Matemáticas Empresariales I Lección 7 Cálculo de Primitivas

Matemáticas Empresariales I
Lección 7
Cálculo de Primitivas
Manuel León Navarro
Colegio Universitario Cardenal Cisneros
M. León
Matemáticas Empresariales I
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Concepto de Integral Indefinida
Definición Dadas las funciones f (x) y F (x), definidas en un intervalo I ,
diremos que F (x) es una función primitiva de f (x) si se verifica la igualdad
F 0 (x) = f (x)
Definición Dada una función f (x) definida en un intervalo I , se llama
integral indefinida de f (x) en I al conjunto de todas sus funciones
primitivas:
Z
f (x)dx = F (x) + k
Por lo tanto, el concepto de integral es muy sencillo ya que, simplemente,
decimos que una función F (x) + k es la integral de f (x) si la derivada de
F (x) es f (x).
Problema: Encontrar F (x)
M. León
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Métodos de Integración: Integración inmediata
Reglas de derivación “al revés” =⇒ reglas de integración:
Z
dx = x + k
x α+1
x α dx =
x +k
α+1
Z
Z
1
−1
x dx =
dx = log |x| + k
x
Z
1
dx = arc tg(x) + k
1 + x2
Z
ax
ax dx =
+k
loga
Z
e x dx = e x + k
Z
M. León
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Métodos de Integración: Integración inmediata (cont.)
Z
sen(x)dx = − cos(x) + k
Z
cos(x)dx = sen(x) + k
Z
Z
Z
dx
= tg (x) + k
cos2 (x)
dx
= −cotg (x) + k
sen2 (x)
dx
= arcsen(x) + k
1 − x2
(R
R
R
(f (x) + g (x))dx = f (x)dx + g (x)dx
R
Algebra de Integrales =⇒ R
kf (x)dx = k f (x)dx
M. León
√
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Métodos de Integración: Integración inmediata - Ejercicio
Calcule las primitivas de las funciones siguientes:
f (x) = e x + x
f (x) = x 3
f (x) =
M. León
4
cos 2 (x)
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Métodos de Integración: Integración por partes
Este método consiste en pasar de una integral más complicada a una
integral más sencilla. En concreto:
Proposición
Si en el intervalo I las funciones f (x) y g (x) son diferenciables, se verifica
la igualdad:
Z
Z
f (x)g 0 (x)dx = f (x)g (x) − g (x)f 0 (x)dx
O también, llamando a f (x) = u y a g (x) = v entonces el método queda:
Z
Z
udv = uv − vdu
R
Por lo tanto, si la Rintegral de vdu es inmediata o, al menos más sencilla,
que la integral de udv entonces con el método hemos conseguido para
de una integral más difı́cil a otra más fácil.
M. León
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Métodos de Integración: Integración por partes - Ejemplo
R
Calcule ln(x)dx.
R
Considerando u = ln(x) y a dv = dx =⇒ du = x1 dx y que v = dx = x.
Entonces la expresión:
Z
Z
udv = uv − vdu
Toma la forma
Z
Z
ln(x)dx = xln(x) −
1
x dx
x
y simplificando y calculando la integral inmediata se obtiene que:
Z
Z
ln(x)dx = xln(x) − dx = xln(x) − x + k
M. León
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Métodos de Integración: Integración por partes - Ejercicio
Calcule la integral indefinida siguiente:
Z
ln(x)dx
x3
M. León
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Métodos de Integración: Integración por partes Observaciones
Este método sirve cuando la segunda integral es mas fácil que la
primera.
Se deben escoger las funciones correctamente para obtener
una
R
integral más sencilla. Ası́, por ejemplo en la integral xe x dx si se
escoge u = x y dv = e x dx el método lleva a una integral más sencilla
pero si se escoge u = e x y dv = xdx el método lleva una integral más
complicada (Se recomienda comprobarlo).
AR veces se debe aplicar dos veces el método para calcular la integral.
( x 2 cos(x)dx)
A veces, la aplicación del método nos lleva a la integral inicial,
pudiéndose
resolver Ral despejar en la ecuación
R
f
(x)dx
=
R
Rg (x) − f (x)dx se obtiene que
R
f (x)dx + f (x)dx = g (x) y entonces 2 f (x)dx = g (x) y por lo
R
R x
tanto f (x)dx = g (x)
e sen(x)dx
2 + k. Por ejemplo
M. León
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Métodos de Integración: Integración por partes - Ejemplo
dos veces
R
Calcular x 2 cos(x)dx.
Con u = x 2 y dv = cos(x)dx:
Z
Z
2
x cos(x) =
Z
udv = uv −
Hay que resolver la integral
Z
Z
x sen(x) =
R
2
vdu = x sen(x) −
Z
sen(x)2xdx
x sen(x)dx. Con u1 = x y dv1 = sen(x)dx:
Z
Z
u1 dv1 = u1 v1 − v1 du1 = −x cos(x)+ cos(x)dx = −x cos(
Sustituyendo en la expresión de la integral inicial:
Z
x 2 cos(x)dx = x 2 sen(x)−2
M. León
Z
x sen(x)dx = x 2 sen(x)+2x cos(x)−2sen(x)+
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Métodos de Integración: Integración por partes - Ejemplo
integral inicial
R
Calcular la integral e x sen(x)dx.
Con u = e x y dv = sen(x)dx:
Z
Z
x
udv = uv −
e sen(x) =
Hay que calcular
R
Z
Z
x
e cos(x)dx =
Z
Z
x
vdu = −e cos(x) −
e x (− cos(x))dx
e x cos(x)dx. Con u1 = e x y dv1 = cos(x)dx:
Z
u1 dv1 = u1 v1 −
x
v1 du1 = e sen(x) −
Z
e x sen(x)dx
Y sustituyendo en la integral inicial se obtiene que:
Z
Z
x
x
x
e sen(x) = −e cos(x) + e sen(x) − e x sen(x)dx
M. León
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Métodos de Integración: Integración por partes - Ejemplo
integral inicial (cont.)
Z
x
x
x
e sen(x) = −e cos(x) + e sen(x) −
Z
e x sen(x)dx
Obteniendo, de nuevo la integral inicial. Despejando:
Z
2 e x sen(x) = −e x cos(x) + e x sen(x)
Por lo que:
Z
M. León
e x sen(x) =
−e x cos(x) + e x sen(x)
+k
2
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Métodos de Integración: Cambio de variable
R
Dada la integral f (x)dx, si consideramos a x como función de otra
variable t, según x = g (t), entonces se obtiene que dx = g 0 (t)dt y se
puede hacer la sustitución:
Z
Z
f (x)dx = f (g (t))g 0 (t)dt
Si la integral en t es mas sencilla que la integral en x, se puede resolver la
integral en t y al final volver a dejarla en función de x con t = g −1 (x)
donde g −1 es la función inversa de g
Definición
Sea x = g (t) una transformación biyectiva del intervalo J en el intervalo I
y con inversa t = g −1 (x), ambas funciones diferenciables. Entonces si
G (t) es una primitiva de f (g (t))g 0 (t) en J y si F (x) = G (g −1 (x)) para
cada x de I , entonces F (x) es una primitiva de f (x) en I
M. León
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 1
R
Calcule la sen(x)
cos(x) dx.
Con el cambio de variable t = cos(x), se obtiene que dt = − sen(x)dx y
sustituyendo ambas expresiones:
Z
Z
sen(x)
dt
dx = −
cos(x)
t
y la nueva integral en t es una integral inmediata
Z
dt
= −ln|t|
−
t
Por último, dejando la expresión en términos de x se obtiene que
Z
sen(x)
dx = −ln|t| = −ln| cos(x)| + k
cos(x)
Con este ejemplo se puede ver que, en general
M. León
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 1
(Cont.)
Z
M. León
f 0 (x)
dx = ln|f (x)| + k
f (x)
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 2
R 2
Calcule la e x · 2xdx.
Con el cambio de variable t = x 2 , se obtiene que dt = 2xdx y sustituyendo
ambas expresiones en la integral inicial se obtiene
Z
Z
2
e x · 2xdx = e t dt
y la nueva integral en t es una integral inmediata
Z
e t dt = e t + k
Por último, dejando la expresión en términos de x se obtiene que
Z
2
2
e x · 2xdx = e x + k
M. León
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 2
(Cont.)
Con este ejemplo se puede ver que, en general
Z
e f (x) · f 0 (x)dx = e f (x) + k
M. León
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Métodos de Integración: Cambio de variable
En general:
Z
g (f (x))f 0 (x)dx = G (f (x)) + k
Z
Z
Z
Z
Z
(f (x))n f 0 (x)dx =
(f (x))n+1
+k
n+1
cos(f (x))f 0 (x)dx = sen(f (x)) + k
sen(f (x))f 0 (x)dx = − cos(f (x)) + k
f 0 (x)
dx =
cos2 (f (x))
M. León
e f (x) · f 0 (x)dx = e f (x) + k
Z
1 + tg2 (f (x)) f 0 (x)dx = tg(f (x)) + k
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejercicio
Calcule, utilizando el cambio de variable t = ln(x) una primitiva de la
función:
Z
sen[ln(x)]
dx
x
M. León
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 2
R ex
Calcule la 1+e
x dx.
Con el cambio de variable t = e x =⇒ dt = e x dx y sustituyendo:
Z
Z
ex
e x dx
dt
dx
=
=
1 + ex
1 + ex
1+t
y la nueva integral en t es una integral inmediata
Z
dt
= ln|1 + t| + k
1+t
Por último, dejando la expresión en términos de x se obtiene que
Z
ex
dx = ln|1 + e x | + k
1 + ex
M. León
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejemplo 3
Calcule la integral
R
√ x dx
x−1
√
Con el cambio de variable t = x − 1 =⇒ t 2 = x − 1 ⇐⇒ x = t 2 + 1 (ya
tenemos x despejado).
Derivando (dx = 2tdt) y sustituyendo en la integral:
Z
Z 2
x
t +1
√
dx =
2tdt
t
x −1
Y simplificando y operando se obtiene una integral inmediata
3
Z
Z 2
t
t +1
2tdt = 2 (t 2 + 1)dt = 2
+t
t
3
√
Por último, con t = x − 1 se deshace el cambio de variable por lo que la
integral queda:
√
Z
x
( x − 1)3 √
√
dx = 2
+ x −1 +k
3
x −1
M. León
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejercicio 1
Calcule, utilizando el cambio de variable t =
función:
Z
√
x 1+x
M. León
√
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1 + x una primitiva de la
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Métodos de Integración: Cambio de variable - Ejercicio 2
Calcule, utilizando el cambio de variable x + 1 = t 6 una primitiva de la
función:
√
Z
x +1+2
p
√
3
(x + 1)2 − x + 1
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples
Se denomina función racional a la que toma la forma
p(x)
q(x)
donde p(x) y q(x) son polinomios en la variable x.
Una función racional se llama fracción simple si toma la forma
Z
1
dx
(x − a)n
donde a es un número real y n es un número entero mayor o igual a 1.
También es una fracción simple si toma la forma
Z
Mx + N
dx
(x 2 + px + q)n
Donde ahora el polinomio de grado 2 x 2 + px + q no tiene raı́ces reales
M. León
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sino imaginarias.
Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples
El calculo de la integral en el primer caso es inmediato ya que visto de la
forma (x − a)−n , la integral es inmediata:
Z
1
(x − a)1−n
−n
dx
=
(x
−
a)
dx
=
+k
(x − a)n
1−n
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples - Ejemplo
R 1
Calcular la (x−2)
3 dx
En ese caso la integral se puede poner como
Z
1
(x − 2)1−3
(x − 2)−2
−3
dx
=
(x
−
2)
dx
=
+
k
=
+k
(x − 3)3
1−3
−2
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples - Ejercicio
Calcule la primitiva de la función:
Z
1
dx
(x − 1)2
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples
Vamos a resolver el segundo caso con n = 1. Por lo tanto, hay que resolver
la integral
Z
Mx + N
dx
2
(x + px + q)
R 0 (x)
Derivada del denominador es 2x + p =⇒ ff (x)
dx = ln|f (x)| + k
Si no =⇒ multiplica el numerador por
M
2
Si
2N
M
Z
2
M (Mx + N)
dx
(x 2 + px + q)
M. León
Z
(y la
M
=
2
= p, =⇒ casi inmediata - Con
M
2
2
M
2N
M
Z
M
2)
(2x + 2N
M )
dx
2
(x + px + q)
6= p =⇒suma y resta p:
(2x + 2N
M + p − p)
dx
2
(x + px + q)
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples
Propiedades de la suma de integrales::
M
2
Z
(2x + 2N
M
M + p − p)
dx =
2
(x + px + q)
2
El primer sumando:
Z
"Z
(2x + p)
dx +
2
(x + px + q)
Z
( 2N
M − p)
dx
2
(x + px + q)
(2x + p)
dx = ln|x 2 + px + q| + k
+ px + q)
(x 2
El segundo sumando:
Z
M. León
( 2N
2N
M − p)
dx = (
− p)
2
(x + px + q)
M
Z
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(x 2
dx
+ px + q)
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples
Resultado Previo
Sea x 2 + px + q con raı́ces imaginarias conjugadas α ± iβ =⇒
x 2 + px + q = (x − α)2 + β.
Y por lo tanto
Z
Z
dx
dx
=
2
(x + px + q)
(x − α)2 + β
Multiplicando y dividiendo por β12
Z
Z
dx
dx
1
=
x−α
2
2
(x − α) + β
( β ) + 1 β2
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples
O también
Z
1
β dx
2
( x−α
β ) +
1
1
=
β
β
1
Z
Integral inmediata del tipo arcotangente
R
1
β
Z
1
β dx
2
( x−α
β ) +
1
=
1
β dx
2
( x−α
β ) +
f 0 (x)
1+f (x)2
1
= arc tg f (x) + k:
1
x −α
arc tg
+k
β
β
Y sustituyendo en la integral original se obtiene que:
Z
Mx + N
M
x −α
2N
1
2
dx =
ln|x + px + q| +
−p
arc tg
(x 2 + px + q)
2
M
β
β
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples - Ejemplo
R
Calcular la integral (x 23x+4
dx
+2x+5)
En primer lugar, como el numerador no es la derivada =⇒ se debe
multiplicar y dividir por 23
Z
Z
2
(2x + 38 )
3x + 4
3
3
3 (3x + 4)
dx =
dx =
dx
(x 2 + 2x + 5)
2
(x 2 + 2x + 5)
2
(x 2 + 2x + 5)
Para conseguir la derivada se suma y resta 2 en el numerador:
Z
3
2
Z
(2x + 83 )
3
dx =
(x 2 + 2x + 5)
2
Z
(2x + 83 + 2 − 2)
dx
(x 2 + 2x + 5)
Y operando:
3
2
Z
(2x + 83 + 2 − 2)
3
dx =
2
(x + 2x + 5)
2
M. León
Z
(2x + 2 + 83 − 63 )
3
dx =
2
(x + 2x + 5)
2
Matemáticas Empresariales I
Z
(2x + 2 + 32 )
dx
(x 2 + 2x + 5)
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples - Ejemplo (cont.)
Y ahora descomponemos el cálculo de la integral en la suma de dos
integrales:
3
2
Z
(2x + 2 + 23 )
3
dx =
2
(x + 2x + 5)
2
"Z
(2x + 2)
dx +
2
(x + 2x + 5)
2
3
Z
(x 2 + 2x + 5)
#
dx
La primera integral ya es inmediata
Z
(2x + 2)
dx = ln|x 2 + 2x + 5| + k
2
(x + 2x + 5)
Hay que calcular la otra integral:
Z
1
dx
(x 2 + 2x + 5)
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples - Ejemplo (cont.)
Para ello, calculando las raı́ces del polinomio vemos que son x = −1 ± 2i y
por lo tanto (x 2 + 2x + 5) = (x + 1)2 + 4. Entonces la integral se puede
poner como
Z
Z
dx
1
dx =
2
(x + 2x + 5)
(x + 1)2 + 4
Y multiplicando y dividiendo por
Z
dx
=
(x + 1)2 + 4
M. León
Z
1
22
dx
x+1 2
( 2 ) +
4
22
1
1
=
2
2
2
Matemáticas Empresariales I
Z
1
2 dx
x+1 2
( 2 ) +
1
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples - Ejemplo (cont.)
Y la integral que queda es una integral inmediata:
1
2
Z
1
2 dx
x+1 2
( 2 ) +
1
=
x +1
1
arc tg
+k
2
2
y sustituyendo en la integral original:
Z
3x + 4
3
x +1
2 1
2
dx =
ln|x + 2x + 5| + · arc tg
+k
(x 2 + 2x + 5)
2
3 2
2
y finalmente:
Z
(x 2
M. León
3
1
x +1
3x + 4
dx = ln|x 2 + 2x + 5| + arc tg
+k
+ 2x + 5)
2
2
2
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales simples - Ejercicio
Calcule la primitiva de la función:
Z
3x − 1
dx
(x 2 + 1)
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales
Funciones racionales generales (no tienen porque ser fracciones simples).
La integral de una fracción racional general tiene la forma
Z
p(x)
dx
q(x)
Si grado de p(x) es mayor o igual que el de q(x) =⇒ cociente de
polinomios:
Z
Z
Z
p(x)
r (x)
dx = c(x) +
q(x)
q(x)
Donde c(x) es el cociente de la división y r (x) es el resto.
Ahora el grado del numerador r (x) es menor que el grado del denominador
q(x)
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales (cont.)
Encontrar raı́ces del polinomio q(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − ak ):
Z
r (x)
dx =
q(x)
Z
A1
dx +
(x − a1 )
Z
A2
dx + . . . +
(x − a2 )
Z
Ak
dx
(x − ak )
Si alguna de las raı́ces se repitiera =⇒ grado superior (Ejemplo: si se
repitiera a1 ):
Z
r (x)
dx =
q(x)
M. León
Z
A1
dx +
(x − a1 )
Z
A01
dx + . . . +
(x − a1 )2
Matemáticas Empresariales I
Z
Ak−1
dx
(x − ak−1 )
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales (cont.)
Si alguna de las raı́ces no fuera real (será entonces imaginaria):
Z
r (x)
dx =
q(x)
Z
=
Z
Z
Z
A1
A2
Ak−2
Mx + N
dx+
dx+. . .+
dx+
dx
(x − a1 )
(x − a2 )
(x − ak−2 )
(x 2 + px + q)
El valor de las constantes Ai , M y N =⇒ sistema de ecuaciones
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales - Ejemplo
R
Calcular la integral siguiente x 3 −5x 2x+8x−4 dx
Numerador con grado inferior al denominador =⇒ fracciones simples.
Raı́ces del polinomio son x = 2, x = 2 y x = 1 =⇒:
Z
x
dx =
3
2
x − 5x + 8x − 4
Z
A
dx +
(x − 2)
Z
A0
dx +
(x − 2)2
Z
B
dx
(x − 1)
Encontrar A, A0 y B =⇒ mı́nimo común múltiplo
(x 3 − 5x 2 + 8x − 4 = (x − 2)2 (x − 1)):
A(x − 2)(x − 1)
A0 (x − 1)
B(x − 2)2
+
+
=
(x − 2)2 (x − 1)
(x − 2)2 (x − 1) (x − 2)2 (x − 1)
A(x − 2)(x − 1) + A0 (x − 1) + B(x − 2)2
(x − 2)2 (x − 1)
M. León
Matemáticas Empresariales I
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales - Ejemplo
Y ahora, igualando al cociente inicial se obtiene que:
x
A(x − 2)(x − 1) + A0 (x − 1) + B(x − 2)2
=
x 3 − 5x 2 + 8x − 4
(x − 2)2 (x − 1)
e igualando los numeradores
x = A(x − 2)(x − 1) + A0 (x − 1) + B(x − 2)2
Operando en el lado de la derecha y agrupando para los coeficientes de los
mismos ordenes se obtiene que
x = A(x 2 − 3x + 2) + A0 (x − 1) + B(x 2 − 4x + 4) =
(A + B)x 2 + (−3A + A0 − 4B)x + (2A − A0 + 4B)
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales - Ejemplo
Y teniendo en cuenta que dos polinomios son iguales si son iguales cada
uno de los coeficientes que acompañan al mismo grado se obtiene que:


0 = A + B
1 = −3A + A0 − 4B


0 = 2A − A0 + 4B
Las soluciones son A = −1, A0 = 2 y B = 1
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales - Ejemplo
La descomposición del cociente de polinomios tiene la forma:
Z
x
dx =
3
2
x − 5x + 8x − 4
Z
−1
dx +
(x − 2)
Z
2
dx +
(x − 2)
Z
1
dx
(x − 1)
Siendo las tres integrales, integrales inmediatas por lo que:
Z
x
2
dx = −ln|(x − 2)| −
+ ln|(x − 1)| + k
x 3 − 5x 2 + 8x − 4
x −2
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales - Ejercicio 1
Calcule la primitiva de la función:
Z
x 2 + 2x
dx
(x 2 + 1)
M. León
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Métodos de Integración: Integración de funciones
racionales generales - Ejercicio 2
Calcule la primitiva de la función:
Z
x2
dx
(x 2 + 2x + 1)
M. León
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