Soluciones

LOS PROBLEMAS DE LA XXII OLIMPIADA TORNAMIRA
1.- Encontrar, explicando el procedimiento utilizado, el mayor número natural de cinco cifras de modo
que su doble sea también de cinco cifras y que entre los dos utilicen las diez cifras diferentes.
1.- Aurki ezazue, jarraitutako bidea azalduz, bost zifratako zenbaki natural handiena non bere bikoitza
bost zifratakoa den ere, eta bien artean hamar zifra desberdinak erabiltzen dituzten.
Teniendo en cuenta que debe ser el mayor, es fácil llagar a la solución:
48651
97302
2,- En la figura siguiente, ¿cuántos cuadrados pueden formarse de manera que sus cuatro vértices estén en
alguno de los puntos?
a)
b)
2.- Goiko irudian, lau erpinak puntuetan dituzten zenbat karratu marraz daitezke?
a) Con lados horizontales y verticales:
De lado 1,
De lado 2,
De lado 3,
De lado 4,
Total: 30
16 cuadrados
9 cuadrados
4 cuadrados
1 cuadrado
b) Con lados “diagonal” del cuadrado anterior:
De lado 1, 1+2+3+2+1= 9
De lado 2, 1
Total 10
Total a) +b) :
40
3.- ¿Cuantas series de cinco números impares consecutivos hay cuya suma sea inferior a 1000?
3.- Elkarren ondoko bost zenbaki bakoitiko zenbat segida dago zeinen batura 1000 baino txikiagoa
duten?
1+3+5+7+9 = 25
3+5+7+9+11 = 35
5+7+9+11+13 = 45
Ir contando: 8 entre 25 y 95
10 entre 105 y 195
10 entre 205 y 295
………………………..
10 enre 905 y 995
Total: 98
2n-1 + 2n+1 + 2n+3 + 2n+5 + 2n+7 = 10n+15 = 995
n = 98
4.- En un papel hay 100 frases escritas. La primera dice: “ Hay exactamente una frase falsa en este
papel”. La segunda dice: “Hay exactamente dos frases falsas en este papel”, y así continúan hasta la
centésima.
¿Cuantas de las frases son verdaderas? ¿Cuantas son falsas? ¿Por qué?
4.- Paper batean ehun esaldi idatzita dugu. Lehenengoak dio: " Paper honetan zehatz mehatz
gezurrezko esaldi bakarra dago", bigarrenak: " Paper honetan zehatz mehatz gezurrezko bi esaldi dago"
, eta honela, hurrenez hurren, ehungarreneraino.
Esaldi guzti horietatik, zenbat dira egiazkoak? Zenbat gezurrezkoak? Zergatik?
Hay una frase verdadera: “Hay exactamente 99 frases falsas en este papel”.
Las otras 99 son falsas.
5.- De estos dos cuadriláteros que tienen el área igual ¿Cuál tiene mayor perímetro?¿Cuánto mide?
Nota.- Los ángulos marcados con una Z en las figuras son rectos.
Lado: 1762 = 42
Area = (60x25):2 +(52x39):2 = 1764
Z
65 2 − 52 2 = 39
25
2
Z
Z
Z
Z
52
+ 60
2
= 65
25
60
Z
Perímetro= 52+25+60+39=176
Perímetro= 42x4 =168
5.- Azalera berdineko bi lauki hauetatik, zeinek du perimetro luzeena? zenbatekoa?
Oharra.- Z ikurraz markatutako angeluak zuzenak dira.
6.- Saliendo del Polideportivo, a vuestra derecha, encontraréis una pajarera. Queremos renovar su
malla, incluidos los tejados.¿Podríais decirnos el coste del material necesario teniendo en cuenta que
cada m2 vale 5 euros?
(Material necesario para medir: cuerda de 1 m)
6.- Polikiroldegitik irtetzean, eskuinaldean, txoritegi bat dago. Sarea, sabaiak barne, berritu nahi dugu.
Zenbat kostako zaigu materiala, m2-ko prezioa 5 eurokoa dela jakinik?
(