Sucesiones - Universidad Complutense de Madrid

Taller
Matemático
Sucesiones
Cristóbal Pareja Flores
antares.sip.ucm.es/cpareja
Facultad de Estadística
Universidad Complutense de Madrid
1. Sucesiones
Sucesión: Lista de términos, ordenados:
1.
2.
3.
Ejemplos:
(a) 1, 3, 5, 7, …
(d) 1, 2, 4, 8, 16, …
(g) 1, 3, 6, 8, …
(b) 1, -1, 1, -1, …
(e) 1, -3, 9, -27, …
(h) 1, 1, 2, 3, 5, …
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ...
(c) 2, 4, 6, 8, …
(f) 11, 9, 7, 5, …
(i) 1, -3, 5, -7, …
Descripción genérica:
• Mediante un término general:
(j) 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1
(j) 𝑏𝑛 = 2𝑛
(k) 𝑐𝑛 = (−1)𝑛
• Mediante una regla de formación:
(sucesiones recurrentes)
(l) Los dos primeros términos son ... y ... Los siguientes se obtienen
mediante la suma de los dos precedentes.
(Fibonacci)
𝑎1 = 1
𝑎2 = 1
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1
Ejercicio:
(1) Halla los primeros términos de las sucesiones dadas mediante los
términos generales o reglas de formación del apartado anterior.
(2) Busca el término general o la regla de formación de los ejemplos
del apartado inicial.
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2. Sucesiones importantes
2.1. Progresiones aritméticas:
1.
2.
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no):
(a) 4, 7, 10, 13, …
(b) 45, 40, 35, 30, …
(c) 3.5, 3.8, 4.1, 4.4, …
Ejercicio:
• ¿Cuáles de las sucesiones anteriores son progresiones aritméticas?
• En las p.a., halla el primer término, la diferencia y el término general.
• Elige una p.a. cualquiera y suma 𝑎1 + 𝑎10 , 𝑎2 + 𝑎9 , 𝑎3 + 𝑎8 , etc.
3.
Cálculo: suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión aritmética:
𝑆𝑛 =
𝑎1
+ 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
𝑆𝑛 =
𝑎𝑛
+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2 + 𝑎1
---------------------------------------------------------------2𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 + ∗ + ∗ + ⋯ + ∗ + ∗
3.
𝑛 𝑎1 + 𝑎𝑛
𝑆𝑛 =
2
Ejercicio: En las p. a. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + … + 𝑎20 .
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2. Sucesiones importantes
2.1. Progresiones aritméticas:
1.
2.
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no):
(a) 4, 7, 10, 13, …
(b) 45, 40, 35, 30, …
(c) 3.5, 3.8, 4.1, 4.4, …
Ejercicio:
• ¿Cuáles de las sucesiones anteriores son progresiones aritméticas?
• En las p.a., halla el primer término, la diferencia y el término general.
• Elige una p.a. cualquiera y suma 𝑎1 + 𝑎10 , 𝑎2 + 𝑎9 , 𝑎3 + 𝑎8 , etc.
3.
Cálculo: suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión aritmética:
𝑆𝑛 =
𝑎1
+ 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
𝑆𝑛 =
𝑎𝑛
+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2 + 𝑎1
---------------------------------------------------------------2𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 + ∗ + ∗ + ⋯ + ∗ + ∗
3.
𝑛 𝑎1 + 𝑎𝑛
𝑆𝑛 =
2
Ejercicio: En las p. a. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + … + 𝑎20 .
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2. Sucesiones importantes
2.2. Progresiones geométricas:
1.
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑛−1
Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no):
(a) 3, 6, 12, 24, …
(b) 20, 10, 5, 2.5, …
(c) 1, -1, 1, -1, …
2.
Ejercicio: (a) ¿Cuáles de estas sucesiones son progresiones geométricas?
(b) En las p. g., halla el primer término, la razón y el término general.
3.
Suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión geométrica:
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
𝑆𝑛 ∙ 𝑟 =
𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 +
… + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑟
---------------------------------------------------------------------------𝑆𝑛 𝑟 − 1 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑎1
𝑎𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑎1 𝑎1 − 𝑎𝑛 ∙ 𝑟
𝑎1 − 𝑎1 ∙ 𝑟 𝑛−1 ∙ 𝑟
𝑎1 ∙ (1 − 𝑟 𝑛 )
𝑆𝑛 =
=
=
=
𝑟−1
1−𝑟
1−𝑟
1−𝑟
3. Ejercicio: (a) en las p. g. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + … + 𝑎20 .
(b) Cuando una p. g. tiene |𝑟| < 1, ∃𝑆∞ : serie.
Deduce esta fórmula y aplícala a una p. g. concreta.
(c) En la figura, área de la zona naranja.
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2. Sucesiones importantes
𝑎𝑛 = 𝑛𝑘
2.3. Sucesiones de potencias:
1.
2.
𝑎𝑛 = 𝑛2
Cuadráticas:
𝑎𝑛 = 𝑛
Cúbicas:
2.4. Sucesión de Fibonacci:
𝑎1 = 1
𝑎2 = 1
3
𝑆𝑛 =
𝑛 ∙ (𝑛+1)∙ (2𝑛+1)
6
𝑆𝑛 =
𝑛2 (𝑛+1)2
4
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1
10
3. Notación
1.
𝑎𝑛
𝑛=4
Ejercicio. Interpreta, calcula:
𝑛
𝑛
𝑖
𝑖=1
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𝑛
(2𝑖 + 1)
𝑖=1
𝑛
2(𝑖−1)
(11 − 𝑖)
𝑖=1
Sucesiones
𝑖=1
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4. Ejercicio resuelto
Números triangulares
Solución
•
Pongamos unos cuantos términos:
•
No es conocida: formamos
la sucesión de las diferencias:
Conocida:
•
Volvemos a 𝑡𝑛 :
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1
𝑎𝑛 :
𝑎𝑛 = 1 + 𝑛
•
𝑡1 = 1
𝑡2 = 1
𝑡3 = 1
𝑡4 = 1
…
𝑡𝑛 = 1
𝑡𝑛 :
+ 𝑎1
+ 𝑎1 + 𝑎2
+ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
3
2
𝑠𝑛 =
=1
=1
=1
=1
6
3
10
15
4
5
𝑛
𝑖=1(1
+ 𝑖) =
…
21
6
…
𝑛 ∙ (𝑛+3)
2
+ 𝑠0
+ 𝑠1
+ 𝑠2
+ 𝑠3
+ 𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎𝑛−1 = 1 + 𝑠𝑛−1
Sucesiones
= 1 + 𝑠𝑛−1
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5. Ejercicios y problemas
Cuadrados de naranjas
1. Interpreta y calcula:
𝑎1 ,
𝑎2 ,
𝑎𝑛 ,
𝑆𝑛
Pirámides de naranjas
2. Interpreta y calcula:
𝑝1 ,
𝑝2 ,
𝑝𝑛 ,
𝑆𝑛
10
𝑝𝑛
𝑛=4
Fractales
3. Calcula los perímetros.
4. Calcula el número de lados.
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6. Sucesiones en 2D
Elemento genérico de una matriz
(= término general)
1
2
3
4
5
1
6
11 16 21
2
3
4
5
6
6
7
8
9
10
2
7
12 17 22
3
4
5
6
7
11 12 13 14 15
3
8
13 18 23
4
5
6
7
8
16 17 18 19 20
4
9
14 19 24
5
6
7
8
9
21 22 23 24 25
5
10 15 20 25
6
7
8
9
10
Estrategias:
- Buscar primero el término general de cada fila.
Puede interesar buscar primero el “término inicial ficticio” de cada fila.
- Buscar primero el término general de cada columna.
Puede interesar buscar primero el “término inicial ficticio” de cada columna.
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Apéndice A: ideas para buscar patrones
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Apéndice A: ideas para buscar patrones
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Apéndice B: Sucesiones con la división entera
Cociente y resto:
23 // 7 = 3
23 % 7 = 2
Ejemplos de sucesiones:
• Escribe los primeros términos de estas sucesiones:
𝑎𝑛 = 𝑛 // 2
𝑏𝑛 = 𝑛 % 2
𝑐𝑛 = ( 𝑛 − 1) // 7 + 1
𝑑𝑛 = 𝑛 − 1
𝑒𝑛 = (𝑛 + 3) // 5
% 7 + 1
𝑓𝑛 = 𝑛 + 1 % 5
• Halla el término general de éstas sucesiones:
-
1, 1, 2, 2, 3, 3, …
-
4, 5, 6, 4, 5, 6, 4, 5, 6 …
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- 0, 1, 2, 0, 1, 2, …
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- 1, 2, 3, 1, 2, 3, …
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