Hoja 5 - Universidad de Murcia

UNIVERSIDAD
DE MURCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CONJUNTOS Y NÚMEROS 2012/2013.
Hoja 5
1. Un amigo le pregunta a otro: –¿Cuántos hijos tienes y de qué edad?
La respuesta: –Tengo tres hijas. El producto de sus edades es 36 y su suma es
el número de esta casa.
–¿Y qué más?– dice el primero.
– ¡Ah!, es verdad –responde– la mayor toca el piano.
¿Cuáles son las edades de las hijas?
2. Dos antiguos compañeros de colegio se encuentran en un bar. Después de recordar distintos acontecimientos de su vida de escolares, pregunta uno de ellos
al otro: –¿Cuántos años tienes?– a lo que el otro responde: –tengo doble edad
de la que tú tenı́as cuando yo tenı́a la edad que tú tienes, y cuando tengas mi
edad actual, nuestras edades sumarán 63 años.–
¿Cúal es la edad de cada uno de ellos?
3. Si a > 0 es un entero compuesto demuestra que existe un divisor primo de a
menor o igual que la raı́z cuadrada de a.
4. Calcula mcd(172, 631) mediante el algoritmo de Euclides.
5. Calcula una identidad de Bezout para los números 372 y 126.
6. Halla α, β, γ ∈ Z tales que 17α + 51β + 45γ = 1.
7. Calcula mcd(28n − 5, 35n − 8) para todo natural n.
8. Resuelve la ecuación diofántica 45x+21y = 27. ¿Podemos econtrar una solución
en la que x e y terminen en la misma cifra?
9. Pide a una persona que multiplique el dı́a del mes en que nació por 12, que
multiplique el dı́a del orden del mes por 31 y que te diga sólo el resultado de
sumar estas dos cifras. ¿Puedes averiguar cuándo es su cumpleaños?
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10. Un millonario deja, al morir, su fortuna de oro y joyas a partes iguales entre
sus dos hijos. El reparto se consigue llevar a término de forma exacta dando 5
rubı́es, 6 zafiros, 7 perlas y 193 monedas de oro a un hijo; y 14 rubı́es, 9 zafiros,
14 perlas y 62 monedas de oro al otro hijo. Sabiendo que cada gema y cada
perla vale más de 5 monedas de oro, averigua el precio en monedas de oro de
cada gema.
11. Demuestra que una ecuación diofántica a1 x1 + · · · + an xn = d tiene solución si y
solo si mcd(a1 , . . . , an ) divide a d. Hallar las soluciones de 12x + 76y + 18z = 14.
Para ello puedes seguir el siguiente método: considerar una variable auxiliar t y
la ecuación 12x + 76y = dt con d = mcd(12, 76).
12. Dado un entero positivo n demostrar que existen n enteros consecutivos no
primos.
13. Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor:
(a) Si mcd(a, b) = 1, entonces mcd(an , bk ) = 1 para todo n ≥ 1 y k ≥ 1.
(b) Si mcd(a, b) = 1, entonces mcd(a + b, a − b) = 1 o 2.
(c) Si mcd(a, b) = 1, entonces mcd(a + b, a2 − ab + b2 ) = 1 o 3.
(d) Si mcd(a, b) = 1 y d | a + b, entonces mcd(a, d) = mcd(b, d) = 1.
14. Demostrar
(a) q + 1 divide a q n + 1 si y solo si n es impar.
(b) Si 2n − 1 es primo, entonces n es primo
(c) Si 2n + 1 es primo, entonces n es potencia de 2.
15. Dado un entero n, hallar una fórmula que nos dé el número de divisores de n en
función de la descomposición de n en factores primos. ¿Sabrı́as dar una fórmula
para la suma de todos los divisores?
16. Todas las sucesiones posibles de siete dı́gitos se escriben una a continuación de
la otra en una fila para formar un número de 70000000 de dı́gitos. Prueba que
sea cual sea el orden en que se han escrito las sucesiones, el número resultante
es siempre divisible por 239 (Pista: 239 divide a 107 − 1).
17. Se pide determinar si el siguiente enunciado es verdadero o falso: “Si d =
mcd(a, b) y d = aα + bβ entonces α y β son primos entre sı́.
18. Probar que si a y b son coprimos y a|c y b|c entonces ab|c.
19. (Euler, 1770). Divide 100 en dos sumandos tales que uno es divisible por 7 y el
otro por 11.
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20. Un cierto número de seises y nueves se suma para obtener 126. Si el número de
seises y nueves se intercambia, la nueva suma es 114. ¿Cuántos seises y nueves
habı́a originalmente?
21. (Alcuino de York, 775). Cien fanegas de grano se distribuyen entre 100 personas
de tal manera que cada hombre recibe 3 fanegas, cada mujer 2 fanegas y cada
menor (niño o niña) recibe 21 fanega. ¿Cuántos hombre, mujeres y menores
habı́a?
22. Probar que 4 6 | (n2 + 2).
23. Demostrar la famosa regla de que un número es divisible entre 3 si y sólo si lo
es la suma de sus dı́gitos. Lo mismo para 9.
24. Probar que el producto de tres enteros consecutivos es divisible entre 6, y el de
cuatro entre 24.
25. Decimos que un número entero es un cuadrado perfecto si su raı́z cuadrada es
un número entero. Probar que si a y b son enteros positivos coprimos tales que
su producto ab es cuadrado perfecto entonces tanto a como b son cuadrados
perfectos.
26. Considérese el conjunto Nn = {1, . . . , n}. Sea 2k la mayor potencia de 2 tal que
2k ∈ Nn . Probar que 2k no puede ser divisor de cualquier otro elemento de Nn .
27. Probar que un número entero nunca puede tener raı́ces n-ésimas racionales, si
n > 1.
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