_5_ Función Característica

MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
FUNCION CARACTERÍSTICA y
TRANSFORMADA DE LA RESISTIVIDAD
LA FUNCIÓN CARACTERÍSTICA
Fue visto en capítulo anterior que, en el caso del dispositivo Schlumberger, la
expresión:
∞
ρ a (r ) = ρ1r 2 ∫ N n (λ)J1 (λr )λdλ
(82)
0
permite calcular la curva de resistividad aparente una vez determinada Nn(λ), Función
Característica (FC) (Orellana, 1982), que contiene toda la información relativa al corte
geoeléctrico.
Para un medio de dos capas la expresión de la FC es, como se deduce de la Ec 77:
N 2 (λ ) = 1 + 2
Ke − λ E
Ke − 2 λ E
=
1
+
2
= 1 + 2 N '2 ( λ )
λE
− λE
− 2λE
e − Ke
1 − Ke
(111)
en la que N'2(λ
λ) es la FC de Stefanescu, correspondiente al potencial perturbador. En general,
para el caso de n capas:
N n (λ ) = 1 + 2 N 'n (λ )
(112)
donde Nn(λ) es la FC completa, o FC de Slichter, que puede escribirse en función de los
factores de reflexión K y las exponenciales de los espesores Ei, y tiene propiedades
semejantes a la CDZ y a la CRA.
La Ec. (111) se escribe habitualmente (ec. 78) de la manera siguiente:
1 + Ke −2λE
N 2 (λ ) =
1 − Ke −2λE
(113)
Para cortes de tres o más capas la FC puede calcularse por medio del algoritmo de
Sunde en el que se parte del factor de reflexión K n −1 =
ρ n − ρ n −1
, calculándose
ρ n + ρ n −1
sucesivamente expresiones L1, M1,... Li, Mi...hasta Mn-1=Nn.
El algoritmo de Sunde
L1 =
ρ n − ρ n −1
= K n −1
ρ n + ρ n −1
M1 =
Li =
ρ n −i +1M i−1 − ρ n −i
ρ n −i +1M i−1 + ρ n −i
Mi =
L n −1 =
ρ 2 M n −2 − ρ1
ρ 2 M n − 2 + ρ1
1 + L1e −2λE n −1
1 − L1e −2λE n −1
1 + L i e −2 λE n − i
(114)
1 − L i e − 2 λE n −i
M n −1 =
1 + L n −1e −2λE1
1 − L n −1e −2λE1
= Nn
55
MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
FUNCION CARACTERÍSTICA y
TRANSFORMADA DE LA RESISTIVIDAD
Siguiendo este procedimiento puede calcularse, por ejemplo, la función característica
N3(λ
λ) para un corte de tres capas:
N 3 (λ ) =
1 + K1e −2λE1 + K 2 e −2λ ( E1 + E 2 ) + K 1K 2 e −2λE 2
Y de la misma forma puede
obtenerse Nn(λ
λ) cualquiera sea n.
En cuyo caso se advertirá que las
expresiones correspondientes tienen
la forma de un cociente entre dos
sumas de 2n-1 términos del tipo
donde:
ρ i+1 − ρ i
ρ i+1 + ρ i
1000
CRV
FC
100
ρ , N(λ )
± KiKj...e-2λ(El+Em+...)
Ki =
(115)
1 − K 1e −2λE1 − K 2 e −2λ ( E1 + E 2 ) + K 1K 2 e −2λE 2
,
10
Habitualmente, como en el
gráfico de la fig. 73, la FC se
representa en función de λ-1 que
tiene dimensiones de una longitud.
1
1
10
z; λ -1
100
1000
Fig. 73: Función Característica
Asíntotas
De las expresiones para N2(λ) (Ec. 113) y N3(λ) (Ec. 115) se deduce:
lim N 2 (λ) =
ρ2
ρ1
(Límite por la derecha)
lim N 3 (λ) =
ρ3
ρ1
(Límite por la derecha)
λ →0
λ →0
lim N 2 (λ ) = 1
(Límite por la izquierda)
lim N 3 (λ ) = 1
(Límite por la izquierda)
λ →∞
λ →∞
La fig. 73 es un ejemplo de este último caso. De modo que en general, las asíntotas de
la FC por derecha e izquierda están dadas por:
lim N n (λ) =
λ →0
ρn
ρ1
lim N n (λ ) = 1
λ→∞
56
MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
FUNCION CARACTERÍSTICA y
TRANSFORMADA DE LA RESISTIVIDAD
LA TRANSFORMADA DE LA RESISTIVIDAD
Si no se normalizan los cortes, y en la expresión de ρa de la Ec. 82 se considera el
producto de Nn(λ
λ) con ρ1, que aparece fuera de la integral, se obtiene una función que se
conoce como la transformada de la resistividad (TR), Tn(λ
λ):
Tn (λ) = ρ1 N n (λ)
(116)
cuyas propiedades, especialmente sus asíntotas, hacen que su uso sea más conveniente que el
de la FC.
Propiedades de la Transformada de la Resistividad
1.
Asíntotas
La función Tn(λ
λ) se representa, igual que la FC, en función de λ-1, en cuyo caso se
encuentra que:
lim T 2 ( λ ) = lim ρ 1
λ→ ∞
λ→ ∞
1 + Ke
1 − Ke
1+ K
lim T2 (λ) = ρ1 1 − K = ρ1
λ →0
− 2 λ E n −1
− 2 λ E n −1
= ρ1
(límite por la izquierda)
ρ 2 − ρ1
ρ 2 + ρ1
= ρ2
ρ 2 − ρ1
1−
ρ 2 + ρ1
1+
(límite por la derecha)
pudiendo igualmente demostrarse:
lim T3 (λ) = ρ1
lim T3 (λ) = ρ3
λ →∞
λ →0
y por inducción que en general:
lim Tn (λ) = ρ1
lim Tn (λ) = ρ n
λ →∞
1000
CRA
CRV
FTR
CDZ
100
m
.m); N3(λ ); T3(λ )
FC
ρ, ρ
De donde surge que la
representación logarítmica de
Tn(λ), en función de λ-1 tiene
asíntotas
horizontales,
por
izquierda y derecha, iguales a la
primera y última resistividad del
corte geoeléctrico, igual que las
CRA, CRV y CDZ (Orellana,
1965).
Como se puede ver en la
fig. 74 para un corte de tres
capas, donde además se ha
incluido la FC correspondiente.
λ →0
10
1
Fig. 74: Las diferentes funciones
para un corte de tres capas
1
10
z; Az ; λ-1 (m)
100
1000
57
MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
FUNCION CARACTERÍSTICA y
TRANSFORMADA DE LA RESISTIVIDAD
2. Pendientes máxima y mínima
Igual que para la FC, la
representación logarítmica de la
TR en función de λ-1 tiene una
pendiente máxima de +1 cuando
ρn → ∞ y mínima de -1 cuando
ρn → 0.
100
Inf
40
20
10
10
5
2,5
1,5
T2 (λ )
Esto se ve, por ejemplo,
en las curvas extremas del
gráfico de la fig. 75, que muestra
λ) para ρ1 =1, Ε1 =1 y ρ2
T2(λ
variando entre cero e infinito, así
como en las figs. 77 y 78 (que
muestran la estimación de S y
T).
1
0,66
0,4
0,2
0,1
0,1
0,05
0,025
0
0,01
0,1
1
10
-1
λ (m)
100
1000
Fig. 75: Abaco de la FTR para cortes de dos capas
3. Ley de simetría
La TR (igual que la FC, la
CRV y la CDZ) cumple la ley de
simetría de cortes recíprocos (fig.
76). Lo que además es
demostrable, partiendo de la
expresión de Slichter, de la
siguiente manera:
10
P+I
P−I
donde P e I son sumas del tipo:
KiKj...e-2λ(El+Em+...)
siendo par el número de factores
K en los términos P e impar en los
I. En el corte recíproco T’n(λ
λ) se
sustituye cada resistividad por su
inversa, cambiando de signo los
coeficientes K, no así los
exponenciales, por lo que:
1 P−I
Tn' (λ ) =
= Tn−1 (λ )
ρ1 P + I
ρ (Ω .m), T4(λ)
Tn (λ) = ρ1
100
1
0,1
CRV (dir)
FT R (dir)
CRV (inv)
FT R (inv)
0,01
1
10
z, λ -1 (m)
100
1000
Fig. 76: TR de cortes recíprocos
58
MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
FUNCION CARACTERÍSTICA y
TRANSFORMADA DE LA RESISTIVIDAD
La expresión de King de la TR
Si la expresión T2(λ
λ) de Slichter se transforma agrupando los exponenciales en forma
de funciones hiperbólicas mediante:
e −2 x =
1 − Thx
1 + Thx
se tendrá:
T2 (λ ) = ρ1
− 2λE
1 + Ke
1 − Ke −2λE
ρ 2 − ρ1 1 − ThEλ
.
ρ 2 + ρ1 1 + ThEλ
= ρ1
ρ − ρ1 1 − ThEλ
1− 2
.
ρ 2 + ρ1 1 + ThEλ
T2 (λ) = ρ1
1+
ρ 2 + ρ1ThEλ
ρ1 + ρ 2 ThEλ
(117)
que vendría a ser la expresión de King de T2(λ), cuyo segundo término es un cociente entre
dos sumas de 2n-1 términos positivos del tipo:
ρiρj...ThElλ*ThEmλ...
Salvo que alguna resistividad del corte sea infinita (lo que impedirá que las capas
siguientes tengan expresión en la función), Tn(λ) es continua y acotada, lo mismo que su
derivada, puesto que el denominador no puede anularse nunca y el numerador está acotado
pues ρi=cte y ThElλ < 1.
1
Por tanto, la representación logarítmica de Tn(λ) es una curva suave sin puntos
angulosos, lo que queda en evidencia en todos los gráficos de la transformada presentados en
estas páginas (figs. 74 y siguientes).
Cuando la resistividad de
la última capa de un corte
geoeléctrico tiende a infinito, la
asíntota de la última porción de la
curva de Tn(λ),
λ) con pendiente +1,
intersecta al eje Tn(λ) = 1 en un
punto cuya abscisa es igual a la
conductancia longitudinal S de la
sección previa
n −1 E
S= ∑
i
1000
100
ρ (Ω .m), T4(λ)
Estimación de S
10
1=1 ρ i
Como resulta evidente en
el ejemplo de la fig. 77, en cuyo
caso el valor obtenido por cálculo
es:
S = 3,4 S
CRV
FT R4
Asíntota
1
1
10
z, λ -1 (m)
100
1000
Fig. 77: FTR para sustrato de ρ = ∞. Cálculo de S
59
MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
FUNCION CARACTERÍSTICA y
TRANSFORMADA DE LA RESISTIVIDAD
Esta propiedad se demuestra en el caso de T2(λ
λ−1) partiendo de la (Ec. 117), donde:
T2 (λ−1 ) =
ρ 2 →∞
−1
que para grandes valores de λ
ρ1
ThEλ
(o sea pequeños de λ) es:
T2 (λ−1 ) ≈
ρ 2 →∞
λ →0
ρ1 ρ1 −1 λ−1
= λ =
Eλ E
S
tomando logaritmos:
lg T2 (λ−1 ) = lg(λ−1 ) − lg S
ρ 2 →∞
T2(λ−1)
−1
que en el gráfico bilogarítmico de
es la ecuación de una recta de pendiente +1, que
corta al eje de abscisas en el punto λ = S.
La diferencia entre esta recta y la función T2(λ−1) tiende a cero cuando λ−1⇒ ∞. Es por
tanto una asíntota de T2(λ−1) y coincide con el arco de la CDZ correspondiente a la segunda
capa.
Puede igualmente demostrarse que:
lg T3 (λ−1 ) = lg(λ−1 ) − lg(S1 + S2 )
ρ3 →∞
y que en general:
lg Tn (λ−1 ) = lg(λ−1 ) − lg(S1 + S 2 + .... + S n −1 )
(118)
ρ n →∞
Igualmente, cuando la
resistividad de la última capa de
un corte geoeléctrico es cero, la
asíntota de la última porción de la
curva Tn(λ−1), con pendiente -1,
intersecta al eje Tn(λ−1) = 1 en un
punto cuya abscisa es igual a la
resistencia transversal T de la
sección previa
n −1
T = ∑ ρi E i
100
10
ρ (Ω .m), T4(λ)
Estimación de T
1
i =1
Lo que es evidente en el
ejemplo de la fig. 78, en cuyo caso
el valor obtenido por cálculo es:
T = 340 Ω.m2
CRV
FT R4
Asíntota
0,1
1
10
z, λ -1 (m)
100
1000
Fig. 78: FTR para sustrato de ρ = 0. Cálculo de T
60
MÉTODOS ELÉCTRICOS DE PROSPECCIÓN
FUNCION CARACTERÍSTICA y
TRANSFORMADA DE LA RESISTIVIDAD
Que, igual que antes, se demuestra para T2(λ
λ−1) partiendo de la ec. (117) según la que:
T2 (λ−1 ) = ρ1ThEλ
ρ 2 =0
−1
que para grandes valores de λ (o sea pequeños de λ) es:
T2 (λ−1 ) ≈ ρ1Eλ =
ρ2 =0
λ =0
ρ1E T
=
λ−1 λ−1
tomando logaritmos:
lg T2 (λ−1 ) = lg T − lg(λ−1 )
ρ2 =0
Que en el gráfico bilogarítmico de T2(λ−1) es la ecuación de una recta de pendiente -1,
que corta al eje de abscisas en el punto λ−1 = T.
La diferencia entre esta recta y T2(λ−1) tiende a cero cuando λ−1⇒ ∞. Por
consiguiente, es también una asíntota de T2(λ−1) y coincide con el arco de la CDZ
correspondiente a la segunda capa.
Puede igualmente demostrarse que:
lg T3 (λ−1 ) = lg(T1 + T2 ) − lg(λ−1 )
ρ3 =0
y que en general:
lg Tn (λ−1 ) = lg(T1 + T2 + ... + Tn −1 ) − lg(λ−1 )
(119)
ρ n =0
Principio de equivalencia
Igual que con las CDZ, cuando el valor de S o T del corte geoeléctrico previo a una
capa i es relativamente bajo, pueden modificarse su espesor y resistividad, pero manteniendo
inmodificables Ti o Si, respectivamente, sin que la FC como la FTR experimenten un cambio
apreciable, cumpliéndose en ambos casos el principio de equivalencia.
61