Enunciados de actividades de integrales definidas

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LA INTEGRAL DEFINIDA
001. Calcula la integral de f(x) = 2x3 – 3x2 – 2 , en el intervalo [1, 2]
2
002. Calcula ∫ (2x2 + 3x) dx
0
LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS
01 ACTIVIDAD PROPUESTA
Calcula el área limitada por la función y = 2x2 + 4, el eje OX, en el intervalo [0, 3].
02 ACTIVIDAD PROPUESTA
Calcula el área limitada por la función y = x2 – 9 y el eje OX.
03 ACTIVIDAD PROPUESTA
Calcular el área encerrada por la función y = x2 – 1 , la recta x = – 3, la recta x = 3 y el eje
OX.
04 ACTIVIDAD PROPUESTA
Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 4 – x2, y la recta y = x + 2
05 ACTIVIDAD PROPUESTA
Calcula el área del recinto limitada por las siguientes parábolas: y = 4 – x2
e
y = x2 – 1.
06 ACTIVIDAD PROPUESTA
Dibuja el recinto limitado, por arriba, por la recta y = 3x + 2, por debajo y = – 4x + 16 y
por las rectas x = 2 y x = 4. Calcula mediante técnicas de integración el área de dicho recinto.
07 ACTIVIDAD PROPUESTA
Dada la función:
 0

2
3x − x
f(x) = 
 x−3
 0
si
x<0
si 0 ≤ x < 3
si 3 ≤ x ≤ 6
x>6
si
Hallar el área limitada por la función f(x), el eje OX, en el intervalo [– 1, 5]
08 ACTIVIDAD PROPUESTA
Dada la función:
1 − x si x < 0
f(x) =  2
si x ≥ 0
 x
(a) Representa gráficamente la función.
(b) Halla el valor de la siguiente integral definida
∫
3
f(x) dx
−1
(c) Calcula el área encerrada por f(x) y el eje OX, en el intervalo [– 1,
3 ].
09 ACTIVIDAD PROPUESTA
Un agricultor tiene una parcela de terreno, uno de cuyos límites es la curva f(x) dada por:

1/ 3
si x ≤ 20
(0.9 x + 27 )

f(x) = 
 1.44 x + 78
si x > 20

30

Otro límite está situado sobre el eje de abscisas a partir del punto de corte de f(x) y tiene
una longitud de 80 m. en sentido positivo. El tercer límite de la parcela está sobre la recta que
une los puntos (50, 0) y (50, 5).
(a) Representa gráficamente la parcela.
 Abel Martín
1
Integrales indefinidas. Aplicaciones.
(b) Si se divide el terreno en dos partes trazando la perpendicular al eje de abscisas en el
punto (20, 0), para dedicar la más grande a cultivar cereales y la otra patatas, halla por medio
del cálculo integral la superficie que dedica a cada cultivo.
(c) Enuncia la regla de Barrow.
10 – PAU – Universidad de Oviedo – Propuesta de examen 1994
Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b].
(a) Explicar la relación que debe guardar otra función ϕ(x) con f(x) para que se verifique la
siguiente igualdad:
b
∫ f (x) d x = ϕ(b) – ϕ(a)
a
(b) Aplicar el resultado anterior para calcular la integral de la función f(x) = 2x2 + 4 en el
intervalo [0, 3].
11 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1994
Sea f(x) una función continua en cierto intervalo [a, b].
(a) Explica el enunciado de la regla de Barrow y su aplicación.
(b) Sea f (x) = 3x2 – 6x, justificar cuál de las siguientes funciones:
U (x) = 3 x3 +3 x2 ;
V (x) = x3 – 3 x2 es primitiva de la anterior.
4
(c) Calcular ∫ (3 x2 – 6 x) dx
0
(d*) Calcula el área encerrada por la función y = 3x2 – 6x, el eje OX, en el intervalo [0, 4].
12 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1995
(a)Enunciar la regla de Barrow y comentar su aplicación.
(b) Sea F(x) = x4 + ax3 + bx; calcular a y b sabiendo que:
(b1) el punto (1, 2) pertenece a la gráfica de F(x).
(b2) F(x) es función primitiva de cierta función f(x) cuya integral en el intervalo [1, 2] es
igual a 10.
13 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1995
(a) Explica el concepto de función primitiva.
(b) Sea f(x) = e2x – 2x2 + 8, justifica si es primitiva de alguna de las siguientes funciones:
g(x) = e2x – 4x + 8
h(x) = 2·e2x – 4x
(c) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para calcular:
∫ 10 (2e2x – 4x) dx
(d) Calcula el área encerrada por la función y = 2·e2x – 4x, el eje OX, en el intervalo [0, 1].
14 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1996
Dada la función f(x) = (x + 1) (3x – 2):
(a) Calcula una primitiva de f(x).
(b) Justifica que la función F(x) = x3 + 2x2 + 2 no es primitiva de f(x).
(c) Enuncia la regla de Barrow y calcula ∫10 (x + 1) (3x – 2) dx
(d) Calcula el área encerrada por la función (x + 1) (3x – 2), el eje OX, en el intervalo [0, 1]
15 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1996
(a) Explicar el concepto de función primitiva.
(b) Dada la función F(x) = ax3 + bx2 – 2x, determinar los valores de a y b para que se
verifique que F(x) es primitiva de una función f(x) con las siguientes características:
(b1) f(x) pasa por el punto (1, 9)
(b2) El área entre la curva f(x) y el eje de abscisas en el intervalo [0, 1] vale 1.
16 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1997
(a) Enunciar la regla de Barrow.
(b) Dada la función f (x) = ax3 + bx + c; calcular los valores de a, b y c sabiendo que:
2
Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.
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(i) F(x) = x4 – 2 x2 + cx es una primitiva de f (x);
(ii) la integral de f (x) en el intervalo [0, 1] es igual a 1.
17 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1997
Dada la función f(x) = x3 +
2
:
x2
(a) Calcula una primitiva de f(x).
(b) Enuncia la regla de Barrow y aplicarla para obtener la integral de f(x) en el intervalo
[1, 2].
(c) Calcula el área encerrada por la función y = x3 + 2/x2, el eje OX, en el intervalo [1, 2].
18 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1998
Dada la función f (x) = x +
a
, donde “a” es una constante,
x3
(a) Encontrar una primitiva de f.
(b) Si F es una primitiva de f, ¿puede serlo también G(x) = F(x) + 2x?
(c) Encontrar “a” sabiendo que ∫ f(x) dx = 1.5
2
1
19 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1998
Dada la función f(x) = 4e4x + a, donde a es una constante,
(a) Justificar si las siguientes funciones son o no primitivas de f:
F1(x) = 4e4x + ax
F2(x) = e4x + ax
(b) Encontrar "a" sabiendo que ∫ f (x) dx = e4
1
0
20 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1999
Dada la función f(x) = a ex/3 +
1
x2
, (x ≠ 0), donde "a" es una constante,
(a) Encontrar ∫ 12 f(x) dx en función de a.
(b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula “a” si F(1) = 0 y F(2) = 1/2
21 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1999
Dada la función f(x) = x · ex/2
(a) Calcular una primitiva de f.
(b) Calcular ∫ 20 f(x) dx
(c) Si F y G son 2 primitivas de f, y H = F – G, ¿es posible que la derivada de H sea la
función x2?
22 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2000
LOGSE
Enuncie la Regla de Barrow y aplíquela a la función f(x) = ex (x + 1) en el intervalo [0, 1].
23 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2000 – LOGSE
Determine la función primitiva y el área bajo la curva, en el intervalo [1, e], de la función
f(x) = Ln (x).
24 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2000 – SELECTIVIDAD
Dada la función f(x) = a ⋅ x ⋅ e
x2
+ b , donde a y b son constantes,
5 1
(a) Encuentra a y b sabiendo que la derivada de f en el 1 vale e 3 , y que además:
3
3
∫
1
0
f(x) dx =
3 1/3
(e – 1)
2
(b) Encuentra, si existen, 2 primitivas de f tales que su diferencia valga 7.
 Abel Martín
3
Integrales indefinidas. Aplicaciones.
25 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2001 – LOGSE
Sea f(x) = x2 + bx donde "b" es una constante.
(a) Encuentra "b" sabiendo que hay una primitiva F de f con F(0) = 2 y F(3) = 20. Encuentra
también la expresión de F.
(b) Dibuja la curva f(x) cuando b = – 1 y halla el área delimitada por dicha curva y el eje de
abscisas entre los puntos de abscisa x = 0 y x = 2.
26 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2001
( x +1)
Dada la función f(x) = (x + a) e 2
(a) Encuentra una primitiva de f
(b) Calcula “a” sabiendo que ∫
2
−2
, donde “a” es una constante,
f (x) dx = 8. Justificar que, para ese valor de "a",
2x e
( x2 +1)
no es primitiva de f.
27 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2002
Dada la función f(x) = 3ax2 +
2a
+ 5 (x > 0), donde "a" es una constante,
x3
(a) Encuentra el valor de "a" sabiendo que cierta función F es una primitiva de f y verifica
que F (1) = 6 y F(2) = 42.
(b) Dibuja la función f(x) para el valor de "a" obtenido en el apartado anterior y encuentra
también en ese caso el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2.
28 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2002
2
Dada la función f(x) = x3 – 27 + a x e x , donde "a" es una constante,
(a) Encuentra una primitiva de f.
(b) Si a = 0, dibuja la función f para x ≥ 0 y encuentra el área limitada por la curva y el eje
X entre x = 2 y x = 4.
29 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2003
a
(x ≠ 0), donde a es una constante, encuentra una
x2
primitiva de f. Posteriormente, encuentra a para que si f ' es la derivada de f, entonces
f ' (1) = – 2.
(b) Dibuja la función f(x) = 25 – x2 , y h alla el área limitada por la curva y el eje de abscisas
entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 6.
(a) Dada la función f(x) = 25 – x2 +
30 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2003
(a) Encuentra la primitiva de la función f(x) = x −
(b) Dibuja la función f(x) = x −
27
x2
+
x
( +1)
e 2
(x > 0) que en el 2 valga 15.5.
27
( x > 0) y encuentra el área limitada por la curva y el eje X
x2
entre x = 1 y x = 5.
31 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2004
(a) Encuentra la primitiva de la función f(x) = 27 – x3 + 3e2x–1 que en el 1 valga 26.75.
(b) Dibuja la función f(x) = 27 – x3 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre
x = – 3 y x = 5.
4
Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.
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32 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2004
(a) Dada la función f(x) =
a
+ 3x2 – x3, encuentra a para que si f ' es la derivada de f,
x
entonces f ' (– 1) = – 10.
(b) Dibuja la función f(x) = 3x2 – x3 . Encuentra el área limitada por la curva y el eje X, entre
x = – 1 y x = 2.
33 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2005
Dada la función f(x) = x +
4
(x > 0)
x2
(a) Encuentra la primitiva de f que en el 2 valga 5.
(b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los
puntos de abscisa x = 1 y x = 4.
34 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2005
(a) Encuentra f ' (2) donde f ' es la derivada de la función f dada por
4
f(x) = 2 + 8x – x2 – 12 (x ≠ 0).
x
2
(b) Dibuja la función f(x) = 8x – x – 12 y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = – 1 y x = 2.
35 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2006
Si f ' es la derivada de la función dada por f(x) = x2 +
1
x2
– 53x + 150 (x ≠ 0),
(a) calcula f ' (– 0.5).
(b) Dibuja la función f(x) = x2 – 53x + 150 y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 2 y x = 4 .
36 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2006
Dada la función f(x) = x3 – 81x2 ,
(a) Si f ' representa la derivada de f, encontrar una primitiva F de f verificando que
F(4) = f ' (54).
(b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = – 4 y x = 4.
37 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2007
(a) Encuentra f ' (– 2) donde f ' es la derivada de la función f dada por f(x) = 4x – x2 +
2
x3
(x ≠ 0).
(b) Dibuja la función f(x) = 4x – x2 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3
y x = 5.
(c)* Dada la función f(x) = x4 – 3x2. Estudia la monotonía y haz un esbozo de la función.
38 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2007
Sea la función f(x) = – x2 + 7x – 12. Si f ′ representa su derivada,
(a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F(6) = f ′ (6)
(b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 4.5
39 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2008
(a) Si f ′ es la derivada de la función dada por f(x) = 2x3 – 6x2 +
 Abel Martín
3
(x ≠ 0), calcula f ′ (– 2).
x4
5
Integrales indefinidas. Aplicaciones.
(b) Dibuja la función f(x) = = 2x3 – 6x2 . Obtén el área que limitan la curva y el eje X entre
x = 2 y x = 4.
40 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2008
Sea la función f(x) = 3x2 – 6x. Si f ’ representa su derivada,
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = f ’(3)
(b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3.
41 – PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2009
a
+ x2
(x > 0), donde a es una constante,
2
x
(a) Si se supiera que f ’ (2) = 1, donde f ’ es la derivada de f, ¿cuánto valdría “a”?
(b) Dibuja la función f si a = 16 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2
y x = 3.
Dada la función f(x) =
42 – PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2009
Dada la función f(x) = 5 +
1
x2
(x > 0). Si f ’ representa su derivada,
(a) Calcula f ’(2)
(b) Dibuja la función f . Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2.
43 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2010
Dada la función f(x) = x2 – 4x.
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 0.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 1 y x = 7.
44.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción B – Junio 2010
Dada la función f(x) = x2 – 1
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 10.
(b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2.
45.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – septiembre 2010
Dada la función f(x) = x2 + 1.
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 10.
(b) Representa gráficamente la función f(x) y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 3 y x = 6.
46.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – septiembre 2010
Dada la función f(x) = 2x – x2
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 100.
(b) Dibuja la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3.
3
(c*) Calcula ∫ 1 (2x – x 2 ) dx
47.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – junio 2011
Dada la función f(x) = 3x2 – 6x + 10
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) = 10.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 2 y x = 3.
6
Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.
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48.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – junio 2011
Dada la función f(x) = x2 – 6x + 8
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 10.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 3 y x = 5.
49.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – septiembre 2011
Dada la función f(x) = x2 – 2x
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(6) = 40.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 0 y x = 4.
50.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción B – septiembre 2011
1
x2
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) = 3.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 1 y x = 2.
Dada la función f(x) = 1 –
51.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN
Dada la función f(x) =
x2 − 2
x2
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 4
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 2 y x = 5.
52.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN
Dada la función f(x) =
x2 + 3
x2
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 4
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 2 y x = 5.
53.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN
Dada la función f(x) = x3 + 3x2 – 4x– 12
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 1
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 0 y x = 3.
54.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN
Dada la función f(x) = x3 + x2 – 18x – 1
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 5
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 0 y x = 2.
55.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN
Dada la función f(x) = – 2x3 + 4x2 + 10x – 12
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 5
(b) Representa gráficamente la función f
(c) Calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0 y x = 2.
56.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2012
Dada la función f(x) = x3 – 12x.
 Abel Martín
7
Integrales indefinidas. Aplicaciones.
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 1.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = – 2 y x = 2.
2
(c*) Calcula ∫ − 2 (x3 – 12x) dx
57.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – Junio 2012
Dada la función f(x) = 5x – x2 – 4
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 2.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 2 y x = 6.
58.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – julio 2012
Dada la función f(x) = 3 – x, se pide:
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(0) = 2.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva f y el eje X
entre x = 0 y x = 2.
59.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – julio 2012
Dada la función f(x) = 4 – x2 , se pide:
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 5.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 1 y x = 3.
60 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – junio 2013
Dada la función f(x) = 4x – 2x2
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(6) = 0.
(b) Dibuja la gráfica de la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre
x = 0 y x = 4.
61.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase ESPECÍFICA – OPCIÓN A – JUNIO 2013
Dada la función f(x) = ex/3 , se pide:
(a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(0) = 4.
(b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 0 y x = 1.
62.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase ESPECÍFICA – OPCIÓN A – JULIO 2013
Dada la función f(x) = 8x – 2x3, se pide:
(a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(2) = 9.
(b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 1 y x = 3.
63.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase GENERAL – OPCIÓN B – JULIO 2013
Dada la función f(x) = 2/x , se pide:
(a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(1) = 2.
(b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X
entre x = e y x = e2.
64.– PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN
Dada la función f(x) = -3/x , se pide:
(a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(1) = 2.
8
Integrales indefinidas. Cálculo de áreas.
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(b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X
entre x = e y x = 4
65 PROPUESTA DE CONSOLIDACIÓN
Dada la función f(x) = ex/2 , se pide:
(a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(0) = 4.
(b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 0 y x = 1.
066 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2014
Dada la función f(x) =
9
− 1 se pide
(2 + x)2
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(1) = 1
(b) Dibuja la gráfica de la función f en el intervalo [– 1, ∞) y calcula el área limitada por la
curva y el eje X entre x = 0 y x = 2.
067.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase ESPECÍFICA – Opción A – junio 2014
Dada la función f(x) =
−1
x −1
, se pide:
(a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(5) = 1.
(b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 2 y x = 5.
068 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – julio 2014
Dada la función f(x) = 2x + a·x3 se pide
(a) Encuentra el valor de a que verifica que F(1) = 4 y F(2) = 22, donde F denota una
primitiva de f
(b) Suponiendo que a = 4, representar gráficamente la función f y calcular el área limitada
por la curva y el eje X entre x = – 1 y x = 1.
069 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – julio 2014
Dada la función f(x) = (x – 1)2 (2x – 5) se pide
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 1
(b) Representar gráficamente la función f y calcular el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 0 y x = 2.
 Abel Martín
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