Ap´endice A Conjuntos y operaciones

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Apéndice A
Conjuntos y operaciones
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Notaciones básicas de teorı́a de conjuntos: las mayúsculas, A, B, C . . . denotan
conjuntos y las minúsculas a, b, c . . . elementos.
La definición de los conjuntos se puede hacer por enumeración A = {a, b, c}
(no ordenado) ó especificando las propiedades de sus elementos A = {x : x =
letra minúscula del abecedario} (en lugar de : se utiliza a veces |). Tienen que
estar perfectamente definidos (ver Ejemplo A.2).
La pertenencia de un elemento a un conjunto se expresa con el sı́mbolo ∈,
y la no pertenencia con <. Si A es el conjunto de las letras minúsculas, r ∈ A,
R < a.
• Nociones de subconjunto e inclusión A ⊂ B ⇔ (∀a ∈ A ⇒ a ∈ B).
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• Conjunto vacı́o ∅.
Ejemplo 1.1. {x ∈ N | x2 < 0} = ∅ es un conjunto bien definido.
Ejemplo 1.2. El conjunto de los conjuntos que no se contienen a sı́
mismos
A = {B : B 1 B}
está mal definido.
Para expresar proposiciones o predicados lógicos se utilizan cuantificadores
como ∨, ∧, ⇒, ⇔, ∀, ∃, @, ∃!.
Ejemplo 1.3. La siguiente proposición es cierta:
(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ A = B
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Ejemplo 1.4. Siempre existen los denominados subconjuntos impropios:
∀A ⇒ (∅ ⊂ A) ∧ (A ⊂ A).
• Unión de dos conjuntos A ∪ B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
• Intersección de dos conjuntos A ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
• Subconjunto complementario, diferencia o cociente de conjuntos
A − B = A \ B = {x ∈ A | x < B}.
El producto cartesiano es el conjunto de pares ordenados A × B = {(a, b) | a ∈
A, b ∈ B}. Más general
A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai , ∀i = 1, . . . , n}
n veces
Notación especial An ≡ A× · · · ×A.
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Una relación en un conjunto A es un subconjunto de A2 = A × A. Una relación
es de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, y
permite definir un conjunto de clases de equivalencia de A (subconjuntos de A
en los que todos los elementos “están relacionados”).
Una aplicación o función f entre dos conjuntos A y B se denota como f : A → B.
Es un subconjunto del producto cartesiano A × B tal que
((a1 , b1 ) ∈ f ) ∧ ((a1 , b2 ) ∈ f ) ⇒ b1 = b2 .
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Si (a, b) ∈ f se denota b = f (a). El conjunto dom(f ) = f −1 (B) = {a ∈ A : ∃(a, b) ∈ f }
se denomina dominio de f . El conjunto im(f ) = f (A) = {b ∈ B : ∃a ∈ A | b = f (a)}
se denomina imagen o rango de f . Evidentemente dom(f ) ⊂ A e im(f ) ⊂ B.
(diagramas de Euler-Venn)
• Una aplicación f es inyectiva si
∀a, b ∈ dom(f ), f (a) = f (b) ⇒ (a = b)
o, equivalentemente (negación de una proposición lógica)
∀a, b ∈ dom(f ), a , b ⇒ f (a) , f (b).
• Una aplicación f es sobreyectiva sobre el codominio B si la imagen es igual
al codominio im(f ) = B, es decir si
∀b ∈ B, ∃ a ∈ A | f (a) = b.
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• Una aplicación f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Observación: una biyección se puede invertir.
Ejemplo. Denotando R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}, las aplicaciones
f :R→R
f : R → R+
f : R+ → R
f : R+ → R+
x 7→ x2
x 7→ x2
x 7→ x2
x 7→ x2
son, respectivamente, ni inyectiva ni suprayectiva, sobreyectiva pero no inyectiva,
inyectiva pero no sobreyectiva y finalmente biyectiva.
Ejemplo La aplicación
f : R → R+
x 7→ exp(x)
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es biyectiva. La composición de aplicaciones f : A → B y g : C → D la denotaremos por
g ◦f : A → D
a 7→ (g ◦ f )(a) = g ◦ f (a) = g(f (a))
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Para que esta aplicación tenga un dominio no nulo, ha de ser B ∩ C , ∅.
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