E( ¯g)|ds ≤ ∫ t 0 [a2M|| ¯G − ¯g|| ∫R3×S2 B(η, w − v)ξ(s, x, v 0

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 8, No 1. , 2007.
13
ahora
Z t
0
| E( Ḡ ) − E( ḡ)|ds ≤
+
+
Z t
0
Z t
0
Z t
0
a2 M|| Ḡ − ḡ||
a2 K || Ḡ − ḡ||
Z
Z
a2 M|| Ḡ − ḡ||
R3 ×S2+
Z
′
′
B(η, w − v)ξ (s, x, v )ξ (t, x + aη, w )|dwdη ds
R3 ×S2+
′
′
B(η, w − v)ξ (t, x, v )ξ (t, x + aη, w )|dwdη ds
R3 ×S2+
′
′
B(η, w − v)ξ (t, x, v )ξ (t, x + aη, w )|dwdη ds
Z t
Z
+
a2 ξ (s, x, v) M|| Ḡ − ḡ||
0
+
+
Z t
0
Z t
0
a2 ξ (s, x, v) M|| ḡ − Ḡ ||
a2 ξ (s, x, v)K || ḡ − Ḡ ||
Z
Z
R3 ×S2+
R3 ×S2+
R3 ×S2+
B(η, w − v)ξ (t, x − aη, w)dwdη ds
B(η, w − v)ξ (t, x − aη, w)dwdη ds
B(η, w − v)ξ (t, x − aη, w)dwdη ds.
como B(η, w − v) ∈ L1loc (R3 × S2+ ) y ξ (t, x ± aη, w) ∈ L∞ (R3 × S2+ ) entonces por
′
desigualdad de Hölder tenemos la existencia de L, L tal que:
Z
R3 ×S2 B(η, w − v)ξ (s, x ± aη, w)dwdη < L
+
Z
′
′
′
R3 ×S2 B(η, w − v)ξ (t, x, v )ξ (s, x ± aη, w )dwdη < L
+
entonces
|| Ḡ# − ḡ# || ≤
1
ξ (s, x, v)
Z t
0
′
′
′
( a2 ML + a2 KL + a2 ML + a2 ξ (t, x, v) ML
+ a2 ξ (t, x, v) ML)|| Ḡ − ḡ|| dt.
y por la desigualdad de Gronwall tenemos que Ḡ = ḡ es una solución distribucional de la ecuación de Enskog (1)