´Algebra lineal y geometr´ıa II Trabajo 1

Álgebra lineal y geometrı́a II
Trabajo 1
Proyectores
Entrega 16 de diciembre de 2013
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En todo el trabajo, y a menos que se indique lo contrario, V será un espacio vectorial, no necesariamente de dimensión finita, sobre un cuerpo K de
caracterı́stica distinta de dos.
Definición 1.– Se llama proyector de V a toda aplicación lineal:
p : V → V tal que p2 = p
Si L1 = Im(p), L2 = Ker(p), el proyector p se llama proyección sobre L1
en la dirección de L2
Ejercicio 2.–
1. Probar que si p es un proyector de V y es un isomorfismo, p es la identidad.
2. Probar que si p es un proyector de V , V = Im(f ) + Ker(f ), la suma es
directa y p(v) = v, ∀v ∈ Im(f )
3. Probar que si L1 y L2 son subespacios de V tales que V = L1 + L2 y la
suma es directa, existe un único proyector pL1 ,L2 de V tal que:
Im(pL1 ,L2 ) = L1 , Ker(pL1 ,L2 ) = L2
4. Probar que hay una correspondencia biunı́voca entre el conjunto de proyectores de V y el conjunto siguiente de pares ordenados subespacios de V :
P(V ) = {(L1 , L2 ) | L1 , L2 subespacios de V, V = L1 +L2 y la suma es directa}
5. Si L1 y L2 son los subespacios de R3 dados por:
x1 − x2 + x3
L1 = L((1, 2, 0), (−1, 4, 3), (0, 2, 1)), L2 :
2x1 + x2 − x3
= 0
= 0
Probar que (L1 , L2 ) ∈ P(R3 ) y escribir la matriz, en la base canónica de
pL1 ,L2
Ejercicio 3.– Si f es la proyección sobre M1 en la dirección de M2 , y g es la
proyección sobre N1 en la dirección de N2 :
1. Probar que f + g es un proyector si y solo si:
f g = gf = 0
y si este es el caso probar que f + g es la proyección sobre M1 + N1 en la
dirección de M2 ∩ N2
2. Probar que f − g es un proyector si y solo si
gf = f g = g
y si este es el caso probar que f − g es la proyección sobre M1 ∩ N2 en la
dirección de M2 + N1
3
3. Si gf = f g = h, probar que h es la proyección sobre M1 ∩N1 en la dirección
de M2 + N2
Ejercicio 4.– Si V es de dimensión finita, probar que una aplicación lineal
p : V → V es un proyector si y solo si es diagonalizable y sus valores propios
son 0 y 1
Ejercicio 5.– Construir un ejemplo de un espacio V y una aplicación lineal
f : V → V que no sea un proyector y tal que f 2 (1 − f ) = 0. Probar que si una
aplicación lineal f : V → V verifica que:
f 2 (1 − f ) = 0, f (1 − f )2 = 0
f es necesariamente un proyector
Definición 6.– Se llama involución de V a toda aplicación lineal:
u : V → V tal que u2 = 1V
Ejercicio 7.– Probar que una aplicación lineal f : V → V es un proyector si
y solo si u = 2f − 1 es una involución