Russell.

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Emmanuel Villagrán Loya
Bertrand Russell
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Bertrand Russel (1872-1970) nació en Rovenscreft, Inglaterra. La familia era de corte
aristocrático con una tradición política liberal y progresista. Estudió matemáticas en el
Trinity College de Cambridge. Se cuenta que a los once años de edad fue instruido en
geometría por su hermano, hecho que despertó su pasión por las matemáticas. Fue lógico,
matemático, filósofo, incluso activista social. Fue discípulo de filosofía de Henry Sidwick,
James Ward y G. F. Stout. Recibió el Premio Nobel de Literatura en 1950. La obra de
Bertrand Russell es muy grande y cuenta con escrito de diversos temas. Entre los escritos
de lógica figuran principalmente los tres volúmenes de Principia Mathematica, publicado
de manera conjunta con Whitehead.
La principal preocupación de Russell, al inicio de su carrera, consistía en la
fundamentación de las matemáticas, de ello surge su denominado logicismo, el cual
consiste en la tesis de que es posible reducir por completo las matemáticas a la lógica. Esta
tesis se formula en dos partes, la primera es que los conceptos matemáticos se pueden
reducir a conceptos lógicos. En segundo lugar, los teoremas de las primeras son deducibles
mediante principios lógicos (Mosterín, 151).
Al realizar su trabajo, encontró ciertas dificultades con la pertenencia. En general, se
afirma que una clase no pertenece a sí misma. Esta acepción se clarifica al momento de
pensar en conjuntos cuyos miembros son individuos. Para ejemplificar, pensemos en el
conjunto de todos los libros, esa clase no puede pertenecer a sí misma, no es un miembro de
ella, debido a que no es un libro. Así es con el conjunto de todos los caballos, de todos los
perros, de todos los axiomas, etc. No obstante, podemos pensar, de manera intuitiva, que
existen clases que son miembros de ellas mismas, así si pensamos en el conjunto de todos
los conjuntos, entonces esa clase pertenece a sí misma, dado que es ella misma un conjunto.
Pensemos en un ejemplo problemático de lo anterior, con fin de mostrar la
dificultad que surge de ella, de una manera más semántica. En una ciudad hay un peluquero
que se encarga de cortar el cabello sólo a aquellos que no lo hacen ellos mismos. En el caso
del peluquero mismo surge el problema, si no se corta él mismo el cabello, entonces se lo
corta él mismo, ya que su trabajo consiste precisamente en cortar el cabello a los que no lo
hacen ellos mismos.
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Veámoslo ahora desde un punto de vista más formal. Mosterín señala que “según la
idea intuitiva, a cada propiedad corresponde una clase: la clase de todas las cosas que tiene
esa propiedad” (152). Ahora bien, llamemos A al conjunto de todos los conjuntos que no
pertenecen a sí mismos. Preguntémonos ahora si A es o no miembro de sí mismo. En caso
de pertenecer a sí mismo, A sería un miembro de A, no obstante, los elementos del
conjunto A son clases que no pertenecen a sí mismas, y A no cumple con esta propiedad,
por tanto, si A es miembro de A, entonces A no pertenece a A. Ahora, en la situación
contraria, en la que A tiene la propiedad de no pertenecer a sí misma, A no es un elemento
de A, debido a su propiedad, sin embargo lo es dado que cumple con los requisitos, por
decirlo de alguna manera, para ser un miembro de sí mismo.
A lo que se llega en las consideraciones anteriores es la famosa Paradoja de Russell,
la cual enuncia que A es miembro de sí mismo sí y solo si A no es miembro de A. De
manera simbolizada:
AAAA
Ante tal situación, narra Mosterín que, al inicio, la paradoja no resultó un motivo de
preocupación para Russell, sin embargo, conforme intentó resolverla sin éxito se dio cuenta
que era un reto que ponía una traba enorme para su trabajo, puesto que mostraba que las
ideas de clase con las que había fraguado sus ideas eran contradictorias, aspecto que
resultaba una amenaza para su trabajo anterior. (152)
Russell estuvo trabajando, por varios años, en encontrar una solución a la paradoja
que lleva su nombre, y creyó encontrar la solución, la cual consistía en la teoría de los tipos.
Esta teoría tiene dos presentaciones, la teoría simple de los tipos y la teoría ramificada de
los tipos.
La primera, la teoría simple de los tipos, consiste en que todas las clases se dividen,
como su nombre lo indica, en tipos. Los individuos son del tipo más ínfimo, las clases de
individuos son el siguiente, las clases de clases de individuos son de un tipo más alto, las
clases de clases de clases… etc. Lo interesante de establecer estos sustratos, por llamarlos
de algún modo, consiste en que no podemos hablar de la pertenencia entre clases de igual
tipo, porque “solo puede afirmarse o negarse la pertenencia de una clase de tipo
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determinado n a otra clase de tipo inmediatamente superior n+1” (Mosterín, 155). Los
ejemplos que dimos sobre los conjuntos que no pertenecen a sí mismo siguen este
razonamiento. El conjunto de todos los libros tiene elementos del tipo más bajo, de
individuos, por ello no puede pertenecer, según la teoría en cuestión, a sí mismo por ser de
un tipo más alto, el de la clase de individuos.
De esta manera la expresión AAAA no tiene ninguna importancia debido a
que no es una fórmula bien formada, principalmente porque A no puede pertenecer a A por
ser clases del mismo tipo, a saber clases de clases. La paradoja de Russell se ve nulificada
al considerar esta teoría simple de los tipos.
La versión ramificada de los tipos surge al aceptar el principio del círculo vicioso de
Poncairé, el cual formula que “una clase no puede contener elementos que solo sean
definibles en función de la clase entera” (Mosterín, 156). De esta manera, el conjunto A no
puede ser un elemento de sí mismo, debido a que rompen con el principio anterior, siendo
A solamente definible por todos sus elementos. Este tipo de conjuntos se ramifican, por ello
el nombre, o se subdividen en cada uno de los tipos que tiene como miembros. A pesar de
todo, debido a críticas recibidas sobre sus teorías más avanzadas de los tipos, vuelve a la
teoría simple.
Estas son solamente dos, la paradoja de Russell y le teoría de tipos, de las muchas
contribuciones de Bertrand Russell a la lógica. Sus aportes son ahora considerados para
denotar lo que conocemos ahora como lógicas clásicas.
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Trabajos Citados
MOSTERÍN, JESÚS: Los lógicos. España, Espasa- Calpe, 2000.
Bibliografía
FERRATER MORA, JOSÉ: Diccionario de Filosofía. Madrid, Alianza Editorial, 1980.
SUPPES, PATRICK: Introducción a la lógica. España, C.E.C.S.A, 1984