ALGEBRA I: Conceptos clave

Algebra I
Conceptos claves
Glosario:
Valor absoluto – El valor absoluto de un número a está representado por a . Siempre es un
número positivo y representa la distancia que dicho número dista de cero en la recta numérica.
Expresión Algebraica – Una afirmación matemática que puede usar números, variables, o
ambos.
Area – La cantidad de unidades cuadradas que cubre una superficie dada.
Binomio - (1) La suma o resta de dos monomios.
(2) Un polinomio que contiene dos términos.
Coeficiente - El número que multiplica la variable en una expresión algebraica y está delante de
la variable.
Ejemplo: En la expresión “4x”, 4 es el coeficiente de x.
Plano Coordinado – Un plano formado por dos líneas de números prependiculares llamadas
ejes cartesianos.
Ecuación cúbica – Una ecuación que contiene una variable al cubo.
Datos – Información dada o conocida.
Ecuación – Un enunciado matemático que afirma que dos cantidades son iguales.
Expresiones equivalentes – Expresiones que representan la misma cosa.
Evaluar – Encontrar el valor de una expresión.
Exponente- El número que dice cuantas veces se multiplica la base por si misma.
Frecuentemente es referido como la potencia a la que dicho número está elevado.
Ejemplo: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25
En este ejemplo, 2 es la base y 5 es el exponente.
Se lée: dos a la quinta potencia, o dos a la potencia de cinco.
*Observación* si la potencia es dos entonces se dice que el número está al
cuadrado.
Expresión- Un enunciado matemático que combina operaciones, cifras, y/o variables para
representar a un número.
Factorial – El producto de un número entero multiplicado con todos los números enteros
menores al número dado.
Ejemplo: 5! Se lee como 5 factorial
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Factoreo - La acción de encontrar los factores de un número.
Ejemplo: encuentre los factores de 6
6 × 1 = 6 y 2× 3 = 6
así que los factores de 6 son 1, 2, 3, y 6
Hipotenusa – El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto.
Ejemplo:
(hipotenusa)
Desigualdad – Un enunciado matemático que muestra la relación entre cantidades que no son
iguales. Usa los siguientes símbolos: <, >, ≤ , ≥ , o ≠ .
Números enteros – El grupo de números enteros y sus opuestos.
(opuestos)
(Números enteros negativos)
(Números enteros positivos)
Operaciones inversas – Operaciones que se contrarestan la una a la otra.
Ejemplo: 4 × 2 = 8 ⇔ 8 ÷ 2 = 4
Números Irracionales – Números que cuando son expresados en notación decimal, tienen un
decimal que no se repite y que no se puede hacer fracción. Todos los números reales que no son
racionales.
Ejemplo: pi, 3
Cateto – Cualquiera de los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto o
uno de los dos lados congruentes de un triángulo isósceles.
Términos semejantes – Expresiones que contienen las mismas variables elevadas a la misma
potencia.
Ejemplos: 6xy, -2xy, y 2.5xy son términos semejantes
2a2b , y -4a2b son términos semejantes
La mejor línea recta – Una línea que se dibuja en un diagrama de dispersion lo más cercana
posible a todos los puntos en el diagrama de dispersión.
Lineal – Un grupo de puntos que cuando están dibujados en una gráfica forman una línea recta.
Ecuación lineal – Una ecuación cuya solución gráfica forma una línea recta.
Media – El promedio de un conjunto de números.
Mediana – El número del centro, o el promedio de los dos números centrales, en un conjunto de
números ordenados de menor a mayor.
Moda – El número que aparece con más frecuencia en un conjunto de números. Puede haber una
moda, modas multiples o ninguna.
Monomio – Un número, una variable o el producto de un número y una o más variables.
Ejemplos: 4, x, 4x, 4xy
No-lineal – Un conjunto de puntos que cuando dibujados en una gráfica no forman una línea.
Ecuación no- lineal – Una ecuación en la cual la solución gráfica no forma una línea recta.
Opuestos – Números para los cuales los valores absolutos son iguales.
Ejemplo: -3, y 3
−3 = 3 , y 3 = 3
Orden de operaciones – El orden en el que se hacen las operaciones: 1) Primero las operaciones
en paréntesis; 2) evalúe los exponentes; 3) multiplique y divida de izquierda a derecha; y 4) sume
y reste de izquierda a derecha.
Par Ordenado – Un par de números en el cual el orden es importante. Escritos en la forma (x, y)
para localizar un punto en el plano de coordenadas.
Origen – (1) Punto cero en la recta númerica.
(2) Donde el eje x, y el eje y se intersectan en el plano de coordenadas.
Parábola – Una ecuación escrita en la forma y = ax2 + bx +c.
Perimetro – La distancia alrededor de una figura geométrica plana.
Polinomio – Un monomio o la suma o diferencia de dos o más monomios.
Potencia – El exponente de un número.
Ejemplo: 43 se lee como 4 a la tercera potencia
Proporción – Una ecuación que muestra que dos razones son iguales.
4 2
Ejemplo: =
6 3
Teórema de Pitágoras – Para un triángulo rectángulo a2 + b2 = c2, donde a, y b son las medidas
de los catetos del triángulo y c es la medida de la hipotenusa del triángulo.
Cuadrante – Una de las cuatro secciones de un plano de coordenadas rectángulares.
Ecuación cuadrática – Una ecuación de la forma de ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0.
Razón – Una comparación de dos números o cantidades.
3
5
Números Racionales – Cualquier número que puede expresarse como razón de la forma
a
donde a y b son números enteros y b ≠ 0.
b
9
Ejemplo: 0.5, 3/5, -3, 8, 3
10
Ejemplo: 3 a 5, o 3:5, o
Números reales – El conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.
Triángulo rectángulo – Un triángulo que tiene un ángulo con una medida de 90 o .
Simplificar – Reducir una expresión a su forma más simple combinando términos semejantes.
Pendiente – La inclinación de una recta.
Forma de pendiente - intercepto – Una ecuación escrita en la forma y = mx + b, en donde m es
la pendiente y, b es el intercepto en y.
Solución – El valor que hace verdadera a una ecuación.
Cuadrado – El producto de un número por si mismo.
Ejemplo: 22 = 2 × 2
42 = 4 × 4
Raíz cuadrada – Uno de los dos factores iguales de un número. Representado por
Ejemplo: 3 es la raíz cuadrada de 9 por lo que 32 = 9
También se escribe como 9 = 3
.
Término – Un número, una variable, o el producto de números y variables.
Trinomio – (1) La suma o la resta de tres monomios.
(2) Un polinomio que contiene tres términos.
Variable – Una letra que se usa para representar a un número.
Eje de x – El eje horizontal en el plano coordenado rectángular.
Intercepto de x – El punto donde la gráfica cruza al eje x, y se escribe en la forma (#, 0).
Eje de y – El eje vertical en el plano coordenado rectángular.
Intercepto de y - El punto donde la gráfica cruza al eje y, y se escribe en la forma (0, #).
ALGEBRA I: Conceptos clave:
Es conveniente que usted tenga el glosario a mano y haga los ejemplos ¡para practicar!
I.
Unidad 1 – Variables y Expresiones
El estudiante usará el concepto de una variable para escribir expresiones algebraicas y combinar
términos semejantes. El estudiante también usará las propiedades de la suma y la multiplicación
para simplificar expresiones algebraicas, también usará el orden de operaciones para simplificar
expresiones numéricas.
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El estudiante descubrirá lo que es una variable llenando tablas.
El estudiante escribirá expresiones algebraicas a partir de palabras.
El estudiante sumará, restará, multiplicará, y dividirá números enteros.
El estudiante usará el orden de operaciones para simplificar expresiones numéricas.
El estudiante usará las propiedades de la suma y la multiplicación para simplificar
expresiones algebraicas.
El estudiante valorará expresiones algebraicas.
El estudiante simplificará expresiones algebraicas combinando términos semejantes.
A.
Lección 1: Variables
Lea la definición y luego la explicación de las siguientes variables.
Variables
Normalmente usamos letras como n, t, o x para representar variables. Por ejemplo, podemos decir
que s representa la longitud del lado de un cuadrado. Ahora tratemos a s como si fuera un número
que pudieramos usar. El perímetro del cuadrado es dado por 4 × s. El area del cuadrado es dada por
s × s. Cuando trabaje con variables, puede servir de ayuda el usar una letra que le recuerde la
variable que representa: si n es el número de gente en un cine; dejemos que t sea el tiempo que toma
viajar a algún sitio; dejemos que d sea la distancia de mi casa al parque.
Tarea para Variables – Estudie el ejemplo, luego llene las tablas.
Ejemplo:
# horas
trabajadas
0
1
2
Pago por hora
Ingreso bruto
$5
5
5
5 × 0 = $0
5 × 1 = $5
5 × 2 = $10
3
4
5
5
5 × 3 = $15
5 × 4 = $20
n
5
5×n
Llene la tabla para cada uno de lo siguientes problemas:
1. El alquiler de las películas cuestan $2 cada una.
# de
películas
1
2
3
4
n
precio
Su coste
2. Un estudiante compra una pizza por $9.85 y da una propina de $1.00 sin importar el
número de pizzas que se compren.
# de pizzas
coste del
número dado
de pizzas
propina
coste total
1
2
3
4
p
B. Lección 2: Expresiones Algebraicas
Lea los siguientes ejemplos. Después complete y escriba una expresión algebraica para los
ejemplos de la vida real.
Ejemplo 1: Estos son ejemplos de expresiones algebraicos:
2
x
3+7
2 × y+5
2 × 6 × (4 - 2)
z + 3 × (8 - z)
Ejemplo 2:
Rolando pesa 70 kilogramos, y Mark pesa k kilogramos. Escriba una expresión para su peso (de
ambos) combinado. El peso combinado en kilogramos de estas dos personas es la suma de su
peso, lo que es 70 + k.
Ejemplo 3:
Un coche viaja por la autopista a 55 kilómetros por hora. Escriba una expresión de la distancia
que el coche habrá viajado después de h horas . La distancia es igual a la velocidad multiplicada
por el tiempo, así que la distancia viajada es igual a 55 × h.
Ejemplo 4:
Hay 2000 litros de agua en una piscina. El agua está llenando la piscina a una velocidad de 100 litros
por minuto. Escriba una expresión de la cantidad de agua, en litros, en la piscina después de m
minutos. La cantidad de agua añadida a la piscina después de m minutos sera de 100 litros por
minuto multiplicado por m, o 100 × m. Ya que empezamos con 2000 litros de agua en la piscina,
sumamos esto a la cantidad de agua añadida a la piscina para obtener la expresión 100 × m + 2000.
Tarea para Expresiones Algebraicas:
Escriba una expresión algebraica para cada uno de los ejemplos de la vida real.
1. Las entradas a un concierto cuestan $15.50 cada una. Si se compran n entradas, ¿cuál es
el costo total?
2. Se alquilan películas a $2.50 cada una. ¿Cuál es el cargo por alquilar x número de
películas?
3. Una compañía de teléfonos celulares cobra $.34 por minuto tarifa plana.
4. Un coche contiene g número de galones de gasolina. Escriba una expresión algebraica de
la cantidad que el tanque contiene después que 5 galones son añadidos.
En las preguntas 5 – 10, primero identifique lo que representa cada variable y después escriba la
expresión.
5. Un técnico de TV cobra $35 por venir a su casa y $25 por hora por trabajar en su TV.
6. Una compañía de teléfonos celulares cobra $16.95 tarifa básica más $.35 por minuto de
llamada.
7. Una compañía de servicios públicos cobra $12 por los primeros 100 kilowatios-hora de
electricidad usada en una casa y $.14 por cada kilowatio-hora por encima de 100.
8. Un fontanero cobra $20 por llamada de servicio más $5 por hora por arreglar un
fregadero.
9. La compañía de teléfono cobra $.15 por minuto tarifa plana por llamadas de larga
distancia.
10. Una compañía cobra $19.95 por el servicio de Internet hasta 60 minutos de tiempo
conectado. Después de 60 minutos la compañía cobra $.10 por minuto de conexión.
C. Lección 3: Suma y Resta de números enteros
Estudie la siguiente información sobre como sumar y restar números enteros usando una recta
numérica.
•
•
•
•
Mueva hacia la derecha en la recta numérica para añadir un número entero positivo.
Mueva hacia la izquierda en la recta numérica para añadir un número entero negativo
Para restar un número entero simplemente súmele su opuesto
¡IMPORTANTE! - (-b) = + b
Ejemplos:
1+ 5 = 6
1 + (-7) = -6
-3 + (-2) = -5
1-5 = 1+(-5) = -4
-3-5 = -3 +(-5) = -8 2 – (-3) = 2 + 3 = 5
Estudie las reglas y luego haga los problemas de abajo.
Reglas para sumar números enteros:
1) Si los signos son los mismos, sume el valor absoluto de los dos números y use el signo en
común.
Ejemplo:
-5 + -6 = -5 + -6 = 5+6 = 11, el signo en común es negativo así que la respuesta es –11.
2) Si los signos son diferentes, tome la resta de los valores absolutos y use el signo del número
con el valor absoluto mayor.
Ejemplo:
-5 + 3 = -5 – 3 o 5 - 3 = 2, pero la respuesta final sera –2 ya que
-5 es mayor que 3. Por lo tanto, -5+3 = -2.
En términos más simples, las reglas para sumar números enteros son:
1. Si los signos son los mismos, sume los números y mantenga el mismo signo.
Ejemplo 1: 2 + 5 = 7
Ejemplo 2: -2 + -5 = -7
2. Si los signos son diferentes, reste los números y use el signo del número “mayor”.
Ejemplo 1: 2 + -5 = -3
Ejemplo 2: -2 + 5 = 3
Tarea para sumar números enteros:
1. -3 + 5 = _____
2. -4 + -13 = _____
3. -16 + 12 = _____
4. 3 + (- 7) = _____
5. -17 + -64 = _____
6. 0 + -17 = _____
7. -63 + 63 = _____
8. 23 + (- 8) = _____
9. -8 + 3 = _____
10. 43 + 0 = _____
11. 59 + - 27 = _____
12. -33 + - 9 = _____
13. 25 + - 1 = _____
14. -13 + 7 = _____
15. En un juego de cartas su puntuación actual es de -10 puntos, y en la última ronda usted
gana 15 puntos adicionales. ¿Cuál es su puntuación final? _____
Estudie los ejemplos para restar números enteros, entonces haga los problemas de abajo.
Para restar números enteros, sume el opuesto.
Ejemplo 1: 2 - 5 = 2 + -5 = -3
Ejemplo 2: -2 - 5 = -2 + -5 = -7
Ejemplo 3: 2 - -5 = 2 + 5 = 7
Ejemplo 4: -2 - -5 = -2 + 5 = 3
Tarea para restar números enteros:
1. -5 - 7 =
2. 3 - 9 =
3. -52 - 9 =
4. -13 - -7 =
5. 8 - 12 =
6. -27 - 35 =
7. -32 - 23 =
8. -4 - -9 =
9. 13 - 9 =
10. -33 - -35 =
11. -21 - 6 =
12. -44 - -18 =
13. -8 - -8 =
14. 19 - -7 =
15. -22 - 7 =
16. 34 - -7 =
17. -14 - -1 =
18. 75 - -49 =
19. -23 - 6 =
20. -2 - 2 =
21. -17 - -19 =
22. -43 - -43 =
23. 9 - -9 =
24. 23 - -4 =
25. La temperatura es de 64 grados y desciende a 13 grados. ¿Cuál es la temperatura actual ?
_____________ grados.
26. El saldo de su cuenta bancaria es de 10 dólares y usted escribe un cheque por $32. ¿Cuál
es su saldo actual? ¿Está su cuenta sobre-giranda? Explique su respuesta
D. Lección 4: Multiplicando y dividiendo números enteros
Estudie a continuación cómo multiplicar y dividir números enteros. Primero, intente averiguar
las reglas estudiando los ejemplos, después se explicarán las reglas.
Ejemplos:
2 × –4 = -8
-2 × 5 = -10
-2 × –3 = 6
-2 × –5 = 10
-10 ÷ 2 = -5
-12 ÷ –2 = 6
10 ÷ –2 = -5
12 ÷ 2 = 6
Para multiplicar o dividir números con signos, usted debe multiplicar o dividir los valores
absolutos. Use las reglas a continuación para decidir el signo positivo o negativo de la respuesta.
• La multiplicación de dos números enteros positivos o dos negativos multiplicados juntos
resultan en un producto con un signo positivo.
• Un número entero positivo y uno negativo multiplicados juntos resultan en un producto
con un signo negativo.
• La división de dos números enteros positivos o dos números enteros negativos dan un
cociente que es positivo.
• La división de un número entero negativo y un número entero positivo dan un cociente
negativo.
Lea y estudie las reglas para multiplicar y dividir dos números enteros, entonces haga los
problemas.
para multiplicar dos números enteros:
para dividir dos números enteros:
(+) ÷ ( +) = +
(-) ÷ ( -) = +
(+) ÷ (-) = (-) ÷ (+) = -
(+ )× (+) = +
(-) × (-) = +
(+) × (-) = (-) × (+) = Ejemplos:
2 × 5 = 10
-2 × -5 = 10
-2 × 5 = -10
2 × -5 = -10
10 ÷ 5 = 2
-10 ÷ –5 = 2
-10 ÷ 5 = -2
10 ÷ –5 = -2
Multiplique o divida.
1. –13 × 10 =
11. 99 ÷ -9 =
2. 25 ÷ -5 =
12. -45 ÷ -5 =
3. -36 ÷ / -6 =
13. –34 × 2 =
4. –4 × -8 =
14. -64 ÷ -4 =
5. 24 ÷ 4 =
15. –8 × -7 =
6. –3 × 6 =
16. 36 ÷ -12 =
7. -39 ÷ 3 =
17. –5 × -5 =
8. 22 × -2 =
18. –81 ÷ -9 =
9. 13 × 4 =
19. 14 × 4 =
10. -100 ÷ 10 =
20. –3 × -7 =
E. Lección 5 – Orden de Operaciones
Lea las reglas y las explicaciones sobre el orden de operaciones y como pueden usarse para
simplificar expresiones numéricas. Estudie los ejemplos.
Reglas a seguir para expresiones que tienen más de una operación:
•
•
•
•
Haga todas las operaciones que están dentro de los paréntesis.
Complete las operaciones que tienen exponentes o radicales.
Haga cualquier multiplicación o division de izquierda a derecha.
De nuevo, de izquierda a derecha, haga cualquier suma o resta.
Este orden de operaciones está resumido a continuación:
Paso 1 – Agrupando símbolos: ( ), [ ]
Paso 2 - Exponentes: 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Paso 3 - Multiplicación y división en orden de izquierda a derecha.
Paso 4 – Suma y resta en orden de izquierda a derecha.
Ejemplo 1:
-2(5) + 2(6) - 9 =
-10 + 12 - 9 =
2
- 9 = -7
(Haga la multiplicación de izquierda a derecha, y luego la suma y la resta de izquierda a
derecha.)
Ejemplo 2:
4(-12 + 3) =
4(-9) = -36
(Sume los números entre paréntesis primero, luego multiplique.)
La información a continuación provee explicación más extensa con ejemplos:
Evaluar una expresión con cierto número significa que reemplazamos una variable en una
expresión con el número, y simplificamos la expresión.
Ejemplo 1:
Evaluar la expresión 4 × z + 12 siendo z = 15.
Reemplazamos cada lugar donde aparece z con el número 15, y simplificamos usando las reglas
usuales: paréntesis primero, luego exponentes, multiplicación y división, entonces suma y resta.
4 × z + 12 =
4 × 15 + 12 =
60 + 12 =
72
Ejemplo 2:
Evalúe la expresión (1 + z) × 2 + 12 ÷ 3 - z siendo z = 4.
Reemplazamos cada lugar donde aparece z con el número 4, y simplificamos usando las reglas
usuales: paréntesis primero, luego exponentes, multiplicación y división, entonces suma y resta.
(1 + z) × 2 + 12 ÷ 3 - z =
(1 + 4) × 2 + 12 ÷ 3 - 4 =
5
× 2 + 12 ÷ 3 - 4 =
10 + 4 - 4 =
14
– 4 = 10
quizá usted quiera usar este recurso para la memoria para ayudarlo cuando no tenga las reglas
delante de usted. PEMDSR (“Por favor Excuse a Mi Doña Señora Rosa”) le ayuda a recordar el
orden de operaciones P – Paréntesis, luego, E – Exponentes, después MD –
Multiplicación/División de izquierda a derecha, y por útimo, SR – Suma /Resta de izquierda a
derecha.
Tarea para el orden de operaciones: Simplifique cada expresión númerica.
1. –3 × 2 – 6 × 7
10. 4(10 - 8) + 3
2. 33 ÷ 3 – 9 × (- 5 + 2)
11. (8.9 - 5) ÷ (6 + 7)
3. -96 ÷ -6 - 8
12. 15 – 3 × (2 - 15)
4. 12 - (- 3) + 5 - 6
13. (19 + 18 ÷ 2) ÷ 2
5. –26× 5 ÷ -10
14. 3 + (92 - 8) ÷ 7
6. 144 ÷ (-6 × -8)
15. 4 × 8 ÷ 2(6)
7. -21 - -13 - 10
16. –8 × 5 - 8
5
2
8. 2 - 3 + 2
17. 33 – 2× (9 - 19)
9. -15 + 19 ÷ 19 + 2 × 5
18. –4 × 5 × -6 ÷ ( - 4)
19. 4 × (x +2) - 2x siendo x = 2
20. x – 4 + x × -3 siendo x = 6
F. Lección 6 – Propiedades
Debemos usar propiedades algebraicas para simplificar expresiones algebraicas y resolver
ecuaciones.
Propiedad Conmutativa: La propiedad conmutativa tiene que ver con el orden en que se
escriben los números cuando usted realiza una operación dada. Por ejemplo, 3 + 5 da el mismo
resultado que 5 + 3. El orden en que los números están escritos no importa. La propiedad
commutativa no funciona para la resta ya que 3 - 5 es -2, pero 5 - 3 es 2. ¿ y qué ocurre con la
multiplicación y la división? Pruebe con un ejemplo numérico para mostrar si esta propiedad
funciona con estas operaciones. En términos algebraicos la propiedad conmutativa afirma que
a + b = b + a, y ab = ba.
Propiedad Asociativa : La propiedad asociativa es una propiedad de agrupación. Cuando
sumamos tres números, esta propiedad nos dice que no importa qué números sumamos
primero. Por ejemplo, sumando 2, 3, y 5 da una respuesta de 10 sin importar qué números se
sumen primero. Muestra que (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5). Recuerde, el orden de operaciones nos
dice que hagamos la operación en el paréntesis primero. En términos algebraicos, (a + b) + c = a
+ (b + c). ¿Funciona esta propiedad para la resta, multiplicación y división? Sólo funciona para
la suma y la multiplicación. De ejemplos para mostrar como no funciona para la resta y la
división.
Identidad: Ambas la suma y la multiplicación tienen una identidad. Una identidad es un número
que no cambia el valor de un número dado bajo una operación dada La identidad para la suma es
cero, porque cualquier número que sea sumado a cero resultará en el número original. Por
ejemplo, 4 + 0 es 4. La identidad para la multiplicación es 1 porque cualquier número
multiplicado por 1 resulta en el número original (6 por 1 es 6). Estas dos identidades son muy
importantes a la hora de resolver ecuaciones.
Distributiva: La propiedad distributiva es una propiedad que incluye ambas, la multiplicación y
la suma. Una vez más, esta propiedad será muy importante para simplificar expresiones
algebraicas y resolver ecuaciones. La propiedad afirma que si usted no puede simplificar lo que
está dentro del paréntesis, y se multiplica un número por ese paréntesis, se puede pasar por alto
el orden de operaciones (La propiedad que indica que hay que hacer lo que está dentro del
paréntesis primero) y multiplique cada número en el paréntesis por el número fuera del
paréntesis. Normalmente usted sumaría y luego multiplicaría para completar el siguiente
problema: 4(3 + 5) es 4 por 8 o 32. (Note que un número próximo al paréntesis sin un signo de
operación significa ¡multiplicar!) Pero la propiedad distributiva afirma que podemos multiplicar
4 por 3, luego multiplicar 4 por 5 y sumar las dos respuestas. ¡Inténtelo! 4 por 3 es 12; 4 por 5 es
20; 12 + 20 es 32, obtenemos la misma respuesta usando el orden de operaciones. En términos
algebraicos, a(b + c) = ab + ac. Recuerde, el número fuera del paréntesis debe multiplicarse por
ambos números de dentro del paréntesis y se suman los resultados. Esta propiedad es únicamente
verdadera cuando un número se multiplica por un paréntesis que contiene una suma o una resta
de números.
Tarea usando las propiedades: Use la propiedad dada para reescribir cada uno de las
siguientes expresiones
Use la propiedad conmutativa para escribir una expresión equivalente.
1.
2.
3.
4.
x+2=
3y =
5+n=
g × 3=
Use la propiedad asociativa para escribir una expresión equivalente.
5.
6.
7.
8.
3 + (n + 2) =
(5x)y =
(a + b) + c =
x(yz) =
Use la propiedad de identidad o la identidad de cero para escribir una expresión equivalente.
9. 1n =
10. 0s =
11. n + 0 =
12. y / y =
Use la propiedad distributiva para escribir una expresión equivalente.
13. 2(a + 3) =
14. (x + y)5 =
15. 4(7 + x) =
G. Lección 7 – Evaluando expresiones algebraicas
Para evaluar expresiones algebraicas primero se sustituye el valor dado para la variable y
entonces se usa el orden de operaciones para simplificar la expresión.
Ejemplo: Evalúe; -2x si x = 3
-2(3) = -6
Tarea: Evalúe cada una de las expresiones algebraicas para el valor de la variable(s) dado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
3x + 2y para x = -1 y “y” = 3
4x para x = -3
-5a + 3 para a = 2
4x + y siendo x = 5 y “y” = -4
3xyz para x = 2, y = -1 y z = 3
5x - 3y para x = -3 y “y”= -6
H. Lección 8 – Combinando términos semejantes
Repase los ejemplos dados y complete la tarea.
Ejemplo 1: Simplifique 3x + 2y –4x + 6y
3x + 2y - 4x + 6y se convierte en -x + 8y porque (3x) y (-4x) son términos semejantes y se
simplifican a (–x) . De igual manera (2y) y (6y) son términos semejantes y se simplifican a
(8y).
Ejemplo 2: Simplifique -3(2x + 4) - 9
Usando la propiedad distributiva, -3(2x + 4) se convierte en -6x - 12. La expresión es entonces
-6x - 12 - 9. Sumando términos semejantes -12 y -9 resulta en -21. Por lo tanto -3(2x + 4) 9 se simplifica a -6x - 21.
Tarea: Simplifique cada una de las expresiones algebraicas.
1. 6x + 9 + 2x
2. 7 + u + 9t + 5u
3. 4(6n + 9) - 10n
4. k + 1 - 4(2k - 9)
5. 6n + 2n + 7w + 2 + 3n
6. 7x - 4x + 6y - x - 9y
7. 3(-u - 5) + 8(2u + 1)
8. -10k - 3 + 2(5 + 6k)
9. -6x - 3y + 5x + 7y
10. 7x - 2(3x + 1) - 8
11. 3y + 4x - 6y - 7 + 2y
12. -9 + 3(2b - 5)
13. -5(3c - 6) - 4c + 9
14. 7 - 3(q - 6) + 5q
15. - j + 4j
16. 5 + 6w - 8r - 4w - 5r – 7
II.
Unidad 2 – Ecuaciones y Desigualdades
El estudiante formulará y resolverá ecuaciones que incluyan valores absolutos y situaciones de la
vida real. El estudiante formulará, resolverá, y trazará la gráfica de desigualdades en la línea
numérica incluyendo interpolaciones, equivalencia, y orden de relaciones.
•
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•
•
•
•
El estudiante resolverá ecuaciones de un paso que incluyan suma y resta.
El estudiante resolverá ecuaciones de un paso que incluyan multiplicación y división que
incluya ecuaciones de proporción.
El estudiante resolverá ecuaciones de dos pasos que incluyan las cuatro operaciones.
El estudiante resolverá ecuaciones de dos pasos que combine términos semejantes.
El estudiante resolverá ecuaciones que incluyan la propiedad distributiva.
El estudiante resolverá ecuaciones con variables en ambos lados.
El estudiante escribirá y resolverá ecuaciones.
El estudiante resolverá ecuaciones de valor absoluto.
El estudiante escribirá y trazará la gráfica de desigualdades en la rectaa numérica.
El estudiante resolverá y trazará la gráfica de desigualdades en la recta numérica.
A.
Lección 1 – Ecuaciones de un paso
La suma y la resta son conocidas como operaciones inversas.
Repase los ejemplos y complete la tarea siguiente.
Ejemplos:
1. x + 2 = 5
-2 -2 (Inverso de la suma)
x=3
2. x - 3 = 4
+3 +3 (Inverso de la resta)
x=7
3. x + 4 = -2
-4 -4 (Inverso de la suma)
x = -6
4.x - 7 = -3
+7 +7 (Inverso de la resta)
x=4
Tarea: Simplifique cada ecuación.
1. x - 9 = 26
2. x + 8 = -52
3. x + 91 = 22
4. x - 7 = -45
5. x + 42 = -18
6. x - 6 = 29
7. x - 21 = -22
8. x + 7 = -18
9. x - 12 = -36
10. x + 14 = 26
11. x - 17 = 14
12. x + 11 =3
La multiplicación y la división son operaciones inversas.
Repase los ejemplos y complete la siguiente tarea.
Ejemplos:
1. 3x = -6
3x = -6
3
3
x=2
2. –x = 12
-x = 12
-1 -1
x = -12
(Inverso de la multiplicación)
(Inverso de la multiplicación)
1
x=5
2
2 1
2
( )( ) x = (5)( )
1 2
1
x = 10
3.
3
4
x=
7
7
7 3
4 7
( )( ) x = ( )
3 7
7 3
4
1
x= =1
3
3
(Multiplique por el recíproco)
4.
(Multiplique por el recíproco)
Tarea: Simplifique cada ecuación.
1. -6y = 18
2. y/7 = 15
3. -x = 108
4. (2/9)x = 22
5. 12x =32
6. (-1/9)x = -7
7. (3/8)z = 12
8. -x = 20
9. (1/6)x = -2
10. (5/6)x = 30
11. 9x = -9
12. (4/5)x = 1/4
13. (-5/11)x = 35
14. 12z = -36
15. (3/5)f = -24
16. (-1/2)x = 4
17. -8x = 96
18. 4x = -4
19. -21x = 84
20. (-3/4)x = 9
B. Lección 2 – Ecuaciones de dos pasos
Cuando trabaje con ecuaciones de dos pasos, recuerde revertir el orden de operaciones cuando
las esté resolviendo. (A esto también se le conoce como la inversa de la operación.)
Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplos:
1. 3x - 4 = 11
+4 +4 (Inverso de la resta)
3x = 15
3x = 15
3 3 (Inverso de la multiplicación)
x=5
2. -7x + 3 = 45
-3 -3 (Inverso de la suma)
-7x = 42
-7x = 42
-7 -7 (Inverso de la multiplicación)
x = -6
3. (2/3)x + 15 = 17
-15 -15 (Inverso de la suma)
(2/3)x = 2
(3/2)(2/3)x = (3/2)(2) (Multiplique por el recíproco)
x = 6/2 = 3
4. (-3/4)x - 2 = -5
+2 +2 (Inverso de la resta)
(-3/4)x = -3
(-4/3)(-3/4)x = (-4/3)(3) (Multiplique por el recíproco)
x = 12/3 = 4
Tarea: Simplifique cada ecuación.
1. 2x + 33 = 17
2. x/5 - 16 = -3
3. 23x - 45 = 116
4. 7x - 13 = -76
5. (5/7)x + 28 = 8
6. -11x - 20 = -97
7. 17 - x = 5
8. 6x + 25 = 1
9. (1/4)x - 15 = -7
10. 33 - x = 8
11. -3x - 7 = -28
C. Lección 3 – Combinando ecuaciones de términos semejantes
Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplos 1: Simplifique 16x + 42 - 13x = 24
3x + 42 = 24 (Combine términos semejantes)
-42 -42 (Inverso de la suma)
3x = -18
3
3 (Inverso de la multiplicación)
x = -6
Ejemplo 2: Simplifique 10 - 16x + 9 = -13
-16x + 19 = -13 (Combine términos semejantes)
-19 -19 (Inverso de la suma)
-16x = -32
-16 -16 (Inverso de la multiplicación)
x=2
Tarea: Simplifique cada ecuación.
1. 52x - 14 - 35x = -133
2. 36x - 21 - 24x = -105
3. 31x - 22 + 11x = 188
4. 23x + 18 + 24x = -358
5. 57x + 23 - 42x = -97
6. -17x - 22 - 8x = 128
7. -25x - 17 - 18x = 284
8. 53x - 18 + 7x = 162
9. 75x - 29 - 53x = 59
10. 23x - 45 - 38x = -15
11. 27x + 19 - 39x = -65
12. 45x - 83 + 9x = 25
13. -14x - 23 - 15x = 151
14. -22x - 25 - 9x = 99
15. 14x - 53 - 32x = 73
D.
Lección 4 – Ecuaciones con la propiedad distributiva
La propiedad distributiva quiere decir que la multiplicación se distribuye sobre la suma. Se
escribe como: a × (b + c) = a × b + a × c, siendo a, b y c cualquier número.
Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplo 1: Simplifique 4(2x + 7) = 108
8x + 28 = 108 (Propiedad distributiva)
-28 -28 (Inverso de la suma)
8x = 80
8 8 (Inverso de la multiplicación)
x = 10
Ejemplo 2: Simplifique 5x - 4(2x + 11) = 13
5x - 8x - 44 = 13 (Propiedad distributiva)
-3x - 44 = 13 (Combine términos semejantes)
+44 +44 (Inverso de la resta)
-3x = 57
-3 -3 (Inverso de la multiplicación)
x = -19
8(3x - 5) + 20 = -68
Ejemplo 3: Simplifique
24x - 40 + 20 = -68 (propiedad distributiva)
24x - 20 = -68 (Combine términos semejantes)
+20 +20 (Inverso de la resta)
24x = -48
24 24 (Inverso de la multiplicación)
x = -2
Tarea: Simplifique cada ecuación.
1. -6(5x + 2) = 198
2. 5x - 4(2x + 11) = 13
3. 4(3x + 2) - 18 = 14
4. 3(7x + 9) = -15
5. 17 - (6x + 3) = -16
6. 4x - 5(3x + 10) = 126
7. -(5x + 8) + 12 = 34
8. 5(7x - 8) = -320
9. 7x + 3(4x - 1) = -79
10. -7(2x - 5) = 161
11. 18 - 6(5x - 8) = -24
12. -4(5x - 2) + 7 = -5
13. 3x + 4(3x - 5) = 25
14. -6(7x + 5) = 12
E.
Lección 5 – Ecuaciones con variable en ambos lados
El primer paso para resolver ecuaciones donde hay variables en ambos lados es eliminar la
variable de un lado usando operaciones inversas.
Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplos 1: Simplifique 2x = 5x – 3
(Operación inversa)
-5x -5x
-3x = -3
-3 -3
(Inverso de la multiplicación)
x=1
Ejemplo 2: Simplifique 11m – 23 = 12m + 5
(Operación inversa)
-11m
-11m
-23 = m + 5
(Inverso de la suma)
-5
-5
-28 = m
Tarea: Simplifique cada ecuación.
1. 5x - 18 = 6x + 4
2. 12x + x = 5 - 2x
3. 3(x + 8) = 7x
4. -5(x + 2) = 3(x + 2)
5. -3(x + 5) = 2(x + 5)
6. 5x - x = x + 15
7. 26x + 15 = 32x + 3
8. 12d + 4 = 8d
9. 14x - 2 = 19x + 33
10. 108 + 4x = -2x
11. 6(7 - x) + x = 36 + x
12. 5(x + 6) = 8x
13. -7(4x + 2) = 5(2x + 1)
14. 9x - 22 = 4x + 3
F.
Lección 6 – Ecuaciones con aplicaciones
Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplo: Tara compró pizzas a $9.99 cada una y un paquete de doce refrescos por $4.29. Gastó
un total de $44.25. ¿Cuántas pizzas compró?
Primero, usted necesita identificar la variable que no conoce:
Supongamos que p es la variable que usamos por el número de pizzas compradas.
Segundo, usted necesita escribir una ecuación usando la información dada:
9.99p + 4.29 = 44.25
Tercero, Usted resuelve la ecuación:
9.99p + 4.29 = 44.25
- 4.29
-4.29 (Operación inversa)
9.99p =
9.99
39.96
9.99 (Operación inversa)
p = 4, Tara compró 4 pizzas.
Tarea: Escriba y simplifique la ecuación de cada situación dada.
1. Jody compró una botella de jugo de fruta que costó $2.29 y 9 cajas de jugo. Él pagó un
total de $5.17. ¿Cuánto costó cada caja de jugo?
2. El perimetro de un rectángulo es de 22 pulgadas. Si la longitud del rectángulo es 7
pulgadas, ¿Cuál es el ancho del rectángulo?
3. Bolígrafos de caligrafía cuestan $3 cada uno. Un paquete de papel especial cuesta $5.75.
El coste de un paquete de papel y algunos bolígrafos es de $32.75. ¿Cuántos bolígrafos se
compraron?
4. El área de un rectángulo es de 35 pulgadas cuadradas. El ancho del rectángulo es 5
pulgadas. ¿Cuál es la longitud del rectángulo?
5. Connie Purcell alquila un coche por $27 por día. El costo total de su contrato de alquiler
es $216. ¿Por cuántos días alquiló Connie el coche?
6. Un triángulo tiene una base de 10 cm y un área de 25 cm cuadrados. ¿Cuál es la altura del
triángulo?
7. Un paralelogramo tiene una altura de 24 cm y un área de 312 cm cuadrados. ¿Cuál es la
longitud de la base?
G.
Lección 7 – Ecuaciones de valor absoluto
El valor absoluto es la distancia que hay desde un número entero a cero. Esto quiere decir que
hay dos números 3 y -3 que distan tres unidades de cero. (En otras palabras, |x| = 3 tiene dos
soluciones: x = 3 and x = -3.)
Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplo 1: Resuelva | x + 2 | = 5
x+2=5 o
x + 2 = -5
-2 -2
-2 -2
x=3
x = -7
Ejemplo 2: | 2x - 6 | = 12
2x - 6 = 12 o
+6 +6
2x = 18
2 2
x=9
2x - 6 = -12
+6 +6
2x = -6
2
2
x = -3
Ejemplo 3: Resuelva | 2x | = -4
No tiene solución (el valor absoluto no puede ser negativo)
Ejemplo 4: Resuelva | 2x | -5 = -3
+5 +5
| 2x | = 2
2x = 2 o
2 2
x=1
2x = -2
2 2
x = -1
Ejemplo 5: Resuelva - 4 | x - 7 | = -16
-4
-4
|x-7|=4
x - 7 = 4 o x - 7 = -4
+7 +7
+7 +7
x = 11
x =3
Ejemplo 6: Resuelva - 2 | x - 2 | = 4
-2
-2
| x - 2 | = -2
No solución
Tar
ea: Resuelva cada ecuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
| 3x - 7 | = 14
| 5x | - 8 = -3
-2 | 2x - 1 | = 4
| 4x - 2 | = 6
(-1/2)| x - 6 | = 2
| x + 5 | = 11
| 2x + 1 | + 5 = 14
| 3x | = 9
H.
Lección 8 – Desigualdades
> - mayor que – Para marcar el punto(s) límite en la recta numérica se usa un círculo abierto.
< - menor que - Para marcar el punto(s) límite en la recta numérica se usa un círculo abierto.
> - mayor que u igual a - Para marcar el punto(s) límite en la recta numérica se usa un círculo
cerrado (sólido).
< - menor que o igual a - Para marcar el punto(s) límite en la recta numérica se usa un círculo
cerrado (sólido)
Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplos:
1. El coche de Jean consigue al menos 30 millas por galón de gasolina.
x = millas por galón, así que la desigualdad es x > 30.
2. Usted debe tener las edades de 8 ó 35 años ó tener entre 8 y 35 años para participar en una
carrera.
x = la edad que usted debe tener para participar en la carrera, así que la desigualdad es
8 < x < 35.
Tarea: Escriba una desigualdad que describa la situación, luego trace una gráfica con
todos los puntos en la recta numérica que hagan el enunciado verdadero.
1. Jack gana más de $300 cada semana.
2. El agua permanecerá helada cuando todas las temperaturas sean menores de 0 grados
Celsius.
3. Cuando los presidentes de los Estados Unidos tomaron posesión de su cargo por primera
vez, sus edades eran o estaban entre 42 y 69 años.
4. La temperatura estaba por deebajo de los 23°F toda la tarde.
5. Sarah corre más de 3 millas cada día.
I.
Lección 9 – Resolviendo desigualdades
Las desigualdades se resuelven en muchos casos del mismo modo que las ecuaciones con una
excepción – Cuando usted multiplica o divide por un número negativo el símbolo de la
desigualdad se cambia (se da la vuelta). Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplo 1: Resuelva 2x + 2 > 6
- 2 - 2 (Inverso de la suma)
2x > 6
2 2 (Inverso de la multiplicación)
x > 3 (El signo de la desigualdad no se cambió/giro porque la
desigualdad no fue dividida por un número negativo)
Ejemplo 2: Resuelva -3x - 5 < 7
+5 +5 (Inverso de la resta)
-3x < 12
-3 -3 (Inverso de la multiplicación)
x > -4 (El signo de la desigualdad se cambió/giró porque la
desigualdad fue dividida por un número negativo)
Tarea: Resuelva y trace una gráfica para cada desigualdad en la recta numérica.
1. 3x + 1 < 34
2. -2x - 5 > 7
3. 4x - 9 > 15
4. 3x - 4 < 11
5. 5x - 3 > 12
6. -2x - 19 < 3
7. 6x + 5 > 35
8. 12x + 5 < 41
9. -4x - 7 > 25
10. -5x + 7 < -38
III.
Unidad 3 – Gráficas
El estudiante reconocerá y graficará ecuaciones lineales en el sistema de coordenadas
Cartesianas usando tablas-T, pendiente, interceptos de “x” y “y”, y transformaciones con una
introducción a las características de gráficas tales como dominio/alcance. El estudiante también
graficará funciones no-lineales en el sistema de coodenadas Cartesianas y empezará a notar
cómo estas funciones pueden ser transformadas.
•
•
•
•
•
•
•
•
El estudiante graficará puntos en el sistema de coordenadas Cartesianas y determinará en
qué cuadrante situar los puntos.
El estudiante graficará diagramas de dispersión a partir de cierta información y empezará
a descubrir situaciones lineales y no-lineales.
El estudiante graficará ecuaciones lineales usando tablas-T y empezará a descubrir la
notación de la función y dominio/alcance.
El estudiante graficará ecuaciones lineales usando interceptos de “x” y “y”.
El estudiante investigará la pendiente y cómo las líneas se traducen y se reflejan a través
del uso de el intercepto de “y” y la pendiente.
El estudiante graficará dos puntos y encontrará la pendiente de la línea resultante.
El estudiante trazará gráficas dada la pendiente y un punto en la línea.
El estudiante resolverá un sistema simple de ecuaciones que incluya ecuaciones lineales y
no-lineales usando el méthodo gráfico.
A. Lección 1 – Sistema de Coordenadas Rectangulares
El sistema de coordenadas rectangulares es una gráfica hecha de dos rectas de números. Estas
líneas son el eje “x” y el eje “y”. El eje x está situado horizontalmente y el eje y está situado
verticalmente. A la intersección de estas dos líneas se le conoce como el origen. Cada punto en la
gráfica está asociado con un par ordenado. El par ordenado se escribe como (x, y), donde “x” es
la coordenada “x” y “y” es la coordenada “y”. Para el origen, este par ordenado es (0, 0). Vea el
dibujo a continuación para una explicación visual de la gráfica.
Ejemplo: Grafique los siguientes puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y diga en
qué cuadrante se sitúan.
A (-2, 6), B (4, 0)
Primero fijese en el valor de “x” y “y” en el punto A. el valor de x es 2 negativo y el
valor de y es 6 positivo.Usted puede representar esto así (-, +), así el punto se
situará en el cuadrante II.
Segundo, fíjese en el valor de “x” y “y” para el punto B. El valor de x es 4 positivo y el
valor de y es cero. Usted puede representar esto así (+, 0). Por lo tanto este punto no se
sitúa en un cuadrante sino en la recta numérica. Como el valor de y es 0 tiene que
situarse en el eje x.
El cuadrante I tiene el par ordenado, (x, y), representado por los valores (+, +). El
cuadrante II tiene el par ordenado, (x, y), representado por los valores (-, +). El cuadrante
III tiene el par ordenado, (x, y), representado por los valores (-, -). El cuadrante IV tiene
el par ordenado, (x, y), representado por los valores (+, -).
Tarea: Haga una gráfica de los siguientes puntos en un sistema de coordenadas
rectangulares y decida si se sitúan en el cuadrante I, II, III or IV de un sistema de
coordenadas rectangulares.
1. (-2, 4)
2. (3, 5)
3. (0, -2)
4. (5, -2)
5. (-2, -8)
6. (-4, 0)
7. (5, 6)
8. (0, 3)
9. (-4, 4)
10. (3, 0)
B. Lección 2 – Diagramas de Dispersión
Repase las definiciones de lineal y no-lineal y la Unidad 1, lección 2 en expresiones algebraicas
entonces haga la siguiente tarea.
Tarea: El estudiante hará una tabla par las siguientes situaciones y hará una gráfica de los
puntos resultantes.
1. Hagá una gráfica para cobrar por llamadas para servicios que incluyan varias horas de
duración para el siguiente trabajo: Un técnico de electrodomésticos cobra $75 por una
visita a una casa y $65 por hora. Tenga en cuenta que si su electrodoméstico está
simplemente desenchufado todavía debe algo por la visita. También las fracciones de una
hora se cobran a la tarifa de la hora completa.
2. Hagá una gráfica de los puntos en la gráfica del problema #1. ¿Son los datos en este
diagrama de dispersion lineales o no- lineales? Explique porqué usted piensa que esto es
cierto.
3. Grafique el siguiente conjunto de datos:
Edad
# de dientes
6 meses
2
6 meses
3
8 meses
5
10 meses
6
1 año
10
13 meses
10
4. ¿Son los datos en es diagrama de dispersion lineales o no- lineales? Explique por qué
usted piensa que esto es cierto.
5. ¿Son todos los diagramas de dispersión lineales?
Ahora discutiremos las relaciones de los diagramas de dispersión.
Este diagrama de dispersión muestra una
relación positiva entre los dos grupos de
datos porque los puntos se amontonan y
parecen estar subiendo desde el lado
izquierdo de la gráfica al lado derecho de la
gráfica
Este diagrama de dispersión muestra una
relación negativa entre los dos grupos de
datos porque los puntos se amontonan y
parecen estar bajado desde el lado izquierdo
de la gráfica al lado derecho de la gráfica
Este diagrama de dispersión no muestra
ninguna relación entre los dos grupos de
datos porque los puntos no se amontonan
y no parecen estar subiendo o bajando
desde el lado izquierdo de la gráfica al
lado derecho de la gráfica
C. Lección 3 – Tablas-T
Repase el ejemplo y complete la tarea.
Ejemplo: Haga una tabla-T para la ecuación y = 2x + 2 luego haga una gráfica de la línea.
Primero, elija cualquier valor que quiera para x, luego sustituya este valor en la ecuación y
despeje por y.
x
2x + 2
y
-2
2(-2) + 2
-2
-1
2(-1) + 2
0
0
2(0) + 2
2
1
2(1) + 2
4
2
2(2) + 2
6
De este modo, los pares ordenados son (-2, -2), (-1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6).
La ecuación y = 2x + 2 puede también escribirse en notación funcional como f(x) = 2x + 2 el
dominio es el grupo de números reales y el alcance es el grupo de números reales.
El dominio son las cantidades que se ponen en una función y el alcance son los resultados de la
función.
Tarea: Haga una tabla-T para cada ecuación y después use el sitio web listado arriba para
hacer una gráfica de la ecuación lineal y comprobar sus resultados. ¿Están los puntos en su
tabla-T graficados en una línea?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
y = 2x - 1
y = -3x + 2
y = 1/2 x + 1
y = -x - 3
y = 2x
y = 2x - 1.5
D Lección 4 – Formula de la pendiente
La pendiente se define como la inclinación de una recta. La pendiente se encuentra cuando se
grafican dos puntos y luego se cuenta el ascenso o altura y despus el curso o el desplazamiento y
ascenso
se calcula la razón de
. Otro modo de encontrar la pendiente es encontrar el cambio de
curso
las coordenadas y, ( y2 − y1 ), y réstale cambio de las coordenadas x, ( x2 − x1 ), entonces haciendo
y −y
la razón de (cambio de las coordenadas y/cambio de las coordenadas x) m = 2 1
x2 − x1
EJEMPLO: Grafique (3, 0) y (0, 5)
Por lo tanto, la altura es 5 y el curso es -3 produciendo una pendiente de -5/3 para esta recta. La
pendiente se denota por la letra m, así que m = -5/3 para esta recta.
La pendiente de esta recta también puede encontrarse por la fórmula: m =
Por lo tanto, para esta recta, m =
y2 − y1
x2 − x1
5−0
5
5
=
=−
0−3 −3
3
Las rectas que tienen una altura de 0 y un curso de algún otro número tienen una pendiente de
0
cero; así como = 0
#
Las rectas que tienen una altura de algún otro número y un curso de 0 son indefinidas; así como
#
= indefinido porque la división por cero es indefinida.
0
Tarea: Grafique los siguientes puntos usando el sitio web y encuentre la pendiente de la
recta.
1. (1, 2) y (4, 4)
2. (-4, -2) y (2, -5)
3. (3, -3) y (4, 1)
4. (-2, 4) y (0, -2)
5. (0, -1) y (4, 3)
6. (-1, 0) y (-3, 4)
7. (-5, 2) y (-3, -3)
8. (5, -1) y (-2, -4)
9. (2, 1) y (5, 3)
10. (0, -1) y (4, -7)
11. (1, -4) y (6, -2)
12. (5, 2) y (-1, 2)
13. (7, 4) y (7, -4)
14. (-1, 5) y (0, 0)
15. (0, 1) y (2, -2)
16. (1, 2) y (4, 6)
E. Lección 5 – Interceptos de X e Intercepto de Y
El intercepto de x es el punto donde la gráfica cruza al eje x, y se escribe en la forma (#, 0). Por
lo tanto, el valor del punto y es 0, el valor de x es el número en el eje x. ie. (6, 0) cruza al eje x en
6.
El intercepto de y es el punto donde la gráfica cruza al eje y, y se escribe en la forma (0, #). Por
lo tanto, el valor del punto x es 0, el valor de y es el número en el eje y. ie. (0, 4) cruza al eje x en
4.
Repase el ejemplo y complete la tarea.
Ejemplo: Use el intercepto de x y el intercepto de y para hacer una gráfica de la ecuación lineal y
= -2x - 1.
Primero, encuentre el intercepto de x haciendo y = 0 y resolviendo la ecuación resultante:
0 = -2x - 1
+1
+1
1 = -2x
-2 -2
-1/2 = x
Así que, El intercepto de x es (-1/2, 0).
Ahora, encuentre el intercepto de y haciendo x = 0 resolviendo la ecuación resultante:
y= -2(0) - 1
y=0-1
y = -1
Así que, El intercepto de y es (0, -1).
Tarea: Encuentre el intercepto de x y el intercepto de y y para cada ecuación.
1.
2.
3.
4.
5.
y = 2x - 2
y = -3x + 1
y = 1/2 x - 2
y = -3x - 2
y = 2x + 4
6. y = 3x
F. Lección 6 – Forma de Pendiente-Intercepto de una Ecuación
Muchas veces las ecuaciones lineales se escriben en la forma estandar, ax + by = c, donde ambos
a y b son números reales. Todas las ecuaciones lineales se pueden escribir en este formato, pero
usando esta forma puede resultar molesto al trazar la gráfica. Por este motivo, transformamos la
ecuación en forma de intercepto de la pendiente y = mx + b.
Repase los ejemplos y complete la tarea.
Ejemplos: Escriba cada ecuación en forma pendiente-intercepto.
Resolviendo ecuaciones estandar para y es muy parecido a resolver ecuaciones de un paso con
una variable. La idea es eliminar todo lo que está al lado de y, luego dividir para despejar y. En
otras palabras, queremos que la ecuación se vea de la forma de la pendiente intercepto, así como
y = mx + b donde m es un número real que representa la pendiente de la recta y b es un número
real que representa el intercepto de y de la recta. Ahora vamos a ver algunos ejemplos.
Ejemplo 1: Resuelva 2x + y = 6
(Recuerde que queremos despejar y)
(Elimine 2x haciéndolo negativo)
-2x
-2x
y = 6 - 2x or
y = -2x + 6
Usamos la propiedad conmutativa de la suma para lograr
que el término x esté delante de la constante. No tenemos
que dividir en esta solución porque la y representa ya 1y.
Ejemplo 2: Resuelva - 3y + 4x = - 5
-4x -4x
-3y = -4x - 5
-3
-3
(Recuerde que estamos despejando y)
(Elimine 4x haciéndolo negativo)
(Propiedad conmutativa de la suma)
(Divida ambos lados por -3. Asegúrese de dividir
ambos términos al lado derecho del = por -3)
y = 4/3x + 5/3
Tarea: Resuelva cada ecuación por y (forma de la pendiente intercepto).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3x + 2y = 24
4x + 3y = 18
8x - 3y = 12
-5x + 2y = 20
2x - 4y = -5
-3x + 2y = -1
2x + y = 8
3x + 2y = 10
2x - 7y = 21
10. -4x + 5y = 12
G. Lección 7 – Pendiente e intercepto de Y
Cuando a usted se le da una ecuación y quiere resolverla usando la pendiente y el intercepto de y
usted debe asegurarse de que la ecuación está en la forma de y = mx + b, donde m representa la
pendiente y b representa el intercepto de y.
Ejemplo 1: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones usando la pendiente y el intercepto de y.
1
A: y = x , B: y = -4 x
4
1
1
Para y = x : pendiente ; m = , el intercepto de y ; b = 0
4
4
Ahora, usando esta información haga la gráfica del intercepto de y use la pendiente para
hacer la gráfica de puntos adicionales. Como el intercepto de y es 0 empiece en el origen
1
encuentre el punto siguiente. Para hacer esto vaya
entonces usando la pendiente de
4
hacia arriba (positivo) 1 unidad y a la derecha (positivo) 4 unidades ya que la pendiente
es positiva. (También puede ir hacia abajo [negativo] 1 unidad y a la izquierda [negativo]
4 unidades porque negativo dividido por negativo es positivo). Repita este paso por unos
cuantos puntos. Dibuje una recta a través de los puntos y tiene su gráfica.
Para y = -4 x : pendiente = m = -4 , intercepto de y = b = 0
Repita el procedimiento de arriba.
Ejemplo 2: Trace una gráfica de las siguientes ecuaciones usando la pendiente y el intercepto de
y.
C: y = 3 x - 1, D: y = -3 x + 1
Para y = 3 x - 1: pendiente = m = 3 , intercepto de y = b = -1
Ahora, usando esta información haga la gráfica del intercepto de y, use la pendiente para
hacer la gráfica de puntos adicionales. Como el intercepto de y es -1 empiece en -1 en el
eje y, entonces usando la pendiente de 3 encuentre el siguiente punto. Para hacer esto
vaya hacia arriba (positivo) 3 unidad y a la derecha (positivo) 1 unidad ya que la
pendiente es positive. (También puede ir hacia abajo [negativo] 3 unidades y a la
izquierda [negativo] 1 unidad porque negativo dividido por negativo es positivo.) Repita
este paso por unos cuantos puntos. Dibuje una recta a través de los puntos y tiene su
gráfica.
Para y = -3 x + 1: pendiente = m = -3, y intercepto de y = b = 1
Repita el procedimiento de arriba.
Debe tener rectas que coinciden con la siguiente gráfica. Cada línea tiene la letra correspondiente
a la ecuación próxima a ella.
Tarea 1: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.
1.
2.
3.
4.
y=x
y = 1/2 x
y = 2x
y = 3x
Tarea 2: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.
1.
2.
3.
4.
y = -x
y = -1/2 x
y = -2x
y = -3x
Tarea 3: Explique con sus propias palabras cómo las ecuaciones en la Tarea 1 y 2 se
comparan y se diferencian, y porqué razones se diferencian.
Tarea 4: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.
1.
2.
3.
4.
y=x+1
y=x+2
y=x+3
y=x
Tarea 5: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.
1. y = 2x
2. y = 2x + 1
3. y = 2x + 2
4. y = 2x – 1
Tarea 6: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones.
1. y = -2x + 1
2. y = 2x + 1
Tarea 7: Explique con sus propias palabras cómo las ecuaciones en la Tarea 4, 5 y 6 se
comparan y se diferencian, y porqué razones se diferencian.
H.
Lección 8 – Analizando Gráficas
Usando lo que usted ha aprendido hasta ahora complete la siguiente tarea.
Tarea: Grafique las ecuaciones que usted escriba en cada situación.
1. Suponga que un equipo de sopladora de aire comprimido cuesta $50. Las camisetas
corrientes cuestan $4 cada una. Una ecuación lineal describiendo el costo de y para hacer
x número de camisetas es y = 4x + 50. Usted recibe 85 encargos de camisetas. Tiene
$350 para gastar en el coste de producción. Use la gráfica del #1 para decider si tiene
suficiente dinero para cumplir con los 85 encargos. Explique porqué o porqué no
apoyándose en los datos de la gráfica.
2. Usted decide cobrarle a los clientes $12 por camiseta. El coste de su producción es
todavía el mismo que en #1. Una ecuación de su beneficio P por hacer y vender n
camisetas es beneficio = ingresos – coste, P = 12n - (4n + 50). Haga una tabla y la gráfica
que representa el beneficio de hacer y vender 68 camisetas. ¿Es su gráfica lineal?
3. Cómo se compara la gráfica del #2 a la gráfica del #1. ¿Cómo se ha transformado la línea
del #1 al #2? ¿Cuál es la pendiente de la recta en #1 y la pendiente de la recta en #2?
¿Qué recta tiene la pendiente más inclinada? ¿Por qué ocurrió esto?
I. Lección 9 – Trazado de gráficas usando la pendiente y un punto
Par hacer la gráfica de una línea dados la pendiente y un punto, primero se coloca el punto en la
gráfica. Luego se usa la pendiente para contar la altura y el curso desde el primer punto para
obtener el siguiente punto en la línea.
Ejemplo: m = 2, (3, -1). Primero coloque el punto en la gráfica (3, -1) entonces usando la
pendiente de 2/1 cuente hacia arriba 2 y hacia la derecha 1 para darle el punto (4, 1).
Tarea: Trace la gráfica con la siguiente información.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
m = -4 , (2, 3)
m = 3 , ((-1, 2)
m = -4/3 , (1, 0)
m = 2/3 , (0, 3)
m = -1 , (3, 1)
m = -3/5 (-1, -4)
J. Lección 10 – Resolviendo desigualdades lineales por gráficas
Resolver desigualdades lineales para y es muy parecido a resolver ecuaciones lineales para y con
una excepción – cuando usted multiplica o divide por un número negativo, la dirección del
símbolo de la desigualdad cambia.
Ejemplo: resuelva 3x - 2y < 12 por y.
3x - 2y < 12
(Elimine 3x haciéndolo negativo)
-3x
-3x
(Propiedad conmutativa de la suma)
-2y < -3x + 12
-2
-2
(Divida ambos lados por -2)
y > 3/2 x - 6
(Cambie el símbolo porque usted dividió por un número
negativo.)
Para comparar esta ecuación a y = mx + b sabemos que m = 3/2 , y b = - 6. Ahora haga una
gráfica de esto.
Observe que la linea de la recta en esta gráfica está segmentada. Igual ocurre con las
desigualdades de una variable, si la desigualdad es < o > entonces la recta está abierta (punteada)
para mostrar que los puntos en la recta no son parte de la solución. Las desigualdades que tienen
la barra igual, < and >, son rectas cerradas (sólidas) para mostrar que los puntos en la recta de la
flinea están incluidos en la solución. La gráfica está sombreada por arriba de la recta de la linea
porque son esos puntos los que hacen el enunciado cierto. Para comprobar su solución, elija un
punto de arriba o de abajo de la recta y vea si el enunciado es cierto. Por ejemplo, si elegimos el
punto (1, 3) que está por arriba de la recta y lo sustituimos en la desigualdad obtenemos lo
siguiente:
y > 3/2 x – 6
3 ? 3/2 (1) - 6 (Substituya 3 por y , 1 por x)
>
3 > 3/2 – 6
3 > -4 1/2 entonces el enunciado es cierto y la gráfica es correcta.
Ahora sabemos que lo siguiente debe estar hecho en orden para trazar gráficas de desigualdades:
1) Trace la gráfica de la recta y = mx + b identifique la pendiente además el intercepto de y.
2) Determine si la recta es punteada o sólida por medio del símbolo de la desigualdad.
3) Elija un punto de arriba y uno de abajo de la recta para comprobar la ecuación. Usted
sombreará el lado donde está el punto que es cierto.
Tarea: Resuelva cada desigualdad por y, si fuera necesario. Luego, haga la gráfica de la
desigualdad. Asegúrese de comprobar los puntos en la gráfica para estar seguro de que su
solución es correcta.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
y<-x+2
3x - y > 0
x + 2y < 4
y > 5 - 1/2 x
y > 2x
2x + 3y > 18
- 3x + 2y < 9
K. Lección 11 – Sistemas de Ecuaciones
Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, fíjese en el punto de intersección de las dos
ecuaciones y la coordenada de ese punto es la solución del sistema de ecuaciones. Usted puede
usar cualquiera de las maneras aprendidas para resolver las ecuaciones.
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando una gráfica.
y = -2x + 8
y = 2/3x – 8
Usando cualquiera de los métodos enseñados previamente, usted debería de obtener la siguiente
gráfica:
Por esta gráfica, podemos ver que el punto de intersección es (6, -4). Por lo tanto, la solución de
este sistema de ecuaciones es (6, -4).
Tarea: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones usando el procedimiento de arriba.
1. y = 3x - 9
y = -1/2 x + 5
2. y = -2/3 x - 5/9
y = -x + 1
3. y = -3/4 x + 1
y = -x + 1
4. y = -2/7 x + 3/7
y = -1/4 x + 1/4
5. y = -2/3 x + 4
y = -x + 5
6. y = 5x - 5
y = 5/4 x - 17/4
L. Lección 12 – Funciones no - Lineales
Tarea: Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones y compare y contraste las gráficas.
Asegúrese de comparar lo siguiente: #1 - 3, #4 - 6, #7 - 8, #9 - 10, #11 - 12, #13 - 14, #1 - 8, y
#9 - 14. ¿Qué ve?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
y = x2
y = 2x2
y = -3x2
y = x2 + 1
y = 2x2 + 1
y = -3x2 + 1
y = 1/3 x2
y = 1/3 x2 + 1
y = x3
y = x3 - 1
y = -x3
y = -x3 + 1
y = 3x3
y = -3x3
M. Lección 13 – Resolviendo ecuaciones no- lineales algebraicamente
Como usted ha aprendido a través de este curso, las bases para resolver ecuaciones y
desigualdades con una o con dos variables son típicamente las mismas. También ha aprendido
que las operaciones inversas son muy imporantes en el proceso de resolver. Un grupo de
operaciones inversas que no hemos tratado es elevar al cuadrado y sacar la raíz cuadrada. Usted
debería recordar de Pre-Algebra que cuadrar quiere decir que un número está elevado a la
segunda potencia, así como 92 = 9 × 9 = 81, x2 = x × x , y así sucesivamente. La raíz cuadrada
es lo inverso de cuadrar y se denota por el símbolo . Así 81 = +9 porque 9 × 9 = 81 y –9 × 9 = 81. Luego x2 = + x , y así sucesivamente. Cuando resolvemos ecuaciones que incluyan
términos cuadrados, debe aislar el término al cuadrado antes de sacar la raíz cuadrada.
Exactamente como el valor absoluto, x2 = -4 no tiene una solución real porque no podemos
multiplicar un número por si mismo para producir un negativo.
Ejemplo 1: Resuelva x2 = 81
x2 = 81
x=±9
(Saque la raíz cuadrada de ambos lados)
Ejemplo 2: Resuelva k2 - 144 = 0
(Elimine -144 haciéndolo positivo)
+ 144 +144
2
k = 144
k2 = 144 (Saque la raíz cuadrada de ambos lados)
k = ± 12
Ejemplo 3: Resuelva 4n2 = 16
4 4
n2 =
4
(Divida ambos lados por 4 para obtener el término al
cuadrado por si solo)
(Saque la raíz cuadrada de ambos lados al igual que con los
otros ejemplos)
n=±2
Tarea: Resuelva cada ecuación algebraicamente.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
x2 = 49
121 = x2
3x2 = 27
-10 x2 = -1000
1/2 x2 = 2
3/4 x2 = 12
x2 - 64 = 0
0 = x2 - 36
x2 - 1/4 = 0
-x2 + 3 = 0
x2 + 8 = 12
-x2 + 10 = 15
30 = 6 x2
0 = 1/4 x2 - 1
2/3 x2 - 9 = 17
Unidad 4 – Escribiendo ecuaciones de rectas
El estudiante determinará la pendiente y escribirá la ecuación de la recta dados dos puntos en
forma punto-pendiente y la forma pendiente-intercepto y será capaz de reconocer pendientes
especiales (así como líneas verticales y horizontales) y escribirá la ecuación de la recta.
•
El estudiante calculará la pendiente de una recta dados dos puntos usando la fórmula de
la pendiente.
•
•
•
El estudiante escribirá la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto dada la
pendiente y el intercepto de y.
El estudiante escribirá la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto dada la
pendiente y un punto en la recta usando la fórmula punto-pendiente.
El estudiante escribirá la ecuación de la recta en forma pendiente-intercepto dados dos
puntos usando la fórmula punto-pendiente.
A. Lección 1 – Fórmula de la pendiente
En la unidad 3, discutimos como encontrar la pendiente trazando gráficas. En esta unidad,
queremos usar la fórmula de la pendiente, ahora que comprendemos el concepto de pendiente.
La fórmula de la pendiente se define como la razón del cambio vertical al cambio horizontal Por
lo tanto, la fórmula es
m=
y2 − y1
x2 − x1
donde los subíndices 1 y 2 identifican de que punto se origina cada coordinada.
Ejemplo: Encuentre la pendiente por medio de los puntos (-2, 1) y (3, 5).
No importa que par de puntos está designado (x1, y1) y que par está designado (x2, y2), pero usted
debe mantener los pares juntos y en el mismo orden. Así, podemos designar el punto (-2, 1)
como el primer punto y el punto (3, 5) como el segundo punto. Obtendríamos la misma
pendiente si designáramos (3, 5) como el primer punto y (-2, 1) como el segundo punto. Inténtelo
y vea si funciona de la misma manera.
m=
y2 − y1
5 −1
4
=
=
x2 − x1
3 − −2
5
Al igual que ocurre trazando gráficas y encontrando la pendiente, 0 y la pendiente indefinida
existe cuando usamos la fórmula de la pendiente. Una pendiente con una razón de 0/# = 0. Por
ejemplo 0/5 = 0 y 0/-2 = 0, aunque se dice que ambas de estas razones tienen una pendiente cero
cuando 0 es el numerador de la fracción en la fórmula de la pendiente. Una pendiente con la
razón de #/0 es una pendiente indefinida porque la división por cero es indefinida. En otras
palabras, 5/0 y -2/0 ambos tienen pendientes indefinidas porque no hay número que pueda
multiplicarse por cero para obtener 5 o -2 o cualquier otro número. Por lo tanto, la división por
cero es siempre indefinida.
Tarea: Encuentre la pendiente por medio de cada par de puntos usando la fórmula de la
pendiente.
1. (1, 3) y (-2, 1)
4. (2, 12) y (2, -9)
7. (-3, 9) y (5, 9)
2. (0, 0) y (-5, 3)
5. (7, -3) y (-11, 22)
8. (3, 3) y (-7, -7)
3. (5, -1) y (1, 6)
6. (45, 3) y (30, 35)
9. (-1, 5) y (-1, -2)
B. Lección 2 – Forma pendiente-intercepto
La forma pendiente-intercepto es y = mx + b donde m representa a la pendiente y b representa el
intercepto de y. En esta lección, empezaremos a escribir ecuaciones de rectas por medio de la
interpretacion de gráficas.
Como usted puede ver por la gráfica, uno de los puntos en la recta es (0, -2) y el otro punto es
(4, 2). Para encontrar la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto, debemos encontrar
la pendiente de la recta y entonces encontrar el intercepto de y. Contando para encontrar la altura
sobre el curso, contamos 4 arriba y 4 a la derecha para llegar del punto (0, -2) al punto (4, 2).
Esto hace que la altura/curso sea 4/4 por consiguiente la pendiente es 1.
También podemos usar la fórmula de la pendiente de la lección 1, y encontrar que la pendiente
de la recta es 1 ya que (-2 - 2)/(0 - 4) = -4/-4 o 1. Así que el valor de m, la pendiente, es 1.
El intercepto de y, b, (donde la recta cruza el eje y) es -2. Sustituyendo 1 por m y -2 por b en la
ecuación y = mx + b da la ecuación de la recta como y = x - 2. El coeficiente de x, 1, representa
la pendiente de la recta y la constante, - 2, representa el intercepto de y.
Tarea: Use las gráficas de abajo para encontrar el valor de m, la pendiente de la recta, y b,
El intercepto de y. Entonces use estos valores para escribir la ecuación de la recta que
corresponda a cada gráfica.
1.
2.
3. Para esta gráfica, usted elige los dos puntos que quiere usar.
C. Leción 3 – Escribir la ecuación de una recta dado un punto y la pendiente.
Usted aprenderá cómo encontrar la ecuación de una recta si le dan un punto en la recta y la
pendiente de la recta.
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta dado m = -3 , y el punto (3, 4).
Primero resuelva por b en y = mx + b sustituyendo –3 por m, 3 por x, y 4 por y para obtener:
4 = -3(3) + b
4 = -9 + b
+9 +9
13 = b
Ahora, sustituya 13 por b, y –3 por m en y = mx + b.
La ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y que tiene una pendiente de -3 es y = -3x +
13.
Tarea: Use este método para escribir ecuaciones de las siguientes rectas dado un punto en
la recta y la pendiente de la recta.
1. m = 2 , (0, -3)
2. m = -2, (5, 7)
3. m = 0, (3, 4)
4. m = 1, (5, 8)
5. m = 4, (5, 9)
6. m = -3, (7, 10)
7. m = 1/3, (3, 9)
8. m = -2, (-4, 8)
9. pendiente indefinida, (1, 1)
10. m = 0, (-2, 3)
D. Lección 4 – Fórmula de punto-pendiente
En esta lección, aprenderemos cómo escribir la ecuación de una recta dada la pendiente y un
punto en la recta sin usar técnicas gráficas. El modo técnico para escribir la fórmula puntopendiente es y - y0 = m (x - x0), pero es más facil usarla sin los subíndices. El punto (x0, y0) le
será dado al igual que la pendiente, m.
Ahora, veamos un ejemplo de como se usa esta fórmula.
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta dado m = - 2, y (- 3, 4).
y - y0 = m (x - x0)
y - 4 = - 2 (x - -3)
(Ahora use técnicas para resolver ecuaciones para escribir esta
ecuación en forma pendiente-intercepto.)
(Usando la propiedad distributiva)
(Para obtener y por si sólo)
y - 4 = - 2x - 6
+4
+4
y = -2x – 2
Así que la ecuación de la recta es y = -2x - 2.
La primera y nunca cambia en la fórmula, también como la primera x en la fórmula. Las únicas
partes de la fórmula que pueden ser sustituidas son la m, la x, y la y del par ordenado que se le
da. La m, la pendiente, en este ejemplo es - 2. La y0 viene del punto (- 3, 4) es 4. La x0 también
viene del punto y es -3. Sustituya estos valores en la ecuación y simplifique como se muestra a
la izquierda.
Esta técnica funciona para todas las ecuaciones lineales siempre que tengan pendiente. Si usted
ve una recta que tiene una pendiente indefinida, tendrá que escribir la ecuación de memoria. El
formato es x = x-coordenada del punto. Por ejemplo: Si nos dan una pendiente indefinida y el
punto (-3, 5), la ecuación de la recta sería x = -3 ya que -3 es la coordenada x del punto dado.
Tarea: escriba la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto usando la fórmula
punto-pendiente.
1. m = 2; (3, -1)
6. m = -3/4; (2,4)
2. m = 3; (-1, 2)
7. m = -1; (3, 1)
3. m = -4; (2, 3)
8. m = ½; (6, 1)
4. m = -2; (-3, 1)
9. m = -1; (5, -2)
5. m = 0; (-2, 3)
10. Pendiente indefinida; (-2, -7)
E. Lección 5 – Escribiendo ecuaciones de rectas dados dos puntos
En esta lección, combinaremos dos conceptos que ya hemos tratado – la fórmula
de la pendiente y la fórmula punto-pendiente. En esta lección, escribiremos
ecuaciones de rectas dados dos puntos. Ya que debemos saber la pendiente de la
recta para sustituirla en la fórmula punto-pendiente, debemos encontrar eso
primero y entonces podemos elegir cuál de los dos puntos queremos sustituir en la
fórmula punto-pendiente.
Ejemplo: Escriba la ecuación de la recta dados los puntos (4, 5) y (2, 1).
Primero, debemos usar la fórmula de la pendiente, que es la razón del cambio de la vertical (resta
de los valores de y) al cambio de la horizontal (resta en los valores de x).
m=
5 −1
4−2
=4/2
m =2
Ahora que tenemos la pendiente (m = 2), entonces podemos usar la fórmula punto-pendiente
para escribir la ecuación de la recta. Rrecuerde, el par ordenado (x0, y0) es el punto que usted
conoce y usted sustituye las coordenadas de ese punto en lugar de x0, y0.
y - y0 = m (x - x0)
y - 1 = 2 (x - 2) [Una vez más, no importa el punto que usted elija siempre y cuando use la
coordenada x, y del mismo paréntesis. Obtendríamos la misma ecuación de la recta usando el
punto (4, 5).]
Resuelva la ecuación por y usando las técnicas para resolver ecuaciones.
y - 1 = 2x - 4
+1
+1
y = 2x - 3
Así que la ecuación de la recta es y = 2x - 3.
Recuerde, esto funciona para todas las ecuaciones excepto aquellas que tienen una pendiente
indefinida. Debemos escribir esas como hicimos en la lección anterior.
Tarea: Escriba la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto pasando por los
puntos dados.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(-1, 2), (4, 7)
(1, 2), (4, 4)
(1, -7), (2, -1)
(0, -1), (-2, 3)
(0, 3), (-1, 0)
(0, -1), (4, 0)
7.
8.
9.
10.
(3, 1), (5, 2)
(6, 4), (2, 1)
(-3, 5), (4, 2)
(0, 3), (3, 0)
F. Lección 6 – La Mejor Línea Recta
La mejor línea recta es la recta que cuando es dibujada en un diagrama de dispersión está tan
cerca como sea posible de todos los puntos en el diagrama de dispersión. En otras palabras, la
mejor línea recta divide los puntos en dos partes iguales o tan cerca a dos partes iguales como sea
posible
Para encontrar la mejor línea recta, primero debe dibujar el diagrama de dispersión. Entonces,
intente encontrar dos puntos que cuando estén conectados para formar una recta que divida al
diagrama de dispersión en dos partes iguales. Una vez que la recta esté dibujada entonces
podemos usar estos dos puntos para encontrar la pendiente, m, y usar la información que hemos
aprendido en esta unidad para escribir la ecuación de la mejor línea recta.
Ejemplo: Haga el diagrama de los siguientes puntos y encuentre la ecuación de la mejor línea
recta. Una vez que haya hecho esto, Calcule el valor de y dado que x es 6.
x
-20
-10
-5
-1
0
1
5
10
20
Y
0.75
2
2.25
2.65
2.8
3
3.25
4.75
5
1st: Haga la gráfica de los puntos
2nd: Elija dos puntos por los que dibujar la mejor línea recta. (Si usted prueba este ejemplo su
gráfica debería verse parecida a la de arriba pero puede no coincidir exactamente.)
3rd: Encuentre la ecuación de la recta.
Use y = mx + b y dos puntos en la mejor línea recta para hacer esto.
Para este ejemplo se escogieron (20, 5) y (-20, 0.75).
y
0.75 − 5
−4.25
=
= 0.10625
=
Primero, resuelva por m. m =
x
−20 − 20
−40
Segundo, usando m y uno de los puntos encuentre b. (Este ejemplo usa (20, 5) pero usted
podría usar el segundo punto.
y = mx + b Substituya (20, 5) por x, y y 0.10625 por m
5 = 0.10625 × 20 + b Haga la multiplicación
5 = 2.125 + b Obtenga b por si sólo (restando 2.125 de cada lado)
- 2.125 - 2.125
2.875 = b
Tercero, substituya b y m en y = mx +b.
y = 0.10625x + 2.875 - ¡esta es la mejor línea recta!
Por último, substituya 6 por x en la mejor línea recta y resuelva por x en este
ejemplo.
y = 0.10625 × 6 + 2.875 Multiplique
y = 0.6375 + 2.875
Sume
y = 3.5125
Por lo tanto, su predicción de y es 3.5125 cuando x sea 6.
Tarea: Haga la gráfica del siguiente grupo de puntos. Luego, elija dos puntos para dibujar
la mejor línea recta para que la recta esté lo más cerca posible de todos los puntos. Luego
encuentre la ecuación de la recta usando la información que ha aprendido en esta unidad.
Año de
nacimiento
1900
Esperanza de vida
(años)
47.3
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
50.0
54.1
59.7
62.9
68.2
69.7
70.8
73.7
75.4
Una vez que haya escrito la ecuación de la mejor línea recta, pronostique la esperaza de vida de
un niño nacido e el año 2000. ¿Qué ocurre con un niño nacido en el año 2010?
V.
Unidad 5 – Polinomios
El estudiante aprenderá a simplificar expresiones con polinomios y expresiones con factor de
polinomios.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
El estudiante sumará y restará expresiones con polinomios.
El estudiante multiplicará expresiones con monomios.
El estudiante simplificará expresiones usando la regla de la potencia de un producto.
El estudiante multiplicará un polinomio por un monomio.
El estudiante multiplicará dos binomios.
El estudiante dividirá un polinomio por un monomio.
El estudiante factorizará un monomio con término común.
El estudiante factorizará una diferencia de cuadrados.
El estudiante factorizará polinomios en la forma ax2 + bx + c siendo a > 1.
El estudiante resolverá ecuaciones cuadradas usando factorización o la fórmula
cuadrática.
A. Lección 1 – Suma y Resta de Polinomios.
Para restar o sumar polinomios simplemente combine términos semejantes. Pista: Use el formato
de columna para ayudar a mantener los téminos semejantes ¡en fila!
Ejemplo 1: (4x2y – 2xy3) + (3xy3 – x2y)
1: Use el formato de columna
4x2y – 2xy3
+ (-x2y + 3xy3) (Recuerde mantener los términos semejantes ¡en fila juntos!)
2: Sume/reste los términos semejantes
4x2y + -x2y = 3x2y and –2xy3 + 3xy3 = xy3
Por lo tanto,
4x2y – 2xy3
+ (-x2y + 3xy3)
3x2y + xy3
2
Ejemplo 2: (3a + 2a – 4) – (-2a2 + 1)
1: Use el formato de columna
3a2 + 2a – 4
- (-2a2
+ 1) (Recuerde mantener los términos semejantes ¡en fila juntos!)
2: Distribuya el signo negativo (resta) a todos los números que están siendo restados.
3a2 + 2a – 4
+ (2a2
– 1)
3: Ssume/reste los términos semejantes
3a2 + 2a2 = 5a2, 2a + nada = 2a, -4 + -1 = -5
Por lo tanto,
3a2 + 2a – 4
+ (2a2
– 1)
2
5a + 2a – 5
Tarea: Sume y reste los siguientes polinomios.
1. (2a + 7a b + b ) + (a + 7b )
2. (6b + 4b + 1) - (8 - b + 2b)
3. (x - 6x - 7) - (-3x - 2x)
4. (6r t + 5rt ) + (9rt - 9r t)
5. (-x + 6x + 5) - (6x - 2x)
6. (c d + 5) + (-8c d + 8)
7. (y + 3y + 2) + (-7y - 9)
8. (4a - 9b ) - (5a - 12ab + 9b )
9. (3x yz + 2xy z ) - (-2xy z - 3x yz )
10. (9x + 6xy + y ) + (x - y )
B. Lección 2 – Multiplición de Polinomios
Cuando multiplique monomios por monomios necesitará hacer multiplicaciones simples y usar la
regla del producto para exponentes.
La regla del producto para exponentes es: xm × xn = xm+n
Recuerde, cuando no vea un exponente se sobreentiende que es 1.
Ejemplo 1: Multiplique los siguientes monomios. (6a2)(9a4)
(6a2)(9a4) =
(6)(9)(a2 × a4) =
54a2+4
54a6
Ejemplo 2: Multiplique los siguientes monomios. (4x2y)(5xy3)(2xy2)
(4x2y)(5xy3)(2xy2) =
(4 × 5 × 2)(x2 × x × x)(y × y3 × y2) =
40x2+1+1y1+3+2 =
40x4y6
Tarea: Multiplique los siguientes polinomios.
1. a3 × a4
2. (3x2y3)(-5x2y)
3. 7ab3(-2a2b)(3ab)
4. 2m4(-3m33n2)(-8m)
5. x3 × x6
6. n10 × n × n3
7. (4x3)(3x4)
8. (3cd4)(-2c2)(4cd2)
9. (-a2b)(6ab2)
10. (5x4)(3x2)
C.
Lección 3 – La regla de la potencia de un producto
Además de la regla de la potencia de un producto por exponentes hay dos reglas más que usted
necesita saber.
Regla de la potencia de un producto: (xy)n = xnyn
Regla de la potencia por exponentes: (xm)n = xmn
Pista: x0 = 1 (cualquier base elevada a 0 es 1)
Ejemplo 1: Complete (2xy3)4
(2xy3)4 =
(2)4(x)4(y3)4 =
(2 × 2 × 2 × 2)(x1 × 4)(y3 × 4) =
16x4y12
Ejemplo 2: Complete (2x)2(4x2)3 =
(2)2(x)2(4)3(x2)3 =
(2 × 2)(x1 × 2)(4 × 4 × 4)(x2 × 3) =
4x264y6 =
(4)(64)x2y6 =
256x2y6
Tarea: Complete los siguientes problemas.
2 4 3
1. (-3x y )
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(4x2y) 0(3)
(2x3) 3(3x2)
4x(3x2) 4
(-6xy) 4
(4x4y) 3
4p(-3p) 3
(xy) 2(x2) 3
(2x) 2(-3x2)(4x3) 2
(3x2y) 3
D. Lección 4 – Multiplicando un Polinomio por un Monomio
Cuando se multiplica un polinomio por un monomio usted necesita distribuir el monomio a cada
parte del polinomio y luego usar las reglas que ha aprendido hasta ahora.
Ejemplo: Multiplique el siguiente polinomio por el monomio. -3a2(2a3 – 4a)
-3a2(2a3 – 4a) =
(-3a2)(2a3) – (-3a2)(4a) =
(-6a5) – (-12a3) =
-6a5 + 12a3
Tarea: Multiplique el siguiente polinomio por un monomio.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
3(2x + 3y)
a4(3a3 + 4)
12xy(4xy + 6x)
(5x4 - 7y3 + 6x2y)(-3xy)
4a7(13a2 - 7)
(y2 + y - 2)y2
-2b(3 - 4b)
-2x2(x2 - 4x + 5)
4x3(x2 - 3x - 6)
5x2(x2 + x - 3)
E. Lección 5 – Multiplición de Binomios
Aprenda cómo multiplicar binomios usando el método FOIL (por su siglas en Inglés). (¡Esto
funcionará sólo para binomios!)
FOIL significa: F – Términos primeros , O – Términos de fuera, I – Términos de dentro, L –
Últimos términos.
Ejemplo 1: Multiplique (2x + 5)(3x – 2)
(2x + 5)(3x – 2) =
F
O
I
L
(2x)(3x) + (2x)(-2) + (5)(3x) + (5)(-2) =
6x2 + (-4x) + (15x) + (-10) =
Use el método FOIL
Combine los términos semejantes
6x2 + (-4x + 15x) – 10 =
6x2 + 11x – 10
Ejemplo 2: Multiplique (-4x + 2)2
(-4x + 2)2 =
(-4x + 2)(-4x + 2) =
F
O
I
L
(-4x)(-4x) + (-4x)(2) + (2)(-4x) + (2)(2) =
16x2 + (-8x) + (-8x) + (4) =
16x2 + (-8x + -8x) + 4 =
16x2 + -16x + 4 =
16x2 – 16x + 4
Use el método FOIL
Combine los términos semejantes
Tarea: Multiplique los siguientes binomios. Compare and contraste sus respuestas por #14 y luego compare y contraste sus respuestas por #5-8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
(x + 3)(x + 2)
(x - 3)(x -2)
(x - 2)(x + 3)
(x - 3)(x + 2)
(2x + 1)(3x - 4)
(2x + 1)(3x + 4)
(2x - 1)(3x - 4)
(2x -1)(3x + 4)
(3x - 5)(x + 2)
(2x + 11)(3x - 5)
(x - 4)2
(-3x + 1) 2
(2x + 1) 2
(5 - x) 2
F. Lección 6 – Division de polinomios
Cuando se dividen polinomios, use la regla del cociente para exponentes y divida los términos
semejantes.
La regla del cociente para exponentes es:
Ejemplo 1: Divida
14x 2 yz 3
21xy 2
14x 2 yz 3
=
21xy 2
xm
= x m−n
xn
2
 14   x  y  3
    2  ( z ) =
 21   x   y 
 2  2−1 1− 2 3
  ( x )( y )( z ) =
 3
 2  1 −1 3
(Pista: si usted tiene un exponente negativo en el
 x y z =
 3
numerador coloque el término en el denominador con un
exponente positivo)
2 xz
3y
3
( 4a b + 6b )
Ejemplo 2: Divida
2
2
2ab
( 4a b + 6b )
2
2
=
2ab
 4a 2b   6b 2 

+
=
 2ab   2ab 
 4  a
 
 2  a
  b   6   1   b2 
  +     =
 b   2  a  b 
2 ( a 2−1 )( b1−1 ) + 3 ( a 0−1 )( b 2−1 ) =
2
2a1b 0 + 3a −1b1 =
3b
2a +
a
Tarea: Divida los siguientes polinomios.
1. 6x2/3
2. 18x2y5/2xy4
3. 8x2z/12xy
4. (5x4 - 10x3)/5x
5. (18x5 + 9x4 + 27x3)/9x2
6. (60x4 - 30x3 + 24x2 + 16)/10xy
7. (x3 + 5x2 + 7x + 15)/x
8. (16x4 + 20x2 + 8x)/4x
9. (18y3 + 6y2 + 3y)/3y
10. (2x2y2 + 4xy2 + 6)/(.5)xy2
G. Lección 7 – Factorización
Factorizar un polinomio es lo contrario de multiplicar un polinomio. Estaremos fijándonos en
tres casos de factorización. Estos casos son factorizar monomios comunes, factorizar la
diferencia de dos cuadrados, y factorizar trinomios.
Caso 1: Monomios comunes
Este es el tipo más simple de factorización. Todo lo que está haciendo es factorizar sacando el
factor común de cada término.
Ejemplo 1: Factorice 4x2 – 16x
Encuentre el factor común de los términos
4x2 – 16x =
2
4x , y 16x son los términos
Ambos contienen un factor de 4x (ambos factores pueden ser divididos por 4x). Así
que, 4x2 – 16x = 4x(x – 4)
Ejemplo 2: Factorice xy – 2x2y3 + 12x3y
Encuentre el factor común de los términos
xy – 2x2y3 + 12x3y =
xy, 2x2y3 , y 12x3y son los términos
Cada uno contiene un factor de xy (todos los factores pueden ser divididos por xy).
Así que,
xy – 2x2y3 + 12x3y = xy(1 – 2xy2 + 12x2)
Caso 2: Diferencia de dos cuadrados
Siempre en la forma de a 2 − b 2
[Recuerde la fórmula ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 ]
¡Esto no funciona para a 2 + b 2 !
Ejemplo 1: Factorice a2 – 16
a2 – 16 =
a2 = a × a, y 16 = 4 × 4 = 42
a2 – 16 = (a + 4)(a – 4)
Observe que a2 y 16 son los dos cuadrados
perfectos
Ahora, use la fórmula de arriba para resolver
Ejemplo 2: Factorice 36x2 – 9y2
36x2 – 9y2 =
Observe que 36x2 , y 9y2 son ambos cuadrados
perfectos
2
2
2
36x = 6x × 6x = (6x) , y 9y = 3y × 3y = (3y)2
Ahora, use la fórmula de arriba para resolver
2
2
36x – 9y = (6x + 3y)(6x – 3y)
Caso 3: Trinomios
Un trinomio cuadrático está escrito en la forma de ax 2 + bx + c , donde a, b, y c son números
reales. Estudiaremos dos casos.
Caso 1: a = 1
Para factorizar el cuadrático cuando a = 1 necesitará encontrar números que:
1. Multiplicados le den c
2. Sumados le den b
Ejemplo 1: x2 + 6x + 8
1. necesitamos obtener el término principal del primer término. Como
es x2, El primer término debe ser x. Así que , empezamos con:
(x )(x )
2. encontramos los productos del último término, +8.
(Encuentre todas las maneras posibles de obtener +8)
Pueden ser: +8, y +1
+4, y +2
-8, y –1
-4, y –2
Esto nos muestra que las respuestas posibles a este problema son:
(x + 8)(x + 1)
(x + 4)(x + 2)
(x – 8)(x – 1)
(x – 4)(x – 2)
3. Necesitamos comprobar cada respuesta posible de arriba para ver
cuál le dará el término central correcto, 6x. (Esto usa la parte IL del
método FOIL para multiplicar binomios)
(x + 8)(x + 1) nos da 9x (de 8x + 1x)
(x + 4)(x + 2) nos da 6x (de 4x + 2x) **
(x – 8)(x – 1) nos da –9x (de –8x + -1x)
(x – 4)(x – 2) nos da –6x (de –4x + -2x)
Ahora sabemos que la respuesta es:
x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)
Ejemplo 2: x2 + x - 12
1. Necesitamos obtener el término central del primer término. Como es
x2, El primer término debe ser x. Así que, empezamos con:
(x )(x )
2. encontramos los productos del último término, -12.
(Encuentre todas las maneras posibles de obtener -12)
Pueden ser:
+12 and -1
-12 and +1
+4 and -3
-4 and +3
Esto nos muestra que las respuestas posibles a este problema son:
(x + 12)(x - 1)
(x - 12)(x + 1)
(x + 4)(x – 3)
(x - 4)(x + 3)
3. Necesitamos comprobar cada respuesta posible de arriba para ver
cuál le dará el término central correcto, x. (Esto usa la forma IL del
método FOIL para multiplicar binomios)
(x + 12)(x - 1) nos da 11x (from 12x + 1x)
(x - 12)(x + 1) nos da 6x (from -12x + 1x)
(x + 4)(x – 3) nos da 1x (from 4x – 3x)
(x - 4)(x + 3) nos da –1x (from –4x + 3x)
Ahora sabemos que la respuesta es:
x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3)
Caso 2: a ≠ 1
Para factorizar la ecuación cuadrática cuando a ≠ 1 hay dos métodos. Uno es el
método de calcular y comprobar y el otro es factorizar agrupando.
Método 1 (Calcular y comprobar) Ejemplo:
Dados 4x2 – 8x + 3
1. encuentre los productos del primer término, 4x2
(Encuentre todas las maneras posibles de obtener 4x2)
Pueden ser: +4x , y +1x
+2x, y +2x
2. encuentre los productos del último término, 3
(Encuentre todas las maneras posibles de obtener +3)
Pueden ser: +3, y +1
-3, y -1
Esto nos muestra que las respuestas posibles a este problema son:
(4x + 3)(x + 1)
(4x - 3)(x - 1)
(2x + 3)(2x + 1)
(2x - 3)(2x - 1)
3. Necesita comprobar cada respuesta posible de arriba para ver cuál le
dará el término central correcto, -8x. (Esto usa la parte IL del método
FOIL para multiplicar binomios) Esto consume bastante tiempo, pero una
vez que aprenda el método usted generalmente podrá hacer un buen
cálculo y obtener la respuesta en el primer intento o en el segundo.
(4x + 3)(x + 1) nos da 7x (from 3x + 4x)
(4x - 3)(x - 1) nos da -7x (from -3x + -4x)
(2x + 3)(2x + 1) nos da 8x (from 6x + 2x)
(2x - 3)(2x - 1) nos da –8x (from –6x + -2x) **
Ahora sabemos que la respuesta es:
4x2 – 8x + 3 = (2x - 3)(2x – 1)
Método 2 (factorizar agrupando) Ejemplo:
Dados 5x2 + 16x + 3
1. encuentre el producto ac: (5)(3) = 15
2. piense en factores de 15 que sumen hasta 16, b: 1 y 15
3. escriba el término 16x como la suma de 1x , y 15x: 5x2 + 1x + 15x + 3
4. agrupe los dos pares de términos: (5x2 + 1x) + (15x + 3)
5. factorice sacando los factores comunes de cada grupo:
x(5x + 1) + 3(5x + 1)
6. ahora tenemos la misma ecuación dentro del paréntesis, (5x + 1), así
que podemos factorizar y obtener: (5x + 1)(x + 3)
Así que, 5x2 + 16x + 3 = (5x + 1)(x + 3)
Tarea: Factorice los siguientes monomios comunes.
1. 2x2 - 10x
2. 5x - 20x2
3. 8x - 16y
4. c4d2 + c2d3
5. 4a - 8b + 16c
6. 14u2 + 35u4
7. 15x2y2 + 225x3y3 + 15x4y4
8. 7c3 - 28c2d + 35cd3
9. g3h3 + g2h2 + gh
10. ab + 5a2b2 - 12a2b3
Tarea: Factorice las siguientes diferencia de cuadrados.
1. x2 - 81
2. 16x2 - 1
3. 9a2 - 4b2
4. 169x4 - 16y2
5. 4g2 - 49h2
6. 144f4 - b2
7. 9 - 49x2
8. 25 - x2
9. x2y2 - 16z2
10. x6y4 - 16y2
Tarea: Factorice los siguientes trinomios.
1. x2 + 8x - 9
2. x2 + 5x - 24
3. x2 - x - 20
4. x2 - 5x - 36
5. x2 - 8x + 16
6. x2 + 7x + 12
7. x2 -3x + 2
8. 3x2 + 19x + 28
9. 2x2 - 7x + 5
10. 9x2 - 6x + 1
H. Lección 8 – Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas
Para resolver ecuaciones cuadráticas, es de gran ayuda tenerlas en la forma general,
ax 2 + bx + c = 0 . Si una ecuación no está en está forma, use las técnicas para resolver ecuaciones
de capítulos previos para ponerlas en este formato. Usted puede resolver ecuaciones cuadráticas
usando la fórmula cuadrática o factorizando.
Recuerde, si el trinomio no es igual a 0, primero debe conseguir que todos los términos del
trinomio estén en el mismo lado del signo de igualdad. En la unidad previa, aprendió como
resolver una ecuación cuadrática factorizando, pero cuando factorizar no es posible usted puede
usar la fórmula cuadrática.
La fórmula cuadrática: encuentre x para ax 2 + bx + c = 0 , x =
−b ± b 2 − 4ac
2a
Ejemplo 1: Resuelva 5x2 - 7x – 4 = 5
Consiga que todos los términos estén en el mismo lado
5x2 - 7x – 4 = 5
-5 -5
Use la fórmula cuadrática para resolver por x
5x2 - 7x – 9 = 0
a = 5, b = -7, c = -9
x=
x=
− ( −7 ) ±
7±
( −7 ) − ( 4 )( 5)( −9 )
2 (5)
49 − ( −180 )
2
10
7 ± 49 + 180
x=
10
7 ± 229
x=
10
7 + 229
7 − 229
x=
o x=
10
10
Ejemplo 2: Resuelva –x2 + 2x – 3 = 0
–x2 + 2x – 3 = 0
a = -1, b = 2, c = -3
x=
x=
−2 ±
−2 ±
Use la fórmula cuadrática para resolver por x
( 2 ) − ( 4 )( −1)( −3)
2 ( −1)
4 − (12 )
2
−2
−2 ± −8
x=
−2
Esta ecuación no tiene solución porque el radical
tiene un número negativo.
Tarea: Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Si la ecuación no tiene solución, diga
que no tiene solución.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
x2 + 3x = 8
x2 - 6x + 4 = 7
5x2 + x - 8 = 6
x2 - 2x - 3 = 0
6x2 + 3x + 2 = 0
-x2 + 4x = 0
3x2 - x = 2
x2 + 10x + 34 = 9
-4x2 + 16x - 7 = 0
Clave de las respuestas para las tareas en Álgebra I:
Unidad 1
Lección 1
1. 2, 0× 2
2, 1× 2
2, 2× 2
2. 9.85, 9.85× 1, 1.00, 1× 9.85+1.00 = 10.85
9.85, 9.85× 2, 1.00, 2× 9.85+1.00 = 22.70
9.85, 9.85× 3, 1.00, 3× 9.85+1.00 = 30.55
9.85, 9.85× 4, 1.00, 4× 9.85+1.00 = 40.40
9.85, 9.85× p, 1.00, p× 9.85+1.00
2, 3× 2
2, 4× 2
Lección 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
15.50n
2.50x
0.34m
g+5
Si h es el número de horas trabajadas, entonces 35 + 25h.
Si m es el número de minutos trabajados, entonces 16.95 + 0.35m.
Si h es el número total de horas, entonces 12 + 0.14(h-100).
Si h es el número de horas sobre 100, entonces 12 + 0.14 h.
8. Si h es el número de horas, entonces 20 + 5h.
9. Si m es le número de minutos, entonces 0.15m.
10. Si m es el número total de minutos, entonces 19.85 + 0.10 (m - 60).
Si m representa los minutos sobre 60, 19.85 + 0.10 m.
Lección 3
1. 2
2. -17
2, n× 2
3. -4
4. -4
5. -81
6. -17
7. 0
8. 15
9. -5
10. 43
11. 32
12. -42
13. 24
14. -6
15. 5
Lección 3
1. -12
2. -6
3. -61
4. -6
5. -4
6. -62
7. -55
8. 5
9. 4
10. 2
11. -27
12. -26
13. 0
14. 26
15. -29
16. 41
17. -13
18. 124
19. -29
20. -4
21. 2
22. 0
23. 18
24. 27
25. 51
26. –22, si, porque usted escribió el cheque por más de lo que tenía en su cuenta.
Lección 4
1. -130
2. -5
3. 6
4. 32
5. 6
6. -18
7. -13
8. -44
9. 52
10. -10
11. -11
12. 9
13. -68
14. 16
15. 56
16. -3
17. 25
18. 9
19. 56
20. 21
Lección 5
1. -48
2. 38
3. -97
4. 14
5. -13
6. 3
7. -18
8. 25
9. 4
10. 11
11. 0.3
12. 54
13. 14
14. 15
15. 108
16. -48
17. 47
18. –30
19. 12
20. –16
Lección 6
1. 2+x
2. y*3
3. n+5
4. 3g
5. (3+n)+2
6. 5(xy)
7. a+(b+c)
8. (xy)z
9. n
10. 0
11. n
12. 1
13. 2a+6
14. 5x+5y
15. 28+4x
Lección 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
3
-12
-7
16
-18
3
Lección 8
1. 8x+9
2. 7+6u+9t
3. 14n+36
4. 37-7k
5. 11n+7w+2
6. 2x-3y
7. 13u-7
8. 2k+7
9. 4y-x
10. x-10
11. 4x-y-7
12. 6b-24
13. 39-19c
14. 2q+25
15. 3j
16. 2w-13r-2
Unidad 2
Lección 1
1. x = 35
2. x = -60
3. x = -69
4. x = -38
5. x = -60
6. x = 35
7. x = -1
8. x = -25
9. x = -24
10. x = 12
11. x = 31
12. x = -8
Lección 1
1. y = -3
2. y = 105
3. x = -108
4. x = 99
5. x = 2 2/3
6. x = 63
7. x = 32
8. x = -20
9. x = -12
10. x = 36
11. x = -1
12. x = 5/16
13. x = -77
14. z = -3
15. f = -40
16. x = -8
17. x = -12
18. x = -1
19. x = -4
20. x = -12
Lección 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x = -8
x = 65
x=7
x = -9
x = -28
x=7
x = 12
x = -4
9. x = 32
10. x = 25
11. x = 7
Lección 3
1. x = -7
2. x = -7
3. x = 5
4. x = -8
5. x = -8
6. x = -6
7. x = -7
8. x = 3
9. x = 4
10. x = -2
11. x = 7
12. x = 2
13. x = -6
14. x = -4
15. x = -7
Lección 4
1. x = -7
2. x = -19
3. x = 2
4. x = -2
5. x = 5
6. x = -16
7. x = -6
8. x = -8
9. x = -4
10. x = -9
11. x = 3
12. x = 1
13. x = 3
14. x = -1
Lección 5
1. x = -22
2. x = 1/3
3. x = 6
4. x = -2
5. x = -5
6. x = 5
7. x = 2
8. d = -1
9. x = -7
10. x = -18
11. x = 1
12. x = 10
13. x = -1/2
14. x = 5
Lección 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9x + 2.29 = 5.17, x = .32
2w + 14 = 22, w = 4
3p + 5.75 = 32.75, p = 9
5l = 35, l = 7
27d = 216, d = 8
10h/2 = 25, h = 5
24b = 312, b = 13
Lección 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x = 7 o x = -2 2/3
x = 1 o x = -1
no solución
x = 2 o x = -1
no solución
x = 6 o x = -16
x = 4 o x = -5
x = 3 o x = -3
Lección 8
1. x > 300
2. x < 0
3. 42 < x < 69
4. x < 23
5. x > 3
Lección 9
1. x < 11
2. x < -6
3. x > 6
4. x < 5
5. x > 3
6. x > -11
7. x > 5
8. x < 3
9. x < -8
10. x > 9
Unidad 3
Lección 1
#1-4
Coordenadas para los puntos de arriba: #1 (-2, 4), #2 (3, 5), #3 (0, -2), #4 (5, -2).
#5-8
Coordenadas para los puntos de arriba: #5 (-2, -8), #6 (-4, 0), #7 (5, 6), #8 (0, 3).
#9-10
Coordenadas para los puntos de arriba: #9 (-4, 4), #10 (3, 0).
Lección 2
1.
2.
(Horas)
(costo)
Los puntos son lineales porque parecen estar en línea recta.
3.
4. El diagrama de dispersión no es lineal porque los puntos no forman una linea recta.
5. No
Lección 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Lección 4
1. 2/3
2. -1/2
3. 4
4. -3
5. 1
6. -2
7. -5/2
8. 3/7
9. 2/3
10. -3/2
11. 2/5
12. 0
13. indefinido
14. -5
15. -3/2
16. 4/3
Lección 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(0, -2); (1, 0)
(0, 1); (1/3, 0)
(0, -2); (4, 0)
(0, -2); (2/3, 0)
(0, 4); (-2, 0)
(0, 0); (0, 0)
Lección 6
1. y = (-3/2)x + 12
2. y = (-4/3)x + 6
3. y = (8/3)x - 4
4. y = (5/2)x + 10
5. y = (1/2)x + (5/4)
6. y = (3/2)x - (1/2)
7. y = -2x + 8
8. y = (-3/2)x + 5
9. y = (2/7)x - 3
10. y = (4/5)x + (12/5)
Lección 7
El primer grupo de ecuaciones pasan todas por el punto (0, 0) y suben de la izquierda de
abajo a la derecha de arriba. A medida que el número de enfrente de x incrementa, La línea
se pone más inclinada y a medida que el número de enfrente de x disminuye, la recta se hace
más plana.
El segundo grupo de ecuaciones es el reflejo del primer grupo. Todas las ecuaciones pasan
por el punto (0, 0) y caen de la izquierda de arriba a la derecha de abajo. Cuando nos fijamos
en cómo el número de a la par de x afecta la pendiente de la recta, debemos fijarnos en el
valor absoluto del número. A medida que el valor absoluto es más grande, la recta se hace
más inclinada y a medida que el valor absoluto se hace más pequeño la recta se hace más
plana.
En el segundo grupo de ecuaciones, la pendiente de cada una de las primeras 4 ecuaciones es
1 pero cada recta cruza el eje y en un punto diferente. Por lo tanto probando que el número
que se suma o se resta en la ecuación es el intercepto de y. El intercepto de y para la primera
ecuación es (0, 1), para la segunda ecuación es (0, 2), para la tercera ecuación es (0, 3) y para
la cuarta ecuación es (0, 0). El siguiente grupo de ecuaciones se ve parecido al primer grupo,
pero están más inclinadas. Las últimas dos ecuaciones son una un reflejo de la otra y forman
un patrón de X en la gráfica.
Lección 8
1. y = 4x + 50
No, porque los productos para este proyecto serían $390 y usted sólo tiene $350 para
gastar.
2. P = beneficio
n = # de camisas
P = 12n - (4n +50)
O,
P = 8n - 50
3.
La recta en #2 ha sido trasladada a lo largo del eje x, lo que significa que el fabricante de
camisetas no empieza a tener beneficios hasta que venda por lo menos 7 camisetas. La
pendiente del #1 es 4 y la pendiente del #2 es 8. #2 tiene la pendiente más inclinada
porque el fabricante de camisetas gana $8 más por camiseta que el costo de hacer la
camiseta cada vez que vende una. Como el costo del equipo de la sopladora de aire
comprimido es el costo de sólo una vez para todo el proyecto, restamos eso del beneficio
hecho en cada camiseta para obtener el beneficio total del proyecto. Una vez que el
fabricante de camisetas haya ganado suficiente dinero para cubrir el costo de las
camisetas y de los materiales del equipo de la sopladora, los beneficios empiezan a crecer
rápidamente.
Lección 9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Lección 10
1.
La gráfica debería ser sombreada debajo de la recta.
2.
La gráfica debería ser sombreada a la izquierda de la recta.
3.
La gráfica debería ser sombreada debajo la recta.
4.
La gráfica debería ser sombreada por encima de la recta.
5.
La gráfica debería ser sombreada a la derecha de la recta.
6.
La gráfica debería ser sombreada por arriba de la recta.
7.
La gráfica debería ser sombreada a la derecha de la recta.
Lección 11
1.
Intersección: (4, 3)
2.
Intersección: (4.67, -3.67)
3.
Intersección: (0, 1)
4.
Intersección: (5, -1)
5.
Intersección: (3, 2)
6.
Intersección: (2, -4)
Lección 12
#1-3
#4-6
#7-8
#9-10
#11-12
#13-14
Lección 13
1. x = 7 o x = -7
2. x = 11 o x = -11
3. x = 3 o x = -3
4. x = 10 o x = -10
5. x = 2 o x = -2
6. x = 4 o x = -4
7. x = 8 o x = -8
8. x = 6 o x = -6
9. x = 1/2 o x = -1/2
10. x = 3 o x = - 3
11. x = 2 o x = -2
12. no solución
13. x = 5 o x = - 5
14. x = 2 o x = -2
15. x = 39 o x = - 39
Unidad 4
Lección 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2/3
-3/5
-7/4
indefinido
-25/18
-32/15
0
1
indefinido
Lección 2
1. y = -4/5 x - 2
2. y = 4/3 x
3. y = 1/2 x - 3
Lección 3
1. y = 2x - 3
2. y = -2x + 17
3. y = 4
4. y = x + 3
5. y = 4x - 11
6. y = -3x + 31
7. y = 1/3 x + 8
8. y = -2x
9. x = 1
10. y = 3
Lección 4
1. y = 2x - 7
2. y = 3x + 5
3. y = -4x + 11
4. y = -2x - 5
5. y = 3
6. y = -3/4 x + 5 1/2
7. y = -x + 4
8. y = 1/2 x - 2
9. y = -x + 3
10. x = -2
Lección 5
1. y = x + 3
2. y = 2/3 x + 1 1/3
3. y = 6x - 13
4. y = -2x - 1
5. y = 3x + 3
6. y = 1/4 x - 1
7. y = 1/2 x - 1/2
8. y = 3/4 x - 1/2
9. y = -3/7 x + 3 5/7
10. y = -x + 3
Lección 6
y = 2.966x + 1757.6
Un niño nacido en el año 2000 tendría una esperanza de vida de aproximadamente 81.73
años.
Un niño nacido en el año 2010 tendría una esperanza de vida de aproximadamente 85.10
años.
Unidad 5
Lección 1
1. 3a3 + 7a2b + 8b3
2. 7b2 + 2b - 7
3. 4x2 - 4x - 7
4. -3r2t + 14rt2
5. -7x3 + 8x + 5
6. -7c2d2 + 13
7. y2 - 4y - 7
8. -a2 - 18b2 + 12ab
9. 6yz2x2 + 4xy2z2
10. 10x4 + 6xy
Lección 2
1. a7
2. -15x4y4
3. -42a4b5
4. 144m8n2
5. x9
6. n14
7. 12x7
8. -24c4d6
9. -6a3b3
10. 15x6
Lección 3
1. -27x6y12
2. 3
3. 24x11
4. 324x9
5. 1296xy4
6. 64x12y3
7. -108p4
8. y2x8
9. -192x10
10. 27x6y3
Lección 4
1. 6x + 9y
2. 3a7 + 4a4
3. 72x2y + 48x2y2
4. -15x5y - 18x3y2 + 21xy4
5. 52a9 - 28a7
6. y4 + y3 - 2y2
7. 8b2 - 6b
8. -2x4 + 8x3 - 10x2
9. 4x5 - 12y4 - 24x3
10. 5x4 + 5x3 - 15x2
Lección 5
1. x2 + 5x + 6
2. x2 - 5x + 6
3. x2 + x - 6
4. x2 - x - 6
5. 6x2 - 5x - 4
6. 6x2 + 11x + 4
7. 6x2 - 11x + 4
8. 6x2 + 5x - 4
9. 3x2 + x - 10
10. 6x2 + 23x - 55
11. x2 - 8x + 16
12. 9x2 - 6x + 1
13. 4x2 +4x + 1
14. x2 - 10x + 25
Lección 6
1. 2x2
2. 9xy
3. 2xz/3y
4. x3 - 2x2
5. 2x3 + x2 + 3x
6. (6x3/y) - (3x2/y) + (12x/(5y)) + (8/(5xy))
7. x2 + 5x + 15/x + 7
8. 4x3 + 5x + 2
9. 6y2 + 2y + 1
10. 4x + 8 + 12/(xy2)
Lección 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2x(x - 5)
5x(1 - 4x)
8(x - 2y)
c2d2(c2 + d)
4(a - 2b + 4c)
7u2(2 + 5u2)
7. 15x2y2(1 + 15xy + x2y2)
8. 7c(c2 - 4cd + 5d3)
9. gh(g2h2 + gh + 1)
10. ab(1 - 5ab - 12ab2)
1. (x - 9)(x + 9)
2. (4x - 1)(4x + 1)
3. (3a - 2b)(3a + 2b)
4. (13x2 - 4y)(13x2 + 4y)
5. (2g - 7h)(2g + 7h)
6. -(b - 12f 2)(b + 12f2)
7. -(7x - 3)(7x + 3)
8. -(x - 5)(x + 5)
9. (xy - 4z)(xy + 4z)
10. (x3y - 4)(x3y + 4)y2
1. (x -1)(x + 9)
2. (x - 3)(x + 8)
3. (x - 5)(x + 4)
4. (x - 9) (x + 4)
5. (x - 4)2
6. (x + 3)(x + 4)
7. (x - 2)(x - 1)
8. (x + 4)(3x + 7)
9. (x - 1)(2x - 5)
10. (3x - 1)2
Lección 8
( 41 − 3)
−( 41 + 3)
ox=
2
2
2. x = 2 3 + 3 o x = −2 3 + 3
1. x =
( 281 − 1)
−( 281 + 1)
ox=
10
10
x = -1 o x = 3
no solución
x=0ox=4
−2
x=1ox=
3
x = -5
1
7
x= ox=
2
2
3. x =
4.
5.
6.
7.
8.
9.