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2
1º TEORÍA.
2º Colocamos un sistema de referencia sobre el punto p
→
m1
P
𝑔1
1 kg ⋯
…………. x
⋰
⋰ → ⋮→
2m
𝑔2
⋰
m2
𝑔3
⋮
m3
2m
a) La intensidad del campo gravitatorio será, de acuerdo con el principio de
superposición, la suma de las intensidades de los campos generados por cada
masa:
→ =→+→+→
𝑔𝑝
g1 =
𝐹𝐺1
𝑚
=G
𝑚1
𝑟12
𝑔1
𝑔2
𝑔3
= 6,67 × 10-10
𝑁𝑚2
𝐾𝑔2
×
1 𝐾𝑔
22 𝑚2
𝐹𝐺3
𝑚
=G
𝑚3
𝑟32
𝑁𝑚2
= = 6,67 × 10-11
𝑔2𝑥
⋮
→ ⋮
𝑔2
𝐾𝑔
𝑔1
𝐾𝑔2
×
1 𝐾𝑔
22 𝑚2
𝑖
= 1.67 × 10−11
→ = -1,671 × 10−11 →
Dándole carácter vectorial:
y2x
𝑁
→ = -1,671 × 10−11 →
dándole carácter vectorial:
g3 =
= 1,67× 10-11
𝑔3
𝑗
𝑁
𝐾𝑔
𝑁
𝐾𝑔
𝑁
𝐾𝑔
x
α
r2 = √22 + 22 = √8 m
⋯ ⋯ ⋯ g2y
r2
g2 =
𝐹𝐺2
𝑚
=G
𝑚2
𝑟22
𝑁𝑚2
=6,67×10-11
𝐾𝑔2
×
1 𝐾𝑔
8𝑚2
= 8,34 × 10−12
𝑁
𝐾𝑔
g2
2m
α = arc tg = 2/2 = 45º
2m
Descomponemos → en cada uno de los ejes para obtener su expresión vectorial:
𝑔2
→ = -g2x sen 45º → - g2y cos 45º →
𝑔2
𝑖
𝑗
3
√2
→
2 𝑖
→ = -8,34 × 10−12 ×
𝑔2
− 8,34 × 10−12 ×
√2
→=-5,90×
2 𝑗
10−12 →-5,90× 10−12 →
𝑖
𝑗
Luego la intensidad del campo gravitatorio en P será:
→ =→+→+→ =
𝑔𝑝
𝑔1
𝑔2
𝑔3
= -1,67 × 10−11 → -5,90× 10−12 → -5,90× 10−12 → -1,6 + 10−11 →
𝑗
𝑖
𝑗
𝑗
→ = (−2,26 × 10−11 → - 2,26× 10−11 →)
𝑔𝑝
𝑖
𝑗
𝑁
𝐾𝑔
b) ¿Vp? El potencial gravitatorio en el cuarto vértice, por el principio de
superposición, será la suma de los potenciales que ejercen cada una de las
masas.
Vp = V1 + V2 + V3 = - G
Vp = G (
1
𝑟1
+
1
𝑟2
+
1
𝑟3
𝑚1
𝑟1
-G
𝑚2
𝑟2
−G
𝑚3
𝑁𝑚2
) = 6,67 × 10-11
=
𝑟3
𝐾𝑔2
× 1 𝐾𝑔(
1
2𝑚
+
1
√8𝑚
+
1
2𝑚
)
m1 = m2 = m3 = m
Vp = - 9,03 × 10-11
3º
𝑁𝑚
𝐾𝑔
ML = 7,34 × 1022 kg
RL = 1,74 × 106 m
a) ¿Vesc?
Vesc = √
2𝐺𝑀𝐿
𝑅𝐿
Si no sabes la formula de memoria, puedes
deducirla, sabiendo que para
Escapar de un campo gravitatorio le energía
cinética ha de ser igual a la potencial. Ec = Ep
1
2
Sustituyendo los datos:
mr2 = G
𝑚𝐻
𝑅
r2 =
2𝐺𝑀
𝑅
2𝐺𝑀
r=√
𝑅
4
Vcx = √
2×6,6+10−11 ×7,34×1022
1,74×106
b) ¿r para que V =
𝑉𝑐𝑥
2
= 2372,20 m/s
?
Como a la única fuerza a la que está sometido el objeto es la gravitatoria, se
conservaría la energía mecánica:
EM1 = EM2
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
2.
𝑉𝑒𝑠𝑐
2
𝑟
1.
1
𝐺𝑀𝐿
2
𝑅𝐿
mV2esc -
1
2
2
𝑉𝑒𝑠𝑐
-
𝐺𝑀𝐿
𝑟
r=1
8
r =1
𝐺𝑀𝐿
𝑅𝐿
1
𝑉𝑒𝑠𝑐 2
)
2
= m(
2
1
𝐺𝑀𝐿
8
𝑟
2
= 𝑉𝑒𝑠𝑐
-
-
𝐺𝑀𝐿
1
1
𝐺𝑀𝐿
8
2
𝑅𝐿
2
2
= - 𝑉𝑒𝑠𝑐
- 𝑉𝑒𝑠𝑐
+
𝐺𝑀𝐿
2 +
𝑉𝑒𝑠𝑐
𝑟
y ya lo tenemos todo para sustituir
𝐺𝑀𝐿 1 2
− 𝑉𝑒𝑠𝑐
𝑅𝐿
2
6,67×10−11 ×7,34×1022
1
6,67×10−11 ×7,34×1022
(2372,20)2 − (2372,20)2 +
8
2
1,.74×106
-11𝑁𝑚
4º Datos : G = 6,67 x 10
Ms = 5.7 x 1026 Kg
a) R = 1,2 x 109 m
Vesc
2
𝐾𝑔2
= 6,96 x 106 m
Mt = 1,3 x 1023 Kg
g= 9,8 m/s2
RT = 2,6 x 106 m
¿V? ¿T?
Cuando un cuerpo orbita alrededor de otro se cumple que la fuerza
gravitatoria es igual a la fuerza centrípeta : Fg = Fc
5
G
𝑀𝑟 𝑀𝑠
𝑟2
V=√
= Mr
𝐺𝑀𝑠
𝑟
𝑟2
𝑟
=√
de donde podemos despejar la velocidad
6,67×10−11 ×5,7×1026
1,2×109
= 5628,72 m/s
Para hallar el período relacionamos velocidad angular y lineal :
T=
2𝜋
𝑤
=
2𝜋
𝑣
𝑟
=
2𝜋𝑟
𝑣
=
2𝜋×1,2×109 𝑚
5628,72 𝑚/𝑠
= 1,34 x 106 s
w = v/r
T = 1,5 días tarda Titán en dar una vuelta
a Saturno.
b) El pcx es la fuerza gravitatoria que ejerce un planeta contra un cuerpo en su
superficie:
P = FG
mg =
𝐺𝑚 𝑀
g=
𝑅2
𝐺𝑀
𝑅2
Para la tierra g = 9,8 m/s2
Para Titán gT =
𝑃𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
𝑃𝑇𝑖𝑡á𝑛
=
𝑚𝑔
𝑚𝑔𝑟
=
𝐺𝑀𝑇
𝑅𝑇2
=
6,67×10−11 ×1,3×1023
9,8 𝑚/𝑠 2
1,28 𝑚/𝑠 2
(2,6×106 )2
= 1,28 m/s2
= 7,66
PTierra = 7,66 PTitán
Los objetos pesan 7,66 veces, más en la Tierrra
que en Titán.
5º OPCIÓN A
R = 2000 Km = 2x106 m
g = 3 m/s2
a) ¿M? Según la definición de peso P = FG
mg = G
𝑚𝑀
𝑅2
De donde podemos despejar la masa del planeta:
6
M=
𝑔𝑅 2
=
𝐺
3 𝑚/𝑠 2 (2×106 )𝑚2
𝑁𝑚2
6,67×10−11 2
𝐾𝑔
= 1,8x1023 Kg
b) ¿Vcx? Como vimos en el problema 3º :
Vcx = √
2𝐺𝑀
= √
𝑅
2×6,67×10−11 ×1,8×1023
2×106
= 3,46 x 103 m/s
5º OPCIÓN B
a) ¿→ ? En el origen de coordenadas, la intensidad del campo gravitatorio
𝑔0
será, por el principio de superposición, la suma de los campos creados por
m1 y m2
y
(0,5)
m2=5 kg
… →……→
𝑔2
→
x
𝑔1
𝑔0
m1=3 Kg
→= →+ →
𝑔0
g1 =
𝐹𝐺1
𝑚
=
𝐺𝑚1
𝑟12
=
𝑔1
𝑔2
6,67×10−11 ×3
22
= 5 x 10-11 m/s2
Dándole carácter vectorial: → = 5 x 10-11→ m/s2
g2 =
𝐹𝐺2
𝑚
=
𝐺𝑚2
𝑟22
6,67×10−11 ×5
=
52
𝑔1
𝑖
= 1,33 x 10-11 m/s2
Dándole character vectorial: →= 1,33 × 10−11 → m/s2
𝑔2
𝑗
→ = → + → = 5 x 10-11→+1,33 x 10-11→ m/s2
𝑔0
𝑔1
𝑔2
𝑖
𝑗
Cuyo modulo vale : |→| = √(5 × 10−11 )2 + (1,33 × 10−11 )2 = 5,17x10-11 m/s2
𝑔0
(2,5)
b) 𝑊(0,0)
m3 = o,02 Kg
7
El trabajo para desplazar m3 se puede calcular en virtud de la diferencia de potencial
entre esos puntos:
𝑊 = −𝑚3 ∆𝑉 = −𝑚3 (𝑉(2,5) − 𝑉(0,0) )
𝑊 = 𝑚3(𝑉(0,0) − 𝑉(2,5) )
Calculamos los potenciales:
𝑉(0,0) = V1+V2 = -
𝐺𝑚1
𝑟1
-
𝑉(2,5) = 𝑉1′ + 𝑉2′ = = 5
𝐺𝑚2
𝑟2
𝐺𝑚1
-
𝑟′1
−6,67×10−11 ×3
=
2
𝐺𝑚2
𝑟′2
=
−
6,67×10−11 ×5
−6,67×10−11 ×3
5
5
−
= - 1,67X10-11
𝐽
𝐾𝑔
6,67×10−11 ×5
2
= -2,07x10-10
𝐽
𝐾𝑔
r’2
(2,5)
r’1 = 5 m
r’2 = 2 m
r’1
2
W = 0,002 Kg (-1,67x10-11
𝐽
𝐾𝑔
𝐽
+ 2,07x10-10 ) =
𝐾𝑔
3,8 x 10-12 J
Al ser positivo el trabajo,
esto quiere decir que el proceso
es espontáneo
(El trabajo lo hacen las masas)