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Lección 1
Teoría Semiclásica de las propiedades de transporte
• Velocidad de fase-velocidad de grupo.
• Modelo semiclásico: paquetes de ondas.
• Dinámica del electrón.
• Contribución de las bandas llenas al transporte de carga.
• Huecos: propiedades dinámicas.
• Modelo de Drude para semiconductores.
• Resistividad y efecto Hall.
• Magnetorresistencia.
• Conductividad en corriente alterna.
• Resonancia ciclotrónica
Velocidad de fase / velocidad de grupo
Ondas sinusoidales
A1 ( x, t ) = A0 sin( k1 x - w1t )
A2 ( x, t ) = A0 sin( k 2 x - w 2t )
Velocidad de fase
vf1 =
w1
k1
vf 2 =
Interferencia
A( x, t ) = A0 sin( k1 x - w1t ) + A0 sin( k2 x - w2t )
w1 + w 2 ö æ k1 - k 2
w1 - w 2 ö
æ k1 + k 2
A( x, t ) = 2 A0 sin ç
xt ÷ cosç
xt÷
2
2
è 2
ø è 2
ø
A( x, t ) = 2 A0 sin (k0 x - w0t ) cos(Dk x - Dwt )
Los máximos corresponden a cierto valor de la fase
Dk x - Dw t = 0
dx Dw
=
dt Dk
v g = lim Dk ® 0
Dw dw
=
Dk dk
w2
k2
Velocidad de fase / velocidad de grupo
Paquete de ondas
u ( x, t ) = ò A(k )ei ( kx -w ( k )t ) dk
æ dw ö
w (k ) = w (k0 ) + ç
÷ (k - k0 ) = w (k0 ) + vg (k - k0 )
è dk ø k = k0
u ( x, t ) = e
i ( k 0 v g t -w 0 t )
ò A(k )e
i ( x -vg t )k
dk
u ( x,0) = ò A(k )eikx dk
u ( x, t ) = e
i ( k 0 v g t -w 0 t )
u ( x - v g t , 0)
APROXIMACIÓN SEMICLÁSICA DE LOS ESTADOS
ELECTRÓNICOS EN EL SÓLIDO: PAQUETE DE ONDAS
Teoría cuántica
r
æ h 2Ñ 2
ö
r
r
r
r
çç + U ( r ) ÷÷f nk ( r ) = e n ( k )f nkr ( r )
è 2m
ø
r r
r
r r
r
r
ik × R
U (r + R ) = U (r )
f nkr ( r + R ) = e f nkr ( rr )
Aproximación semiclásica: paquete de ondas
en (k )
r
i
t
r
r
r
h
g( k )f n k (r ) e
Y n (r ,t) = å
r
k
g(k) solo es distinto de cero para
un intervalo pequeño de k0,
|k-k0| < Dk ~p/a
DR >> a
r
r
r
r
r
(
k
e
r
r i(k.R - n ) )t
r
g(k )f nk (r ) e
h
Yn (r + R,t) = å
r
k
r
r r ¶w 1 ¶ e n (k )
r
v n (k ) = r =
¶k h ¶k
Velocidad electrón = Velocidad de
grupo del paquete de ondas
En la aproximación semiclásica el paquete de ondas se mueve de
acuerdo con las leyes de la macánica clásica
r
r
r r r
dP
dk r
=h
= F = ( -e)(E + vxB)
dt
dt
r
r
H = e n (k ) + U ext (r )
TRANSPORTE DE CARGA
r
r
1 r
1 1 ¶e n ( k ) r
J = ( -e) 3 ò v dt kr = ( -e) 3 ò
r dt k
4p
4 p h ¶k
r 2
r
r
1 ¶ (e n ( k ) )
1 1 ¶e n (k )
1
r
r =
e
(
)
t
k
d
r
dt kr
r
JE=
n
k
3 ò
3 ò
¶k
4 p h ¶k
4 p 2h
LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES.
En ausencia de campo eléctrico
ky
p/a
k
p/a
kx
-k
r
r
e n (k ) = e n (-k )
r
r
1 ¶e n (k )
1 ¶e n (- k )
r =r
h ¶k
h ¶k
r r
r r
v ( k ) = -v ( - k )
2p/a
r
1
1
r r
J = ( -e) 3 ò v dt k = ( -e) 3 ò
4 p ZB
4 p ZB
r
1 ¶e n (k ) r
r dt k = 0
h ¶k
LAS INTEGRALES,
EXTENDIDAS A TODOS
LOS VALORES DE k (dentro
de la 1ª zona de Brillouin)
SE ANULAN (ver AshcroftMermim).
LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES.
En presencia de campo eléctrico
ky
E
3'
1
K1
1'
K3
K2
2
2'
kx
3
2p/a
r
1
1
r r
J = ( -e) 3 ò v dt k = ( -e) 3 ò
4 p ZB
4 p ZB
r
r
dk
h
= -eE
dt
s
r e r
k ( Dt ) = k 0 - EDt
h
r
2p r
K1 = i
a
r
2p r
K2 = j
a
r
2p r 2p r
K3 = ij
a
a
r
1 ¶e n (k ) r
r dt k = 0
h ¶k
CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES)
En ausencia de campo eléctrico
ky
p/a
p/a
r
E=0
Distribución simétrica
r r
r r
v ( k ) = -v ( - k )
r
J =0
kx
2p/a
r
1
r r
J = ( -e) 3 ò v dt k = 0
4 p krocupado
CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES)
En presencia de campo eléctrico
ky
p/a
E
p/a
kx
Dk
r
E¹0
Distribución no simétrica
r
r
eE
Dk = Dt
h
r
r
Dk
eE
v = h * = - * Dt
m
m
2p/a
r æ
2 r
ö
r
1
e EDt
r r e EDt ç 1
÷
r
J = ( -e) 3 ò v dt k =
dt k =
n
*
*
ò
3
4 p krocupado
m ç 4 p krocupado ÷
m
è
ø
2
CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS)
En ausencia de campo eléctrico
ky
p/a
r
E=0
Distribución simétrica
r r
r r
v ( k ) = -v ( - k )
r
J =0
p/a
kx
2p/a
r
1
r r
J = ( -e) 3 ò v dt k = 0
4 p krocupado
CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS)
En presencia de campo eléctrico
ky
Distribución no simétrica
r
r
eE
Dk = Dt
h
p/a
E
p/a
kx
Dk
2p/a
( -e)
r r
r r
1
t
v
d
+
(
e)
v
dt k = 0
k
3 r ò
3 rò
4 p kocupado
4 p kvacío
( -e)
1
r r
r r
1
=
t
v
d
(
e)
v
dt k
k
3 r ò
3 rò
4 p kocupado
4 p kvacío
1
r
E¹0
r
r
1
J = ( -e) 3 ò v dt kr
4 p krocupado
r
1
r r
J = ( +e) 3 ò v dt k
4 p krvacío
Las bandas parcialmente llenas si contribuyen al transporte de
electrones y lo podemos representar como si se tratase del transporte
de cargas positivas ficticias: HUECOS (su masa efectiva será diferente).
r
r
e (k ) = e (k 0 ) -
r r
h k - k0
2
2m *
2
r
r
1 ¶e (k )
h r r
r
v (k ) =
r =- * (k - k 0 )
h ¶k
m
r
r
h dk
e r r r
r d r
a = v (k ) = - *
= * (E + v xB)
dt
m dt m
Transporte de carga en una banda LCAO
r
e (k ) = E min + 2A( cos k x a + cos k y a + cos k z a)
dk x
eE x
eE x
=Þ k x = k x0 t
dt
h
h
r
eE x
1 ¶e (k ) 2 Aa
2 Aa æ
ö
vx =
=
sin( k x a ) =
sin ç (k x 0 t )a ÷
h ¶k x
h
h
h
è
ø
La velocidad resulta variar armónicamente, lo que indica que, en un sólido, un
campo eléctrico uniforme daría lugar a una corriente alterna (esto si los
portadores pudiesen alcanzar un k suficientemente grande). Este resultado es
general dada la periodicidad de la relación
e(k) en el espacio recíproco.
MODELO DE DRUDE
En este modelo se supone que todos los electrones (o huecos) son dispersados en
promedio con un intervalo de tiempo t (tiempo de relajación), perdiendo la energía
adquirida en ese intervalo, lo que equivaldría al efecto de una fuerza disipativa
r
r
dv
r
m * = eE - g v
dt
En el estado estacionario
r
r r
r
eE v
dv eE g r
= *- * v = * t
dt m m
m
r
dv
=0
dt
r
r et r
v = * E = mE
m
LEY DE OHM: CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA
r
r
r
et r
J = env = (en) * E = sE
m
2
e nt
s = enm = *
m
EFECTO HALL
r
r
r r
r
dv eE e(v xB) v
= *+
*
dt m
t
m
y
r
Ex
+++++
r
J
r
Ey
-----z
r
B
e
0=
x
m
e
+ w cv y * Ex
vx
t
v
0 = * E y - w cv x - y
t
m
Campo magnético en la dirección del
eje Z Campos eléctricos y corrientes
en el plano perpendicular).
Multiplicando por (en) y sustituyendo envx=Jx y envy=Jy
e nt
=s Ex
J x - w ct J y =
* Ex
m
2
e nt
w ct J x + J y = * E y = s E y
m
2
wc =
eB
m*
frecuencia
ciclotrónica de
los electrones
Si la muestra tiene unos electrodos en las caras perpendiculares al eje X
(campo eléctrico según X), que inyectan una corriente constante, y la muestra
es finita entonces no puede haber flujo neto de carga en la dirección del eje Y.
Jy=0
J x = s Ex
B
E y = J x = RH B J x
en
Muestra paralelepipédica: medidas con “4 puntas”
Jx =
I
I
=
S hd
Ex =
V
l
EH =
h
d
l
I
1V
=
hd r l
r=
hd V
l I
VH
I
= RH B
h
dh
RH =
VH d
IB
VH
h
MAGNETORRESISTENCIA
En una muestra finita la conductividad es independiente del campo magnético:
el campo de Hall compensa el efecto del campo magnético.
y
r
Ex
Si la muestra es infinita no se anula ninguna
componente de la densidad de corriente (y no
aparecerá ningún campo de Hall).
+++++
r
J
e nt
=
w
t
=s Ex
Jx
c J y
* Ex
m
2
e nt
w ct J x + J y = * E y = s E y
m
2
r
Ey
------
r
B
z
x
J x=s
J y=s
Ex + w ct E y
1+ w c2t 2
-w ct Ex + E y
1+ w c2t 2
s
s
s
E
(B)
=
1+ w c2 t 2
1+ w c2 t 2
1
1
s (B )B ®0 = s (1 - w c2 t 2 ) = s (1 - m 2 B 2 )
2
2
J=
Las trayectorias electrónicas entre
choques son arcos de circunferencia y el
recorrido libre medio en la dirección del
campo eléctrico es menor, lo que equivale
a una disminución de la conductividad.
CONDUCTIVIDAD EN CORRIENTE ALTERNA
En presencia de un campo eléctrico de la forma E0eiwt, es fácil ver que, si
buscamos en la ecuación del movimiento soluciones de la forma v= v0eiwt:
r iwt r iwt
r
v0 e
dv
r iwt eE0 e
= i w v0 e =
*
t
dt
m
1
r et r
v0 = * E 0
1 + iwt
m
s0
s=
1 + iwt
La conductividad pasa a ser compleja. Dado el valor tan pequeño de los tiempos
de relajación, este efecto solo se observa para frecuencias muy elevadas
(microondas) y en semiconductores para los que la movilidad sea alta.
CONDUCTIVIDAD versus SUSCEPTIBILIDAD (ELÉCTRICAS)
2
r
r
r
et r
nt
e
Conductividad
J = env = (en) * E = sE s = enm =
*
m
m
r
r
r
r
r
dP
r
Susceptibilidad
P = enr = e 0 cE
= env = J
dt
r
r r
dP
w
t
i
= iw P = J
En presencia de un campo eléctrico alterno de la forma E0e
dt
r
r
r
1
iwP = iwe 0 cE = sE
iwe 0 c = s
c (w ) =
s (w )
iwe 0
s0
s=
1 + iwt
1
s0
1
e 2 nt
c (w ) =
=
iwe 0 1 + iwt iwe 0 m* (1 + iwt )
w
e (w ) = 1 + c (w ) = 1 +
iw
-w2
t
2
P
1
<< w
t
2
e
n
w P2 =
e 0 m*
w P2
e (w ) = 1 - 2
w
RESONANCIA CICLOTRÓNICA
z
B
La resonancia ciclotrónica es un fenómeno de
absorción resonante de ondas de alta frecuencia
(microondas), en presencia de un campo magnético
intenso (campo eléctrico E0eiwt y soluciones de la
forma v= v0eiwt):
y
r
F
r
eE 0
r r r
e(v xB) v
r
i w v0 = * + 0 * - 0
t
m
m
v
x
Campo débil
Campo intenso
e
v
iw v0 x = * E 0 x -w c v 0 y - 0 x
t
m
e
v
iw v0 y = * E 0 y + w c v 0 x - 0 y
t
m
iw J 0 x =
iw J 0 y =
t << Tc wct = mB << 1
t >> Tc wct = mB >> 1
e2 n
J 0x
t
*
E 0 x -w c J 0 y -
*
E 0 y +w c J 0x -
m
e2 n
m
J 0y
t
iwt J 0 x = s 0 E 0 x -w ct J 0 y - J 0 x
(iwt + 1) J 0 x +w ct J 0 y = s 0 E 0 x
iwt J 0 y = s 0 E 0 y + w ct J 0 x - J 0 y
-w ct J 0 x + (iwt + 1) J 0 y = s 0 E 0 y
(1 + iwt ) E 0 x - w Ct E 0 y
(1 + iwt ) E 0 x - w Ct E 0 y
J0x = s 0
= s0
(1 + iwt ) 2 + w c2t 2
1 + (w c2 - w 2 )t 2 + 2iwt
J0 y = s 0
w Ct E 0 x + (1 + iwt ) E 0 y
(1 + iwt ) 2 + w c2t 2
= s0
w Ct E 0 x + (1 + iwt ) E 0 y
1 + (w c2 - w 2 )t 2 + 2iwt
La parte real del tensor conductividad tiene un máximo para w = wC , lo que indica que habrá
un fenómeno resonante a esa frecuencia. Este fenómeno constituye la base del método más
preciso utilizado para medir la masa efectiva (m*=eBres/w) según diferentes direcciones:
J x = s xx E0 x + s xy E0 y
J y = s yx E0 x + s yy E0 y
é
ù
1
1 + iwt
P = s 0 E02 Re ê
ú
2
2 2
2
ë1 + wc - w t + 2iwt û
(
)
r r
r r*
1
P =< J × E >= Re < J × E >
2
1
1
P = Re < J x E x* >= E02 Re s xx
2
2
(
)
é
ù
1 + wc2 + w 2 t 2
1
2ê
ú
P = s 0 E0
2
2
2
2
2
2
ê 1+ w - w
+ 4w t úû
ë
c
[ (
)]
Se han de producir dos condiciones:
(i)
campo intenso (wCt>>1), para que un electrón complete varias órbitas ciclotrónicas sin
ser dispersado,
(ii) (ii) la energía que ganan los electrones al absorber las microondas ha de ser mayor que
su energía térmica media ( hw c >> kT ).
Interpretación cuántica de la resonancia ciclotrónica
r2 r
1
r
(
)
h
i
Ñ
+
e
A
Y
(
r
)
=
E
Y
(
r
)
*
2m
r
r
A = xBi
1 ö h 2 k z2
æ
E n ( k z ) = hw c ç n + ÷ +
2 ø 2m *
è
Interpretación cuántica de la resonancia ciclotrónica
a) Mínimo o máximo en k=0 (cúbico)
b) Mínimo o máximo en k=0 (hexagonal o tetraédrico)
o k ¹ 0 (cúbico)