
de n objetos de m tipos distintos, con ki objetos idénticos
d tipo
de
i i,
i  i  1,
1 , m y con
k1    k m  n
Ell nºº de
d selecciones
l i
ordenadas
d d distintas
di i
es
PR nk1km
 n   n  k1   n  k1  k2   n  k1    k m1 


 
   
k3
km
 k1   k2  
 

PR nk1km
 n 
n!


 
k1!  k m !  k1  k m 
ll
llamamos
a esta expresión
ió número
ú
multinómico.
li ó i
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Ejemplos
1) ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con
todas las letras de ABRACADABRA?
2) ¿Cuántas
C á t sucesiones
i
d longitud
de
l it d 15 con las
l letras
l t
{ a, b, c, d, e } se ppueden formar, de modo qque haya
y
7 a, 3 b, 2 c, 2 d y 1 e?
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3) Un niño reparte 45 cromos entre 3 amigos, regalando 10
cromos a cada amigo, ¿de cuántas formas puede hacerlo?
4) ¿De cuántas formas se pueden distribuir a cuatro
jugadores manos de 5 cartas utilizando una baraja de 52
cartas?
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Soluciones
1))
11!
5, 2, 2,1,1 11  6   4  2 1










PR 11
         
 5   2   2  1 1 5! 2! 2! 1!1!
2)
3)
4)
PR 157,3, 2,2,1
15 
  
7
10,10,10,15
PR 45
5,5,5,5,32
PR 52
 8   5  3  1
15 !
       
 3   2  2  1 7! 3! 2! 2!1!
 45   35   25 
45 !
       
 10   10   10  10! 10! 10! 15!
 52   47   42  37 
52 !
        
 5   5   5  5  5! 5! 5! 5! 32!
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PRINCIPIO DE LA CRIBA (ó de inclusión-exclusión)
• Si A y B son conjuntos finitos, no vacíos, entonces
card ( A  B ) = card ( A )  card ( B )  card ( A  B )
Ejemplos
1) Hallar las permutaciones de {1, 2, ..., 9} que empiezan por 1
ó que terminan en 9.
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2) En una encuesta realizada a un conjunto de 100 personas se
obtienen
bi
l siguientes
los
i i
resultados:
l d
• 25 personas van al cine y al teatro
• 20 personas no van al cine ni al teatro y
• van al cine el doble de personas que al teatro.
Averiguar el número de personas que van sólo al cine y el
número de personas que van sólo al teatro.
58
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Soluciones
1)
U = { permutaciones de {1, 2, ..., 9} }
p
de U qque empiezan
p
ppor 1 }
A = { permutaciones
B = { permutaciones de U que terminan por 9 }
card A = 8 !
card B = 8 !
A  B = { permutaciones empiezan por 1 y terminan por 9 }
card ( A  B ) = 7 !
card ( A  B ) = card A  card B  card ( A  B ) = 15.7 !
59
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2) Sean U = { personas }
A = {personas
{
van all teatro}
t t }
B = {personas
{
van all cine}
i }
A  B = {personas que van al cine y al teatro}
entonces card U = 100 y se verifica
cardd B = 2 card
dA
card
d ( A  B ) = 25
2
card ( A  B ) = card U  card (A  B )´
= card U  card ( A´  B´ ) = 80
card A  card B = card ( A  B ) + card ( A  B ) = 105.
Por tanto,, card A = 35 , card B = 70
60
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PRINCIPIO DE LA CRIBA (ó de inclusión-exclusión)
• Si A , B y C son conjuntos finitos, no vacíos, entonces
card (A  B  C) =
= card (A)  card (B)  card (C) 
 card (A  B)  card (A  C)  card (B  C) +
+ card (A  B  C)
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Ejemplos
1) En el conjunto de los números naturales menores o iguales
que 500, hallar cuántos números no son múltiplos de 2,
ni de 3,
3 ni de 5.
5
2) Hallar las permutaciones de {1, 2, ..., 9} que contengan a
una de las sucesiones 123
123, 456
456, 789
789.
62
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Soluciones
1) Sean N500 =  n  , n  500 
A =  n 500 / n es múltiplo de 2   card A = 250
B =  n 500 / n es múltiplo de 3   card B = 166
C =  n 500 / n es múltiplo de 5   card C = 100
A  B =  n 500 / n es múltiplo de 2 y de 3 
A  C =  n 500 / n es múltiplo
p de 2 y de 5 
B  C =  n 500 / n es múltiplo de 3 y de 5 
A  B  C =  n 500 / n es múltiplo
p de 2 , de 3 y de 5 
card ( A  B ) = 83, card ( A  C ) = 50, card ( B  C ) = 33
card (A  B  C) = 16
card (A  B  C) = 366
Por tanto,
card ((A´  B´  C´)) = card ((A  B  C)´
)
= card N500  card (A  B  C) = 134
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2) A =  permutaciones
i
que contienen
i
123 
B =  permutaciones que contienen 456 
C =  permutaciones que contienen 789 
card A = card B = card C = 7. 6 ! = 7 !
A  B =  permutaciones que contienen 123 y 456 
A  C =  permutaciones que contienen 123 y 789 
B  C =  permutaciones
t i
que contienen
ti
456 y 789 
card ( A  B ) = card ( A  C ) = card ( B  C ) = 5 !
A  B  C =  permutaciones que contienen 123, 456 y 789 
card (A  B  C) = 3 !
Entonces, card (A  B  C) = 3. 7 !  3. 5 ! + 3 ! = 14766
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COMBINACIONES CON REPETICIÓN LIMITADA
Ejemplos
1) ¿Cuántos n  , n < 104 , cumplen que la suma de sus cifras
es 25?
1  n  x1 x 2 x 3 x 4  9999
x1  x 2  x 3  x 4  25
0  xi  9
2) ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación
x1 + x2 + x3 = 17
3  x2  6,,
4  x3  7 ?
2  x1  5,,
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3) Al lanzar tres dados distintos a la vez, ¿en cuántos resultados
posibles la suma es 10?
4) Un niño dispone de un juego de 30 palitos y los dispone en
forma de escalera con 4 tramos, según indica la figura.
a) ¿Cuántas escaleras diferentes puede construir?
b) ¿Y si en cada uno de los tres primeros tramos debe haber
a lo sumo 7 palitos?
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Soluciones
1) Sean X = soluciones no negativas de x1  x2  x3  x4  25 
Ai = soluciones de X con xi  10. Entonces
4 

card  X   Ai   card X   1   2   3   4  


i 1 

4
 28  18   4  8 
 CR n 4,k 25  4CR n 4,k 15   CR n 4,k 5     4     
2
 3   3   2  3 
card X = CRn=4,k=25
1 = 4 card Ai = 4 CRn=4,k=15
 4
4

2 =   card (Ai  Aj) =   CRn=4,k=5
 2
 2
3 = 4 = 0
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y1  x1  2, y2  x2  3, y3  x3  4,
2) S
Se ddefinen
fi
las
l variables
i bl
entonces la ecuación se transforma en  y  y  y  8
1
2
3

0  yi  3
Sean X = soluciones

no negativas de y1  y2  y3  8 
Ai = soluciones de X con yi  4 .
3


card  X   Ai   card X  1   2   3  
i 1 

 3
 CR n 3,k 8  3CR n 3,k 4   CR n 3,k 0
2
card X = CRn=3,k=8
1 = 3 card Ai = 3 CRn=3,k=4
 3
 3


2 =  2  card (Ai  Aj) =  2  CRn=3,k=0
3 = 0
10   6   3  2 
    3     
 2   2   2  2 
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3) Hay que elegir tres resultados, cuya suma sea k = 10 del
conjunto A = { 1,
1 2,
2 3 } con n = 3 cajas,
cajas al menos un
elemento de cada caja.
Sean
xi 
número que aparece en el dado i,
entonces hay que resolver la ecuación
 x1  x2  x3  10
 x1  x2  x3  7


 1  xi  6
 0  xi  5
70
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Sean X = soluciones no negativas de x1  x2  x3  7 
Ai = soluciones de X con xi  6 .
3


card  X   Ai   card X  1   2   3  
i 1 

 CRn3,k 7  3CRn3,k 1
 9   3
    3 
 2  2
card X = CRn=3,k=7
1 = 3 cardd Ai = 3 CRn=3,k=1
2 = 3 = 0
71
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4)
a) Sea xi = nº de palitos que coloca en el tramo de escalera
i-ésimo, entonces el nº de escaleras diferentes que puede
construir es el nº de soluciones enteras de la ecuación
 x1  x2  x3  x4  30

1  xi

  x1  x2  x3  x4  26

0  xi
 29 
esto es,, CRn4,k 26   
 26 
 
72
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b)) Si en cada uno de los tres pprimeros tramos debe haber a lo sumo
7 palitos, entonces el nº de escaleras diferentes es el nº de
soluciones enteras de la ecuación
 x1  x2  x3  x4  30

1  x1,x2 ,x3  7 , 1  x4

 x1  x2  x3  x4  26

0  x1,x2 ,x3  6, 0  x4
Si Ai = {soluciones de x1 + x2 + x3 + x4 = 26 / xi  7}, i=1, 2, 3
entonces la solución es
73