universidad de panama vicerrectoria de investigacion y postgrado

UNIVERSIDAD DE PANAMA
VICERRECTORIA DE INVESTIGACION Y POSTGRADO
PROGRAMA CENTROAMERICANO DE MAESTRIA EN MATEMATICA
APLICACIONES DE LA PROGRAMACION PSEUDO-BOOLEANA
ILKA A. GRIMALDO G.
TESIS PRESENTADA COMO UNO DE LOS REQUISITOS PARA
OPTAR AL GRADODE MAESTRA EN CIENCIAS CON
ESPECIALIZACION EN INVESTIGACION DE OPERACIONES
PANAMA
2002
APROBADO POR:
o (President())
PRESIDENTE
u"^~.~~J
44
M. en C. Eyda
'~m
ez
MIEMBRO
Dra. Manuela Foster Vega
MIEMBRO
REPRESEN ANTE DE L&VICER-RECTORIA
DE INVESTIGAC N Y POSTGRADO
FECHA:
W_e
~.»,y~lv di~dJ.2
RESUMEN
"APLICACIONES DE LA PROGRAMAC1ON PSEUDO- BOOLEANA"
Se estudia un metodo para resolver sistemas de ecuaciones y
desigualdades con variables bivalentes (que toman Los valores 0 y 1) . Despues
de esto, se trata la resoluci6n de problemas de programacidn con variables
bivalentes, en particular el metodo pseudo- booleano . Se revisa c6mo un
problema de programacidn en numeros enteros se puede reducir a un
problema de programacidn bivalente . Finalmente, se explica c6mo resolver
problemas de programacidn bivalente con tecnicas booleanas y se presentan
ejemplos de algunas aplicaciones practicas de estos problemas.
SUMMARY
"APPLICATION OF PSEUDO-BOOLEAN PROGRAMMING"
It's study a method to solve equations and inequalities systems, with
bivalent v:-: :.' 'es, (they take values 0 and I) . After that, it treat the resolution
of programming problem with bivalent variables, in particular, the PseudoBoolean Method . It's also check how a programming problem with integers
can be reduce to a bivalent programming problem . Finally, it's explain how to
solve bivalent programming problems with booleans teeniques and some
applications practices are shown .
AGRADECIMIENTO
Me complace expresar mi gratitud al Doctor JOSE DEL ROSARIO GARRIDO,
quien con empeho y dedicacidn me ayudd a alcanzar mi objetivo mediante su valioso
asesoramiento y toda su colaboracidn en la preparaci6n de este trabajo, asi Como a todos
los profesores del Programa de Maestria en Investigacidn de Operaciones por brindarme
su ayuda e interesantes conocimientos a travEs de estos estudios .
INDICE GENERAL
INTRODUCCION
Capitulo I : CONCEPTOS PRELIMINARES
1 .1 . Algebra Boolean
1 .2. Funciones Booleanas
1 .3. Funciones Pseudo- Booleanas
Capitulo 2: SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
PSEUDO- BOOLEANAS
2.1 . Solucien de Base y Familia de Soluciones de una Desigualdad PseudoBoolean
2.1 .1. Ejemplo I
2.2. Algoritmo en Tres Etapas pare solucionar Sistemas de Desigualdades
Pseudo-Booleanas
2 .3 . Conclusiones Referentes a las Desigualdades del Sistema
2.3.1 . Ejemplo II
2.4. Observaciones respecto al volumen de los celculos
Capitulo 3: PROGRAMACION PSEUDO- BOOLEANA
3 .1 Metodo Pseudo-Booleano
3.1 .1 . Ejemplo III
3.1 .2. Ejemplo IV
3.2 . Prescripciones para acelerar el proceso
3 .2 .1 . La introduccion de restricciones suplementarias
3 .2 .2 . La elecci&n del orden de bifurcacibn
3 .2 3 . El Test acelerador
3 .3 . Ejemplo V
Capitulo 4 : APLICACIONES
4.1 . Ejemplos
4 .1 .1 . Ejemplo VI
4 .1 .2. Ejemplo VII
4 .1 .3 . Ejemplo VIII
4 .1 .4 . Ejemplo IX
Conclusiones y Recomendaciones
BIBLIOGRAFIA
Paginas
vi
1
2
6
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53
60
61
61
62
64
66
78
81
JNTRODUCCION
Existe, en el analisis clasico, una gran diferencia entre problemas que
pueden ser resueltos por metodos de cQlculos y problemas que requieren
tecnicas combinatorias . Con el surgimiento de las computadoras esta
diferencia se aminora, y con el enfasis creciente sobre problemas que
involucran optimization sobre estructuras, esta distincion desaparece.
Se hizo necesaria una nueva y mss flexible teoria matematica que
incluyera algoritmos cidsicos, tanto los discretos como los continuos ; pars el
tratamiento computacional y analitico de problemas surgidos en la teoris de
control, economia matematica, teoria de proyectos, investigacic On de
operaciones, bioingenierla y otros campos.
El trabajo de Hammer (ivanescu) y Rudeanu sobre M&todos
Booleanos represents un importante paso en esta direccit n y estimula una
gran cantidad de investigaciones adicionales en la teoria y aplicacion de estos
metodos.
Es natural el use de variables bivalentes cuando enfrentamos problemas
que tienen solo dos resultados posibies . La importancia y extension de esta
clase de problemas de "decisiones binarias" fue sefialada primeramente por G.
B . Dantzig en 1957 . Desde entonces muchos estudios se han publicado sobre
estos tdpicos . Algunos trabajos aplican tecnicas booleanas, las cuales utilizan
vii
propiedades del algebra booleana, mientras otros son principalmente
combinatorios.
Peter I. Hammer (Ivanescu) y Sergio Rudeanu en 1967, tratan las
aplicaciones de las teenicas booleanas en investigation de operaciones y areas
relacionadas. Utilizan como principales herramientas el calculo de matrices
booleanas, ecuaciones booleanas y la programaeien pseudo-booleana . La
programacion pseudo-booleana incluye un metodo pan resolver problemas
bivalentes (0, 1) que fue desarrollado por 1 . Rosenberg y otros en 1963
usando una idea de R. Fortet.
El motodo de programacion pseudo-booleana presentado (en forma
mejorada) por Hammer y Rudeanu es una combination del principio de
programacion dinamica de R . Gellman con procedimientos booleanos . Varias
aplicaciones de este metodo han sido realizadas por Hammer y Rudeanu ; asi
como por otros autores basados en su primers version (no mejorada) . Estas
son las contribuciones de I . Rosenberg, Y . lxagaxt y K. Sugino, U.S.R.
Murty, G .B . ihde, J . Kral y otros.
Los metodos de programacitin pseudo-booleana permiten la solution de
problemas bivalentes lineales y no lineales asi como varies generaiizaciones
que incluyen programacion polinomial entera .
Los problemas de optimizacien en los cuales las variables asumen
valores enteros debido a interpretaciones econemicas y tecnicas, no se pueden
resolver con los metodos acostumbrados de programacien lineal.
La preocupacidn pot este tipo de problemas surge de modo natural en el
contexts de una tradician de investigacien en el dominio de la ibgica
matematica y en las aplicaciones a la teoria de automatizacien.
El estudio del metodo de programacien pseudo-booleana y de sus
aplicaciones brinda las bases para abordar, plantear y finalmente solucionar
este tipo de problemas.
Este estudio sobre "Aplicaciones de la Programacicn Pseudo-Booleana:
♦ Trata sobre problemas de optimizacidn en las cuales las variables asumen
valores enteros debido a interpretaciones econemieas y tecnicas.
• Revisa crime un problema de programaciOn con numeros enteros se puede
reducir a un problema de programaciOn bivalente.
♦ Define, en el Capitulo 1, 1os conceptos preliminares de la programacien
pseudo-booleana.
♦ Desarrolla, en el Capitulo 2, un metodo para resolver sistemas de
ecuaciones
y
desigualdades bivalentes, Ilamadas ecuaciones
desigualdades pseudo-booleanas .
y
ix
♦ Expiica, en el Capitulo 3, el metodo pseudo-booleano mejorado pars la
resoluci5n de problemas de programacibn con variables bivalentes.
♦ Presenta, en el Capitulo 4, algunos ejemplos de aplicaciones practicas de
estos problemas .
cAPf ruLO
CONCEPTOS PRELIMINARES
CONCEPTOS PRELIMINARES.
1.1. Algebra Booleana.
El algebra booleana tiene sus primeras aplicaciones en el estudio de los circuitos
electricos. Los problemas de "decisiones binarias", es decir, problemas que envuelven
solo dos posibles resultados, son encontrados frecuentemente en la investigacion de
operaciones, teoria de grafos, matematica combinatoria, etc.
Los conceptos que definiremos tienen aplicacion en problemas tipicos de
optimifarion de funciones booleanas y en la solucion de ciertas ecuaciones booleanas.
Definicion 11; Un ALGEBRA BOOLEANA es un conjunto B (fmito o infmito)
en el cual son distinguidos dos elementos, 0 y 1, y donde tres operaciones:
u (disyuncion), - (conjuncion) y — (negacion) son definidas y satisfacen las siguientes
propiedales.
(l)
ruy=yuI
IL x • y=y - x
XVX
(3)
y=x
:•(xuy)=x
xul=1
x .0 = 0
(5)
(2)
r(xuy)uz=xu(yuz)
IL (x-y)-z=x-(y-z)
xu(y•z)=(xuy)•(xuz)
(4)
x-(yVz)=(x-y)u(x-z)
xux=1
(6)
x-x=0
En un algebra booleana, se cumplen ademas, las siguientes propiedades.
xx=x
(~)
I
xvx=x `
(8)
l xvl x
2
(9)
(11)
[xvy=0
•y=1
sii x=y=0
sii x=y=1
(10)
xv y=x• y
x•y=zvy;
s=x
(13)
xv(x•y)=xvy_
x •{xv y) =x y
donde x, y, z son elementos arbitrarios de B.
El et-den verifica tarnbien las siguientes propiedades:
(13)
i xsy
(15)
(Si xz,y5z entonces xvyz
_yrntnnr.es t_<x•y
.Sit_<x, t<
(1b)
(17)
sit
xvy=y1
1xsxvy , yin)/
_x, x-y_<y_
x•y<
x<_ysiix•y=x
[x z,_yrz sii xvy5z
t_<x,tSYStt ISx•y
F
x y rmplica x- z y- z
x y impiica
(19)
(14)
J
x v z <_ yv z
x5y sii xvy=1
xy sii x-=0
1
t20)
x = y sii x•yvx•y=0
x= y sii (xvy) •(x vy)=1
donde x, y, z son elementos arbitrarios de B.
3
(1S)
1.1.1. Principio de Dualidad:
Si la propiedad de B, expresada en terminos de Ias operaciones u, • , — ; de las
relaciones <, > y las constantes 0, 1 ; es valida, entonces la "PROPIEDAD DUAL",
obtenida intercambiando u con
•,5
con ? y 0 con 1, tambien es valida.
Por ejemplo, to mayor pane de las propiedades anotadas anteriormente son
anotadas en PAREJAS DUALES.
El principio de dualidad es uno de los teoremas centrales del algebra booleana.
Las propiedades (7) al (20) se pueden deducir de las leis primeras (1) a (6),
aplicando el principio de dualidad.
1.1 .2. Ejemplos de Algebras Booleanas.
Ejemplo 1 : La estructura algebraica formada por el conjunto de dos elementos
B2 = {0,1} , junto con las operaciones de disyunci6n (u), conjunci6n (-) negaci6n
O,
definidas respectivamente como sigue:
(i)
Ou0 = 0
0u1=1u0 =1
(ii)
0 . 0=0 . 1=1 . 0 = 0
(iii)
0 =1 ,
I-1 =1
1=0
Es un algebra booleana, Ilamada ALGEBRA BOOLEANA DE DOS ELEMENTOS.
Nob : En esta definicion, 0 y I no representan numeros- Sin embargo, es necesario
utili7ar estos elementos como numeros pan el estudio posterior de Ias funciones pseudobooleanas.
El algebra booleana de dos elementos B2; satisface ademas la propiedad.
4
{~rvy=] sii 1=1
iLx-y=i3 sii x=0 6y=©
o
(21)
y=l
Una caracteristica especial de 82 es que las operaciones booleanas pueden ser
expresadas en una forma aritmEtica.
(22)
xvy=x+y-xy
(23)
x=1-x
y ademas
(24)
xy=1-zy
{25) xuy=x•y=(1-x)(i-y)
ademas en B2 se define:
(26)
x° = x
E plo 2: El cogjunto de matrices booleanas (matrix de ceros y unos) de onion
mxn, es un Algebra booleana con respect a las operaciones u, - y— definidas per:
Disyuncion
(27)
(a;,) u (b„) = (a ;, a b,,)
Conjuncien
(28)
(a d
(bid =(;• b u)
NegaciOn
(29)
(a +I )= (a
)~
5
En las matrices booleanas mxn se define ademas la siguiente relation de order:
(30)
(ay) ~ (bry) sii a,1 b,~, pats todo
Los elementos distinguidos O y I para las matrices booleanas mxn son:
/0 . . .
\
0=
y
1=
(31 )
Obsen'acidn : Dos matrices booleanas no son necesariamente comparables.
1.2. Funciones Booleanas
Definici6n 1 .2: Una land-6n booleana fes una aplicacien,
f:
Bz = : B2xB2x . . .xB2 1
B2
n veces
esto es, es una funcidr cuyos argumentos y valetas deperiden de B 2.
Mein* 3: El conjunto de Codas las funciones booleanas de it variables, resulta tarnbien
un algebra buuic ua, donde D y I son las funciones de n variables definidas pot
0 (x 1, x2, , .,xn)
pare todo (x1,a2,
=0,
1 (x 1, x2, --,
1
Bz
y las operations de disyunciOn, conjurcion y negaciOn son defrnidas corn sigue:
Si fy g son funciones booleanas de n variables;
- set disyurcien sera la funcien f u'g de n variables defluids pot
6
(f
g )(x„ .„x,, )— .f(x,, . .,x,, )g(x,, . .,x,, )
-
(32)
su conjuncion sera la fiancibn jg definida por
}}((
/
(33)
- la negaci6n de is Thncidn booleana de n variables f sera la funcibn
f definida por
f (x,, . . .,xi,)=f(x~, . . ., xA)
L2.1 Expresiones Boolea®es
Una funcibn booleana tienc una "expresi(n booleana" come por
ejemplo
1(x,y,z)=x yzvx•y vx•yavx•y<xu(y•z)
6
y•(xu(y•z)•(tux•y))
Una expresibn baoleans esti constituida par un numero finito de
variables booleanas, ligadas per operaciones booleanas, 4e acuerdo a la
siguiente informacion:
Delinicien 1 .3:
0 y 1 son
1) expresienes booleanas
las indeterrninaciones
2)
z„z°,z,,z,, .. .,z
7
son expresiones booleanas
Son llamadas indeterminaciones plies dependen del valor de las i
las clue tarnan los valcres fl
3)
o 1.
Si E1 y E2 son expresiones booleanas, entrances
v
2,
- Ez
y
E,
son expresiones booleanas
4)
Cualquier expresien booleana es formada per una aplicacidn repetida
de las reglas 1), 2), 3).
1 .2.2 Conjunciones Elementales y Disyunelones Elementales
Dermicion 1 .4'. Las expresiones booleanas que no contienen disyunciones
son llamedas conjunciones elementales.
Ejemplos :
x' . y° z°
s , y°,
0, 1, x, . . .xp , etc.
Definition 1 .4': Las expresiones booleanas que no contienen conjunciones
son llamadas disyunciones elementales.
£lemplos :
x'
u y° vz° ,
x'
us? uz°
,
xi , y°, 0, 1, x ; v ..ux,'„
etc.
1 .2 .3 . Forma Disyuntiva y Forma Conjuntiva
Definition 1 .5' : Una disyuncidn de conjunciones elementales, esto es, una
expresidn del tips
c, Uc2 e~_•eJc,
donde
(35)
c1 ,c2 ..:c,son
conjunciones elementales, es liarnada una forma
disynntiva.
Definition 1,S": this conjuncion de disyunciones eiementales, esto es, una
expresion del tipo
•dz
donde
(36)
•d,
d„dd, . . .,d,son
disyunciones eleinentales, es llamada una forma
tonjuntiva.
Definition
La funcion4generada por una expresion booleana E es la
funcibn booleana obtemda de E interrpretando los caracteres
encontrados en las indeterminaciones
x2, . .-,
x,,
como variables en B 2 , los
exponentes 0 y 1 comp funciones definidas por Jr' = x ;x = x ; los conectivos
v, y — como las funciones definidas por (i), (ii) y (iii), respectivamente, y
los caracteres 0 y I come las funciones constantes 0(x) = 0, 1(x) = 1,
respectivamente.
Debemos distinguir entre funciones booleanas y expresiones booleanas.
Por un lade, una expresion booleana genera una funcion booleana simple;
mientras clue, una funci&n booleana es generada por varias expresiones
booleanas .
9
?or ejemplo; x v y, x v x- y son diferentes, pero generan la misma
funcic n.
j{OO)=-(l
.{x,Y):
.0,1)=,(1,0)=ft1,1)= I.
Sin embargo, adoptaremos la convenciOn usual y denotaremos igual a
una expresi6n booleana que a la funci6n booleana generada por ella.
For ejemplo, escribiremos
x L) x
y = xv y ; en Lugar de
= EJrl
Cada funcibn booleana es generada pot, al memos, una expresisn
booleana.
Propiedad LL: Cada funcic n booleana f puede set escrita en la forma
(37)
donde
f
II
xz~-, xr)
=
a, s,
.fla ~,a z,~--,arx,a, x'z
--- a«
significa que la disyuncidn es extendida sobre todos los
posibles valores de los vectores (a„a2,. .,a„) e BZ..
to
Observaci6n : La formula (37 ) puede ser escrita en la forma.
(38)
donde
f(x„x2,. . .>xn) _ 11 ( 4 '
II significa que la disyunciOn es extendida sobre aquellos valores
(a,,a2,.. .,an) a B, para Ios cuales f(a,,...,an) =1
1.2.4 Forma Can6nica Disyuntiva y Forma Canonica Conjuntiva
N6tese que (37) es una forma disyuntiva con la propiedad especial de
que en cada una de las conjunciones todas las variables x i , x2,.. .xa aparecen.
Definici6n 1 .7 : El miembro derecho de la relaciOn (38 ) se Ilamara forma
disyuntiva canOnica de la funeion f(x,,x2, . . .,xn).
Cada conjunto de la forma x; •x;° .. .x°^ (que contiene todas las variables
x„x2, . . .,xn) es llamado una conjunci6n elemental complete de x„x2, . ..,x,.
Propiedad 1.2 : Cada funcion booleana f puede ser escrita en la forma
(39) f(x,,x2, .. .,x, )=
}
f If(a l ,a2 ,. . .an)vxr u47
a„a,...a,
donde (a„aZ,. . .,an) toma todos los posibles valores de B2donde fi
a,ax,
significa que la conjuncion es extendida sobre todos los 2' posibles valores de
BZn
11
Observacibn: La formula ( 39 ) puede ser escrita en la forma
(40 )
fix, x2,..2,2)=
fl(xa, uxz' v .. .uCP. )
donde fl significa que la conjuncion es extendida sabre aquellos valores
(a„a3, . . .,a„) a B'para 1os cuales f(Q, d, r .,
ar t = 0
Definici6n l .7": El miembro derecho de la relation (40) se Ilamara forma
canonita conjuntiva de 1a funcion
J(x„x2, . . .,x„).
Cada disyuncit n de la forma xf' ux~' u ...i+xa° (que tot-them todas las
variables
x„x2, . . .xA)
es Ilamada una disyuncien elemental complete de
x„ x 2 , . . .x,, .
1.3. Funcioues Pseudo Booleanas
Definitions LS: Sea 91 el cameo de los naimeros reales, una fencidn
pseudo - booleana es una funcidn.
(41) f :B=
>
91
es una funcibn de elementos bivalentes, con valores Teaks.
Los dates basados en aplicacions no son usuaimente reales, sin
embargo, si resultan mimeros rationales pueden ser transformados a enteros
multiplicandolos par un enter() apropiado_ Par esta razon, en los ejemplos
12
podemos asumir que los datos van a ser enteros.
R. Fortet llama a estas funciones "funciones algebraicas enteral" . Si los
elementos 0 y 1 de B2 son identificados con los numeros 0 y 1, to cual
asumiremos en to que sigue, entonces la fimcien booleana
tp :
BZ
> B2
es tambien una funcibn pseudo- booleana.
Propiedad 1 .3 : Cada fancier] pseudo- booleana puede ser escrita en la forma
( 42 )
.i (x1, x 2r ,xn)=
donde is suma
(a„a2, . . .,an) a BZ
E
lc
n
es extendida sobre los 2g valores del vector
y los coeficientes
ca 4
son unicamente determinados por
las relaciones.
( 43 )
= .f„a,, . . .,an)
Demostracien
Usando las formulas
x°
= x= (1-x) ,
eoncluimos que, pars cads a, ft e Bz .
a=
l,sia=Q
a,sia#ft
13
x'= x
En efecto
1,si .r=D
fl,six=1
x =x=
j 1 ,si x=i
0,six=O
De aqui que pars a„a2, . . .,ap a B2
tenemos
e
.xn
Xi
,si xi =ai ,x2 =a2 , . . .,x„
=a
O , de otra forma
de deride resulta que pars cualquier sistema de valores
derecho de (42) se reduce a
= 1{
x,, el dada
,fie>. .,fi„)
de dende
C A .Ba
p = jJ{
R
fi„ fi2r . . ,7'n)
Asi
f x„x2,.. .,xa)=
, .f{A~>12, . . .,}'„)x,A •x2~, . ..,x°.
come ahora dos valores 0 y 1 son nemeros males ; usamos
Z
a, .a
II
14
en lugar de
a.
Ejemplo 4 : La funcion pseudo- booleana.
(44) f (xx ,x2 ,x3 ) = 2xa x2+6xix3 -5x 2 x3
puede ser definida por la siguiente tabla
Tabla 1
,l(x l,
x2, x 3)
x1
x2
x3
0
0
0
-5
0
0
1
-5+5
0
0
1
0
-5+5
0
0
1
1
i
0
0
-5+2
1
0
1
-5+2+5+6
8
1
1
0
-5+2+5-2
0
1
1
l
-5+2+5+6
6
-5+5+5-5
+5-2–5
y puede ser escrita en la forma
f(x i ,x2 ,x3
)= 2x,(1—x2 )+6xlx3 -5(1—x2)(1—x3)
f(x i ,x2 ,x3 ) = 2x1 -2xix2 +6xix3 —(5—5x,)(1—x3)
15
-5
0
-3
f (x,,x2 ,x 3 ) = 2x, -2x,x2 +bx,x3 -5+5x2 +5x3 -5x2 x3
f(x„x2 ,x3 )=-5+2x,+5x2 +5x3 -2x,x2 +bx1 ;-5x2 x3
(44')
sustituyendo x por(1-x).
La misma funcion tambien puede ser escrita en la forma.
(44 " ) f(xx3 ,x3 )=-5 x x2 x3 3xi x2 x ; +$xx2 z ;
+
bx,xz x 3
la coal es obtenida 4e la tabla de arriba par aplicacibn de la propiedad 13.
Por la propiedad 1 .3 tenemos:
/
f(xl,x2, . . .,xn)—
(xl,-;z,x3)=
Qi
~al, .. .q
al .a2, . . .Ra
xaz
a.
2 . . .x n
E,f(a1,a2, a3 X' '
.xi'
f(x,x
' x°x°
L x
2~)=
3 -5x°x°x°
1 2 3 -3x 1
2 3 +8x'x°x
1 2 3' + 6&x'x
1 2 — 3l
f(x1 , x2 , x3 ) = - 5x1 x2 x3 - 3x, x2 x3 + 8x, x2 x3 +6x,x2x3
15
CAPITULO 2
SISTEMAS DE ECUACI©NES
Y DESIGUALDADES PSEUDO-$OOLEANAS
La necesidad de solucionar un sistema de ecuaciones y desigualdades
eon variables bivalentes. (O,1); resulta, par un lado del hecho de que los
modelos matematicos de algunos procesos economicos reflejan un sistema de
este tipo y, por otro lado del hecho de clue los mttodos descritos Para la
resolution de problemas bivalentes se basan en el conocimiento de familias de
soluciones y las restricciones.
Estudiaremos primeramente una desigualdad de la forma
(1)
c1 xl +c2 x 2 -~ . . . #cnxr b
Reemplazando cede x, pare la awl c; < fl con (l- x,) ; y denotando
despues de esto la transformation de 1a nueva variable con Xj (*goal a x, si
e, ? 0, igual a it =1- x, si c, < 0); el termino fibre con d y reordenando las
variables, la desigualdad (1) puede Ilevarse a la forma
(2)
+c,X2t . . .#cn . >_d
donde
(3)
c, >_c2 >_ . ..>_c,,
X,
si
>_{)
0
x,1-x,<tit x,=1-x, , si c,<0
18
2.1 Solucidn de Base y Familia de Soluciones de una Desigualdad
Pseudo-Booleana
Definic Mn 2 .1
Una solucion S. =(X;,. . .,X;,)de la inecuacibn (2) va a
denominarse una solucion de base si para cualquier i eon X ; = l , el vector
X; __X; „D X;,, X„ j no es solucion de la desigualdad (2)_
Sea I el conjunto de indices i para los cuales X; = l y sea J un conjunto
que contiene a I: .ICI. Vamos a denotar eon F(S*, J) el eonjunto de todos los
vectores S(X1 , . . .,X,1) con is propiedad de que k = 1 para todos los je J, ias
otras componentes X k (k e J) siendo arbitrarias (0 i 1).
Es evidente que cualquier vector S
E
F(S*, J) es una solucion de (2). El
conjunto F(S*, J) va a denominarse una farnilia de solo-clones de (2)
Para determinar todos las soluciones de base de la desigualdad (2)
vamos a aplicar respectivamente la siguiente regla:
1°) Si d 0 entonces la (mica solucion de base es X, = . . .= X„ =0.
2°)
Si d>0 y c1>_ ...>_cpdc
entonces
(c) pare cuaiquier k € {1,2,. ..,p) ; el vector X k =1, X~ = 0 (j ~ k) es
una solucion de base .
19
(¢) las otras soluciones de base deben buscarse entre los vectores
n
que satisfacen X,= . . .=X,=0 y
tc1Xf ?d
J=ptl
30)
Si d > 0 , c, <d
(i E (1,2, . .4
y yr, <d entonces no existe solucien.
r=l
4°j
Si d >0 ,
c, < d
fie
A
y Ec, = d entonces la tnica solucit n de
base es X, = .. .= Xn =1 .
5°)
Si d>0, c; <d (ic {i,. . .n)) y
n
n
r=l
f-z
Ec, >d y lrf Sd entonces la
solucian de base debe busearse entre los vectores Clue satisfacen X, =
y en consecuencia
E cfXf
rz
b°)
d - c, .
Si d>0, c, <d (ie{l ._n}l y
>d
lrf > d entonces deben
f=z
Y
estudiarse separadamente los cases :
.
6r1) X, =1 y
en consecuencia
Ec,, XJ ? d-c,
R
6r2) X, =0 y en consecuencia
Ecf Xf
J-2
20
a'
Sean S,̀ = (X; , ...,X;, ), (k a {1,2,. . .,K}), todas las soluciones de base de la
desigualdad (2) . Denotemos pars cada k con u(k) el ultimo lndice pan el que
la componente correspondiente de S; es igual a 1:
(4)
X4,,., =1,
Xk =0
(v > u(k))
Sea dt = (1,2,...,u(k)) . Entonces time lugar la siguiente afirmacidn;
Propiedad 2.1 : La familia de soluciones F(S;,J1 ),
(ke{l,...,K}),
contiene
todas las soluciones de la desigualdad (2) y ellas son dos a dos disjuntas.
2 .1 .1 Ejemplo I : Para resolver la desigualdad
(5)
x1 +7x 2 +7x3 -2x, -9xs+3x 6 ?9
x, +7x, +7x 3 -2(1-x,)-9(1-x 5 )+3x6 z9
x, +7x2 +7x3 +2x{ +9xj +3x6 ? 9+2+9=20
tenemos
(5 ' ) XI =x s, X2 =x2, X3 =x3 , X, =x4, Xs =xe, X4 =xa.
de donde obtenemos
(6)
9X1 +7X2 +7X3 +3X, +2X 5 +X6
20
Desigualdad que se encuentra en el caso 5° anterior, luego debe tenerse
X, =1, to que conduce a la desigualdad
21
(7) 7X2 + 7X3 +3X4 +2X5 +Xfi > I 1
que se encuentra en el caso 6' ; por consiguiente deben estudiarse
separadamente los casos.
a)
X2 =1
b)
a)
Para X2 =1 obtenemos la desigualdad
(8)
7X3 +3X4 +2X5 +Xfi >_4
X2 = 0
la cual estando en el caso 2° admite la solucion de base
X3 =1,
X4 = X5 =Xfi = 0 . Asi que la primera solucion para (6) es
(1, 1, 1, 0,0,0)
Para estudiar el caso X 3 =0, tenemos:
(9) 3X4 +2X5 +X6
4
Aplicando dos veces las conclusions del caso
X4 =1,
2X5 +X6
(4—3)=1
(?apiicacion)
X6
1—2 = -1
(2' aplicacibn)
Xfi = 0
deducimos que (9) tiene la solution de base (Mica
=X3 =],
X6 = 0
La segunda solucion de (6) es (1, 1, 0, 1, 1, 0)
b)
Tomando para {7), A'2 =0 , obtenemos:
(10)
7X3 +3X4 +2X5 +X6 z11
22
La aplicacion repetida de las condiciones del caso 5°
X s =1,
3X, +2X 5
+ X6
X4 = I ,
4
(l a
2X5 + X6 ? 1
X5 =1,
X6
>_
I - 2 = -I
X6
=
it
aplicacibn)
(r aplicaci6n)
(3° aplicacibn)
muestra clue la (mica solution de base de la inecuacibn (10) es:
X3 =X
, =Xs =1 ,
X6
=0.
Asique la tercera solucibn de (6) es (1, 0, 1, 1, 1,0)
Par consiguiente la desigualdad (5) tiene las siguientes tres soluciones
de base:
X~ X2
X3
X4
Xs X6
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
Asi tenemos j; = (7 , 2, 3) y J2 = J3 = 11, 2, 3, 4, 5).
Volviendo a la desigualdad (5) y teniendo en cuenta (5') encontramos
en el siguiente tablero la familia de soluciones.
23
EJENPLO I
Figura 1
24
Sol .
x
xi
x2
x3
1
-
1
0
-
1
-
2
-
1
1
0
1
1
3
-
0
0
0
1
1
4
x5
6
Aquf, el guidn -, indica las variables arbitrarias de la familia.
El metodo anterior puede ser utilizado tambien para dar solucibn a un
sistema de ecuaciones o inecuaciones con variables bivalentes.
2 .2
Algoritmo de Tres Etapas pare solucionar Sistemas de
Desigualdades Pseudo-Booleanas (Piigina 82, [II ; (ver bibliografia)):
Etapa 1 : Al reemplazar las inecuaciones en las formas f > 0, g < 0, h 5 0
respectivamente por inecuaciones en las formas
f–10
-g-10,
–h?0
yala ecuacibnen la forma
e = 0 por el par de desigualdades e 0 y e 0 se puede obtener un sistema
que contiene solamente ecuaciones de la forma
F?0
25
Etapa 2 : Sean x 1 , x2 , . . .,x11 las variables del sistema. Utilizando las relaciones
x,
=1-x,
j podemos escribir cada inecuacibn del sistema de la
y x~ =1—x ,
forma
(11)
Cry
x; +C; x , + .. .+CL
?d'
donde x, ,... .x,, son aquellas variables x1 ,. . .,x„ de las cuales la desigualdad
respeetiva depende efectivamente,
C;' 2C.' 2 ..2C zfl
x es x
ie11,2,. . .,n}
6
, respetando la relation.
m5n
Etapa 3 : Se basa en la siguiente idea : Carla desigualdad considerada
separadamente se escribe en forma eanlnica con respecto a las variables x
contenidas en ella, de aqua que de las conclusions anteriores referentes a la
desigualdad, se deducen las conclusions referentes al sistema complete.
I or ejempiv, si cierta desigualdad del sistema no tiene solution, el
sistema es incompatible. En el mismo sentido vemos que si alguna
desigualdad tiene todas sus soluciones y algunas variables fijadas
=
= x7 ;
entonces en cualquier solution del sistema (si el sistema es
compatible) las variables
x ,...,x,.
anteriormente .
26
deben tener los valores fijados
2 .3 Conclusiones Referentes a las Desigualdades del Sistema
En to cue sigue presentamos una iista de las conelusiones referentes a
la desigualdad
(11)
.e .
ECy' xy
zd'
del sistema considerado . Aplicando sucesivamente estas conclusions, se
obtienen las soluciones del sistema inicial, agrupadas en dos conjuntos
disjuntos.
l°) Si d' <0 , la desigualdad es redundante, y asi ells puede ser eliminada
del sistema.
2°)
Si d' >0,
C1
. .. 2 C;~
C,„,' z d' 2 Co,+n 2 . . . 2 C®,) entonces existen las
siguientes (p+l) posibilidades a„_ .a,, f3_
.
(ak )
Xi,
xg = 1,
_ . . .=Xta-t>=0,
.
xgt+ij= . . .x*=0
(k e {i,2,...,p})
son soluciones base de la desigualdad (11).
(~) Las otras soluciones de base de la desigualdad (11) deben
buscarse entre los vectores que satisfacen
,
= . . .=x =0
y
cn xa
i=(a+H
3°)
Si d' >0,
C'.<d' ,
(fe{1,2, .. .,m(i)}) y
27
E4 <d', entonces la desigualdad y el sistema son incompatibles.
J_)
4°)
Tcn
Ec
Si d' > 0,
<d' ,
(je (12,.. .,m(i)}) Y
= d', entonces todas las variables x
x,_ tienen valor fijado 1.
m(f)
5°)
Si d'>0,
(je(1,2,_..,m(i))) y E>d Y
i-'
inn
-
Se < d' , entonces la variable x 4 tiene valor l y, en consecuencia, las demas
=2
variables satisfacen la desigualdad
-(n
Lc x, d' - c
Si d' >0,
c9 <d',
*l )
(j e (1,2, .. .,m(i))) y Ec > d' y
£C„ d' , entonces existen dos posibilidades
J-2
((x,)
x,
=1, y, en consecuencia, las demes variables satisfacen la
desigualdad
,
n, )
cyx°->d'-c' ,
, .2
(a2 ) x4 = 0 y, en consecuencia, las demiis variables satisfacen la
desigualdad
28
e (I)
.
Ec .ry>d .
J=2
Asi coma se ve, existen situaciones en las que algunas variables son
fijadas (conclusiones (4°) y (5°),
otras
en las que el sistema no tienc solution
(conclusidn 3 0), otras en las que la desigualdad considerada es redundante
(conclusion (1°)) ., todos estos casos se Haman determinados . Existen
situaciones en las que practicamente no disponemos de ningun tipo de
information (conclusion (6°)), asi que estamos obligados a dividir la discusibn
en otras dos conclusiones (v, y
62 ) .,
estos eases vamos a llamarios no
determinados . Finalmente, existen situaciones en las que la discusien debt
dividirse en (p + 1) opciones con information creciente (conclusidn (2°)) .,
estos casos se Haman parcialmente determinados.
Orden preferential
Conclusiones
Caso
i
( i °), (3°), (4°), (5°)
Determinado
2
(2°)
Parcialmente determinado
3
(6°)
No determinado:
(lndeterminado)
La tercera etapa (etapa 3) del proceso de resolution de sistemas de
inecuaciones continua asi :
29
Si algunas desigualdades pertenecen a algunas casos determinados,
entonces obtenemos todas las conclusiones posibles y las confrontamos . Dos
situaciones pueden aparecer: que exista alguna desigualdad sin solucion, o
que dos desigualdades diferentes conduzcan a conclusiones incompatibles
x, = I y xi = 0, entonces el sistema es incompatible. En los otitis cases los
valores de ciertas variables son determinados y esto nos conduce a un sistema
de dimensions m's pequeftas que debeinos examinar posteriormente.
Si ninguna tie las desigualdades se encuentra en los cast's determinados,
pero existen desigualdades en los cases parcialmente determinados, entonces
seguimos con las conclusiones correspondientes a una de las desigualdades de
este caso . Parece ventajoso que se elija aquella desigualdad en la que p es el
mayor.
En fin, si todas las desigualdades se encuentran en los cases no
determinados, bifurcamos la discusion con respecto a una de las variables;
parece ventajoso que se elija la variable que aparece con coeficiente mds
grande en el sistema.
Queda claro entonces que el proceso anterior conduce a todas las
soluciones del sistema de desigualdades lineales con variables bivalentes
considerado .
30
Por supuesto, el sistema anterior puede ser enriquecido con reglas
suplementarias con miras a acelerar Ios calculos . Sin embargo, en el ejemplo
que sigue nos hemos abstenido de mode consistente de la utilizacicn de
observaciones directas, pars ilustrar nada mils la esencia del proceso.
Observation:
Las familias de soluciones obtenidas anteriormente
corresponden a caminos distintos en el sistema de soluciones, y asi, ellas son
dos a dos disjuntas.
2 .3 .1 Ejemplo II: Consideremos el sistema:
(12 .1) x, - 3; +12x3
+x 5 -
7; +x 7 -3x,, +5x„ + x13 -6 2 0
x, -3(1- x3)+12x3 +is
x,
-3+3x2 +12x,
x,
+3x2 +12x3 +x5
-7{1-x6 )+x7 -3(1-x,o)+5x11
+x 5 -7+7xb +x 7
+7x6 +17
-3+3x 10 +5x11 +x12 -S>0
+3x10 +5x11
+x12
>19
(13 .2)-3x,+7x1 -x,-fix,+10
-3(1-x,)+7x3 -(1-x4 )-6(1-x5 )+120
-3+3x,+7x1
-1+x4 -fi+6x5 +10
3x,+7x,2 +x,+6x5 z9
(12 .3)-11x1 -x3 +7x4 +xs
+272 -6>-0
5x9 -9x11 -40
31
- 11(1-xl)-(1-x;)+7x4 +x5 -2(1-x,)-(1-xg)+5x9 -9(1-x„)-4>>-0
- 11+iix,-1+x3 +7x, +x6 -2+2x,-1.+x8 +5x9 -9+9x„-41. 0
11x,+x3 +7x4 +x6 +2x7 +xg+5x9 +9x—n >28
(12 .4)—5x2 —6x,+12x5 —7x6 —3x8 —x9 +8;, -5x,2 +820
-5(1-x2 )-6(1-x3 )+72x3 -7(l —xb )—3(1 —x8 )—(1—x9 )+8x10 -50 -x14 )+820
-5+5x2 —6+6x3 +12x5 -7+7x 6 —3+3xg —1+x9 +8x14 -5+5x72 +820
5x2 +6x3 +12x5 +7x6 +3xg +x9 +8x10 +5x12 219
(12 .5) 7x1 +x2 + 5x3 — 3x4 — x 5 + 8x6 + 2xg — 7x9 — x10 + 7x12 — 7 0
7x1 +x2 +5x3 -3(1—x,) —(1—xs)+art, +2x8 -7(1 — x9 ) —(1—x10)+7x12 -7 20
7x1 +x2 +5x3 -3+3x4 —1+x5 +8x6 + 2; -7+7x9 —1+xle+7x12 -7 2 0
7x1 +x2 +5x3 +3x4 +x5 +Sxb +2x8 +7x9 +xi0 +7x12 > 19
(12 .6) 2x, +4x4 +3x,+5xg+x9 —x11 —x1i —4 ?0
2x,+4x4 +3x7 +5x15 +x9 -(1-x11 )-(1-x12 )-420
2x, +4x, +3x, +5 ; + x9 -I+x 71 -1+x 12 -4 z0
2x1 +4x,+3x 7 +5x8 +x9 +xil +xi2 ?6
clue puede ser Nevado a la forma equivalente
32
(13 .1) 12x3 +7x6 +5x11 +3x2 +3x10 +x,+x3 +x7 +x12 ?19
(13 .2) 7x 2 +6x5 +3x1 +x, ?9
(13 .3) 11x 1 +9x11 +7x4 +5x9 +2x7 +x3 +x6 +x8 ? 28
(13.4) 12x 5 +8x,0 +7x6 +6x3 +5x2 +5x12 +3 ;+x9 219
(13 .5) 8x6 +7x, +7x 9 +7xi2 + 5x3 + 3x4 + 2x8 +x2 + xs + x,o >19
(13 .6) 5x8 +4x, +3x 7 +2x, +x9 +x11 +x{2 ?6
Observamos que, siguiendo el order preferencial, ninguna desigualdad
de este sistema se encuentra en los eases 1°, 3° o 4°. Sin embargo,
observamos que is desigualdad (13 .3) esta en el 5° caso implicando
x, =1, o sea xi = 0 y que 9x„+7x,+5 ;+2x 3 +x3 +xt; +xi ?17.
Introducimos este valor en el sistema y observamos que ninguna
desigualdad se encuentra en algun caso determinado ; la relacitin (13 .2) se
reduce a:
7x2 +6x5 +x4 ?6
que se encuentra en el caso 2° . Se deben considerar las siguientes tres
alternativas:
a,) x2 = i
33
a2 ) x2 = d,
Y2)
x5 =1
x2 = x5 =0
y x, 6, to cual es imposible, luego esta alternativa se
elimina .( =)
Iniciemos con la alternativa a,) que implica la verificacion de la
desigualdad {13 .2) y x1 = 0, x2 = 1 . Estes valores reducen la desigualdad
(13 .1)a
12x1 +7x4 +5x+3x1fl +xs +x, +x,2 ? 19
y se encuentra en el caso 5° implicando x 3
7x-6+5x, 1
+3x1° +xs +x, +x1 ,
= 1 y que
?7.
Los valores x i=0,x2=1,x3=1 reducen (113) a la desigualdad
9x11 +7x 4
+5; +2x7 +x6 +xe
>17
que esta de nuevo en el caso 5° implicando x„ =1 a = 0 y que
7x4 +5x9 +2x7+x6 +xs ?8.
Ahora la desigualdad (13 .1) se reduce a
7x6 +3xi° +x5 +x, +xi2 ?7
que de nuevo en el caso 5°, implica =1 c x 6 = 0 y que
La desigualdad (13 .1) se transforma en
34
3x, .° +x5
+x, +x12 ? 0.
la cual es una desigualdad redundante por caso 1° (*), y asi el sistema (13) se
reduce a.
x 2 =x 3 =1
(14.0)x4 =x~ =x11 =0
(143) 7x 4 +5x9 +2x,+x8 >8
(14 .4) 12xs +8x14 +5+3.+. 9
12
( 4 .5) 7x9 +7x11 +3x4 +2x8 +xs +xlo ? 13
(14 .6) 5x 8 +4x4 +3x,+x9 +x12
5
Las desigualdades (14 .4) y (14 .6) estan en el 2° caso, mientras que
(143) y (14 .5) pertenecen al caso 6°.
Efectuando la bifurcacibn que resulta de (14 .6):
a') x8 = 1
y
4x4 +3x, +x9 +x12 ? 0 que es una desigualdad
redundante(*)
if)
x8 =0
Y
4; +3x, +x 9 +x32 ? 5
En la alternativa a', la desigualdad (14 .3) se reduce a.
3x4 + 5x9 + 2 x, >_ 8
que se encuentra en el case 5°, implicando x4
35
=1
y 5 ; +2x, 1.
UNIVERSIDAD DE PANAMA
13T B LIOTECA
Por consiguiente (14 .5) se transforma en:
7x9 +7x12 +x5 +x10 211
y por eso (caso 5°), x9 =1
y
7x,2 +x5 +x10
>_
4
Esta ultima desigualdad se encuentra en el caso 5° nuevamente, implicando
x12 = 1, y que x,+ x,o >_ -3, desigualdad del case 1° redundante (*).
Ahora (14.3) se transforma en
2x, 21
yluegox,=icx,=0.
Mks adelante (14.4) se transforma en
12x5 +8x,0 211
que el caso 5° implica .x5 =1 y 8x,o 2 -1, que en el caso 1°, implica que x,o es
arbitrario, es decir, x,0 = 0 6 x,o =1.
Estos valores satisfacen el sistema (14), mostrando que hemos encontrado las
siguientes soluciones de (13):
x
(15) x i s
x7 t)
7= 1
x3 = 1
x8=1
xy~
x 4= l
xiD
x5= 1
arbitrario x
i i0
x~l
X12 = 1
En Is alternativa if, x 8 3, la desigualdad (14 .5) se transforma en
7x9 +7x12 +3x4 +x5 +x10 213
36
que se encuentra en el caso 5°
implicando x9 =1 c) x9 =0
y
7x12 +3x4+x5 +x,o >>6
la cual otra vez en el caso 5° implica
x12 = 1 y 3x4 +x3 +x10
- 1,
Is cual results ser una desigualdad redundante por
el caso I° (*).
Mss adelante (14 .6) se transforms en
4x4 +3x, ? 5
que en el caso 5° implies
x4 =1 y 3x, z 1, iuego x, =1
Ademas se satisface (14 .3) pars x80, x90, x4=1, x7= 1.
Entonces las desigualdades (14 .3), (14 .5) y (14 .6) son verificadas, asi el
sistema (14) se reduce a (14 .4) el cual se transforma en:
12x5 +8x10 ? 8
Esta desigualdad en el caso 2° se resuelve tomando ya sea (x5=1), v (x5D y
x1o=1). Se obtienen asi las siguientes soluciones del sistema (13):
(16) x i=O
x2= 1
x3 = 1
x4=1
x$=1
x6 2)
x7= 1
x84l
x9 9
xio arbitrario
xi1=0
ziz= l
Y
37
(17)
x1 0
x2=1
x3=1
x4=1
x5 Z)
x =O
x7= 1
x8=0
x9=0
xlu= 1
xn)
x12 = 1
Queda por estudiar la alternativa rx, : x 2 = 0, x5 0
(17 .0) x 1 = x2 = x5 Al
( 17.1)12x,+7x6 +5x„+3x7-0 +x7 +x,2 >16
(17.3) 9271 + 7x, +Sx9 +2x,+x,+x6 +x, 217
(17.4) 8x,o +7x— +6x3 +5x,2 +3x3 +x9 14
(17.5) 8x6 +7x9 +7x,2 +5x, +3x,+2x3 +x1D 218
(17 .6) 5x3 +4x4 +3x,+x,+x„+x12 >_6
Teniendo en cuenta que todas estas desigualdades se encuentran en el
caso 6°, debemos hacer una bifurcacion, para la cual partimos de la variable
xa , o sea.
x3 =1
y
a2 )
x3 =0
En la alternativa o , tenemos x,, =1 y por to Canto (17 .6) pasa a ser
4x4 +3x, +x9 +x„+x12 2 1 y (17 .3) se reduce a
9x, t +7x4 +5x9 +2x7 +x3 +x6 217
38
que se encuentra en el caso 5° e implica x„ = 7 r* x„ = 0 y consecuentemente
7x4 +5x9 +2x7 +x3 +x6 ? 8 .
Despues (17 .1) se transforma en
12x 3 +7x6 +3x10 +2, +x12 a16
implicando (caso 5°) x3 =1 y que 7x6 +3x10 +x, +x12 ? 4.
Ahora la desigualdad (17 .4) deviene en
8xi6 +7x6 +5x12 +x9 ?14
mplicando asi (caso 5°) x, 6 =1 y 726 +5x, 2 +x9
6.
luego (17 .1) queda come, sigue
7x6 +x, +x, 2 > 4
que se encuentra en el caso 2° . Considerando x6 = 0 implica x, +x12
>_
4
desigualdad sin solucidn (*); luego tenemos que tomar x6 =1 ; la desigualdad
(17A) se verifica de esta forma.
Ahora (173) se transforma en
7x4 +5x9 +2z, Z8
que se encuentra en el ease 5° e implica
5 ; +2x, ? 1, la cual en el caso 2° implica
39
x4 =1 y consecuentemente
(x9= 1 y x, = 0) b (x9 =0
y x,
=1)
Mas adelante la desigualdad (17 .5) se reduce a
7x—9 + 7x12 ? 11
que en el caso 50 implica x9 = l p x9 = 0 y 7x 2
4 ; o sea x12 =1
Ahora 1a desigualdad (17 .3) queda 2x, ? 1 to cual implica x, =1
Los valores asi encontrados satisfacen el sistema (17), de donde resulta
que hemos encontrado la siguiente solucion del sistema (13):
(18) x 1=0
x2=0
x3= 1
. 0
xg= l
x9=O
X7
x 4= 1
x10= 1
xs~l,
xll~l,
xiskl
x17=
En la alternativa Q2 ) x8=0, todas las desigualdades de (17) se
encuentran en el caso 6° ; vamos a bifurcar la discusion con respecto a x 11 :
c1)xg=0,
x =1
11
=x„ =0
En la alternativa v ; ), la desigualdad (17 .3) queda en
7x,+5x9 +2x,+x3 +x6 216
to que implica (caso 4°)
x,
= x9 = x, = .x, = x6
reduce a is desigualdad
3x, o+x12 21I
40
=1,
de manera que (17.1) se
que es incompatible.
Queda estudiar is altemativa c) en la que (17 .1) se reduce a.
12x3 +7x6 +3x10 +x7 +x, 2 216
e implica (caso 5°), x3 =1 y consecuentemente 7x 6 +3x19 +x, +x,= 2 4.
Por consiguiente el sistema (17) se transforma en:
(18 .0)x 1 =x2 = x 5 =x8 =x i1 =0, x 3 = 1
(18 .1) 7x6+3x,0+x7 +x12 2 4
(18 .3) 7x9 +5x 9 +2x,+x6 2 7
{18 .4) 8x, 9 +7x 6 +5x, 2 +x9
11
(18 .5) 8x6 +7x 9 +7x12 +3x,+x, 9 213
(18 .6)4;+3x7 +x9 +xi2 25
Observamos que las desigualdades (18 .1) y (18.3) se encuentran en el caso 2°,
mientras que las desigualdades (18 .4), (18 .5) y (18 .6) se encuentran en el case
6°.
lniciemos la bifurcacinn a partir de x6.
Si x, =1, entonces (18 .1) se transforma en
3xi9 +x, +x{2 2 4
41
luego (case 5°), x10 =1 y x7 +x12
1.
Al tiempo que (18 .4) se reduce a
5x,2 +x9 >-11
que se encuentra en el case 3°, desigualdad sin solucion, per to que esta
desigualdad y el sistema son incompatibles.
Si x 6 = 0, la desigualdad (18 .5) se reduce a.
7x9 +7x12 +3x,+x10 >13
implicando (case 50 ), x9 =1
y
7x12 +3x,+x-m >6
o sea (case 2°), x, 2 =1, 3X-4 + x--,9 ? -1 (case 1°, desigualdad redundante).
Ahora (18 .3) se transforma en
7X, +2x7
z7
y ]uego x4 = 1, mientras que (18,4) se reduce a 8x 10 3
implicando x10 = 1 . Mss adelante (18 .6) se transforms en 3x 7>- 1, o sea, x? = 1.
Estes valores satisfacen el sistema (18), asi que se ha obtenido la ultima
solution del sistema (13) :
42
(19) x l = 0, x2
x~ = 1,
x8
=
0, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 0, x6 = 0,
= 0,
x9
= 0,
x10
= 1,
x1
= 0,
X 12
=1
Por consiguiente, el tablero de todas las soluciones del sistema (13) que.
es equivalente al sistema (12), es el siguiente:
XI
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Xg
X9
X 10
X l1
X 12
0
1
1
1
1
0
0
1
0
_
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
_
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
2 .4 Observaciones respecto at volumen de los calculos
Siguiendo las etapas del proceso en el arbol de la Figura L, Ilegamos a
las siguientes conclusiones :
43
EJEMPLO 11
IX
X9° 0 i
S. I. : Sistema Inconsistente
3 : Soluciones del Sistema
Figura 2
44
1
Se ve en que en lugar de hacer 2 12 = 4096 intentos, el proceso anterior
nos ha permitido encontrar todas las soluciones pasando por 40 nodos del
arbol considerado . Tambien se ve que de los 7 caminos seguidos, 5 nos han
conducido a soluciones del sistema, y que nada mas 2 caminos han conducido
a busqueda infructuosa . El caso menos favorable (la bifurcacidn) ha aparecido
en total cinco veces, 6 de los nodos alcanzados por los caminos en el arbol
considerado no tenian que ser examinados (*), pudiendose pasar directamente
a Ios nodos siguientes.
Posteriormente veremos (Ejemplo V) que en el caso en que tengamos
una funcion que optimizar, estos calculos se simplifican mucho mas.
45
CAPITULO 3
PROGRAMACION PSEUDO-BOOLEANA
PROGRAMAC[ON PSEUDO- BOOLEA NA
3.1 Mftodo Pseudo-Boolean
La minimizacibn de funciones con variables bivalentes
(20)
err, + ...+c„x„
se efectua sin ninguna dificultad . En efecto, los puntos se obtienen haciendo
1 si c, <0
(21) x,= 0 si c,>0
p, si c, =0
dondep; es un parametro arbitrario en el conjunto (0, 1).
3.1 .1 EJemplo HI : Los puntos de minimo de la funcibn con variables
bivalentes
(22)
2+3x3 —2x2 —5x3 +2x6 —x7
son
(23)
x, = 0, x 2 =1,
x3 =1,
x4
= pa,
xs = ps, x6 =0, x7 =1
donde p4 y ps son parimetros arbitrarios con valores 0 0 1.
Luego, el valor minimo de la funcion (22) es -6.
La minimizacibn de funciones con variables bivalentes
(24)
f(x,,._.,x„)= f(X)=c,x,+ ....+
que satisfacen inecuaciones, se puede efectuar de modo similar.
Mas exactamente, podemos efectuar los siguientes pasos:
47
(1) La determinacion de las soluciones del sistema de restricciones
agrupadas en familias de soluciones F i , . . ., F.
(2) Para cada familia de soluciones Fk, 1a determinacion de los valores
(25)
min f(X)
y de los puntos X°
(26)
e F# para los cuales
f(X°)= min f(X)
AEr,
(3) La determinacion (por verificacion directa) de los valores
(27)
mi
n3
min
f(X)
KEF,
y de los puntos X* pars los cuales
(28)
f(X*)= min min f(X)
kep
p a er,
Queda ahora indicar, el modo de efectuar el paso (2).
Los vectores X= (x i , . . . . xn) que aparecen en la familia de soluciones Fk
son caracterizados por el hecho de que los valores x; son fijados pars los i que
estan contenidos en cierto conjunto de indices 4:
(29)
i e Ir implica x; = xi fijado en 0 6 en 1 ; mientras que xj queda
arbitrario part j Ik .
Razonando como en el easo anterior, es facil ver que los puntos X° que
satisfacen (26) son dados de la siguiente formula:
48
y
si t e i k
si iElk
yc,<0
x,= 1
c,>0
0 si iClt
(30)
P, si felt
y c, =0
donde los p i son parnetros arbitrarios con valores en el conjunto (0, 1 }.
3.1 .2 Ejemplo IV : Minimizar la funcidn
(31)
3x 1 - 5x 2 + 3x4 -
x5
+ 8x6 + 2x 7 +
4x10 + x11 -
3x 12
con las condiciones dadas por el sistema de inecuaciones (12), resuelto
anteriormente en el Ejemplo 11.
(12 .1)x 1
–3x2
+12x3 +x5
-7x6+x2-3x10 + 5x11 + x12 –
60
(12 .2)-3x1 +7x2 -x4 -6x 5 +1 0
(12 .3)-11x 1 -x3 +7x4 +xb -2x 7 -xs+ 5xy - 9x1i -4 ? 0
(12 .4) -5x 2 -6x, + 12x5 -7x6 -3x8 -x, +8x,,, -5x12 +8 2 0
(12 .5) ix, +x2 +5x3 -3x,-x5 +8x 6 +2x8 -7x9 -x,p+7x12 -7 -0
(12 .6)2x,+4x,+3x.,+5x8 +x9 –x1i –x12 -4 ?0
Reemplazando, en el tablero del ejemplo II, las soluciones encontradas
que indican el hecho de que ciertas variables eran arbitrarias en una familia
dada, con los valores de estas variables dadas por (30), obtenemos
49
Sol . xl
x2
x3
x4
x3
x6
x7
xg
x9
x1D
x ll
x12
Valores de (31)
i
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
-6
2
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
-4
3
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
+1
4
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
+4
5
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
4-6
Luego, el minimo buscado es -6 y el punto minimo es
(32) xi = 0, x2 = 1,x3 = 1, x4 = 7,x5 = 1, x6 = 0,x7 = 0,x8 = 1,x9 = 0,
xlo = 0,xl l = 0,x 12 = 1
X"=(0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1,0,0,0, I)
3.2 Prescripciones para acelerar el proceso
El proceso anterior puede ser bastante acelerado aplicando las
prescripciones que siguen:
3.2.1 La introduccibn de algunas restricciones suplementarias
Vamos a partir de la observacibn simple de que una vez que
conozcamos los valoresfo de la funcion que se va a minimizar en un punto
(xl, . ..,xn) que satisface las restricciones, no nos interesan aquellas soluciones
50
del sistema de restricciones en las que la funcion se optimiza con valores
menos eficientes ; o sea Para fo, en el caso de minimization, con valores mks
grander . Para validar esta idea podemos proceder como sigue:
Agregamos al sistema de restricciones la condition ftX)5 fo, donde fo es
el margen superior de la funcion f, por ejemplo la suma de los coeficientes
c, > U. Es decir, si conocemos desde el principio el punto (x i, que
satisface las restricciones, vamos a tomar directamente como fo el valor de la
funcion f en este punto . Si no nos interesa determinar todos Ios puntos de
Optima sine uno solo, entonces en lugar de f(X)<_ f, vamos a introducir la
restriction J(X)< fo.
La restriccion suplementaria es ilevada a is forma canOnica
g(X)=bax,+ . . .-i-b, x, >_do
Vamos a observar que el minimo de la funcion f difiere de —(maxima de
la funcion g) por una constante aditiva, luego el problema nuestro es
equivalente al de maximizar la funcion g(X) eon respecto a las mismas
restricciones.
Despues que hemos encontrado la primera familia de soluciones F t,
buscamos el minimo de la funcion f relativo a esta familia (los puntos en los
cuales el es alcanzado); sea este minimof,.
51
Reemplazando la restriccion ,J(X) 5 fi (restriccion f(X) < fe) por la
restriccion f(X) <— fi (con f(X)
< fi ); la cual Ilevamos a la forma canonica
g(X) ? di , despues de to cual continuamos el proceso de bifurcaci6n asi como
to aplicamos al mismo sistema . Cada vez que encontramos nuevas soluciones
—no necesariamente las mds buenas - procedemos igual.
Cuando el proceso de bifurcacien termina, la ultima solucion
encontrada es ademes el optimo buscado.
3 .2 .2 La deceit's' del orders de bifurcacidn
Cuando nos encontramos en uno de los easos de no determinacidn o de
determinacion parcial (6°, 2°), vam ps a hacer una bifurcacien a partir de
la variable x~. que es la primera en la restriccion suplementaria
g(A) > d, o sea vamos a tomar primero x,; =1, y despues, xy = 0.
3.2.3 El test acelerador
Sean x; ,...,x;. , las variables asi como aparecen en la restriccion
g(X) d. Supongamos que to ultima bifurcacion antes de to ultima solucion
encontrada, ha sido con respecto a to variable x;; y ha resultado (por 3 .2.2)
xn =1 . Sea H (sea K) el conjunto de aquellos indices h (indices k) con las
52
propiedades de que despues de la bifurcaciOn ha resultado x,h =1 (ha resultado
x,k =0). Cuando vamos a explorar la rama xy =0, es seguro que la funcibn
g(X) cae en el valor by y en el mejor de Ios casos, crece con el valor
Eh, (suponiendo, luego, el hecho de que todas las variables x, h (h e H) quedan
keK
en 1 y que todas las variables x, k (k
E
K) se transforman en 1) . Por consiguiente
si
(33) by > Eby,
keK
es seguro que la rama xy = 0 conducird a una solucibn menos eficiente por to
que no vamos a explorar esta rama.
3.3 Ejemplo V: Volvamos al ejemplo IV aplicando Ios procesos
aceleradores '.., .2 .1, 3 .2.2 y 3 .2 .3) anteriores . Un margen superior de la
funcibn econbmica (31) es la suma de los coeficientes positivos 3 + 3 + 8+ 2
+ 4 + 1 = 21 . Vamos a agregar entonces la restriccion suplementaria
(34)
3x, -5x2 +3x4 —x5 +8x; +2x, +4x10 +x11 -3x12
<—
21
que Ilevada a la forma canonica queda como sigue:
3x, -5(1-x 2 )+3x4 -(1-x,)+8x,;+2x,+4x,,+x„ -3(1-x, 2 )<21
3x1 +5x2 +3x4 +x5+8x6 +2x1 +4x10 +x11 +3x12 <30
53
(34.0) 8x6 +5x2 +4x,0 +3x 1 +3x4 +3xi2 +2x7+x,
+x11 ?
0
Como en el ejemplo II, deducimos que x 1 = O.
Sigue despues la primera bifurcacion, segun el criterio 3 .2 .2, para
xb =1 y el sistema deviene en:
1')
12x 3 +5x11 +3x2 +3x10 +x5 +x7 +x12 ? 12
2 ')
7x2 +6x5 +x4 >_6
3' )
9x11 +7x4 +5x9 +2x7 +x3 +x8 ?17
4')
12x, +8x10 +6x3 +5x2 +5x12 +3x8 +x9 212
5')
7X9 +7Xi2 +5x3 +3x4 +2x8 +x2 +x5 +x10 ? 19
6 ')
5x8 +4x4 +3x,+x9 +x11 +x12 z6
La tercera mecuacion (caso 5°) implies x„ =1, lo que reduce la primera
inecuackin a
12x3
+3x2 +3x10 +x 3 +x,+ xu
>12
que por el case 5° resulta x, =1 y 3x 2 + 3 x1o + x 5 + x 7 +x 12 ? 0 .
Como la primera inecuacion es resuelta, el recto del sistema se reduce al
siguiente :
54
2')
7x2 +6x5 +x4 ?6
3')
7x4 +5x9 +2x,+x8
4')
12x5 +8xl0 +5x2 +5x,2 +3x8 +x9 212
5')
7x9 +7x,2 +3x4 +2x8 +x2 +x5 +x10
6')
5x8 +4x4 +3x, +x 9 +x12 ? 5
8
14
Ninguna de las inecuaciones esta en un caso determinado . Vamos a
hacer entonces una nueva bif rcacibn tomando x2 =1 . La primera inecuacibn
es entonces resuelta y ias otras quedan en casos no determinados . Hacemos
entonces una nueva bifurcacibn tomando x10 =1 . El sistema queda come
sigue :
3 '1
7x4 +5x9 +2x,+xs ?8
4')
12x5 +5x,2 +3x8 +x9 ? 12
5')
7x9 +7x12 +3x4 +2x8 +x5 ? 12
6 ')
5x,1 +4x 4 +3x7 +xg +x,2 ?5
De is segunda restriccibn (caso 5°) resulta ahora x5 =1 ; to que resuelve
esta inecuacibn y deja las demas sobre los otros cases no determinados.
55
Hacemos aim otra bifurcaci6n : x, =1 . Entonces la primera inecuacion
implica que x9 = x, = x8 =1 ; de donde la ultima inecuacion queda en
x12 ?
4 la
coal no tiene soluci6n.
Volvemos a la ultima bifurcacion, tomando x, =0 . El sistema deviene
en :
3')
5x9 +2x,+x8
1
5')
7x9 +7x,2 +2x8 >12
6')
5x8 +3x,+x9 +x12
1
La segunda inecuacion (caso 5°) implica x 9 =1, de donde 7x 12 +2x8 > 5;
que en el caso 5° implica x, 2 =1 y 2x2
-2 , to que resuelve la inecuacion y
reduce las otras a lo siguiente:
3') 2x-,+x-8 ?1
6')
5x8 +3x, ? 1
Hacemos una bifurcaci6n tomando =1 (conforme al criteria de
bifurcaciOn con respecto a la funcion objetivo) . Resulta x8 =1 y el sistema se
ha resuelto. El valor de la funci6n econ6mica es
56
(35)
,j(
X1
X2
x3
X4
X5
X6
X7
x8
X9
x10
x 11
0,
i,
i,
i,
1,
0,
0,
1,
0,
0,
0, i
x 12
)=-6
Entonces agregamos la restriccion j(X) S -6 que, Nevada a la forma
cantnica, deviene en
(34.1) 8x6 +5x2 +4xia+3xi +3x4 +3x12 +2x,+x5 +xii 2 27
De la ultima bifurcacihn con respecto a x, , tenemos b, =2, K = 4,
luego la condicidn (33)
(33) b f
>„
kEl:
se cumple y conforme al test acelerador no vamos a explorar x 7 = O.
La bifurcacion anterior respecto a x, es completada.
En la bifurcacion anterior con respecto a x, a ; tenemos que alli b10 =4,
K = $, luego de nuevo el test acelerador nos muestra que no debemos
investigar las ramas xi0 = 0.
La bifurcacidn anterior respecto a
x2,
se encuentra en la misma
situacion (b2 = 5, K = 4), luego no vamos a investigar x 2 = 0.
57
La bifurcacibn anterior es con respecto a x b y se encuentra en la misma
situaci6n (b6 = 8, K = .)„ es decir, no vamos a explorer x6 = O.
Asi, gracias al test acelerador, sabemos que el proceso de bifurcacidn se
ha terminado, sin tener necesidad de utilizar la restriccion suplementaria
(34 .1).
La (mica soluci6n es (35).
El arbol asociado al problema descrito es el de la figura 3 y se pueden
seguir alli, de mode sintetico, los c6lculos del ejemplo V.
Aqui S significa soluciones del sistema de restricciones, N muestra que
no tenemos soluciones y T que la rama respectiva no ha sido explorada, como
lo indica el test acelerador .
58
EJEMPLO V
X1 )
XE =
Xfi = 0
X„ =
X,=1
X,o =
X,o =
S:&Auden del slate= de
msniooiones
N. No l mes solucicm
T:Rama no explorada
x7_
Figura 3
59
CAPITULO 4
APLICACIONES
API.] CA 0 ONES
4.1
Ejemplos
4.1 .1 Ejemplo VI : Para el desarrollo de una industria esta asignada una suma
S . Existen n proyectos que pueden contribuir a la realizacion de este
proposito. Cada proyecto j necesita una cierta inversion denotada I j y
suministra un cierto beneficio bj por aflo. El plan prevee la realizacion de una
produccion de al menos fl unidades anuales.
El proyecto j permite la realizacion de una produccion anual gr. . La
realizacion del proyecto j requiere importar equipo con valor vJ; la cantidad
total de importacion admisible para el desarrollo de la industria que nos
interesa es V . Se pide tomar una decision : t,cuales de entre los proyectos
posibles van a ser puestos en practica, de tal manera que, respetandose las
condiciones impuestas, se alcance el beneficio maximo?
Para resolver este problema asignamos a cada proyecto j (je {1, 2, .. .,n})
una variable xi que va a tomar valor 1 si el proyecto se ejecuta y 0 en el caso
contrario.
El problema se traduce en la siguiente forma:
Encuentrese el maximo de la funcion
max
Ebj xj
j .l
61
con las variables bivalentes x 1 , . . ., xH ; y las supuestas restricciones
n
J-I
J xJ
S
i-I
4 .1 .2 Ejemplo VII : Vajda examina el siguiente problema:
En cierta region geografica accionan n emisiones de television por m
canales . La election de los canales que emiten diversas estaciones debe
hacerse de tal manera que Ias acciones con zonas comunes de emisiones
funcionen en canales diferentes.
El primer problems que se presenta es determinar atribuciones de los
canales a las emisoras.
Se supone ademas que despuds de un tiempo, el emisor (n+l) empiece a
funcionar . El problema se presenta en la siguiente forma : tcomo se atribuyen
62
los canales aI emisor de tal manera que el numero- de canales que se cambian
at canal de Ia emision sea minimo?
Figura 4
(Ejemplo de cinco-emisiones por 9-canales)
Denotando i (ic {1,2,...,n}) las emisiones, con je {1,2,...,m} Ios canales,
poniendo v;k = 1 si no existe- alguna region donde accionan ambas emisiones y
vik = 0 en caso contrario; haciendo a 1 = 1 si al comienzo del proceso de la
emision i acciona el canal j, y au = 0 en caso contrario, poniendo- finalmente
xu = 1 si despues de entrar en funcionamiento eI nodo- emisor (n + 1), la
estacion i emite sobre el canal j, y, x u = 0 en caso contrario, Ilegamos al
siguiente problema :
63
Que se determine la variable bivalente x ;j que maximiza la funcien.
n+l
a,xy
EE
i=l
1 =i
y satisface las condiciones
(ie.{1,2,.. .,n+1})
Cadaemisien i emite en forma
exclusiva sobre un area en un
solo canal].
x +x . <_1+v k
(i
+1}
ke{1,2,. ..,n+l}
Existe una sola emisi6n sobre el
canal j.
La funci6n que se va a maximizar nos indica el mimero de emisiones en
que no se cambia el canal que emite.
4.1 .3 Ejemplo VIII : La fabricaci6n de n productos diferentes 1, 2,, . ., n
necesita la utilizaci6n de m maquinas 1, 2, .. ., m ; mks precisamente, ponemos
a ;, = 1 si la fabricaci6n del producto i necesita la utilizaci6n de la maquina j,
y hacemos au = 0 en caso contrario . Sea p, el precio de yenta de la cantidad de
producto i fabricado en cierto periodo de tiempo y
qh
el precio de explotaciGn
de la maquina j en el periodo respectivo.
Hacemos x, = I si el producto
i
es el que se va a fabricar
y x;
= 0 en
caso contrario. Ponemos yl =1 si la maquina j es utilizada en el proceso
y yJ = 0 en caso contrario.
64
El problema de determinar el plan que asegura un beneficio maximo
consiste entonces en determinar las cantidades x, y yi que maximizan la
expresidn
a
+
P x
+
—
E
g1y1
satisfaciendo siempre las condiciones:
Cualquiera que sea i ( {1,2, . ..,n}), si xi = 1 entonces existe al menos un j;
je {1,2,.. .,m})tal que
a .. = 1
y
En otras palabras, el problema se puede tambi$n formular como sigue:
Que se determine los valores de las variables bivalentes con valores en
el conjunto {0, 1) ; xi, yi que satisfacen las condiciones.
m
x,
E i
a iY;
Proceso de fabricaci6n del
Producto i con la utilizaci6n
maquina j.
?0
Se va a fabricar
el producto i.
Al menos una maquina j es usada
en la producci6n de i.
(i {1,2,.. .,n})
y que se maximice en estas condiciones la expresi6n
Ep,x, - D
im yl
65
1.
Ejemplo IX : Para la conversion del IDAAN en una entidad moderna,
eficiente y productiva esta asignada a una suma S y existen al menos 10
proyectos que pueden contribuir a la realizacion de este prop6sito.
1.
Rehabilitation de la Planta Potabilizadora de Chilibre.
2.
Construction de la Red de Distribution de Laguna Alta de Arraijan.
3.
Construction de la Linea paralela Chilibre Maria Henriquez — Tinajitas.
4.
Mejoras al Acueducto de Colon.
Construction de la Planta Potabilizadora de Pacora.
6.
Reconstruccien administrativa, tecnica y comercial del IDAAN.
7.
Levantamiento de un catastro real de los clientes del IDAAN.
8.
Instalaci6n de medidores.
9.
Ampliacien de la Planta Potabilizadora de Chilibre.
10.
Programa de Optimization de la Red de Distribution.
Cada proyecto j (j e {1,2,3, . . .,10}, necesita una cierta inversion denotada
I, (en millones de ddlares) y suministra un cierto beneficio b, (en mites de
usuarios beneficiados) por alto.
El plan prevee la realization de al menos H unidades anuales (en
millones de galones de agua potable).
El proyecto j permite la realization de una production anual n, . La
realization del proyecto j requiem importar equipo por valor v,, la cantidad
66
total de importacion admisible para la modernizacion del IDAAN es V . (en
maquinaria, tecnicos, etc .).
Se pide tomar una decision tcuales de entre los proyectos posibles van
a ser puestos en practica, de tai manera que, respetandose las condiciones
impuestas, se alcance el beneficio maximo?
Para resolver este problema asignamos a cada poyecto
3
(j e 01,2,3,...,10} una variable x i que va a tomar valor 1 si el proyecto se ejecuta
y 0 en el caso contrario.
El problema se traduce en la siguiente forma:
Encuentrese el maximo de la funcion
10
max
Eb
j .l
con las variables bivalentes x 1 , x2,
to
to
<S ;
j.l
J ai
jxj
17
x3 , . . .x 10 y
las supuestas restricciones
E vj xj
Las expresiones anteriores se identifican con el modelo del ejemplo VI.
67
Supongamos que los datos son los del tablero siguiente
PROYECTO
DATO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
bj
6
8
3
7
10
9
9
10
11
7
5
4
4
4
7
8
6
7
10
4
II;
10
3
6
5
4
7
4
8
12
8
v,
3
2
0
2
0
0
0
3
4
0
Se da una suma asignada S = 40, la produccion obligatoria
fl= 45,
cuantia de divisa permitida es V = 10.
(vi) Max . 6x, +8x2 +3x3 + 7x4 +10x5 +9x6 + 9x,+10x5 +11x9 +7x,p
Sujeta a las restricciones.
(vi .1) 5x, +4x2 +4x3 +4x, +7x5 +8x6 +6x, +7x5 +10x9 +4x19
<_
40
- 50-x,)-4(1-x2)-4(1-x3)-4(1-x,)-70-x5)-8(1-x6)-6(1-x,)- . ..
- 4(1-x19 )-40
(vi .2) 10x, +3x2 +6x3 +5x, +4x5 + 7; +4x, +8x8 +12x9 +8x,o ? 45
(vi.3) 3x, + 2x2 + 2x, + 3x8 + 4x9
<_
10
-3(1-x,)-2(1-x2)-2(1-x,)-3(1-x8)-4(1-x9)-.-10
68
la
(1)
5x,+4x 2 +4x3 +4x4 +7x5 +8x6 +6x7 +7x8 +10x9 +4x, 0 +? 19
(2)
10x, +3; +6x3 +5x 4 +4x5 +7x6 +4x7 +8x8 +12x9 +8x10 z 45
(3)
3x1 +2x2 +2x4 +3x8 +4x9 >4
(1 .1)
10x9 +8x6 +7x 5 +7x8 +6x7 +5x,+4x2 +4x3 +4x4 +4x10 +z19
(1 .2)
12x9 +10x, + 8x 8 + 8x10 + 7x6 + 6x3 + 5x 4 + 4x3 + 4x7 + 3x2 z 45
(1 .3) 4x+3x,+3x8+2x2 +2x4 >4
Como la desigualdad (1 .3) se encuentra en el caso(2°) tenemos
x9 =1
Y
x, = x8 = x2 = x4 = 0 ; lo que es equivalente a
x9 =0
y
x1 =x8 =x2 =x4 =1
de donde resulta el sistema
(2 .0) xl = x2
= x4 =
x8 =1, x9=0
(2 .1) 8x6 +7x5 +6x7 +4x3 +4x10 ? 9
(2 .2) 8x,0 +7x6 +6x3 +4x 5 +4x7 ?19
Las dos desigualdades se encuentran en el caso 6°. Tomemos de la
desigualdad (2 .1), la variable x0 , para la cual existen dos posibilidades
(a,) x6 =1
0
(a2 ) x6 = 0
Consideremos (a, )x6 =1 a x6 = 0
69
Para xb =1
tenemos
(3 .1) 7x5 +6x7 +4x,+4x,0 ?1
(3 .2) 8xi0 + 6x3 + 4x, + 4x,
19
Puesto que la desigualdad (12) se encuentra en el caso (5°), entonces
tenemos
xi° =1
y
6x, + 4x5 + 4x, ? 11
de donde resulta el sistema
(4.1) 7x5 +6x7 +4x3
(4.2) 6x3 +4x5 +4x,
_>
1
11
Resulta que 1a desigualdad (4 .2) se encuentra en el caso (5°) por to que
tenemos
x3 =1
y
4x5 +4x, 5
y resulta entonces el sistema
(5 .1) 7x5 +6x, 21
(5 .2) 4x5 +4x, ? 5
La desigualdad (5 .2) se encuentra en el caso (5°), por lo que debemos
considerar
(a, u )x5 =1
4x,21
70
Considerando (a„ )x5 =1 resulta el sistema
6.1)
6x,1
Contradicci6n
(6 .2) 4x, 21 x, =
Luego, por esta Tama no tenemos una soluci6n al sistema.
Veamos
(a, )x6 =0sx6 =1
Para x6 = 0 tenemos el sistema
(8 .1) 7x 5 +6x7 +4x 3 +4x, o >9
(8.2) 8x,o + 6x3 + 4x5 + 4x, > 12
Las dos desigualdades se encuentran en e1 caso (6°) ; por to que la
variable x,° tiene dos posibilidades
(a21)X1o=1
6
(an)`io =0
Consideramos v6lido (a3, )xn =1.
De aqua resulta el sistema
71
(9.0) xl = x 2 = x4 = x6 = x,, = x10 = 1,
(9.1)7x5 +6x7 +4x3
x9=0
29
(9.2)6x3 +4x5 +4x7 2 4
La desigualdad (9.2) se encuentra en el caso (2°), por to que debemos
considerar tres posibilidades.
(a 211)x 3 =1 , x5—x 7=0 , (a 212)x3 =0 , x5=1 , x 7=0 ; (a 213
x3=x5
=O, x7= 1
Para (a2„) las dos desigualdades del sistema son resueltas . Por esta
rama hemos encontrado una solucion para el sistema de desigualdades dada
por :
(XI,
x2,
x 3,
Pi :( 1, 1,
1,
X4,
X 5,
1, 0,
x 6,
x 7,
1,
0,
x8,
Falta considerar las posibilidades (a 212 )
1, 0,
y
x7=0; resulta el sistema
( 10 .0 ) x1 =x 2 =x4 =X 6
=X g =x
1o =1 ;
X9=0
(101)109
(10 .2)4 >_ 4
donde las dos desigualdades son resueltas.
Otra soluciOn para el sistema de desigualdades es
72
x9, x 10)
1
)
(a213 ) . Para
(a212 )x3 = 0,
x5 =1,
(xi, x2,
x3,
P2:( 1, 1, 0,
x4,
x 5,
1, 1,
x6,
x7, xa, x9,
1, 0,
1, 0,
x 10)
1)
Para (a21 )x, = xs = 0, x7= 1 resulta el sistema
01 .0) x, = x2 = x4
= x6
= xa = x io = 1 ; x91
(11 .1)119
(11 .2)4?4
donde las dos desigualdades son resueltas . Luego, una tercera soluci6n del
sistema de desigualdad es
(xi,
x2, x3, x4,
P3:( I, 1,
0,
x 5, x6,
1, 0,
1,
x7, x8, x9,
X I9)
1,
I)
1, 0,
Para obtener
Max (6x1 + 8x2 + 3x3 + 7x4 + 10x5 +9x6 + 9x7 + l Ox8
+
1 lx9 + 7x10)
valoriza. _as la funcisn objetivo en los puntos P1, P2 y P3
Para elpuntoPl=(1,1,1,1,0,1,0,1,0,1)
el valor de la funci6n resulta
B1 = 6(1)+8(1)+3(1)+7(1)+10(0)+9(1)+9(0)+10(1)+11(0)+7(1)
B1 =50
Para el punto P2 = ( 1, 1, 0, 1, 1, 1,0, 1, 0, 1) el valor de la funci6n es
B2 = 6(1)+8(1)+3(0)+7(1)+10(1)+9(1)+9(0)+10(1)+11(0)+7(1)
B2=57
73
Para el punto P3 = (1, 1, 0, 1, 0, 1,1, 1, 0, 1)
el valor de la funcion es
B3 = 6(1)+8(1)+3(0)+7(1)+10(0)+9(1)+9(1)+10(1)+11(0)+7(1)
B3
= 56
Observamos que, el valor maximo de la funci&n objetivo se obtiene en
el punto P2
= (
1,
1, 0, 1,
1,
1,0, 1, 0, 1)
Veamos si existe otra solucion.
Tomemos como valida en (8 .1)
y (8 .2) : (a4r 10
=0
El sistema resultante sera
(12 .1)
7x
5 +6x7 +4x3 >—5
(12 .2) 6x3
+4x 5 +4x, 212
Como (12.2) esta en el caso 5°, tenemos
x3 =1
=
(13.1) 7x 5 +6x,5
(13.2) 4x5 + 4x, 2 6
Ahora (13 .2) se encuentra en el caso 5° ; por lo que tenemos
x5 =1
1(14 .1)6x,5
(14.2) 4x,>2
x,=1
{x,=Ix,=O
lo cual es una contradiccion .
74
Por lo tanto, esta rama no nos conduce a ninguna otra soluciOn del
sistema.
Resuelto el problema por el metodo descrito en el capitulo 2, se llega a
la conclusion de que la producciOn optima asegura un beneficio de 57 mil
usuarios beneficiados y consta de la realizacion de los proyectos 1, 2, 4,5, 6, 8
y 10, los proyectos 3, 7, 9 debenser abandonados.
Observacibn : En este problema se han utilizado datos ficticios, pero el
modelo queda a disposiciOn para ser utilizado en el caso del problema real
declarado a nivel nacional . (PeriOdico "La Prensa", Ediciones de Ios dias
de agosto al 12 de agosto de 2001) .
75
EJEMPLO IX
x9 =
0,x1 =x2 =x4 =x8 = 1
x3=1
X5-= O
X7-= 0
1
x3=0
X5 =
x7=0
x7=1
x3=0
x5=Q
Figura 5
N : No hay solucion
S : Solucion del Sistema
Max : Solucion que proporciona el beneficio maxim.
76
El analisis de la estructura del problema anterior nos permite hacer las
siguientes observaciones : El numero total de variantes que deben ser
examinadas en case de una enumeration total de todas las posibilidades es
2 10 = 1024 . Este numero no es prohibitivo, por lo que el problema se puede
resolver por medios elementales.
En la practica, el numero de variables puede ser facilmente del orden de
los cientos, lo que hate que el problema exija gran capacidad de memoria al
resolverse par computadora .
77
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
El estudio de la Programacibn Pseudo-Booleana lleva a las
conclusiones siguientes:
1.
Son muchos los problemas practicos que se pueden tratar, en
planificacibn, con programacibn pseudo-booleana : de asignacibn, de
transporte, de ordenamiento entre otros . Asi, con toda seguridad, el use
de la programacibn pseudo-booleana implica una fabulosa oportunidad
de ahorrar en gastos de operaciones, en actividades como planificacibn,
organizacibn y administrac
2.
Es importante conocer con relativa profundidad el comportamiento de
las expresiones algebraicas discretas, en particular los sistemas de
ecuaciones y desigualdades pseudo-booleanas, para abordar los
metodos de programacibn pseudo-booleana.
3.
Para tener una mayor cobertura en el tratamiento de problemas, es
importante estudiar Ios metodos para transformar problemas de
optimizacibn entera en problemas de programacibn bivalente.
4.
Aparte del estudio de los principios y fundamentos de cada algoritmo,
es importante solucionar problemas practicos y representar en esquemas
los pasos intermediarios, de modo tal que siempre sea posible observar
79
el procedimiento global . Este ejercicio es basico pars desarrollar la
destreza necesaria que luego se traduciria en una economia de
procedimiento.
5.
Es posible abreviar la resolucibn de problemas de programacibn
bivalente aplicando el acelerador del metodo pseudo-booleano que
hemos estudiado en el capitulo 3.
6.
Una vez que el investigador de operaciones se sienta diestro en el
manejo de Ios metodos pseudo-booleanos puede plasmar las rutinas en
algun lenguaje de programacion o tener a su disposicion paquetes
especializados para la resolucidn de estos problemas y ocuparse
tambien de los analisis de sensibilidad.
80
RECOMENDACIONES
Este estudio de Programacion Pseudo-Booleana nos permite
recomendar:
1.
Considerar la Programacion Pseudo-Booleana entre las materias
electivas de la Licenciatura.
2.
Estudiar como un problema de programacibn continua puede
transformarse en un problema de programacibn discreta, asi como
tambien, came un problema de programacion discreta puede ser
transformado en un problema de programacion pseudo-booleana.
3.
Aplicar los procedimientos aceleradores de metodos en la resolucian de
problemas de programacion pseudo-booleana.
4.
Que en el CENIO (Centro de Investigacion de Operaciones de la
Universidad de Panama) se propongan soluciones a nivel nacional con
el use de tecnicas como las tratadas en este trabajo.
5.
Trabajar en una coleccion de Problemas Resueltos y Problemas por
Resolver del area de Programacian Pseudo-Booleana.
81
BIBLIOGRAFIA
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Boolean Methods in Operations Research
Springer - Verlag ; Berlin, Heidelberg, New York.
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Modele Matematice de Organizarea si Conducerea Produtiei
Ed . Didactica si Pedagogica, Bucuresti.
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Methodes et Modeles de In Recherche Opirationnelle, vol . III
Dunod ; Paris, Bruxelles, Montreal.
[4] MACRIS, Anatol ; DUMITRU V. 1972.
Aplicatii a le Cercetari Operationale
Ed . Academici, Bucuresti;
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RUDEANU, Sergiu. 1974.
Boolean Funtions and Equations
American Elsevier Publishing Company, Inc ., New York.
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Matemitica Bi sica Superior
Editorial Cientifico Tecnica, La Habana.
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STEFANESCU Anton . 1982.
Curs de Cercetari Operationale
Universitatea di Bucuresti.
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TAHA Handy A. 1995.
Investigacion de Operaciones
Alfaomega, Colombia.
82