Índice general

Índice general
Introducción
2
1. Preliminares
5
2. Indecidibilidad diofántica
7
3. Una teoría diofánticamente indecidible
N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RD(exp) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RD(exp) + Fbinom + Euc + Dexp + Luc
16
3.1.
El método en
. . . . . . . . . . . . .
17
3.2.
La teoría
. . . . . . . . . . . . .
18
3.3.
La teoría
. . . . . . . . . . . . .
32
4. Apéndice
41
Bibliografía
47
1
Introducción
En la sesión inaugural del
2o Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en París
en 1900, David Hilbert [8, 9] planteó una lista de 23 problemas, con la intención de resaltar
los más importantes problemas matemáticos no resueltos que el siglo XX iba a heredar del
siglo XIX. En dicha lista aparecía un único problema de decisión, el Problema Décimo:
Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung
Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen
man soll ein Verfahren angeben,
nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden
läÿt, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist. *
rationalen Zahlkoecienten sei vorgelegt:
Una ecuación diofántica es una ecuación de la forma
P (x1 , . . . , xm ) = 0,
donde
P
es un
polinomio con coecientes enteros. Su nombre proviene del matemático griego Diophantus [7], que vivió en el siglo III a.c.
El trabajo hacia una solución negativa del Problema Décimo de Hilbert comenzó alrededor de 1950. Martin Davis [2] conjeturó que toda relación recursivamente enumerable
n
era diofántica y demostró que toda relación recursivamente enumerable sobre ω podía
representarse en la llamada Forma Normal de Davis
∃u ∀v ≤ u ∃y1 ≤ u · · · ∃ym ≤ u (P (~x, u, v, ~y ) = 0)
donde
P
es un polinomio con coecientes enteros.
Por otra parte, Julia Robinson [19] comenzó a atacar el problema de forma más directa
estudiando qué relaciones diofánticas podía encontrar. Al no encontrar muchas, permitió
el uso de la exponenciación en la representación de las relaciones. Teniendo un poco
más de éxito, demostró entonces que para probar que el grafo de la exponenciación era
diofántico, bastaba mostrar la naturaleza diofántica de cualquier relación de crecimiento
aproximadamente exponencial.
En 1961, M. Davis, Hilary Putnam y J. Robinson [4] publicaron un trabajo conjunto en
el que mostraban que toda relación recursivamente enumerable era exponencial diofántica. La prueba consiste en usar las relaciones exponencial diofánticas de Robinson para
* Determinación de la Resolubilidad de una Ecuación Diofántica.
Dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con coecientes enteros: idear un proceso conforme al cual
pueda determinarse en un número nito de operaciones si la ecuación es resoluble en números enteros.
2
Teorías diofánticamente indecidibles
3
eliminar el cuanticador universal acotado que aparece en la Forma Normal de Davis de
una relación r.e.
Finalmente, en 1970 Yuri Matijasevi£ [17] construyó una función de crecimiento aproximadamente exponencial, a partir de la sucesión de Fibonacci, con la que pudo probar
el carácter diofántico de la función exponencial y, en consecuencia, que
recursivamente enumerable es diofántico.
todo conjunto
Teorema (MRDP). Sea A ⊆ ωn un conjunto recursivamente enumerable. Entonces
existe P (~x, ~y ), polinomio con coecientes enteros, tal que
∀~a ∈ ω n ~a ∈ A ⇐⇒ ∃~y (P (~a, ~y ) = 0)
De la existencia de conjuntos recursivamente enumerables que no son recursivos se deduce entonces que no existe el algoritmo pedido en el Problema Décimo de Hilbert. En
consecuencia, este problema tiene una solución negativa.
El teorema
MRDP puede reformularse para las teorías sobre el lenguaje de la Aritmética.
Entonces, una traducción directa de la prueba permite demostrarlo en la teoría de la
PA [1].
En 1980, Constantine Dimitracopoulos [6] prueba que el teorema MRDP es demostrable
en la teoría de inducción acotada junto con la función exponencial, I∆0 + exp. También
estructura estándar,
Th(N ),
así como en la Aritmética de Peano,
es conocido que dicho teorema no puede demostrarse en la teoría de inducción abierta,
IE0 , ni en la teoría P− .
MRDP
En este contexto, es una cuestión abierta saber si el teorema
I∆0 + exp;
en un fragmento de la Aritmética más débil que
demostrable en la teoría de inducción acotada,
I∆0
puede probarse
más concretamente, si es
(la respuesta armativa a esta última
pregunta es lo que se conoce como conjetura acotada de Matijasevi£).
Por otra parte, D. Hilbert también preguntó si ciertas teorías fuertes de la Aritmética
(tales como
PA)
eran decidibles. La respuesta negativa a esta pregunta dada por Kurt
Gödel y J. Barkley Rosser condujo a Thoralf Skolem, Georg Kreisel, Joseph Shoeneld
y John Shepherdson a estudiar el sistema de variables libres de la Aritmética formulado
pero sin
en el lenguaje usual de la Aritmética, usando las conectivas lógicas habituales,
−
. Los axiomas de la teoría base P se pueden expresar en este lenguaje, y
cuanticadores
la inducción puede expresarse como una regla de inferencia en lugar de como un esquema
de axiomas. A este respecto, una cuestión básica es si la Aritmética de Peano sobre este
lenguaje,
PAqf ,
es decidible.
Es fácil ver que todos los teoremas de
sales acerca del modelo estándar,
N.
PAqf
se pueden considerar como asertos univer-
De hecho, J. Shepherdson [20] demostró que este
sistema tiene las mismas consecuencias universales que la teoría
(considerando el lenguaje usual de la Aritmética,
Ahora bien, toda fórmula universal de
∀~y (p(~x, ~y ) 6= 0),
donde
p(~x, ~y )
de inducción abierta
L es equivalente, en P− , a una fórmula de la forma
es un polinomio con coecientes enteros. Por tanto, la
cuestión anterior acerca de la decibilidad de
algoritmo que decida si la teoría
IE0
L).
IE0
es
PAqf
es equivalente a preguntar si existe un
diofánticamente decidible ; es decir, que decida si,
Teorías diofánticamente indecidibles
dado un polinomio
p(~x) = 0
p(~x) ∈ Z[~x],
4
existe un modelo de dicha teoría en el cual la ecuación
tenga solución. Con otras palabras, una teoría es diofánticamente decidible si y
sólo si el conjunto de consecuencias universales de dicha teoría es recursivo.
Usando el hecho de que el conjunto de consecuencias Π1 de toda extensión consistente de
P− es no recursivo, resulta que toda teoría que pruebe el teorema MRDP es diofánticamente indecidible. No obstante, para que una teoría sea diofánticamente indecidible no es
necesario, como veremos, que pruebe el teorema
MRDP.
En este trabajo estudiamos el problema de la decidibilidad diofántica y presentamos un
método, propuesto por Richard Kaye [14, 16], para probar que una teoría es diofánticamente indecidible. En el capítulo 1 presentamos diversos conceptos y resultados básicos necesarios a lo largo del trabajo. El capítulo 2 introduce formalmente el problema
de la decidibilidad diofántica, así como el método referido anteriormente. En el capítulo 3 se prueba, siguiendo los resultados de R. Kaye [15], que una determinada teoría,
RD(exp) + Fbinom + Euc + Dexp + Luc,
indecidible.
sin axiomas de inducción, es diofánticamente
Capítulo 1
Preliminares
El lenguaje de la Aritmética,
L, es el lenguaje
0, un símbolo
son un símbolo de constante,
de primer orden cuyos símbolos no lógicos
de función uno-aria,
+, ·, y un símbolo de predicado binario, <.
estándar, N , es la estructura cuyo universo es el
S,
dos símbolos de
funciones binarias,
El modelo
conjunto de los números
naturales, con las interpretaciones usuales de los símbolos no lógicos de
Trabajaremos con las jerarquías de fórmulas de
L
L.
usuales denidas en términos de la
complejidad de sus cuanticadores. Concretamente:
E0
es el conjunto de fórmulas abiertas; es decir, fórmulas sin cuanticadores.
∃1 = {∃~x φ(~x, ~y ) : φ(~x, ~y ) ∈ E0 }
es el conjunto de fórmulas existenciales.
∀1 = {∀~x φ(~x, ~y ) : φ(~x, ~y ) ∈ E0 }
es el conjunto de fórmulas universales.
∆0
es el conjunto de fórmulas acotadas; es decir, aquellas fórmulas cuyos cuanti-
cadores están todos acotados por términos de
L.
Σ1 = {∃~x φ(~x, ~y ) : φ(~x, ~y ) ∈ ∆0 }.
Π1 = {∀~x φ(~x, ~y ) : φ(~x, ~y ) ∈ ∆0 }.
Dados una teoría
fórmulas de
La teoría
Γ
P−
T
y un conjunto de fórmulas,
demostrables en
Γ,
notaremos
T hΓ (T)
al conjunto de
T.
es la teoría cuyos modelos son las partes no negativas de los anillos conmu-
tativos ordenados y discretos. A partir de esta teoría se denen ciertos fragmentos de la
Aritmética, usando diversos esquemas de axiomas, como los de inducción, minimización
y otros.
Los modelos de
P−
están relacionados con el modelo estándar de una forma particular.
Proposición 1.1. La estructura estándar, N , es un segmento inicial de todo modelo
A |= P− .
5
Teorías diofánticamente indecidibles
6
Además, es posible que veriquen una propiedad adicional de overspill.
Denición 1.2. Sean A un modelo de P− y Γ un conjunto de fórmulas de L. Diremos
que A satisface Γ-overspill para ω si, para cualquier fórmula φ(x) ∈ Γ tal que
∀n ∈ ω (A |= φ(n))
existe un elemento a ∈ A, no estándar, tal que A |= φ(a).
En
P−
podemos representar los conjuntos recursivos y recursivamente enumerables.
Proposición 1.3.
Sea A ⊆ ω n un conjunto recursivo. Entonces existe φ(~x) ∈ Σ1 tal que
~a ∈ A ⇒ P− ` φ(~a)
~a 6∈ A ⇒ P− ` ¬φ(~a)
Sea A ⊆ ω n un conjunto recursivamente enumerable. Entonces existe φ(~x) ∈ Σ1 tal
que
~a ∈ A ⇐⇒ P− ` φ(~a)
Usando esta propiedad y el lema diagonal de K. Gödel, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 1.4. Sea T una extensión consistente de P− . Entonces el conjunto T hΠ1 (T) es
no recursivo.
También nos permite reformular el teorema
MRDP
para teorías de la Aritmética.
Denición 1.5. Sea T una extensión consistente de P− . Diremos que dicha teoría prueba
el teorema MRDP, y lo notaremos T ` MRDP, si para toda φ(~x) ∈ Σ1 existe ψ(~x) ∈ ∃1 ,
con las mismas variables libres, tal que
T ` ∀~x φ(~x) ↔ ψ(~x)
Capítulo 2
Indecidibilidad diofántica
A continuación se introduce el concepto de decibilidad diofántica, así como una reformulación equivalente en términos del conjunto de consecuencias universales de una teoría.
Denición 2.1. Sea T una teoría sobre L. El problema de la decidibilidad diofántica para
T es el siguiente:
Obtener un procedimiento efectivo que permita, dado un polinomio con coecientes enteros, p(~x) ∈ Z[~x], determinar si T posee o no un modelo en el
cual la ecuación p(~x) = 0 tenga solución.
Nótese que si
T = Th(N ),
entonces el problema de la decidibilidad diofántica para
T
es
equivalente al Problema Décimo de Hilbert.
Teorema 2.2. Sea T una extensión consistente de P− . Entonces T es diofánticamente
decidible si y sólo si T h∀1 (T) es un conjunto recursivo.
Demostración.
Sea
φ(~x) ∈ ∀1 .
Entonces existe
p(~x, ~y ) ∈ Z[~x, ~y ]
tal que
T ` φ(~x) ↔ ∀~y (p(~x, ~y ) 6= 0)
Por lo tanto,
p(~x, ~y ) = 0
φ(~x) ∈ T h∀1 (T)
si y sólo si
no existe un modelo de T en el cual la ecuación
tenga solución.
la propiedad ser diodemostrar el teorema MRDP.
A continuación veamos que, en las extensiones consistentes de
fánticamente indecidible
es más débil que la propiedad
P− ,
Teorema 2.3. Sea T una extensión consistente de P− tal que T ` MRDP. Entonces T
es diofánticamente indecidible.
Demostración.
T ` MRDP, resulta que T h∀1 (T) = T hΠ1 (T). Del teorema 1.4 se deduce que
T hΠ1 (T) es un conjunto no recursivo. En consecuencia, por el teorema 2.2, la teoría T es
Como
diofánticamente indecidible.
7
Teorías diofánticamente indecidibles
8
I∆0 + exp son diofánticamente indecidibles. Como veremos más adelante, las teorías I∆0 e IE1 también son
diofánticamente indecidibles, aunque no se sabe si prueban el teorema MRDP. Son pro−
blemas abiertos determinar si las teorías IE0 y P son diofánticamente indecidibles.
Como consecuencia de este resultado, las teorías
Th(N ), PA
e
A continuación se establece una condición suciente para que una teoría sea diofánticamente indecidible.
Denición 2.4. Sea T una extensión consistente de P− . Diremos que T es sucientemen-
te diofántica si para cualquier polinomio p(~x) ∈ Z[~x] existen dos fórmulas existenciales,
θ(y, ~z) y ψ(~x, y, ~z), tales que:
(1)
N |= ∀y [(∀~x < y p(~x) 6= 0) → ∃~z θ(y, ~z)].
(2)
T ` ∀y > 0 ∀~z [θ(y, ~z) → ψ(~0, y, ~z)].
(3)
(4)
T ` ∀~u, ~v , y, ~z [~u, ~v , n < y ∧ θ(y, ~z) ∧ ψ(~u, 0, ~v , y, ~z) → ψ(~u, n, ~v , y, ~z)], para todo n ∈ ω
y long(~u) + long(~v ) + 1 = long(~x).
T ` ∀~x, y, ~z [~x < y ∧ θ(y, ~z) ∧ ψ(~x, y, ~z) → p(~x) 6= 0].
Teorema 2.5. Sea T una extensión consistente de P− sucientemente diofántica. Entonces T es diofánticamente indecidible.
Demostración.
T h∀1 (T)
Supongamos que el conjunto
es recursivo. Construiremos una
L-estructura, A,
tal que:
(i)
A |= T h∀2 (T).
(ii) Para todo
~a ∈ A,
el conjunto
tp∃1 (~a) = {φ(~x) ∈ ∃1 : A |= φ(~a)}
es recursivo (admitimos también que la tupla
(iii)
A
es no estándar.
(iv)
A
satisface
∃1 -overspill
para
A continuación, consideramos
~a
pueda ser vacía).
ω.
A, B ⊆ ω
conjuntos recursivamente inseparables. Es decir,
tales que
A ∩ B = ∅.
A
y
B
son recursivamente enumerables.
No existe
C⊆ω
recursivo tal que
A⊆C
y
B ∩ C = ∅.
Teorías diofánticamente indecidibles
Por el teorema
MRDP,
existen
9
pA (u, ~v )
y
pB (u, w)
~
polinomios con coecientes enteros
tales que
n ∈ A ⇐⇒ ∃~v [pA (n, ~v ) = 0]
n ∈ B ⇐⇒ ∃w
~ [pB (n, w)
~ = 0]
Sea
p(u, ~v , w)
~ = pA (u, ~v )2 + pB (u, w)
~ 2.
Como
A
y
B
son disjuntos, se tiene que
N |= ∀u, ~v , w
~ [p(u, ~v , w)
~ 6= 0]
Por ser
(∗)
T sucientemente diofántica, existen θ(y, ~z) y ψ(u, ~v , w,
~ y, ~z) fórmulas existenciales
tales que
(1)
N |= ∀y [(∀u, ~v , w
~ < y p(u, ~v , w)
~ 6= 0) → ∃~z θ(y, ~z)].
(2)
T ` ∀y > 0 ∀~z [θ(y, ~z) → ψ(0, ~0, ~0, y, ~z)].
(3)
T ` ∀~s, ~t, y, ~z [~s, ~t, n < y ∧ θ(y, ~z) ∧ ψ(~s, 0, ~t, y, ~z) → ψ(~s, n, ~t, y, ~z)],
long(~s) + long(~t) = long(~v ) + long(w)
~ .
(4)
T ` ∀u, ~v , w,
~ y, ~z [u, ~v , w
~ < y ∧ θ(y, ~z) ∧ ψ(u, ~v , w,
~ y, ~z) → p(u, ~v , w)
~ 6= 0].
A verica (2)(4).
N |= ∀y ∃~z θ(y, ~z). Por tanto,
para todo
n∈ω
y
Obsérvese que, por i, la estructura
Por (1) y (∗), se tiene que
∃1 -overspill, se deduce que existe a no
A |= θ(a, ~b) y consideremos el conjunto
Aplicando
tal que
n ∈ ω , A |= ∃~z θ(n, ~z).
que A |= ∃~
z θ(a, ~z). Sea ~b
para todo
estándar tal
C = {n ∈ ω : A |= ∃~v < a [pA (n, ~v ) = 0 ∧ ψ(n, ~v , ~0, a, ~b)]}
Se verica
A ⊆ C.
En efecto, sea
pA (n, m)
~ = 0.
n ∈ A.
Entonces
• A |= pA (n, m)
~ = 0,
•
N |= ∃~v pA (n, ~v ) = 0.
Sea
m
~ ∈ ω
Considerando que
N ⊂e A.
A |= θ(a, ~b), de (2)
y (3) se deduce que
A |= ∃~v < a [pA (n, ~v ) = 0 ∧ ψ(n, ~v , ~0, a, ~b)]
n ∈ C.
N |=
ya que
En consecuencia,
Luego
tal que
Se tiene que:
A |= ψ(n, m,
~ ~0, a, ~b).
Teorías diofánticamente indecidibles
10
B ∩ C = ∅.
N |= ∃~v pB (n, ~v ) = 0. Sea m
~ ∈ ω tal que N |=
pB (n, m)
~ = 0. Se tiene que A |= pB (n, m)
~ = 0.
Supongamos que A |= ∃~
v < a [pA (n, ~v ) = 0 ∧ ψ(n, ~v , ~0, a, ~b)]. Entonces, por (3),
A |= ψ(n, ~v , m,
~ a, ~b) y, por (4), A |= p(n, ~v , m)
~ 6= 0.
En efecto, sea
Pero
C
n ∈ B.
Entonces
A |= p(n, ~v , m)
~ = pA (n, ~v )2 + pB (n, m)
~ 2 = 0,
lo que es una contradicción.
es recursivo:
Basta tener en cuenta que
C
es Turing-reducible a
tp∃1 (a, ~b),
que es un conjunto
recursivo, por ii.
A y B sean conjuntos
T h∀1 (T) no es recursivo.
Llegamos por tanto a una contradicción con el hecho de que
sivamente inseparables. En consecuencia, el conjunto
Veamos ahora la construcción de la estructura
Un conjunto numerable de testigos,
cursiva de las tuplas de
A.
recur-
Para ello consideramos,
W = {w0 , w1 , w2 , . . . }
y una enumeración re-
W.
Una enumeración recursiva, ja, de todas las fórmulas sin cuanticadores de
L(W ):
θ 0 (w
~ 0 , ~x0 ), θ1 (w
~ 1 , ~x1 ), θ2 (w
~ 2 , ~x2 ), . . .
Una sucesión creciente de condiciones nitas,
p i (w
~ i ), construida por recursión como
sigue:
(i
= 0)
p 0 (w
~ 0 ) = ∅.
(i → i + 1)
(Caso 1: T + pi (w
~ i ) + ∃~x θi (w
~ i , ~x)
es consistente)
En este caso,
pi+1 (w
~ i+1 ) = pi (w
~ i ) ∪ {θi (w
~ i , ~v )}
donde
~v
es la primera tupla de testigos de W que no ocurren en ningún
p i (w
~ i ) ni en θi (w
~ i , ~x).
i
+ p i (w
~ ) + ∃~x θi (w
~ i , ~x) no es consistente)
elemento de
(Caso 2:
T
En este caso,
pi+1 (w
~ i+1 ) = pi (w
~ i)
T + pi[
(w
~ i ) es consistente, para
teoría T +
p i (w
~ i ) es consistente.
Se verica entonces que
de compacidad, la
i∈ω
Sea
B
un modelo de dicha teoría y consideremos
A = {B(wi ) : i ∈ ω}
Veamos que
A
cumple los requisitos deseados:
cada
i ∈ ω.
Aplicando el teorema
Teorías diofánticamente indecidibles
A
es una
11
L-estructura.
w ∈ W tales que B(w) = a. La fórmula w + 1 = x es una
fórmula sin cuanticadores de L(W ). Luego existe i ∈ ω tal que θi (w, x) ≡ w+1 = x.
En efecto, sean
a∈A
y
Se tiene que la teoría T + pi (w
~ i ) + ∃x θi (w, x) es consistente. Luego pi+1 (w
~ i+1 ) =
i
0
0
0
p i (w
~ ) ∪ {θi (w, w )}, siendo w ∈ W . Entonces B |= w + 1 = w y, en consecuencia,
a + 1 ∈ A.
Análogamente se razona para la suma y el producto.
A |= θ(~a) ⇐⇒ B |= θ(~a),
En efecto, sean
para toda
θ(~x) ≡ ∃~y ψ(~x, ~y ),
θ ∈ ∃1
con
y toda
ψ ∈ E0
y
~a ∈ A.
~a ∈ A.
( ⇒)
Trivial.
(⇐)
B |= ∃~y ψ(~a, ~y ).
Sean w
~ ∈ W tal que B(w)
~ = ~a e i ∈ ω tal que θi (w,
~ ~y ) ≡ ψ(w,
~ ~y ).
teoría T + pi (w
~ i ) + ∃~y θi (w,
~ ~y ) es consistente.
Supongamos que
Entonces, la
pi+1 (w
~ i+1 ) = pi (w
~ i )∪{θi (w,
~ w
~ 0 )}, con w
~ 0 ∈ W . Sea ~b = B(w
~ 0 ).
B |= θi (~a, ~b), luego A |= ψ(~a, ~b). Por tanto, A |= ∃~y ψ(~a, ~y ).
En consecuencia,
Entonces,
A |= T h∀2 (T).
En efecto, sea
Sea
~a ∈ A.
Para todo
∀~x ∃~y ψ(~x, ~y ) ∈ T h∀2 (T)
Como
~a ∈ A,
B |= T,
se tiene que
el conjunto
tp∃1 (~a)
y veamos que
A |= ∀~x ∃~y ψ(~x, ~y ).
B |= ∃~y ψ(~a, ~y ).
Por tanto,
A |= ∃~y ψ(~a, ~y ).
es recursivo:
Consideremos w
~ ∈ W tal que B(w)
~ = ~a, θ(~x) ≡ ∃~y ψ(~x, ~y ) ∈ ∃1 ,
θi (w,
~ ~y ) ≡ ψ(w,
~ ~y ). Entonces
e
i∈ω
tal que
A |= θ(~a) ⇐⇒ A |= ∃~y ψ(~a, ~y )
⇐⇒ B |= ∃~y ψ(~a, ~y )
⇐⇒ B |= ∃~y ψ(w,
~ ~y )
⇐⇒ B |= ∃~y θi (w,
~ ~y )
⇐⇒ T + pi (w
~ i ) + {∃~y θi (w,
~ ~y )} es consistente
^
⇐⇒ T 6` ∀~x [ pi (~x) → ∀~y ¬θi (~x, ~y )]
^
⇐⇒ ∀~x [ pi (~x) → ∀~y ¬θi (~x, ~y )] 6∈ T h∀1 (T)
Luego el conjunto
tp∃1 (~a)
recursivo por hipótesis.
es Turing-reducible al complementario de
T h∀1 (T) ,
que es
Teorías diofánticamente indecidibles
A
12
es no estándar.
En eecto, supongamos que
A
recursivamente enumerable no recursivo. Por el teorema
Z[x, ~y ]
C ⊆ ω un conjunto
MRDP existe p(x, ~y ) ∈
es la estructura estándar. Sea
tal que
c ∈ C ⇐⇒ A |= ∃~y [p(c, ~y ) = 0]
Entonces
C
es Turing-reducible a
{θ ∈ ∃1 : θ
cerrada ∧ A
|= θ}, que es recursivo. Lo
que es una contradicción.
A
satisface
∃1 -overspill
Supongamos que
para
ω:
ω = {x ∈ A : A |= θ(x, ~a)},
siendo
θ(x, ~y ) ∈ ∃1 .
conjunto recursivamente enumerable no recursivo. Por el teorema
p(x, ~y ) ∈ Z[x, ~y ]
C ⊆ ω un
MRDP, existe
Sea
tal que
c ∈ C ⇐⇒ N |= ∃~y [p(c, ~y ) = 0]
n
^
⇐⇒ A |= ∃y1 , . . . , yn [ θ(yi , ~a) ∧ p(c, ~y ) = 0]
i=1
Entonces
C
es Turing-reducible a
tp∃1 (~a),
que es recursivo.
Es interesante notar que, para establecer la indecidibilidad diofántica de una teoría, basta
que las condiciones de la denición 2.4 se veriquen a partir de un cierto número natural.
Teorema 2.6. Sean T una extensión consistente de P− y N ∈ ω cumpliendo que para
todo polinomio p(~x) ∈ Z[~x] existen fórmulas existenciales, θ(y, ~z) y ψ(~x, y, ~z), tales que:
(1)
N |= ∀y > N [∀~x (N ≤ ~x < y → p(~x) 6= 0) → ∃~z θ(y, ~z)].
(2)
~ , y, ~z)], donde N
~ = N, . . . , N .
T ` ∀y > N ∀~z [θ(y, ~z) → ψ(N
(3)
(4)
T ` ∀~u, ~v , y, ~z [N ≤ ~u, ~v , n < y ∧ θ(y, ~z) ∧ ψ(~u, N, ~v , y, ~z) → ψ(~u, n, ~v , y, ~z)], para todo
n ∈ ω y long(~u) + long(~v ) + 1 = long(~x).
T ` ∀~x, y, ~z [N ≤ ~x < y ∧ θ(y, ~z) ∧ ψ(~x, y, ~z) → p(~x) 6= 0].
Entonces T es diofánticamente indecidible.
Demostración.
Veamos que
T
es sucientemente diofántica. Para ello, sea
polinomio dado por
~ ) ∈ Z[~x]
q(~x) = p(~x − N
p(~x) ∈ Z[~x]
y consideremos el
Teorías diofánticamente indecidibles
Por hipótesis, existen
θq (y, ~z)
Denamos las siguientes
13
ψq (~x, y, ~z)
fórmulas ∃1 :
y
fórmulas
∃1
cumpliendo (1)(4) para
q(~x).
θ(y, ~z) ≡ θq (y + N, ~z)
~ , y + N, ~z)
ψ(~x, y, ~z) ≡ ψq (~x + N
Entonces, se verica:
(1) En
N
es válido:
∀~x < y p(~x) 6= 0 → ∀~x (N ≤ ~x < y + N → q(~x) 6= 0)
→ ∃~z θq (y + N, ~z)
→ ∃~z θ(y, ~z)
(2) En
Sea
T
es demostrable:
y > 0.
Entonces
y + N > N.
θ(y, ~z) → θq (y + N, ~z)
~ , y + N, ~z)
→ ψq (N
→ ψ(~0, y, ~z)
(3) En
T
Sean
es demostrable:
~u, ~v , n < y .
Entonces
~ , ~v + N
~ , n + N < y + N.
N ≤ ~u + N
~ , N, ~v + N
~ , y + N, ~z)
θ(y, ~z) ∧ ψ(~u, 0, ~v , y, ~z) → θq (y + N, ~z) ∧ ψq (~u + N
~ , n + N, ~v + N
~ , y + N, ~z)
→ ψq (~u + N
→ ψ(~u, n, ~v , y, ~z)
(4) En
Sea
T
es demostrable:
~x < y .
Entonces
~ < y + N.
N ≤ ~x + N
~ , y + N, ~z)
θ(y, ~z) ∧ ψ(~x, y, ~z) → θq (y + N, ~z) ∧ ψq (~x + N
~ ) 6= 0
→ q(~x + N
→ p(~x) 6= 0
En lo que sigue utilizaremos el resultado de Dimitracopoulos (I∆0 +exp prueba el teorema
MRDP)
para demostrar, por medio de la condición de suciencia diofántica, que toda
extensión consistente de
IE1
es diofánticamente indecidible.
Teorías diofánticamente indecidibles
14
Denición 2.7. ℵ(a, b) es la siguiente fórmula existencial
∃c ≤ b φ(a + 2, a, c, b)
donde
(
φ(u, v, x, y) ≡ q(u, x, y) = 0 ∧ x ≤ y ∧ x ≡ v
q(u, x, y) ≡ x2 + y 2 − 2uxy − 1
Proposición 2.8.
(mód u − 1) ∧ y ≡ v + 1 (mód u − 1)
[12]
(1)
I∆0 + exp ⇐⇒ IE1 + ∀x ∃y ℵ(x, y).
(2)
Para toda η(~x) ∈ ∃1 , se verica
k−1
^
I∆0 + exp ` ∀~x η(~x) ⇐⇒ ∃k ∈ ω IE1 ` ∀~y
ℵ(yi , yi+1 ) → ∀~x < y0 η(~x)
i=0
Teorema 2.9. Toda extensión consistente de IE1 es diofánticamente indecidible.
Demostración.
Sea
p(~x) ∈ Z[~x].
Como
I∆0 + exp ` MRDP,
existe
θ0 (y, ~z) ∈ E0
tal que
I∆0 + exp ` ∀y [(∀~x < y p(~x) 6= 0) ↔ ∃~z θ0 (y, ~z)]
Entonces,
I∆0 + exp ` ∀y, ~z, ~x (~x < y ∧ θ0 (y, ~z) → p(~x) 6= 0)
Por la proposición 2.8, existe
k∈ω
IE1 ` ∀w
~ ∀y, ~z, ~x < w0 [
tal que
k−1
^
ℵ(wi , wi+1 ) ∧ ~x < y ∧ θ0 (y, ~z) → p(~x) 6= 0]
i=0
Consideremos las siguientes fórmulas existenciales

k−1
^

 θ(y, ~z, w)
~ ≡
ℵ(w , w
i
i+1 )
∧ w0 = máx(y, ~z) + 1 ∧ θ0 (y, ~z)
i=0


ψ(~x, y, ~z, w)
~ ≡0=0
Entonces, se verica:
(1)
N |= ∀y [(∀~x < y p(~x) 6= 0) → ∃~z, w
~ θ(y, ~z, w)]
~ ,
(2)
IE1 ` ∀y > 0 ∀~z, w
~ [θ(y, ~z, w)
~ → ψ(~0, y, ~z, w)]
~ .
(3)
IE1 ` ∀~u, ~v , y, ~z, w
~ [~u, n, ~v < y ∧ θ(y, ~z, w)
~ ∧ ψ(~u, 0, ~v , y, ~z, w)
~ → ψ(~u, n, ~v , y, ~z, w)]
~ .
ya que
N |= I∆0 + exp.
Teorías diofánticamente indecidibles
(4)
15
IE1 ` ∀~x, y, ~z, w
~ [~x < y ∧ θ(y, ~z, w)
~ ∧ ψ(~x, y, ~z, w)
~ → p(~x) 6= 0].
Por tanto, la teoría
IE1 es sucientemente diofántica y, en consecuencia, es diofánticamente
indecidible.
Corolario 2.10. Toda extensión consistente de IU1− es diofánticamente indecidible.
Demostración.
Tomando θ y ψ como en el teorema anterior, y teniendo en cuenta que T h∀1 (IE1 ) =
T h∀1 (IU1− ) [11], se verican las condiciones (1)(3) trivialmente, y la condición (4) por
ser una fórmula universal.
Capítulo 3
Una teoría diofánticamente indecidible
Para probar que una teoría es diofánticamente indecidible, el método presentado requiere,
p(~x) ∈ Z[~x], encontrar una fórmula existencial, θ(y, ~z),
equivalente a ∀~
x < y p(~x) 6= 0 en el siguiente sentido:
para cada polinomio
existencial sea
cuyo cierre
La implicación
∀y [(∀~x < y p(~x) 6= 0) → ∃~z θ(y, ~z)]
es cierta en
(+)
N.
La implicación
∀y [∃~z θ(y, ~z) → ∀~x < y p(~x) 6= 0]
se puede probar en
T
(++)
junto con una especie de regla de inducción, en el sentido
siguiente: para probar la condición (3) de la denición 2.4, basta con que se cumpla
T ` ∀~u, ~v , x, y, ~z [~u, ~v , x + 1 < y ∧ θ(y, ~z) ∧ ψ(~u, x, ~v , y, ~z) → ψ(~u, x + 1, ~v , y, ~z)]
A este respecto, hay que tener en cuenta las consideraciones siguientes:
1.
Añadiendo nuevas variables libres, podemos suponer que
θ(y, ~z) no tiene cuantica-
dores.
2.
Si añadimos a
θ(y, ~z)
propiedades ciertas de los números naturales, pero no necesa-
riamente demostrables en
T,
entonces la condición (+) sigue siendo válida y puede
facilitar la prueba de la condición (++).
3.
La fórmula
ψ
puede tomarse como una conjunción de fórmulas
ψ1 (~x, y, ~z) ∧ · · · ∧ ψk (~x, y, ~z)
de forma que en
T
se pueda probar la clausura universal de
~u, v +1, w
~ < y ∧θ(y, ~z)∧ψ(~u, v, w,
~ y, ~z)∧
^
i<j
16
ψi (~u, v +1, w,
~ y, ~z) → ψj (~u, v +1, w,
~ y, ~z)
Teorías diofánticamente indecidibles
3.1.
El método en
17
N
Presentamos a continuación un método, debido a Y. Matijasevi£, para reducir una expresión del tipo
∀~x < y p(~x) 6= 0,
con
p(~x) ∈ Z[~x],
a una ecuación exponencial diofántica, de
manera uniforme; es decir, tratando todas las variables en
En primer lugar, podemos suponer que
con p(~
x)2 en caso contrario.
p(~x)
~x
a la vez.
sólo toma valores no negativos, trabajando
Consideremos ahora los valores
Tp (α, q) =
X
x1 <α
X
···
p(~x) q x1 +x2 α+···+xm α
m−1
xm <α
q un número primo. Si q es lo sucientemente grande, entonces los valores de p(~x),
~x < α, se pueden recuperar de Tp (α, q) y comprobar si alguno es cero.
siendo
para
Teorema 3.1 (Lucas [5]). Sean p primo, n = n0 + n1 p, m = m0 + m1 p, con n0 , m0 < p.
Entonces,
Corolario 3.2.
n
n0
n1
≡
(mód p)
m
m0
m1
X
X
mi pi , con 0 ≤ ni , mi < p, para
ni pi , m =
Sean p primo, n =
i<k
todo i < k . Entonces,
i<k
n
n0
n1
n2
nk−1
≡
···
m
m0
m1
m2
mk−1
(mód p)
Como consecuencia,
n
p divide a
⇐⇒ existe i < k tal que mi > ni
m
Teorema 3.3. Sean p(~x) ∈ Z[~x], T (α, q) = Tp (α, q) y S(α, q) = T1 (α, q). Entonces,
T (α, q)
∀~x < α p(~x) 6= 0 ⇐⇒ ∃q [q primo ∧ q > Bp (α) ∧
6≡ 0
S(α, q)
(mód q)]
donde Bp (z) es un término polinomial
que acota a todos los posibles
P
P valores i1de p(~xim), con
i1 +···+im
~x < z (Por ejemplo, Bp (z) = |ci1 ,...,im |z
, siendo p(~x) = ci1 ,...,im x1 · · · xm ).
Demostración.
Sea
q
un primo mayor que
q > p(~x),
∀~x < α.
Bp (α).
Entonces,
Teorías diofánticamente indecidibles
T (α, q) =
X
18
xn q n ,
siendo
xx1 +x2 α+···+xm αm−1 = p(x1 , x2 , . . . , xm ).
yn q n ,
siendo
yx1 +x2 α+···+xm αm−1 = 1.
n<αm
S(α, q) =
X
n<αm
Se tiene que
3.2.
T (α, q)
6≡ 0
S(α, q)
La teoría
T (α, q)
(mód q) ⇐⇒ q no divide a
S(α, q)
⇐⇒ yn ≤ xn , ∀n < αm
⇐⇒ p(~x) ≥ 1, ∀~x < α
⇐⇒ ∀~x < α p(~x) 6= 0
RD(exp)
En esta sección vamos a considerar teorías a las que añadiremos nuevos símbolos de
función y predicado. No obstante, estos nuevos símbolos los consideraremos como abreviaturas de fórmulas, y no como expansiones del lenguaje de la aritmética. Para limitar
la complejidad de las fórmulas consideradas, imponemos la condición de que los nuevos
símbolos de función deben representar funciones recursivas y los nuevos símbolos de predicado deben representar predicados recursivamente enumerables. De esta forma, el teorema
MRDP nos asegura que existen fórmulas existenciales que representan a dichas funciones
y predicados en N .
Así, cuando introducimos un nuevo predicado, P (~
x), jamos una fórmula existencial,
δP (~x), que representa a P en N . Cuando introducimos una nueva función, F (~x), jamos
una fórmula existencial, δF (~
x, y), que representa el grafo de F en N y, además, añadimos
el siguiente axioma, que expresa la funcionalidad de δF :
∀~x, y1 , y2 [δF (~x, y1 ) ∧ δF (~x, y2 ) → y1 = y2 ]
Denición 3.4. Fijemos una fórmula existencial que represente a la fórmula xy = z en
N . La teoría RD(exp) es P− con un axioma para la funcionalidad de xy = z y, además,
con los siguientes axiomas:
(i)
(ii)
(iii)
∀x [x0 = 1].
∀x, y, z [xy = z → xy+1 = x · z].
∀x, y, z [y > 0 ∧ xy = z → ∃w (xy−1 = w ∧ z = x · w)].
Teorías diofánticamente indecidibles
19
Según el método que vamos a utilizar, dado
Tp (α, q) =
X
x1 <α
Si
p(~x)
viene dado por
X
p(~x) =
X
···
p(~x) ∈ Z[~x]
tenemos que calcular
p(~x) q x1 +x2 α+···+xm α
m−1
xm <α
ci1 ,...,im xi11 · · · ximm ,
entonces
i1 ,...,im
Tp (α, q) =
=
X
···
X X
x1 <α
xm <α i1 ,...,im
X
X
ci1 ,...,im
ci1 ,...,im xi11 · · · ximm q x1 q x2 α · · · q xm α
xi11 q x1
···
X
xm <α
x1 <α
i1 ,...,im
m−1
ximm q xm α
m−1
Esto lleva a considerar el siguiente resultado:
Teorema 3.5. Para todo n ∈ ω existe una fórmula existencial, Gn (u, v, q) = x, que
representa en N a la fórmula
v−1
X
in q i = x y tal que RD(exp) prueba lo siguiente:
i=u
(1)
Si u ≥ v , entonces Gn (u, v, q) = 0.
(2)
Si u < v , entonces
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Si q = 0 y u = 0, entonces Gn (u, v, q) = 0n .
Si q = 0 y u > 0, entonces Gn (u, v, q) = 0.
Si q > 0 y Gn (u, v, q) = x, entonces
u v v−1
(2.3.1) q , q , q
existen.
n v
(2.3.2) Gn (u, v + 1, q) = x + v q .
u−1
(2.3.3) Si u > 0, entonces existe q
y, además, Gn (u−1, v, q) = x+(u − 1)n q u−1 .
n v−1
(2.3.4) Gn (u, v − 1, q) = x − (v − 1) q
.
n u
(2.3.5) Gn (u + 1, v, q) = x − u q .
Demostración.
Denimos las fórmulas
Gn
por recursión sobre
n ∈ ω.
Teorías diofánticamente indecidibles
(n
20
= 0)
G0 (u, v, q) = x es la siguiente fórmula


u ≥ v → x = 0



∧





u<v∧q =0∧u=0→x=1






∧
u<v∧q =0∧u>0→x=0



∧







q =1→r =1∧s=1∧x=v−u








u < v ∧ q > 0 → ∃r, s (q u = r ∧ q v = s ∧ ∧





 q > 1 → (q − 1)x = s − r

Entonces, se verica:
(1) Trivial.
(2)
(2.1) Trivial.
(2.2) Trivial.
(2.3)
(2.3.1) Por denición y los axiomas de
(2.3.2) Si
q = 1,
RD(exp).
entonces
q v+1 = q v · q = 1
x + v n q v = (v − u) + 1 = (v + 1) − u
como se pide.
Si
q > 1,
entonces
(q − 1)(x + v n q v ) = (q − 1)x + qq v − q v
= q v − q u + q v+1 − q v
= q v+1 − q u
como se pide.
(2.3.3) Como existe
qu
y
u > 0,
resulta que existe
q u−1
por los axiomas de
RD(exp).
Si q = 1, entonces
1 = q u = q u−1 · q = q u−1
x + (u − 1)n q u−1 = v − u + 1 = v − (u − 1)
como se pide.
Teorías diofánticamente indecidibles
Si
q > 1,
21
entonces
(q − 1)(x + (u − 1)n q u−1 ) = (q − 1)x + qq u−1 − q u−1
= q v − q u + q u − q u−1
= q v − q u−1
como se pide.
(2.3.4) Si
q = 1,
entonces
1 = q v = q v−1 · q = q v−1
x − (v − 1)n q v−1 = v − u − 1 = (v − 1) − u
como se pide.
Si
q>1
y
u = v − 1,
entonces
x − (v − 1)n q v−1 =
qv − qu
(q − 1)q u
− qu =
− qu = qu − qu = 0
q−1
q−1
como se pide.
Si
q>1
y
u < v − 1,
entonces
(q − 1)(x − (v − 1)n q v−1 ) = (q − 1)x − qq v−1 + q v−1
= q v − q u − q v + q v−1
= q v−1 − q u
como se pide.
(2.3.5) Si
q = 1,
entonces
q u+1 = q u · q = 1
x − un q u = (v − u) − 1 = v − (u + 1)
como se pide.
Si
q>1
y
u + 1 = v,
x − un q u =
entonces
qv − qu
(q − 1)q u
− qu =
− qu = qu − qu = 0
q−1
q−1
como se pide.
Si
q>1
y
u + 1 < v,
entonces
(q − 1)(x − un q u ) = (q − 1)x − qq u + q u
= q v − q u − q u+1 + q u
= q v − q u+1
como se pide.
Teorías diofánticamente indecidibles
(<
n → n)
Queremos calcular
v−1
X
S=
in q i .
22
En
N
tenemos lo siguiente:
i=u
(q
= 1)
En este caso,
S=
v−1
X
in .
i=u
Si
u = 0,
entonces
S=
v−1
X
i=0
Si
u > 0,
v−1
X
n
i −
i=0
(q
n+1
j
Bj v n+1−j
entonces
S=
siendo
n
1 X
i =
n + 1 j=0
n
=
1
n+1
=
1
n+1
(Bj )j∈ω
u−1
X
in
i=0
n
n
X
1 X n+1
n+1
n+1−j
B
v
−
Bj un+1−j
j
j
j
n
+
1
j=0
j=0
n
X
n+1
Bj [v n+1−j − un+1−j ]
j
j=0
la sucesión de números de Bernoulli (véase el apéndice).
> 1)
En este caso,
S = un q u + (u + 1)n q u+1 + · · · + (v − 1)n q v−1
qS = un q u+1 + (u + 1)n q u+2 + · · · + (v − 1)n q v
= (u + 1 − 1)n q u+1 + · · · + (v − 1 − 1)n q v−1 + (v − 1)n q v
n
n
X
X
n
n
j
n−j
u+1
j
n−j
=
(u
+
1)
(−1)
q
+
·
·
·
+
(v
−
1)
(−1)
q v+1
j
j
j=0
j=0
n v
+ (v − 1) q
(q − 1)S = qS − S
= (v − 1)n q v − un q u +
n−1
X
n
j
(u + 1)j (−1)n−j q u+1 +
j=0
+ ··· +
n−1
X
n
j
j
n−j
(v − 1) (−1)
q v−1
j=0
n v
n u
= (v − 1) q − u q +
n−1
X
j=0
n
j
n−j
(−1)
v−1
X
k=u+1
kj qk
Teorías diofánticamente indecidibles
Sea
23
Gn (u, v, q) = x la siguiente fórmula:

u≥v→x=0





∧




u<v∧q =0→x=0





∧





 u < v ∧ q = 1 → ∃r, s q u = r ∧ q v = s ∧ r = 1 ∧ s = 1





n

X



n+1
n+1−j



u = 0 → (n + 1)x =
Bj v



j







j=0



∧
∧







n



X




n+1
n+1−j
n+1−j 



u
>
0
→
(n
+
1)x
=
B
[v
−
u
]

j

j



j=0





∧





u < v ∧ q > 1 → ∃r, s q u = r ∧ q v = s




n−1

X


n v
n−j
n
n u

∧
(q
−
1)x
=
(v
−
1)
q
−
u
q
+
(−1)
G
(u
+
1,
v,
q)

j

j
j=0
Entonces, se verica
(1) Trivial.
(2)
(2.1) Trivial.
(2.2) Trivial.
(2.3) Veamos primero una propiedad:
n
X
n+1
j
Bj (x + 1)n+1−j =
j=0
=
n+1−j
n
X
n+1
j
j=0
=
Bj
X
n+1−j
k
xn+1−j−k
k=0
n n+1−j
X
X
j=0
n+1
j
n+1−j
k
n+1
j+k
j+k
j
Bj xn+1−j−k
k=0
n+1−j
=
n
X
X
j=0
=x
n+1
Bj xn+1−(j+k)
k=0
n
+ (n + 1)(B0 + B1 )x +
n
X
t=2
n+1
t
x
n+1−t
t
X
t
j
j=0
Bj +
n
X
j=0
n+1
j
Bj
Teorías diofánticamente indecidibles
24
= xn+1 + (n + 1)(B0 + B1 )xn +
n
X
n+1
t
Bt xn+1−t
t=2
=
n
X
n+1
j
Bj xn+1−j + (n + 1)xn
j=0
RD(exp).
= q v · q = 1. Distingamos
(2.3.1) Por denición y los axiomas de
q = 1, se tiene
(q = 1 ∧ u = 0)
(2.3.2) Para
que
q
v+1
varios casos:
En este caso se tiene que
(n + 1)(x + v n ) =
n
X
n+1
=
Bj v n+1−j + (n + 1)v n
j
j=0
=
n
X
n+1
j
Bj (v + 1)n+1−j − (n + 1)v n + (n + 1)v n
n+1
j
Bj (v + 1)n+1−j
j=0
=
n
X
j=0
como se pide.
(q
= 1 ∧ u > 0)
En este caso se tiene que
(n + 1)(x + v n ) =
n
n
X
X
n+1
n+1−j
=
Bj v
−
j
=
=
j=0
n
X
j=0
n
X
n+1
j
Bj un+1−j + (n + 1)v n
j=0
n+1
j
Bj (v + 1)
n+1−j
−
n
X
n+1
j
Bj un+1−j − (n + 1)v n + (n + 1)v n
j=0
n+1
j
Bj [(v + 1)n+1−j − un+1−j ]
j=0
como se pide.
(q
> 1)
En este caso se tiene que
(q − 1)(x + v n q v ) =
= (v − 1)n q v − un q u +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q) + v n q v+1 − v n q v
j=0
= v n q v+1 − un q u +
n−1
X
j=0
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q) + [(v − 1)n − v n ]q v
Teorías diofánticamente indecidibles
n v+1
=v q
25
n u
−u q +
n−1
X
n
j
n−j
(−1)
Gj (u + 1, v, q) +
j=0
= v n q v+1 − un q u +
n−1
X
n
j
v j (−1)n−j q v
j=0
n−1
X
n
j
(−1)n−j [Gj (u + 1, v, q) + v j q v ]
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v + 1, q)
j=0
= v n q v+1 − un q u +
n−1
X
j=0
como se pide.
(2.3.3)
q
u−1
existe por denición y los axiomas de RD(exp).
u
u−1
Para q = 1, se tiene que 1 = q = q
· q = q u−1 . Distingamos varios
casos:
(q
= 1 ∧ u = 0)
En este caso se tiene que
n u−1
(n + 1)(x + (u − 1) q
)=
=
n
X
j=0
n
X
n+1
j
n+1
j
Bj [v n+1−j − un+1−j ]
Bj v
n+1−j
−
j=0
=
n
X
n
X
n+1
j
Bj
j=0
n+1
j
Bj v n+1−j
j=0
como se pide.
(q
= 1 ∧ u > 0)
En este caso se tiene que
(n + 1)(x + (u − 1)n ) =
n
n
X
X
n+1
n+1−j
=
B
v
−
j
j
=
j=0
n
X
n+1
j
j=0
n
X
Bj v n+1−j −
j=0
n+1
j
n+1
j
Bj un+1−j + (n + 1)(u − 1)n
Bj (u − 1)n+1−j −
j=0
n
− (n + 1)(u − 1) + (n + 1)(u − 1)n
n
n
X
X
n+1
n+1
n+1−j
Bj v
−
Bj (u − 1)n+1−j
=
j
j
j=0
como se pide.
j=0
Teorías diofánticamente indecidibles
(q
26
> 1)
En este caso se tiene que
(q − 1)(x + (u − 1)n q u−1 ) =
= (v − 1)n q v − un q u +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q)+
j=0
n u−1
n u
+ (u − 1) q − (u − 1) q
= (v − 1)n q v − (u − 1)n q u−1 +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q)+
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q)+
n
j
(−1)n−j [Gj (u + 1, v, q) + uj q u ]
n
j
(−1)n−j Gj (u, v, q)
j=0
n
n
+ [(u − 1) − u ]q
u
= (v − 1)n q v − (u − 1)n q u−1 +
n−1
X
j=0
+
n−1
X
n
j
uj (−1)n−j q u
j=0
= (v − 1)n q v − (u − 1)n q u−1 +
n−1
X
j=0
= (v − 1)n q v − (u − 1)n q u−1 +
n−1
X
j=0
como se pide.
(2.3.4) Para
q =1
se tiene que
1 = q v = q v−1 · q = q v−1 .
Distingamos varios
casos:
(q
= 1 ∧ u = 0 ∧ v = u + 1)
En este caso se tiene que
(n + 1)(x − (v − 1)n ) =
n
X
n+1
=
Bj v n+1−j − (n + 1)(v − 1)n
j
=
j=0
n
X
j=0
como se pide.
n+1
j
Bj = 0
Teorías diofánticamente indecidibles
(q
27
= 1 ∧ 0 < u ∧ v = u + 1)
En este caso se tiene que
(n + 1)(x − (v − 1)n ) =
n
n
X
X
n+1
n+1−j
=
Bj v
−
j
=
=
j=0
n
X
n+1
j
Bj un+1−j − (n + 1)(v − 1)n
j=0
n+1
j
j=0
n
X
n+1
j
Bj (u + 1)
n+1−j
−
n
X
j=0
n
X
Bj (u + 1)n+1−j −
j=0
n+1
j
n+1
j
Bj un+1−j − (n + 1)un
Bj (u + 1)n+1−j +
j=0
n
n
+ (n + 1)u − (n + 1)u = 0
como se pide.
(q
= 1 ∧ u = 0 ∧ u + 1 < v)
En este caso se tiene que
(n + 1)(x − (v − 1)n ) =
n
X
n+1
=
Bj v n+1−j − (n + 1)(v − 1)n
j
=
=
j=0
n
X
j=0
n
X
n+1
j
Bj (v − 1)n+1−j + (n + 1)(v − 1)n − (n + 1)(v − 1)n
n+1
j
Bj (v − 1)n+1−j
j=0
como se pide.
(q
= 1 ∧ 0 < u ∧ u + 1 < v)
En ese caso se tiene que
(n + 1)(x − (v − 1)n ) =
n
n
X
X
n+1
n+1−j
=
Bj v
−
j
=
j=0
n
X
n+1
j
Bj un+1−j − (n + 1)(v − 1)n
j=0
n+1
j
Bj (v − 1)n+1−j + (n + 1)(v − 1)n −
j=0
−
n
X
n+1
j
Bj un+1−j − (n + 1)(v − 1)n
j=0
=
n
X
n+1
j
j=0
como se pide.
Bj (v − 1)n+1−j −
n
X
j=0
n+1
j
Bj un+1−j
Teorías diofánticamente indecidibles
(q
28
> 1)
En este caso se tiene que
(q − 1)(x − (v − 1)n q v−1 ) =
n v
n u
= (v − 1) q − u q +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q)−
j=0
n v−1
n v
− (v − 1) q + (v − 1) q
n v−1
= (v − 1) q
n u
−u q +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q)
n
j
(−1)n−j [Gj (u + 1, v − 1, q) + (v − 1)j q v−1 ]
j=0
= (v − 1)n q v−1 − un q u +
n−1
X
j=0
n v−1
= (v − 1) q
n u
−u q +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v − 1, q)+
j=0
+
=
n−1
X
n
j
(−1)n−j (v − 1)j q v−1
j=0
n
X n
(−1)n−j (v
j
j=0
+
n−1
X
n
j
− 1)j q v−1 − un q v−1 +
(−1)n−j Gj (u + 1, v − 1, q)
j=0
n v−1
= (v − 2) q
n u
−u q +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v − 1, q)
j=0
como se pide.
q = 1 se tiene que q u+1 = q u · q = 1.
(q = 1 ∧ u = 0 ∧ v = u + 1)
(2.3.5) Para
Distingamos varios casos:
En este caso se tiene que
n
(n + 1)(x − u ) =
n
X
n+1
j
Bj = 0
j=0
como se pide.
(q
= 1 ∧ 0 < u ∧ v = u + 1)
En este caso se tiene que
(n + 1)(x − un ) =
n
n
X
X
n+1
n+1−j
=
Bj v
−
j
j=0
j=0
n+1
j
Bj un+1−j − (n + 1)un
Teorías diofánticamente indecidibles
=
=
n
X
j=0
n
X
n+1
j
29
n
X
Bj (u + 1)n+1−j −
n+1
j
Bj un+1−j − (n + 1)un
j=0
n+1
j
Bj un+1−j −
n
X
j=0
n+1
j
Bj un+1−j = 0
j=0
como se pide.
(q
= 1 ∧ u = 0 ∧ u + 1 < v)
En este caso se tiene que
(n + 1)(x − un q u ) =
n
X
n+1
=
Bj v n+1−j
j
j=0
n
X
=
n+1
j
Bj v n+1−j −
j=0
n
X
n+1
j
Bj (u + 1)n+1−j
j=0
como se pide.
(q
= 1 ∧ 0 < u ∧ u + 1 < v)
En este caso se tiene que
(n + 1)(x − un ) =
n
n
X
X
n+1
n+1−j
=
B
v
−
j
j
=
=
j=0
n
X
j=0
n
X
n+1
j
n+1
j
Bj v n+1−j −
Bj v n+1−j −
j=0
j=0
n
X
j=0
n
X
n+1
j
Bj un+1−j − (n + 1)un
n+1
j
Bj (u + 1)n+1−j + (n + 1)un − (n + 1)un
n+1
j
Bj (u + 1)n+1−j
j=0
como se pide.
(q
> 1)
En este caso se tiene que
(q − 1)(x − un q u ) =
n v
n u
= (v − 1) q − u q +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q) − un q u+1 + un q u
j=0
= (v − 1)n q v − un q u+1 +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q)
n
j
(−1)n−j [Gj (u + 2, v, q) + (u + 1)j q u+1 ]
j=0
= (v − 1)n q v − un q u+1 +
n−1
X
j=0
Teorías diofánticamente indecidibles
30
n v
n u+1
= (v − 1) q − u q
+
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 2, v, q)+
j=0
+
n−1
X
n
j
(−1)n−j (u + 1)j q u+1
j=0
n v
n u+1
= (v − 1) q − (u + 1) q
+
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 2, v, q)
j=0
como se pide.
Veamos a continuación que las fórmulas particulares presentadas para estas series de
potencias generalizadas tienen una propiedad añadida.
Proposición 3.6. Para las fórmulas Gn consideradas en el teorema 3.5, la teoría RD(exp)
prueba, para todo n ∈ ω , lo siguiente:
u ≤ v ≤ w ∧ Gn (u, v, q) = x ∧ Gn (v, w, q) = y → Gn (u, w, q) = x + y
Demostración.
Por inducción sobre
(n
n ∈ ω.
= 0)
Consideremos sólo los casos no triviales.
(q
= 1)
En este caso se tiene que
Gn (u, v, q) = v − u, Gn (v, w, q) = w − v, Gn (u, w, q) = w − u
Luego,
Gn (u, w, q) = Gn (u, v, q) + Gn (v, w, q)
(q
> 1)
En este caso se tiene que
Gn (u, v, q) =
qw − qu
qw − qu
qv − qu
, Gn (v, w, q) =
, Gn (u, w, q) =
q−1
q−1
q−1
Luego,
Gn (u, w, q) = Gn (u, v, q) + Gn (v, w, q)
(<
n → n)
Consideremos sólo los casos no triviales.
Teorías diofánticamente indecidibles
(q
31
= 1 ∧ u = 0)
En este caso se tiene que
n
1 X
Gn (u, v, q) =
n + 1 j=0
n+1
j
Bj v n+1−j
n+1
j
Bj [wn+1−j − v n+1−j ]
n+1
j
Bj wn+1−j
n
1 X
Gn (v, w, q) =
n + 1 j=0
n
1 X
Gn (u, w, q) =
n + 1 j=0
Luego,
Gn (u, w, q) = Gn (u, v, q) + Gn (u, w, q)
(q
= 1 ∧ 0 < u)
En este caso se tiene que
n
1 X
Gn (u, v, q) =
n + 1 j=0
n+1
j
Bj [v n+1−j − un+1−j ]
n+1
j
Bj [wn+1−j − v n+1−j ]
n+1
j
Bj [wn+1−j − un+1−j ]
n
1 X
Gn (v, w, q) =
n + 1 j=0
n
1 X
Gn (u, w, q) =
n + 1 j=0
Luego,
Gn (u, w, q) = Gn (u, v, q) + Gn (v, w, q)
(q
> 1)
En este caso se tiene que
(q − 1)[Gn (u, v, q) + Gn (v, w, q)] =
n v
n u
= (v − 1) q − u q +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, v, q)+
n
j
(−1)n−j Gj (v + 1, w, q)
j=0
n w
n v
(w − 1) q − v q +
n−1
X
j=0
n w
n u
= (w − 1) q − u q +
n−1
X
n
j
(−1)n−j [Gj (u + 1, v, q) + Gj (v, w, q)]−
j=0
−
n−1
X
j=0
n
j
(−1)n−j v j q v + [(v − 1)n − v n ]q v
Teorías diofánticamente indecidibles
n w
32
n u
= (w − 1) q − u q +
n−1
X
n
j
(−1)n−j Gj (u + 1, w, q)
j=0
= (q − 1)Gn (u, w, q)
Luego,
Gn (u, w, q) = Gn (u, v, q) + Gn (v, w, q)
3.3.
RD(exp) + Fbinom + Euc + Dexp + Luc
La teoría
Para expresar la idea de Matijasevi£ dada anteriormente, necesitamos jar fórmulas exis
x
tenciales para el test de primalidad y para los coecientes binomiales: Prime(x) y
= z.
y
Denotemos Fbinom al axioma que expresa la funcionalidad de los coecientes binomiales.
El axioma para la división euclídea,
Euc,
es el siguiente:
∀x ∀y [y > 0 → ∃r ∃s (x = y · s + r ∧ r < y)]
El axioma de distributividad para la exponenciación y la multiplicación,
Dexp ,
es el
siguiente:
∀x, y, z (xy+z = xy xz )
(Interpretándose de la siguiente manera: si
xy+z
existe o bien existen
xy
y
xz ,
entonces
todos existen y la ecuación es válida)
El axioma de Lucas,
Luc,
es el siguiente:
Prime(q) ∧ q u existe
 ∧


u
u

∀q, u, s0 , s1 , t0 , t1 , x, y, z 
 s0 < q ∧ t0 < q
 ∧

u
s0
1q
x = st00 +s
∧
y
=
∧z =
u
+t1 q
t0


s1
t1



→x≡y·z







(mód q)



Lema 3.7. La teoría RD(exp) prueba que, para cualesquiera p ≥ 2, y ≥ 1 y n ∈ ω,
(a)
X
z n pz < 2 · 1n · p0 .
z<1
(b)
X
z<y
z n pz < 2y n py−1 →
X
z<y+1
z n pz < 2(y + 1)n py .
Teorías diofánticamente indecidibles
33
Demostración.
(a)
X
z n pz ≤ 1 < 2 = 2 · 1n · p0 .
z<1
(b)
X
z n pz =
z<y+1
X
z n pz +y n py < 2y n py−1 +y n py = y n (2py−1 +py ) ≤ 2y n py ≤ 2(y + 1)n py .
z<y
Téngase en cuenta que
RD(exp) ` ∀x[(x + 1)n ≥ xn ],
para todo
n ∈ ω.
Lema 3.8. La teoría RD(exp) + Dexp prueba que, para todo x, y,
(a)
(xy )0 = x(y·0) .
(b)
(xy )z = x(y·z) → (xy )z+1 = x(y·(z+1)) .
Interpretándose en cada caso de la siguiente manera: si alguna de las potencias existe,
entonces existen todas y se tiene la igualdad.
Demostración.
(a)
(xy )0 = 1 = x(y·0) .
(b)
(xy )z+1 = (xy )z xy = x(y·z) xy = xy·z+y = xy·(z+1) .
Teorema 3.9. La teoría RD(exp) + Fbinom + Euc + Dexp + Luc es diofánticamente
indecidible.
Demostración.
T = RD(exp) + Fbinom + Euc + Dexp + Luc y veamos que es sucientep(~x) ∈ Z[~x], vamos a construir fórmulas existenciales
θ(y, q, T, S) y ψ(~x, y, q, T, S) tales que:
Denotemos
mente diofántica. Para ello, dado
(1)
N |= ∀y > 2 [∀~x (2 ≤ ~x < y → p(~x) 6= 0) → ∃q, T, S θ(y, q, T, S)].
(2)
T ` ∀y > 2 ∀q, T, S [θ(y, q, T, S) → ψ(~2, y, q, T, S)].
(3)
T ` ∀~u, ~v , y, q, T, S [2 ≤ ~u, ~v , n < y ∧ θ(y, q, T, S) ∧ ψ(~u, 2, ~v , y, q, T, S)
→ ψ(~u, n, ~v , y, q, T, S)]
para todo
(4)
n∈ω
y
long(~u) + long(~v ) + 1 = long(~x).
T ` ∀~x, y, q, T, S [2 ≤ ~x < y ∧ θ(y, q, T, S) ∧ ψ(~x, y, q, T, S) → p(~x) 6= 0].
Teorías diofánticamente indecidibles
34
La idea de Matijasevi£ expuesta anteriormente nos sugiere un punto de partida para
denir
θ.
p(~x) viene dado por
X
p(~x) =
ci1 ,...,im xi11 · · · ximm
Supongamos que el polinomio
i1 ,...,im
y que sólo toma valores no negativos.
θ(y, q, T, S) siguiente:

X
X
X
i1 z1
im zm y m−1

q
·
·
·
z
Prime(q)
∧
q
>
B
(y)
∧
T
=
q
c
z

p
i1 ,...,im
1
m



i1 ,...,im
2≤zm <y
2≤z1 <y


∧

X
T X


m−1

z
y
z
m
1

···
q
∧
6≡ 0 (mód q)
q

S =
S
Entonces consideremos la fórmula
2≤zm <y
2≤z1 <y
donde
Bp (y) ≡
X
|ci1 ,...,im |y i1 +···+im .
i1 ,...,im
La fórmula en realidad dice que los sumatorios existen (usando las fórmulas
que entonces
T
y
S
Gn )
son iguales a los productos señalados.
Consideremos ahora la siguiente codicación de las
m-tuplas
de elementos menores que
y:
hr1 , . . . , rm i = r1 + r2 y + · · · + rm y m−1
Por el axioma
Euc,
esta codicación es biyectiva, ya que
hr1 , . . . , rm i = hs1 , . . . , sm i ⇐⇒ r1 = s1 ∧ · · · ∧ rm = sm .
Dado
r < ym,
existen únicos
r1 , . . . , r m < y
tales que
r = hr1 , . . . , rm i.
Esto nos permite ordenar dichas tuplas de la siguiente manera:
hr1 , . . . , rm i < hs1 , . . . , sm i ⇐⇒ r1 + r2 y + · · · + rm y m−1 < s1 + s2 y + · · · + sm y m−1
(
rm < sm ∨ (rm = sm ∧ rm−1 < sm−1 ) ∨ · · · ∨
⇐⇒
∨ (rm = sm ∧ · · · ∧ r2 = s2 ∧ r1 < s1 )
La idea ahora es realizar en
T (~x) =
T
X
lo siguiente:
ci1 ,...,im
i1 ,...,im
S(~x) =
y
X
h~
z i≥h~
xi
z1 ,...,zm ≥2
X
im z1 +z2 y+···+zm y
z1i1 · · · zm
q
h~
z i≥h~
xi
z1 ,...,zm ≥2
q z1 +z2 y+···+zm y
m−1
m−1
Teorías diofánticamente indecidibles
35
De donde,
T (~x) = p(~x)q
h~
xi
X
+
ci1 ,...,im
i1 ,...,im
X
z1i1
im z1 +z2 y+···+zm y m−1
q
· · · zm
h~
z i>h~
xi
z1 ,...,zm ≥2
= p(~x)q h~xi + q h~xi+1 T 0
= q h~xi (p(~x) + qT 0 )
S(~x) = q h~xi (1 + qS 0 )
Luego, aplicando el teorema de Lucas, si tuviéramos que
T (~
x)
S(~
x)
p(~x) ≥ 1.
m
Consideremos entonces (i1 , . . . , im ) ∈ ω
y denamos
i
h X
h X
ih
im−1 y m−2 zm−1
zm−1
(q
)
Ti1 ,...,im (~x) =
z1i1 q z1 · · ·
6≡ 0
(mód q),
entonces
obtendríamos que
+
h X
i
z1i1 q z1 · · ·
h
X
i
m−1
zm−1
(q
y m−2
zm−1
)
xm−1 <zm−1 <y
2≤z1 <y
im y
(q
zm
m−1
zm
)
i
+
xm <zm <y
2≤zm−1 <y
2≤z1 <y
X
ih X
im y
zm
(q
m−1
zm
)
i
+
zm =xm
.
.
.
+
h X
z1i1 q z1
i
···
h
z1 =x1
T(~x) =
X
im−1 y m−2 zm−1
zm−1
(q
)
X
zm−1 =xm−1
ih X
im y m−1 zm
zm
(q
)
i
zm =xm
ci1 ,...,im Ti1 ,...,im (~x)
i1 ,...,im
S(~x) = T~0 (~x)
Ahora consideremos la fórmula
ψ(~x, y, q, T, S)
siguiente:
q
no divide a
T(~x)
S(~x)
Para probar que se cumple la condición (4), necesitamos las siguientes propiedades:
Fórmula a añadir a θ:
i
yj
j−1
xj
i j
^
q y y = (q y )
(θ1)
0≤i+j≤m
Fórmula a añadir a ψ :
m
^
q xj y
j−1
= (q y
)
(ψ1)
j=1
Supongamos ciertas las fórmulas
θ(y, q, T, S) y ψ(~x, y, q, T, S), siendo 2 ≤ ~x < y . Entonces
se verica el siguiente aserto:
qy
j−1 (x
j +1)
divide a
X
xj <zj <y
zjn (q y
j−1
zj
) ,
∀j = 1, . . . , m, ∀n ∈ ω
Teorías diofánticamente indecidibles
Probémoslo por inducción sobre
(n
36
n ∈ ω:
= 0)
Por denición,
j−1 zj
zjn (q y )
X
(q y
=
j−1
xj <zj <y
Por (θ1), se tiene que (q
j−1 xj +1
j−1
(q y )
= q y (xj +1) .
Como
y j−1 y
) = qy
xj < y , resulta que q y
j−1 (x
j +1)
j−1 y
y
j−1
xj +1
) − (q y )
q yj−1 − 1
y, por (ψ1) y el lema 3.8, se deduce que
qy
divide a
j−1 y
X
, luego divide a
zjn (q y
j−1
z
)
.
xj <zj <y
(<
n → n)
Por denición,
X
zjn (q y
j−1
zj
)
es igual a
n
y j−1 xj +1
xj <zj <y
n
(y − 1) (q
y j−1 y
) − (xj + 1) (q
)
+
n−1
X
n
k
q
Por hipótesis de inducción, se tiene que
zjk (q y
j−1
zj
)
xj +1<zj <y
k=0
y j−1
X
(−1)n−k
−1
(q y
j−1
xj +2
)
divide a
X
zjk (q y
xj +1<zj <y
y j−1 y
y j−1 xj +1
luego también lo divide (q
)
. Por (θ1), se tiene que (q
)
y j−1 xj +1
es divisible por (q
)
, porque xj < y . Por (ψ1), se tiene que
X
j−1 zj
j−1
j−1
q y (xj +1) . Luego q y (xj +1) divide a
zjn (q y ) .
j−1
zj
)
,
j−1
= q y y , que
j−1 xj +1
(q y )
=
xj <zj <y
Por tanto, dado
(i1 , . . . , im ) ∈ ω m ,
Ti1 ,...,im (~x) = Tm0 q y
m−1 (x
m +1)
se verica
+ · · · + T10 q x1 +1 q y·x2 · · · q y
m−1 x
m
+ xi11 q x1 xi22 q y·x2 · · · ximm q xm y
m−1
Luego,
T(~x) = p(~x)q h~xi + q h~xi+1 T 0
= q hxi (p(~x) + qT 0 ),
siendo
T0 ≥ 0
S(~x) = q hxi + q h~xi+1 S 0
= q hxi (1 + qS 0 ),
siendo
S0 ≥ 0
x)
ψ(~x, y, q, T, S), se tiene que T(~
6≡ 0
S(~
x)
p(~
x)+qT 0
(mód q). Luego, por el axioma Luc, se tiene que 1+qS 0 6≡ 0 (mód q) y, de nuevo por
x)
0
Luc, se verica que p(~
≡
6
0
(mód
q)
. Ahora bien,
= 0 es válido, luego demostrable
1
1
−
en P y, por tanto, también en T. En consecuencia, p(~
x) 6= 0.
Como estamos suponiendo que se verica la fórmula
Teorías diofánticamente indecidibles
37
Para probar que se cumple la condición (3), necesitamos las siguientes propiedades:
Fórmulas a añadir a θ:
X
z k (q y
i−1
z
) < 2y k (q y
i−1
y−1
)
(θ2)
z<y
q > 2m+2 (m + 1)y n
q > 4(m − 1)Bp (y)
siendo
grado
i ≤ m, k ∈ ω
de p(~
x).
(θ3)
(θ4)
tal que aparezca como exponente de alguna variable en
Fórmulas a añadir a ψ :
X
z k (q y
i−1
z
) < 2xki (q y
i−1
p(~x)
y
xi −1
)
n
el
(ψ2)
z<xi
siendo
i≤m
y
k∈ω
tal que aparezca como exponente de alguna variable en
p(~x).
j
^
j , tal que 1 ≤ j ≤ m, sea ej = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) y Sj la j -ésima función sucesor,
~x 7→ ~x + ej . Probaremos, para cada j , que en T es demostrable
Dado
θ(y, q, T, S) ∧ ψ(~x, y, q, T, S) ∧ 2 ≤ Sj (~x) < y → ψ(Sj (~x), y, q, T, S)
(?)
Para las fórmulas (ψ1) y (ψ2), la condición (?) se cumple por los lemas 3.7 y 3.8. Basta,
pues, demostrar que se verica
Para ello, sea
T(~x)
6≡ 0
S(~x)
(i1 , . . . , im ) ∈ ω m
(mód q) →
(mód q)
Ti1 ,...,im (~x) − Ti1 ,...,im (Sj (~x)).
y calculemos
Ti1 ,...,im (~x) es igual a
h X
i
h X
i
h
j−1 zj
i
z1i1 q z1 · · ·
zjj (q y ) · · ·
2≤z1 <y
T(Sj (~x))
6≡ 0
S(Sj (~x))
X
im y
zm
(q
zm
)
i
i
···
m−1
Se tiene que
+
xm <zm <y
2≤zj <y
.
.
.
i
h X
j−1 zj
i
z1i1 q z1 · · ·
zjj (q y ) +
h X
zj =xj +1
2≤z1 <y
X
i
zjj (q y
j−1
zj
)
xj +1<zj <y
h X
im y
zm
(q
m−1
zm
)
i
+
zm =xm
.
.
.
h X
z1 =x1
z1i1 q z1
i
···
h X
zj =xj
j−1 zj
i
zjj (q y )
i
···
h X
im y m−1 zm
zm
(q
)
i
zm =xm
Ti1 ,...,im (~x) = Ti1 ,...,im (Sj (~x)) + Uij1 ,...,im (~x) + Vij1 ,...,im (~x), donde Uij1 ,...,im (~x) recoge los
j
términos con zj = xj + 1, pero zk < xk para algún k < j , y Vi ,...,i (~
x) recoge los términos
m
1
con zj = xj .
Luego
Teorías diofánticamente indecidibles
38
Uij1 ,...,im (~x) es igual a
i
h X
ih X
h X
i2 y z2
i1 z1
z2 (q ) · · ·
z1 q
Más concretamente,
h X
z1i1 q z1
i
h
z2i2 (q y )z2 · · ·
ih X
i
Q+
zj =xj +1
i
X
j−1
zj−1
(q y
j−2
zj−1
ih X
)
zj−1 =xj−1
2≤z2 <x2
2≤z1 <x1
j−1 zj
i
zjj (q y )
ih X
zj−1 =xj−1
z2 =x2
2≤z1 <x1
ij−1 y j−2 zj−1
zj−1
(q
)
i
zjj (q y
j−1
zj
)
i
Q+
zj =xj +1
.
.
.
i
h
z1i1 q z1 · · ·
h X
Vij1 ,...,im (~x)
j−2
zj−1
)
ih X
i
zjj (q y
j−1
zj
)
i
Q
zj =xj +1
es igual a
i
h
z1i1 q z1 · · ·
h X
j−1
zj−1
(q y
2≤zj−1 <xj−1
2≤z1 <x1
y
i
X
X
i
j−1
zj−1
(q y
j−2
zj−1
)
xj−1 <zj−1 <y
2≤z1 <y
ih X
i
zjj (q y
j−1
zj
)
i
Q+
zj =xj
.
.
.
h X
z1i1 q z1
ih X
x1 <z1 <y
h X
z1i1 q z1
z2i2 (q y )z2
i
···
h X
z2 =x2
i
z1 =x1
···
h X
j−1 zj
i
zjj (q y )
i
Q+
zj =xj
j−1 zj
i
zjj (q y )
i
Q
zj =xj
Vamos a probar que se verica
X
ci1 ,...,im Uij1 ,...,im (~x) + Vij1 ,...,im (~x) < q hSj (~x)i
i1 ,...,im
Entonces tendríamos, puesto que
T(Sj (~x))
es divisible por
anteriormente,
T(Sj (~x)) = T 0 · q hSj (~x)i
S(Sj (~x)) = S 0 · q hSj (~x)i
De donde,
T(~x) = T 0 · q hSj (~x)i + T 00
S(~x) = S 0 · q hSj (~x)i + S 00
siendo
Por el
S 00 , T 00 < q hSj (~x)i .
axioma Luc, se tiene que
0 00 T(~x)
T
T
≡
0
S(~x)
S
S 00
(mód q)
q hSj (~x)i ,
como hemos visto
Teorías diofánticamente indecidibles
Luego,
39
0
T
6≡ 0
S0
Luc,
Otra vez por
(mód q)
se tiene que
0
T(Sj (~x))
T
≡
S0
S(Sj (~x))
(mód q)
En consecuencia, se verica
T(Sj (~x))
6≡ 0
S(Sj (~x))
(mód q)
como se pide.
Uij1 ,...,im (~x). Para ello, nótese que
h X
ih X
i
z1i1 q z1
z2i2 (q y )z2 ≤ 2y i1 q y−1 2xi22 (q y )x2 −1
A continuación acotemos
2≤z1 <y
[(θ2), (ψ2)]
2≤z2 <x2
= 4y i1 xi22 q y−1 (q y )x2 −1
< qxi22 q y−1 (q y )x2 −1
[(θ3)]
y x2 −1
= xi22 q y (q )
[axiomas
de
RD(exp)]
xi22 (q y )x2
xi22 q x2 y
[axiomas
de
RD(exp)]
=
=
[(ψ1)]
Por tanto,
h X
z1i1 q z1
ih X
2≤z1 <y
z2i2 (q y )z2
i
≤
h X
2≤z2 <x2
z1i1 q z1
ih X
z2i2 (q y )z2
i
z2 =x2
2≤z1 <y
Otras desigualdades como ésta se establecen de forma similar. Así pues, el primer término
j
de Ui ,...,i (~
x) es el mayor. Puesto que hay j − 1 términos, Uij1 ,...,im (~x) es menor o igual que
m
1
h X
ih X
i
h
(j − 1)
z1i1 q z1
z2i2 (q y )z2 · · ·
z2 =x2
2≤z1 <x1
i
X
j−1
(q y
zj−1
j−2
zj−1
)
ih X
i
zjj (q y
j−1
zj
)
i
Q
zj =xj +1
zj−1 =xj−1
De donde, por (ψ2) y (ψ1), resulta que
i
j−1
Uij1 ,...,im (~x) < (j − 1)2xi11 q x1 −1 xi22 (q y )x2 · · · xj−1
(q y
= 2(j −
ij−1
1)xi11 xi22 · · · xj−1
(xj
+ 1)
ij
j−2
ij+1
xj+1
xj−1
)
(xj + 1)ij (q y
j−1
xj +1
)
Q
· · · ximm q hSj (x1 −1,x2 ,...,xm )i
Vij1 ,...,im (~x),
obsérvese que consta de j términos, de los cuales el primero es
j
claramente el mayor. Por tanto, Vi ,...,i (~
x) es menor o igual que
m
1
Para acotar
j
h X
2≤z1 <y
z1i1 q z1
i
···
h
X
xj−1 <zj−1 <y
ij−1 y j−2 zj−1
zj−1
(q
)
ih X
zj =xj
j−1 zj
i
zjj (q y )
i
Q
Teorías diofánticamente indecidibles
40
De donde resulta que
y−1 ij y j−1 xj
xj (q
) Q
j−2
j−1
i
j
j2j−1 y i1 +···+ij−1 q (y−1)+···+(y−1)y xj q xj y Q
j−2 i
j−1
qq (y−1)+···+(y−1)y xjj q xj y Q
j−1 i
j−1
q y xjj q xj y Q
j−1
i
xjj q (xj +1)y Q
Uij1 ,...,im (~x)
Vij1 ,...,im (~x) < j2y i1 q y−1 · · · 2y ij−1 (q y
=
<
≤
=
≤
j−2
)
[(θ2)]
[(θ1), (ψ1)]
[(θ3)]
Entonces tenemos que
Uij1 ,...,im (~x) + Vij1 ,...,im (~x) < 2Uij1 ,...,im (~x)
i
i
j−1
j+1
(xj + 1)ij xj+1
· · · ximm q hSj (x1 −1,...,xm )i
< 4(j − 1)xi11 · · · xj−1
Nótese que
hSj (x1 − 1, . . . , xm )i = hSj (x1 , . . . , xm )i − 1. Luego
X
ci1 ,...,im Uij1 ,...,im (~x) + Vij1 ,...,im (~x) < 4(j − 1)p(Sj (~x))q hSj (~x)i−1
i1 ,...,im
q > 4(j − 1)Bp (y). En consecuencia,
X
ci1 ,...,im Uij1 ,...,im (~x) + Vij1 ,...,im (~x) < q hsj (~x)i
Por (θ4), se tiene que
i1 ,...,im
como queríamos probar.
Veamos que se cumple (2); es decir,
θ(y, q, T, S) → ψ(~2, y, q, T, S)
Para ello, basta tener en cuenta los lemas 3.7 y 3.8 y que
T = T(~2)
y
S = S(~2).
Veamos que se cumple (1); es decir,
N |= ∀~x (2 ≤ ~x < y → p(~x) 6= 0) → ∃q, T, S θ(y, q, T, S)
Para ello, basta tener en cuenta que (θ1) y (θ2) son propiedades válidas, a q sólo le
T
exigimos que sea un primo lo sucientemente grande y
6≡ 0 (mód q) por el método
S
de Matijasevi£ en N .
Capítulo 4
Apéndice
Los
números de Bernoulli
[21] juegan un importante y bastante misterioso papel en mate-
máticas, en varias áreas como análisis, teoría de números y topología diferencial. Aparecieron por primera vez en
Ars conjectandi, un tratado póstumo de Jakob Bernoulli publicado
en 1713, cuando estudiaba las sumas de potencias de enteros consecutivos
n−1
X
sp (n) =
kp
k=1
donde
p
y
n
son dos enteros positivos jos.
Los números de Bernoulli también aparecen en el cálculo de la función
ζ(2p) =
ζ
de Riemann
∞
X
1
k 2p
k=1
y en el desarrollo de muchas funciones comunes tales como
1
tan(x), tanh(x), sin(x)
,
etc.
Quizás uno de los resultados más importante en donde se utilizan los números de Bernoulli
es la fórmula sumatoria de Euler-Mclaurin, que permite acelerar el cálculo de series lentamente convergentes. También nos los encontramos en relación con el teorema de Fermat
y en muchos otros campos.
La denición moderna de la sucesión
(Bk )k∈ω
de números de Bernoulli es la siguiente:
Denición 4.1. (Bk )k∈ω es la sucesión de coecientes del desarrollo de la función
Es decir,
z
ez −1
.
∞
X zk
z
=
Bk ,
ez − 1 k=0
k!
|z| < 2π
No obstante, J. Bernoulli los obtuvo de forma totalmente empírica. Ya le eran conocidas
las fórmulas para calcular
polinomios
sp (n)
sp (n)
para distintos
p.
Su logro consistió en notar que los
tienen la forma
sp (n) =
1
1
p
np+1 − np + np−1 + 0np−2 + · · ·
p+1
2
12
41
Teorías diofánticamente indecidibles
Más generalmente,
donde los
Bk
42
p 1 X p+1
sp (n) =
Bk np+1−k
p + 1 k=0
k
son independientes de
p.
En lo que sigue probaremos la relación anterior, así como diversas propiedades útiles de
los números de Bernoulli.
Denición 4.2. Sea n > 0. Entonces la función x(n) , sobre los números naturales, se
dene como
x(n) = x(x − 1) · · · (x − n + 1)
Esta denición proviene del cálculo en diferencias nitas
(∆f )(x) = f (x + 1) − f (x)
que es un análogo discreto del cálculo diferencial. En efecto,
∆x(n) = (x + 1)(n) − x(n)
= (x + 1)x(x − 1) · · · (x − n + 2) − x(x − 1) · · · (x − n + 1)
= x(x − 1) · · · (x − n + 2)[(x + 1) − (x − n + 1)]
= nx(n−1)
La diferencia inversa, al igual que la integral, es única salvo constante
∆−1 f (x) = g(x) + C
Es más, al igual que la integral denida es límite de sumas, la diferencia inversa denida
es una suma.
Teorema 4.3. Sean f y g funciones sobre los números naturales tales que ∆g(x) = f (x).
Entonces, para cualesquiera números naturales, a y b, se tiene que
b
b+1
X
∆−1 f (x)
= g(b + 1) − g(a) =
f (k)
a
k=a
Demostración.
Sea
G(x) =
x−1
X
f (k)
y nótese que
k=a
∆G(x) =
x
X
f (k) −
k=a
Por tanto,
G(x) = g(x) + C .
x−1
X
f (k) = f (x)
k=a
Ahora bien,
g(b + 1) − g(a) = G(b + 1) − G(a) =
b
X
k=a
f (k)
Teorías diofánticamente indecidibles
43
Proposición 4.4. Sea Pn el espacio vectorial de los polinomios de grado n, sobre el cuerpo
de los números reales. Entonces el conjunto
{1, x, x(2) , . . . , x(n) }
constituye una base de Pn .
Demostración.
Puesto que
Pn
tiene dimensión
n + 1,
basta probar que los elementos del conjunto citado
son linealmente independientes. Para ello, sea
P (x) = a0 · 1 + a1 · x + a2 · x(2) + · · · + an · x(n)
una combinación lineal cualquiera y supongamos que
P (x) = 0.
Entonces,
0 = P (0) = a0 ⇒ a0 = 0
0 = P (1) = a0 + a1 ⇒ a1 = 0
.
.
.
0 = P (n) = a0 + na1 + n(n − 1)a2 + · · · + n(n − 1) · · · 2an−1 + n!an ⇒ an = 0
Teorema 4.5. Sea n ∈ ω. Existe un único polinomio Pn (x), de grado n + 1, tal que, para
todo número natural, a > 0, se verica que
Pn (a) =
a−1
X
kn
k=0
Demostración.
De la proposición 4.4 se deduce que existen
a0 , a1 , . . . , an
tales que
xn = an x(n) + an−1 x(n−1) + · · · + a1 x + a0
siendo
an 6= 0,
ya que
x(n)
Entonces,
∆−1 xn =
es el único elemento de la base de grado
n.
an (n+1) an−1 (n)
a1
x
+
x + · · · + x(2) + a0 x + C
n+1
n
2
Por el teorema 4.3, se tiene que
a−1
X
k=0
a
k =∆ x =
n
−1 n 0
que es un polinomio de grado
an (n+1) an−1 (n)
a1
a
+
a + · · · + a(2) + a0 a
n+1
n
2
n + 1.
Teorías diofánticamente indecidibles
44
Lema 4.6. Sea n > 0. Entonces,
n
x =
n−1 X
n
j
j=0
Pj (x)
Demostración.
Se tiene que
Pn (x + 1) =
=
x
X
n
k =
x
X
n
k =
x−1
X
(k + 1)n
k=0
k=1
x−1
n
XX k=0
n X
k=0 j=0
j=0
n j
k =
j
x−1
n n X j X n
k =
Pj (x)
j k=0
j
j=0
Por tanto,
n
x = Pn (x + 1) − Pn (x) =
n−1 X
n
j=0
j
Pj (x)
Lema 4.7. Sea n > 0. Existe una constante, Bn , tal que
Pn0 (x) = nPn−1 (x) + Bn
Demostración.
Por inducción fuerte sobre
(n
n > 0.
= 1)
Se tiene que
P0 (x) = x
x2 x
x(x − 1)
=
−
P1 (x) =
2
2
2
1
P10 (x) = x −
2
Por tanto,
(<
P10 (x) = 1 · P0 (x) −
1
y
2
B1 = − 12 .
n → n)
Por el lema 4.6, se tiene que
x
n+1
=
n
X
j=0
n+1
j
Pj (x)
Teorías diofánticamente indecidibles
45
Por tanto,
n−1
X
1
Pn (x) =
[xn+1 −
n+1
j=0
n+1
j
Pj (x)]
n−1
Pn0 (x) = xn −
1 X
n + 1 j=0
n+1
j
Pj0 (x)
n−1
1
1 X
=x −
P00 (x) −
n+1
n + 1 j=1
n
= xn −
n−1
X
n
j−1
n+1
j
[jPj−1 (x) + Bj ]
Pj−1 (x) + cte
j=1
= xn −
n−2
X
n
j
Pj (x) + cte
j=0
= nPn−1 (x) + cte
Teorema 4.8. Sea n > 0 y consideremos B0 = 1. Entonces
n
Pn (x) =
1 X
n + 1 j=0
n+1
j
Bj xn+1−j
Demostración.
Por inducción sobre
(n
n > 0.
= 1)
Se tiene que
x2 x
−
2
2
1
1 X 2
x2 x
2−j
Bj x
=
−
2 j=0 j
2
2
P1 (x) =
(n
→ n + 1)
Por el lema 4.7, se tiene que
Pn0 (x) = nPn−1 (x) + Bn
Por tanto, de la hipótesis de inducción se deduce que
Pn0 (x)
=
n−1
X
j=0
n
j
Bj xn−j + Bn
Teorías diofánticamente indecidibles
46
Integrando tenemos
Pn (x) =
n−1
X
n
j
1
Bj n−j+1
xn−j+1 + Bn x + C
j=0
n−1
1 X
=
n + 1 j=0
n+1
j
Bj xn−j+1 + Bn x + C
n+1
j
Bj xn−j+1 + C
n
1 X
=
n + 1 j=0
Nótese que
C = 0,
ya que
Pn (0) = 0.
Corolario 4.9.
(1)
n
X
n+1
j
Bj = 0, para todo n > 0.
j=0
n−1
1 X
n + 1 j=0
n+1
j
Bj , para todo n > 0.
(2)
Bn = −
(3)
Bn es un número racional, para todo n ∈ ω .
Demostración.
(1) Se tiene que
n
1 X
0 = Pn (1) =
n + 1 j=0
n+1
j
Bj
(2) Consecuencia inmediata del apartado (1).
(3) El apartado anterior nos proporciona una relación de recurrencia para el cálculo de
los números de Bernoulli, a partir de la cual es inmediato demostrar por inducción lo
que se pide.
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