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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
APORTES AL CONOCIMIENTO
DE LOS CAMPOS
ELECTROMAGNÉTICOS
Trabajo de Ascenso presentado ante la
Ilustre Universidad Simón Bolívar por el
Profesor Orlando J. Sucre R. como
requisito parcial para ascender a la
Categoría de Asociado
SARTENEJAS, OCTUBRE DE 1999
ii
A Omaira, David y Estefanía
A mis estudiantes y colegas del área de
Electromagnetismo
iii
RESUMEN
El presente Trabajo de Ascenso, el cual someto a consideración para ascender a la
categoría de Asociado, da testimonio de algunos resultados de mi actividad de
investigación que han sido orientados por mi actividad docente en el área de
Electromagnetismo.
El primer capítulo presenta un enfoque novedoso para el análisis de campos en
cursos de Electromagnetismo. Dicho enfoque tiene como aspecto resaltante el énfasis en
el estudio de la utilidad y las limitaciones de la Circulación, el Flujo Neto, el Rotacional
y la Divergencia de un campo vectorial como herramientas para investigar el
comportamiento de los campos vectoriales en función de las fuentes que los producen.
Se presenta una estrategia metodológica para la enseñanza del análisis de campos
bajo el enfoque propuesto, y se presenta el estudio de las herramientas analíticas
mencionadas, destacando la presentación de sendas tablas que describen el
comportamiento del Rotacional y la Divergencia de los campos, y de los mismos campos,
en la vecindad de las fuentes, según sean las distribuciones espaciales de éstas últimas.
El segundo capítulo presenta una condición de frontera para la componente normal
del vector de Poynting. Se discute sobre la necesidad de dicha condición, luego se la
presenta y se discute su interpretación física. Seguidamente se muestran ejemplos de
problemas estáticos en los que se emplea la mencionada condición de frontera junto con
el Teorema de Poynting en forma diferencial, en un caso para determinar el vector de
Poynting en un sistema dado sin necesidad de calcular el campo magnético dentro del
sistema, y en otro caso para describir los componentes de un sistema a partir de su vector
de Poynting. Se deduce la condición de frontera en un apéndice.
El tercer capítulo trata sobre la reflexión de ondas planas uniformes
monocromáticas, específicamente en el caso de incidencia oblicua sobre la interfaz plana
que separa a dos medios sin pérdidas. Se presenta la descripción clásica del fenómeno,
así como la forma en que se anticipan ciertos resultados a la luz de la aplicación intuitiva
de la conservación de la energía. Luego se discute cómo los resultados numéricos
obtenibles en ciertos casos, tales como los de Reflexión Total Interna y Reflexión Nula,
iv
están en desacuerdo con los resultados previsibles a la luz de los conceptos de uso
común.
Se estudia analíticamente el comportamiento de los coeficientes de Fresnel en
función del ángulo de incidencia y del cociente de las velocidades de propagación de los
medios, a fin de determinar los máximos y mínimos de dichos coeficientes. También se
aplica el Teorema de Poynting al problema de reflexión para establecer la forma correcta
de aplicar la conservación de la energía al problema de reflexión y para conocer el origen
de las ondas reflejada y transmitida.
Se concluye que la descripción clásica del fenómeno de reflexión y la aplicación
intuitiva de la conservación de la energía a dicho fenómeno oscurecen el entendimiento
del mismo, por lo que se ofrece una descripción alternativa basada en los hallazgos del
presente trabajo.
Adicionalmente, se presentan algunos casos de reflexión con
geometrías complejas y/o ondas no uniformes en que comúnmente se extrapolan, de
manera automática, los resultados obtenidos con el estudio del problema básico de
reflexión, y se discute sobre las limitaciones o contradicciones ocultas tras dichas
extrapolaciones.
v
ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCION ...............................................................................................................1
Capítulo 1: UN ENFOQUE NOVEDOSO PARA EL ANÁLISIS DE
CAMPOS EN ELECTROMAGNETISMO.........................................................................8
1.1
Introducción. ......................................................................................................9
1.2
Estrategia metodológica...................................................................................10
1.3
Estudio de campos vectoriales mediante herramientas integrales. ..................13
1.4
1.3.1
Definición y estudio de la Circulación de un campo vectorial. ..............13
1.3.2
Definición y estudio del Flujo Neto de un campo vectorial. ..................15
Estudio
de
campos
vectoriales
mediante
herramientas
diferenciales. ....................................................................................................16
1.4.1
Definición del Rotacional de un campo vectorial...................................17
1.4.2
Relación entre el Rotacional y la distribución de las fuentes
de rotación del campo. ............................................................................17
1.4.3
Definición de la Divergencia de un campo vectorial..............................21
1.4.4
Relación entre la Divergencia y la distribución de las fuentes
puntuales del campo................................................................................21
1.5
Conclusiones. ...................................................................................................25
1.6
Referencias.......................................................................................................27
Capítulo 2: UNA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR DE
POYNTING EN ELECTROMAGNETISMO: TEORÍA Y APLICACIONES ................29
2.1
Introducción. ....................................................................................................30
2.2
Condición de frontera para la componente normal del Vector de
Poynting. ..........................................................................................................31
2.3
Aplicaciones de la condición de frontera para el vector de
Poynting. ..........................................................................................................33
2.3.1
Solución del vector de Poynting utilizando la condición de
frontera....................................................................................................33
2.3.2
Descripción de un sistema estático a partir del vector de
Poynting. .................................................................................................35
vi
2.4
Conclusiones. ...................................................................................................37
2.5
Referencias.......................................................................................................38
2.6
Apéndice: Derivación de la condición de frontera para el vector de
Poynting ...........................................................................................................39
Capítulo
3:
SOBRE
LA
REFLEXIÓN
DE
ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS ARMÓNICAS ......................................................................42
3.1
Introducción. ....................................................................................................43
3.2
Estudio de los coeficientes de Fresnel. ............................................................47
3.2.1
Definición de los coeficientes de reflexión y transmisión......................49
3.2.2
Comportamiento
de
los
coeficientes
de reflexión
y
transmisión..............................................................................................50
3.2.2.1
Caso v2 < v1 . .....................................................................................51
3.2.2.2
Caso v2 > v1 . .....................................................................................52
3.3
Aplicación del Teorema de Poynting al problema de Reflexión. ....................55
3.4
Descripción alternativa del fenómeno de reflexión. ........................................58
3.5
Sobre la extrapolación de los resultados del estudio de la reflexión. ..............59
3.5.1
Existen tres (o más medios). ...................................................................59
3.5.2
Incidencia sobre un plano conductor ideal y sobre la interfaz
entre dos medios. ....................................................................................61
3.5.3
Reflexión sobre planos conductores finitos y sobre la interfaz
entre dos aislantes. ..................................................................................63
3.6
Conclusiones y recomendaciones. ...................................................................65
3.7
Referencias.......................................................................................................67
vii
ÍNDICE DE FIGURAS
Fig. 1.1: Ejemplos de campos vectoriales utilizados para el estudio de la
Circulación y el Flujo Neto de campos vectoriales. ..........................................................13
Fig. 1.2: Contornos de prueba para el estudio de la Circulación. ......................................14
Fig. 1.3: Esferas de prueba para el estudio del Flujo Neto. ...............................................16
Fig. 1.4: Estudio del comportamiento del Rotacional de un campo vectorial en
la vecindad de un eje de rotación del campo. ....................................................................18
Fig. 1.5: Estudio del comportamiento del Rotacional de un campo vectorial en
la vecindad de una fuente de rotación del campo distribuida superficialmente. ...............19
Fig. 1.6: Estudio del comportamiento de la Divergencia en la vecindad de
fuentes puntuales distribuidas de forma continua en un contorno L .................................22
Fig. 1.7: Estudio del comportamiento de la Divergencia en la vecindad de
fuentes puntuales distribuidas de forma continua en una superficie S ..............................23
Fig. 2.1: Sección longitudinal del sistema electromagnético bajo estudio. Las
líneas gruesas representan conductores ideales. ................................................................34
Fig. A.1: Volumen elemental para la deducción de la condición de frontera
(izquierda) y vista lateral del volumen y la superficie (derecha).......................................41
Fig. 3.1: Geometría para el estudio de la reflexión de ondas planas uniformes
en régimen armónico..........................................................................................................48
Fig. 3.2: Volumen para la aplicación del Teorema de Poynting al problema de
reflexión en medios sin pérdidas y sin fuentes. Se muestran las densidades de
potencia promedio en cada cara del volumen. ...................................................................55
Fig. 3.3: Volumen para la aplicación del Teorema de Poynting al problema de
reflexión en medios sin pérdidas, considerando a la fuente. .............................................57
viii
Fig. 3.4: Incidencia oblicua de ondas planas uniformes en tres medios............................60
Fig. 3.5: Incidencia sobre un conductor ideal y sobre la interfaz entre dos
medios. ...............................................................................................................................62
Fig. 3.6: Reflexiones adicionales en el problema de la figura 3.5.....................................62
Fig. 3.7: Reflexión sobre planos conductores finitos y sobre la interfaz entre
medios aislantes. ................................................................................................................63
ix
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1.1: Relación entre la magnitud del rotacional, la distribución de los
ejes de rotación y el comportamiento del campo...............................................................20
Tabla 1.2: Relación entre la Divergencia, la distribución de las fuentes y el
comportamiento del campo................................................................................................25
Tabla 3.1: Máximos y mínimos de los coeficientes de Fresnel para v2 < v1 .....................52
Tabla 3.2: Máximos y mínimos de los coeficientes de Fresnel para v2 > v1 y
0 ≤ θ i ≤ θic .........................................................................................................................53
Tabla 3.3: Coeficientes de Fresnel complejos para incidencia con θ i > θ ic .....................54
INTRODUCCION
INTRODUCCIÓN
2
El Trabajo de Ascenso, requisito indispensable para ascender de categoría en la
Universidad Simón Bolívar, tiene como fin dar testimonio de la actividad académica del
profesor durante su permanencia en la categoría precedente a la que aspira ascender.
Dicha actividad se desarrolla en los ámbitos de la docencia, investigación, desarrollo y
extensión universitaria.
El presente Trabajo de Ascenso, el cual someto a consideración para ascender a la
categoría de Asociado, no refleja exclusivamente mi actividad académica durante mi
tránsito por la categoría de Agregado, por las razones que expongo a continuación.
Ingresé al escalafón de la U.S.B. a partir del 1 de Julio de 1996. Se me clasificó
como Asistente IV con carácter retroactivo al 1 de Mayo de 1994, y se me otorgó un
lapso de un año, hasta Julio de 1997, para entregar mi Trabajo de Ascenso para la
categoría de Agregado. El veredicto aprobatorio de éste último fue conocido en Octubre
de 1998, principalmente por retrasos en el proceso de configuración del jurado
examinador. Esto significó que para el momento de ascender a la categoría de Agregado
ya tenía más de cuatro años en dicha categoría, gracias al retroactivo, por lo que se me
otorgó un año a partir del 20 de Octubre de 1998 para someter a consideración el presente
trabajo.
La circunstancia de que en realidad haya permanecido sólo un año en la categoría de
Agregado, aunque se me consideren los otros años como retroactivo, hacen que sea
prácticamente imposible que en el presente Trabajo de Ascenso incluya solamente
resultados obtenidos durante mi permanencia en la categoría de Agregado. Por lo tanto,
el presente trabajo está basado fundamentalmente en algunos resultados que no fueron
reseñados en mi anterior trabajo de ascenso, obtenidos durante mis últimos tres años de
actividad académica.
Tal como lo mencioné en la Introducción de mi trabajo anterior, la actividad docente
siempre ha sido para mí la actividad fundamental de los profesores universitarios.
Cuando se asume la actividad docente con espíritu crítico y con voluntad permanente de
mejorar, dicha actividad puede dar origen a temas de investigación. Con este Trabajo de
Ascenso tengo la oportunidad de reseñar algunos logros de mi actividad de investigación
INTRODUCCIÓN
3
que han sido guiados por mi actividad docente y por la permanente búsqueda de la
verdad.
Los temas que constituyen el presente trabajo han surgido como resultado del
cuestionamiento de los contenidos y los enfoques correspondientes a los cursos EC1311
Teoría Electromagnética, EC2322 Teoría de Ondas, y EC6311 Teoría Electromagnética
(postgrado), el primero de los cuales se imparte a estudiantes de Ingeniería Electrónica e
Ingeniería Eléctrica, el segundo a estudiantes de Ingeniería Electrónica, y el último a
estudiantes de la Maestría en Ingeniería Electrónica.
El tema del capítulo 1, titulado “Un enfoque novedoso para el análisis de campos en
electromagnetismo”, surgió de:
a)
El deseo de que el tema de Análisis Vectorial en los cursos de Electromagnetismo no
fuese una simple deducción o repaso de fórmulas matemáticas.
b) Haberme dado cuenta, sobre todo a través de mi experiencia en el curso de
postgrado, de la importancia del Teorema de Helmholtz como elemento de vínculo
entre el cálculo de campos vectoriales y las ecuaciones de Maxwell, y de la
importancia de introducir tempranamente el concepto de fuentes del campo en los
cursos de Electromagnetismo.
c)
Haber estudiado la utilidad y de las limitaciones de la Circulación, el Flujo Neto, el
Rotacional y la Divergencia como herramientas para investigar el comportamiento
de los campos vectoriales y vincularlos con las fuentes que lo producen, lo cual me
llevó además a investigar sobre el comportamiento del Rotacional y la Divergencia
en presencia de las posibles distribuciones de fuentes del campo.
El capítulo 1 comienza estableciendo los objetivos pedagógicos del enfoque
propuesto y proponiendo una estrategia metodológica para la enseñanza del análisis de
campos bajo dicho enfoque, continúa con la presentación de la Circulación, el Flujo
Neto, el Rotacional y la Divergencia como herramientas integrales y diferenciales para el
estudio de campos vectoriales, haciendo énfasis en la consideración de las fuentes de los
campos y en la relación entre las magnitudes de la Divergencia y el Rotacional y la forma
en que se distribuyen espacialmente dichas fuentes, y finaliza con un conjunto de
conclusiones y recomendaciones.
INTRODUCCIÓN
4
El tema del capítulo 2, titulado “Una condición de frontera para el Vector de
Poynting en electromagnetismo: Teoría y aplicaciones”, tuvo sus orígenes en los
siguientes hechos:
a) Haberme dado cuenta, a través de la resolución de numerosos ejercicios en los que
se calcula el Vector de Poynting, que éste es discontinuo en presencia de corrientes
superficiales. Este hecho, el cual puede parecer obvio porque el campo magnético es
discontinuo en presencia de dichas corrientes, no es señalado en los libros de texto.
b) Al haber hecho una analogía entre el Teorema de Poynting en forma diferencial y las
leyes de Gauss en forma diferencial, concluí que se requería de una condición de
frontera para la componente normal del Vector de Poynting para evaluar sus
discontinuidades en presencia de fuentes o sumideros de potencia distribuidos
superficialmente.
c)
Haber hecho la deducción de la mencionada condición de frontera, y haber diseñado
problemas en que se utiliza dicha condición, junto con el Teorema de Poynting en
forma diferencial, para calcular el Vector de Poynting en sistemas estáticos
especificados y para determinar la estructura de sistemas estáticos a partir de su
Vector de Poynting.
En el capítulo 2 se presenta en primer lugar la condición de frontera para la
componente normal del vector de Poynting, incluyendo una breve interpretación física.
En segundo lugar se presentan dos aplicaciones de la mencionada condición de frontera
en problemas estáticos, en las que se resuelve el vector de Poynting sin necesidad de
calcular el campo magnético, y se describen sistemas electromagnéticos estáticos a partir
de su vector de Poynting. La deducción de la condición de frontera es presentada en el
Apéndice del capítulo. El capítulo culmina con las conclusiones correspondientes.
El tema del capítulo 3, titulado “Sobre la reflexión de ondas electromagnéticas
armónicas”, tuvo su motivación en:
a)
Detectar la incongruencia entre algunos resultados numéricos obtenidos en el
análisis del problema de reflexión de ondas planas uniformes, específicamente en los
casos de Reflexión Total Interna y de incidencia con el ángulo de Brewster, con los
INTRODUCCIÓN
5
resultados esperados a la luz de la aplicación intuitiva de la conservación de la
energía y de la descripción clásica del fenómeno de reflexión.
b) Determinar que para resolver la mencionada incongruencia era necesario estudiar el
comportamiento de los coeficientes de Fresnel, específicamente en cuanto a sus
máximos y mínimos, y aplicar rigurosamente la conservación de la energía al
problema de reflexión mediante el Teorema de Poynting.
c)
Haber deducido que los coeficientes de Fresnel tienen un comportamiento
estrictamente monótono, y que los máximos y mínimos de los coeficientes de
reflexión y de transmisión ocurren simultáneamente.
d) Haber verificado que los resultados numéricos son aceptables a la luz del Teorema
de Poynting.
e)
Haber concluido que se deben modificar la descripción clásica del fenómeno de
reflexión y la forma de aplicar la conservación de la energía al fenómeno.
f)
Haber encontrado problemas y aplicaciones de geometrías complejas en las que
normalmente se extrapolan los resultados obtenidos en el estudio del problema
básico de reflexión, sin tomar en cuenta las posibles contradicciones con los
supuestos del análisis del problema básico o las condiciones de validez de la
extrapolación.
En el capítulo 3 se comienza por presentar las discrepancias mencionadas en el
punto a), después se estudia el comportamiento de los coeficientes de Fresnel en función
del ángulo de incidencia y del cociente de las velocidades de propagación en los medios,
y se determinan sus valores extremos. Luego se aplica el Teorema de Poynting al
problema de reflexión, y se deduce una expresión que relaciona entre sí a las magnitudes
de las densidades de potencia promedio de las ondas incidente, reflejada y transmitida.
Además, se discute sobre el origen de las ondas reflejada y transmitida a la luz del
Teorema de Poynting.
Se concluye que las aparentes contradicciones surgen de una aplicación errónea,
intuitiva, del principio de conservación de la energía y de la misma descripción clásica
del fenómeno de reflexión, descripción en la que la onda incidente se divide para originar
a las ondas reflejada y transmitida. Se presenta una descripción alternativa del fenómeno
INTRODUCCIÓN
6
de reflexión, en la que no se establece la división de la onda incidente, sino la existencia
simultánea de las ondas incidente, reflejada y transmitida. El capítulo culmina con la
presentación y discusión de algunos ejemplos en que se hace frecuentemente una
extrapolación de los resultados del estudio básico de reflexión de ondas planas uniformes
a problemas de geometrías más complejas o problemas con ondas planas no uniformes, y
se mencionan los errores que pueden producirse en dichas extrapolaciones.
Antes de culminar esta Introducción, quisiera escribir sobre las posibilidades de
publicación en revistas arbitradas de los resultados presentados en este trabajo. En
Noviembre de 1994 sometí a la IEEE Transactions on Education un trabajo relacionado
con el tema del segundo capítulo de este trabajo, titulado “A Boundary Condition for the
Normal Component of the Poynting Vector in Electromagnetics”. Dicho trabajo incluía
la deducción de la condición de frontera y su interpretación física. Tres años y medio
después de haber sometido a consideración mi trabajo, en marzo de 1998, se me
respondió que el mismo estaba rechazado, con el argumento de que la condición de
frontera en cuestión aparecía publicada en un libro de texto ¡de 1997!.
Sin entrar a discutir sobre la posibilidad de un plagio de mi trabajo, lo cierto es que
llegué a la conclusión de que para tenerse la certeza de que un aporte es original, en un
área como la de Fundamentos del Electromagnetismo, donde virtualmente todo está
escrito, se requiere de una revisión bibliográfica exhaustiva a nivel mundial, no sólo de
las publicaciones especializadas, sino también de los numerosos libros de texto de todos
los niveles vinculados al tema. El solo hecho de que uno maneje sólo dos idiomas es una
limitación para esta tarea.
Por lo tanto, me contento con presentar mis “Aportes al conocimiento de los campos
electromagnéticos” como resultados de mi actividad de investigación inspirada por la
docencia en el área de Fundamentos del Electromagnetismo, manifestando que dichos
aportes son originales hasta donde tengo conocimiento, pero sin poner la originalidad de
los mismos como un punto de honor.
Los mencionados aportes son apropiados para la elaboración de un libro de texto.
En este sentido, he invertido gran parte de mi esfuerzo en los últimos años en la
elaboración de la guía “EC1311 Teoría Electromagnética, v. 3.01”, en la cual aparecen
parte de los aportes discutidos en los capítulos 1 y 2 del presente trabajo, así como otros
INTRODUCCIÓN
7
aportes de menor calibre, y tengo el firme propósito de continuar mejorando y
completando el material con la intención de convertirlo en un libro de texto.
Para culminar esta Introducción, deseo agradecer profundamente a los colegas
profesores a los que les ha sido encomendada la tarea de evaluar el presente Trabajo de
Ascenso, por el tiempo y las energías que les sustraerá dicha actividad. Les agradezco
también sus comentarios, sugerencias y correcciones, no sólo sobre el contenido, sino
también sobre la relevancia del presente trabajo. Asimismo, les manifiesto mi completa
disposición para aclarar o complementar los tópicos presentados en este trabajo.
CAPITULO 1
UN ENFOQUE NOVEDOSO PARA EL ANÁLISIS DE
CAMPOS EN ELECTROMAGNETISMO
CAPÍTULO 1
1.1
9
INTRODUCCIÓN.
El tratamiento del estudio de campos escalares y vectoriales en la mayoría de los
textos de Electromagnetismo es muy similar, y puede resumirse de la siguiente manera:
se definen los campos y las operaciones básicas entre vectores (producto escalar y
producto vectorial), luego se presenta la integración de campos, los operadores
diferenciales básicos que se usan con campos (Gradiente, Rotacional y Divergencia), y
finalmente se presentan algunas identidades diferenciales e integrales, entre las que
destacan los Teoremas de Gauss y de Stokes [1 - 12]. En algunos textos, como el de
Johnk [2], dichos conceptos son presentados en el marco de la exposición de las leyes de
Maxwell.
Algunos textos mencionan que los campos vectoriales pueden clasificarse como
solenoidales e irrotacionales, de acuerdo al Teorema de Helmholtz, destacando la
importancia de este teorema [11 - 13]. En la mayoría de los casos, el enfoque del
tratamiento no difiere en gran cosa del enfoque presentado en textos de Cálculo Vectorial
[14], aunque se supone que el alumno ya ha sido expuesto al tema de análisis vectorial
en cursos de Matemáticas previos a los de Electromagnetismo.
En este trabajo se propone un enfoque distinto al descrito para el estudio de campos
en cursos de electromagnetismo. El enfoque propuesto aprovecha el conocimiento previo
del estudiante, obtenido en cursos de matemáticas. De esta manera, al eliminarse ciertas
repeticiones, se desplaza al énfasis hacia el logro de los siguientes objetivos:
a)
Establecer tempranamente que los campos vectoriales son producidos por fuentes
puntuales y/o fuentes de rotación.
b) Presentar a las integrales de Circulación y Flujo Neto de un campo vectorial como
herramientas para investigar el comportamiento de los campos vectoriales y deducir
a partir de dicho comportamiento la naturaleza de las fuentes que los producen.
c)
Presentar a la Divergencia y el Rotacional de un campo vectorial como herramientas
para investigar, punto por punto, el comportamiento de los campos vectoriales en
relación con la distribución de las fuentes que los producen.
1.1 INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 1
10
d) Establecer de acuerdo al Teorema de Helmholtz que las herramientas presentadas
para analizar campos vectoriales son suficientes para describir a cualquier campo
vectorial.
e)
Anticipar la estructura de las ecuaciones de Maxwell de acuerdo al Teorema de
Helmholtz.
Con el logro de estos objetivos se pretende que el estudiante vea al análisis de
campos no sólo como un conjunto de operaciones matemáticas definidas, sino también
como una introducción al conocimiento de la naturaleza de los campos vectoriales y de
sus fuentes.
Las principales ventajas de este enfoque son:
a)
Puede predecirse el comportamiento de los campos en la vecindad de sus fuentes, de
acuerdo a la distribución espacial de las mismas, sin necesidad de calcular los
campos.
b) Puede verse a las ecuaciones de Maxwell como una consecuencia natural de la
aplicación del Teorema de Helmholtz al caso particular de los campos
electromagnéticos
c)
El enfoque propuesto es particularmente útil en cursos intermedios de
Electromagnetismo que comienzan con las Ecuaciones de Maxwell, y puede servir
de utilidad para otros estudios de campos físicos.
El presente capítulo comienza con la proposición de una estrategia metodológica
para el logro de los objetivos descritos arriba. Luego se presentan las herramientas
integrales y diferenciales para el estudio de campos vectoriales, haciendo énfasis en la
consideración de las fuentes y estableciendo la relación entre las magnitudes de la
Divergencia y el Rotacional con la forma en que se distribuyen espacialmente las fuentes
de los campos. Finalmente, se presentan las conclusiones y recomendaciones pertinentes.
1.2
ESTRATEGIA METODOLÓGICA.
A continuación se describe la estrategia metodológica recomendada para el estudio
de campos en Electromagnetismo utilizando el enfoque propuesto. Se comienza con la
1.1 INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 1
11
definición general de campos. En este particular, se recomienda adoptar una definición
más bien matemática: como funciones de R m en Rn , con m > 1 y n ≥ 1. En particular, la
definición de campos como “regiones del espacio en que existe un fenómeno físico”,
adoptada por algunos autores, no es recomendada.
Inmediatamente se mencionan
ejemplos de campos escalares y vectoriales vinculados a fenómenos físicos, y se pasa al
problema de la representación de dichos campos.
Este momento es oportuno para introducir los sistemas de coordenadas y las técnicas
más utilizadas para la representación de campos: superficies o contornos de nivel para
campos escalares, y líneas de flujo para campos vectoriales.
En el caso de campos vectoriales, se escoge como ejemplos expresiones vinculadas a
campos electromagnéticos típicos, tales como campos uniformes, el campo magnético
producido por una línea infinita de corriente y el campo eléctrico producido por una
carga puntual, sin decirle al estudiante de dónde provienen los ejemplos. Se pide a los
estudiantes que analicen el comportamiento de los campos y que intenten identificarlos
con campos conocidos. De este análisis debe el estudiante concluir que, para los campos
del ejemplo, hay dos tipos de entidades: unas que expelen o absorben al campo, y otras
que lo hacen girar.
Las entidades mencionadas en el párrafo anterior son llamadas fuentes del campo, ya
que en su ausencia desaparece el campo. Este momento es oportuno para establecer que
existen campos vectoriales de dos tipos: irrotacionales, producidos por fuentes puntuales,
y solenoidales, producidos por fuentes de rotación, y de establecer que cualquier campo
vectorial es la superposición de estos dos tipos de campos, de acuerdo con el Teorema de
Helmholtz.
A partir de entonces se induce en el estudiante la inquietud de cómo detectar el
comportamiento de un campo vectorial y cómo vincularlo a las fuentes que lo producen.
Aquí se introducen los conceptos de Circulación y Flujo neto de un campo vectorial, lo
cual puede hacerse dentro del contexto de las aplicaciones de las integrales de línea y de
las integrales de superficie, como herramientas para medir la intensidad de fuentes del
campo. Algunos autores relacionan a la Circulación y/o al Flujo Neto con las fuentes del
campo [9, 12, 15, 16, 17].
1.2 ESTRATEGIA METODOLÓGICA
CAPÍTULO 1
12
Es importante en este punto establecer la proporcionalidad entre la Circulación y la
intensidad neta de las fuentes de rotación que atraviesan una superficie delimitada por el
contorno de integración y orientada en el sentido dado por la regla de la mano derecha,
así como la proporcionalidad entre el Flujo Neto y la intensidad de las fuentes puntuales
encerradas en el volumen acotado por la superficie de integración1.
Esta relación de proporcionalidad es importante para concluir sobre el
comportamiento de la Divergencia y el Rotacional en la vecindad de las fuentes, como se
verá más adelante.
También es importante concluir sobre la inutilidad de las
mencionadas herramientas integrales para obtener información sobre la ubicación y
distribución espacial de las fuentes del campo.
Después de finalizar con las herramientas integrales para estudiar los campos, se
construyen los conceptos de Rotacional y Divergencia a partir de los conceptos de
Circulación y Flujo Neto, respectivamente, como casos límite. De inmediato se plantean
las distintas formas en que pueden estar distribuidas las fuentes puntuales y de rotación
del campo, y se analiza el comportamiento de la Divergencia y el Rotacional para cada
caso, considerando la relación de proporcionalidad mencionada en el párrafo anterior.
De dicho análisis se construyen dos tablas que especifican el comportamiento de la
Divergencia y el Rotacional de un campo vectorial en presencia de las fuentes del campo,
para cada una de las posibles distribuciones espaciales de dichas fuentes.
Aunque
algunos autores relacionan a la Divergencia y el Rotacional con las densidades de fuentes
del campo [8, 12, 15, 16, 17], ninguno de ellos presenta el estudio de su comportamiento
en presencia de las distintas distribuciones espaciales del campo , el cual es el objeto de
la sección 1.4 de este trabajo.
Una vez presentadas las herramientas integrales y diferenciales para el estudio de
campos vectoriales, se presentan las identidades diferenciales que relacionan al
Gradiente, la Divergencia y el Rotacional, tal como aparecen en la mayoría de los libros
de texto. En este punto se hace énfasis en que el Rotacional del Gradiente de un campo
escalar es nulo, y que la Divergencia del Rotacional de un campo vectorial también es
nula.
1
Aquí se presentan las definiciones formales de campos solenoidales e
La mencionada proporcionalidad es válida sólo en medios lineales.
1.2 ESTRATEGIA METODOLÓGICA
CAPÍTULO 1
13
irrotacionales, y se retoma el Teorema de Helmholtz, con el propósito de establecer que
la parte irrotacional del campo puede determinarse a partir del Flujo neto o de la
Divergencia del campo, y que la parte solenoidal del campo puede determinarse a partir
de la Circulación o del Rotacional del campo. En este punto puede afirmarse que puede
describirse a cualquier campo vectorial en términos de su Flujo Neto y su Circulación, o
bien de su Divergencia y su Rotacional, lo cual se verificará más adelante cuando se
presenten las Ecuaciones de Maxwell. Adicionalmente, también pueden introducirse los
conceptos de potencial escalar y potencial vectorial como funciones que permiten
construir campos vectoriales.
1.3
ESTUDIO
DE
CAMPOS
VECTORIALES
MEDIANTE
HERRAMIENTAS
INTEGRALES.
A continuación se presenta el estudio de campos vectoriales mediante herramientas
integrales, a saber: la Circulación y el Flujo Neto de un campo vectorial. Dado que la
definición de estas integrales es ampliamente conocida, se hace hincapié en la forma de
analizar los resultados de aplicar las integrales a varios ejemplos gráficos de campos
vectoriales, y de extrapolar conclusiones generales a partir de los resultados obtenidos.
Para estudiar el comportamiento de la Circulación y el Flujo Neto ante diversos tipos
de campos vectoriales, se recomienda utilizar los siguientes ejemplos de campos
vectoriales estáticos: a) un campo uniforme a trozos en una región acotada del espacio, b)
un campo radial, y c) un campo circular. Se recomienda elaborar una transparencia
similar a la mostrada en la figura 1.1, con la representación de líneas de flujo de los
campos bajo estudio.
1.2 ESTRATEGIA METODOLÓGICA
CAPÍTULO 1
14
Fig. 1.1: Ejemplos de campos vectoriales utilizados para el estudio de la
Circulación y el Flujo Neto de campos vectoriales.
1.3.1 Definición y estudio de la Circulación de un campo vectorial.
La Circulación de un campo vectorial F a lo largo de un contorno cerrado L que
limita a una superficie S, orientada de acuerdo a la regla de la mano derecha con relación
al sentido de recorrido del contorno, se define como la siguiente integral de línea:
Circulación(F) L ≡
∫ F ⋅ dl
(1.1)
L =δ S
Para estudiar el comportamiento de la Circulación ante diversos tipos de campos
vectoriales, se escoge como contornos para el cálculo de la circulación una familia de
circunferencias de diámetros distintos, como la presentada en la figura 1.2, y se elabora
una transparencia separada para los contornos, de manera que puedan superponerse las
transparencias correspondientes a la figuras 1.1 y 1.2.
Fig. 1.2: Contornos de prueba para el estudio de la Circulación.
1.3 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS INTEGRALES
CAPÍTULO 1
15
Al mover la transparencia de los contornos sobre la transparencia de los campos e
indagar sobre el posible resultado de la circulación para cada contorno de prueba y cada
campo, el estudiante debe poder concluir que para el campo de líneas paralelas y el
campo radial de la figura 1.1 el resultado es nulo, mientras que para el campo que gira el
resultado es no nulo sólo cuando el eje de rotación (identificado en la figura 1.1 con una
“x”) atraviesa el área delimitada por el contorno de prueba. Además, el estudiante debe
concluir que el resultado de la Circulación es positivo si el sentido asignado al contorno
de prueba coincide con el sentido de giro del campo, y que es negativo en caso contrario
(esto puede hacerse volteando la transparencia de los contornos de prueba).
Para que queden mejor asentadas las conclusiones anteriores, se recomienda
considerar casos en que el contorno de prueba no está centrado respecto al campo, y
analizar gráficamente el resultado del producto escalar del campo con el diferencial de
longitud del contorno en distintas zonas de éste último.
Del análisis se construye la conclusión de que la Circulación sirve para detectar la
presencia de ejes de rotación del campo e indicar el sentido de giro del campo, mientras
que no sirve para detectar las fuentes puntuales del campo.
Luego se establece, de forma verbal, la proporcionalidad entre la Circulación y la
intensidad neta de las fuentes de rotación enlazadas por el contorno de integración, y la
independencia del resultado respecto a variaciones en la distribución de dichas fuentes
(por ejemplo: separando al eje de rotación único en cuatro ejes de rotación muy
cercanos), lo que hace que la Circulación sea inútil para conocer la distribución y
ubicación precisa de las fuentes de rotación del campo.
Con la extrapolación de las conclusiones a campos vectoriales arbitrarios se finaliza
el estudio de la Circulación como herramienta para el estudio de campos vectoriales y sus
fuentes de rotación.
1.3 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS INTEGRALES
CAPÍTULO 1
16
1.3.2 Definición y estudio del Flujo Neto de un campo vectorial.
El Flujo Neto de un campo vectorial F a través de una superficie cerrada S que
limita a un volumen V se define como la siguiente integral de superficie:
Flujo Neto(F)S ≡
∫ F ⋅ da
(1.2)
S= δ V
donde da es un elemento diferencial de área orientado hacia afuera del volumen.
Para estudiar el resultado del Flujo Neto ante diversos tipos de campos vectoriales,
se utilizan los mismos ejemplos de campos vectoriales estáticos utilizados para el estudio
de la Circulación, los cuales se mostraron en la figura 1.1. Como superficies cerradas se
elige una familia de esferas concéntricas, cuya representación plana son circunferencias.
Se elabora una transparencia separada con las circunferencias que representan a las
esferas, dibujando sobre ellas los vectores da , tal como se muestra en la figura 1.3 de la
próxima página.
El estudio se realiza moviendo la transparencia de las esferas sobre la de los campos,
e indagando sobre el resultado para cada esfera y cada uno de los campos de la figura 1.1.
Se supone para el estudio gráfico que, para el campo de líneas paralelas y para el campo
radial, cada línea del campo parte de una fuente y termina en un sumidero.
Fig. 1.3: Esferas de prueba para el estudio del Flujo Neto.
El estudiante debe ser capaz de concluir que el resultado del Flujo Neto es positivo
cuando hay más fuentes que sumideros del campo dentro del volumen limitado por la
1.3 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS INTEGRALES
CAPÍTULO 1
17
esfera; que el resultado del Flujo Neto es negativo cuando hay más sumideros que fuentes
del campo dentro del volumen limitado por la esfera, y es nulo en caso de que se
equilibren las fuentes y sumideros dentro del volumen, o en caso de que el campo no
tenga fuentes ni sumideros, como en el ejemplo del campo que gira. De aquí debe
también surgir la conclusión de que el Flujo Neto sirve para detectar la presencia de
fuentes puntuales del campo, mientras que es incapaz de detectar a las fuentes de rotación
del campo.
Después se establece, de forma verbal, la proporcionalidad entre el Flujo Neto y la
intensidad neta de las fuentes puntuales, y la independencia del resultado respecto a
variaciones en la distribución de dichas fuentes (por ejemplo: agrupando las cuatro
fuentes centrales del campo radial en una fuente única de intensidad cuádruple), lo que
impide que el Flujo Neto pueda utilizarse para conocer la distribución y ubicación precisa
de las fuentes puntuales del campo. Con la extrapolación de las conclusiones a campos
vectoriales arbitrarios se finaliza el estudio del Flujo Neto como herramienta para el
estudio de campos vectoriales y sus fuentes.
1.4
ESTUDIO
DE
CAMPOS
VECTORIALES
MEDIANTE
HERRAMIENTAS
DIFERENCIALES.
Como pudo verse en las secciones anteriores, las herramientas integrales para el
estudio de campos vectoriales no son útiles para ubicar con precisión a las fuentes del
campo ni para obtener información sobre la distribución de dichas fuentes.
Adicionalmente, la Circulación no provee información sobre la dirección de los ejes de
rotación que producen al campo, ejes que pueden asociarse a campos vectoriales. A
continuación se definen el Rotacional y la Divergencia de un campo vectorial como casos
límite de la Circulación y el Flujo Neto del campo, respectivamente.
1.4.1
Definición del Rotacional de un campo vectorial.
El Rotacional de un campo vectorial en un punto cuyo vector posición es r se define
como el siguiente límite:
1.3 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS INTEGRALES
CAPÍTULO 1
18
⎧
⎛
⎪
⎜
Rot(F) ≡ máx ⎨ lím ⎜ n
S( r )→dS (r )
⎜
⎪
⎝
⎩
⎫
∫ F ⋅ dl ⎞⎟ ⎪
L = δS( r )
S(r )
⎟⎬
⎟⎪
⎠⎭
(1.3)
donde S(r ) denota a una superficie que contiene al punto cuyo vector posición es r , y n
es el vector normal a la mencionada superficie en dicho punto, orientado por la regla de
la mano derecha en relación al sentido de recorrido del contorno L.
Como el resultado de la Circulación es dependiente de la orientación del contorno
respecto a los ejes de rotación del campo, es importante la maximización del límite en la
ecuación 1.3, ya que sólo cuando dicho límite es máximo la dirección del Rotacional
coincide con la de los ejes de rotación del campo. De esta manera, el Rotacional queda
definido como un campo vectorial cuya magnitud es la máxima Circulación por unidad
de área en cada punto del espacio, y cuya dirección y sentido es la de los ejes de rotación
del campo en cada punto.
1.4.2 Relación entre el Rotacional y la distribución de las fuentes de rotación del
campo.
Es importante destacar que el Rotacional está definido sólo cuando el numerador y el
denominador de la ecuación 1.3 convergen a un diferencial al aplicar el límite, o cuando
el numerador es cero. Usando la propiedad de proporcionalidad entre la Circulación y la
intensidad neta de las fuentes de rotación que atraviesan la superficie diferencial dS(r ) ,
se llega a la conclusión de que el Rotacional es nulo en regiones donde no hay ejes de
rotación del campo, y de que es no nulo y acotado en regiones donde los diferenciales de
superficie son atravesados por diferenciales de ejes de rotación, lo cual sucede cuando
dichos ejes están distribuidos de forma continua en un volumen. Por la propiedad de
proporcionalidad mencionada anteriormente, resulta también que el Rotacional de un
campo vectorial es proporcional a la densidad volumétrica de fuentes de rotación,
definida como un campo vectorial, en cada punto del espacio.
Aunque se estableció el comportamiento del Rotacional de un campo vectorial en
regiones libres de fuentes de rotación y en regiones donde dichas fuentes están
distribuidas de forma continua en un volumen, es posible que las fuentes de rotación del
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
CAPÍTULO 1
19
campo estén concentradas en un contorno, o que estén distribuidas de forma continua
sobre una superficie. Es de interés conocer el comportamiento del Rotacional en estos
casos, por las conclusiones que pueden obtenerse.
En el caso de que la fuente de rotación del campo está concentrada en un eje cuyo
contorno es L, para el cálculo de la Circulación se elige un contorno diferencial
atravesado por el eje de rotación y orientado de manera que la normal de la superficie
diferencial a la cual limita sea paralela a dicho eje, tal como se muestra en la figura 1.4.
Se supone que no hay otros ejes de rotación.
L
da
dl
Fig. 1.4.:
Estudio del comportamiento del Rotacional de un campo
vectorial en la vecindad de un eje de rotación del campo.
Bajo estas condiciones, la magnitud de la Circulación al tomar el límite en el
numerador de la ecuación 1.3 es constante y proporcional a la magnitud de la fuente de
rotación enlazada por el contorno de prueba, mientras que el límite del denominador es
cero, lo que da como resultado que el Rotacional del campo es singular en el punto r
donde el eje de rotación atraviesa a la superficie delimitada por el contorno de prueba, y
por ende, a lo largo de todo el eje de rotación.
Además, cuando el límite se calcula en cualquier punto fuera del eje de rotación
resulta ser nulo, por lo que el Rotacional tiene un comportamiento tipo Delta de Dirac en
la vecindad del eje de rotación del campo. El cambio abrupto del comportamiento del
Rotacional en la vecindad del contorno L sirve entonces para detectar la presencia de un
eje de rotación concentrado en dicho contorno.
En el caso de que las fuentes de rotación están distribuidas de forma continua sobre
una superficie S, se elige para el cálculo de la Circulación un contorno diferencial
rectangular, de lados ∆lt y dln , y atravesado por la superficie S, de manera que las líneas
de flujo de la fuente de rotación sean paralelas a la normal n correspondiente a la
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
CAPÍTULO 1
20
superficie diferencial ∆ a = dln ⋅ ∆lt delimitada por el contorno de prueba, tal como se
muestra en la figura 1.5.
S
n
dln
∆a
∆lt
Fig. 1.5.: Estudio del comportamiento del Rotacional de un campo
vectorial en la vecindad de una fuente de rotación del campo distribuida
superficialmente.
Bajo estas condiciones, el Rotacional puede reescribirse de la siguiente manera:
Rot(F) ≡ lím
∆lt → dlt
⎛
⎜
⎜n
⎜
⎝
∫ F ⋅ dl ⎞⎟
L= δ ∆a( r )
∆lt
1
⎟ ⋅ dllím
n →0 dln
⎟
⎠
(1.4)
Se observa que el primer límite la ecuación 1.4 está definido, por cuanto es
proporcional a la magnitud de la densidad de ejes de rotación en la superficie, mientras
que el segundo límite es infinito, lo que hace que el rotacional sea singular en la vecindad
de una superficie con una distribución continua de ejes de rotación del campo. El cambio
abrupto del comportamiento del Rotacional en la vecindad de la superficie S sirve
entonces para detectar la presencia de ejes de rotación distribuidos en dicha superficie.
De todo el análisis anterior se concluye que el estudio del comportamiento del
Rotacional de un campo vectorial permite establecer cómo y dónde están distribuidos los
ejes de rotación del campo. Si adicionalmente se considera que el Rotacional de un
campo vectorial, siendo un operador diferencial, es singular donde el campo es
discontinuo o singular, mientras que es acotado donde el campo es diferenciable, se
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
CAPÍTULO 1
21
concluye que existe una relación entre la distribución de los ejes de rotación del campo y
el comportamiento del mismo. Esta relación puede resumirse en la Tabla 1.1.
Tabla 1.1: Relación entre la magnitud del rotacional, la distribución de los ejes de
rotación y el comportamiento del campo.
Magnitud del Rotacional
∇ × F = 0 en V ∈ℜ 3
∇ × F > 0 en V ∈ℜ 3
Distribución de ejes de
Comportamiento del
rotación
campo
No hay ejes de rotación en
Acotado, continuo, diferen-
V
ciable
Hay ejes de rotación
Acotado, continuo, diferen-
distribuidos volumétrica-
ciable, excepto en la
mente en V, con densidad
frontera de V
proporcional a ∇ × F
∇ × F → ∞ en S ⊂ ℜ
3
Hay ejes de rotación distri-
Acotado, discontinuo en S
buidos superficialmente
sobre S
∇ × F → ∞ en L ⊂ ℜ
3
Hay un eje de rotación en L Singular en L
Es oportuno mencionar que, aunque en el caso de ejes de rotación distribuidos
superficialmente es posible matemáticamente asociar a la singularidad del Rotacional con
una singularidad del campo en la superficie, el hecho de que pueda evaluarse la
discontinuidad del campo en presencia de ejes de rotación distribuidos superficialmente
(como en el caso del campo magnético en presencia de corrientes superficiales) permite
verificar la asociación de la singularidad del Rotacional con una discontinuidad del
campo vectorial.
De la misma manera, el hecho de que el campo magnético sea singular donde hay
una corriente filamentosa permite afirmar que en este caso la singularidad del Rotacional
está asociada a una singularidad del campo.
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
22
CAPÍTULO 1
1.4.3
Definición de la Divergencia de un campo vectorial.
La Divergencia de un campo vectorial en un punto cuyo vector posición es r se
define como el siguiente límite:
∫ F ⋅ da
Div(F) ≡
lím
V (r )→ dV (r )
S=δ V (r )
V (r )
(1.5)
donde V ( r ) denota a un volumen que encierra al punto cuyo vector posición es r .
La Divergencia de un campo vectorial es igual al flujo neto por unidad de volumen
del campo vectorial, en todo punto en que el límite anterior existe.
1.4.4
Relación entre la Divergencia y la distribución de las fuentes puntuales del
campo.
La Divergencia está definida sólo cuando el numerador y el denominador de la
ecuación 1.5 convergen a un diferencial al aplicar el límite, o cuando el numerador es
cero. Usando la relación de proporcionalidad entre el Flujo Neto y la intensidad neta de
las fuentes puntuales encerradas en el volumen diferencial dV (r ) , se llega a la
conclusión de que la Divergencia es nula en regiones donde no hay fuentes puntuales (ya
que se excluye la posibilidad de que en dV (r ) exista una fuente junto con un sumidero),
y de que la Divergencia es no nula, pero acotada, en regiones donde el diferencial de
volumen contiene un diferencial de fuente puntual del campo, es decir, donde la fuente
está distribuida de forma continua en el volumen. Por la relación de proporcionalidad
mencionada resulta también que la Divergencia de un campo vectorial es proporcional a
la densidad volumétrica de fuentes puntuales del campo en cada punto del espacio,
siendo positiva en regiones donde hay fuentes y negativa en regiones donde hay
sumideros.
Aunque se estableció el comportamiento de la Divergencia de un campo vectorial en
regiones libres de fuentes puntuales y en regiones donde dichas fuentes están distribuidas
de forma continua en un volumen, es posible que las fuentes puntuales del campo estén
concentradas en un punto, o estén distribuidas de forma continua sobre contornos o
superficies. Es de interés conocer el comportamiento de la Divergencia en estos casos,
por las conclusiones que pueden obtenerse.
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
23
CAPÍTULO 1
Para estudiar el comportamiento de la Divergencia en la vecindad de una fuente
puntual concentrada en un punto P, se elige un diferencial de volumen que contenga a P,
y se supone que no hay otras fuentes puntuales. Así, el Flujo Neto a través de la
superficie diferencial que limita al diferencial de volumen es constante y proporcional a
la magnitud de la fuente puntual ubicada en P. Por lo tanto, al calcular el límite en la
ecuación 1.5, el numerador permanece constante mientras que el denominador tiende a
cero, lo que da como resultado que la Divergencia del campo es singular en el punto P .
Además, cuando la Divergencia se calcula en un punto distinto a P resulta ser nula, por
lo que su comportamiento es el de una Delta de Dirac centrada en P. El cambio abrupto
del comportamiento de la Divergencia en el punto P sirve entonces para detectar la
presencia de una fuente puntual concentrada en P .
En el caso de que las fuentes puntuales del campo están distribuidas de forma
continua sobre un contorno L, se elige para el cálculo del Flujo Neto un diferencial de
volumen cilíndrico ∆V = ∆l ⋅ da cuyo eje coincide con el contorno, tal como se muestra
en la figura 1.6.
∆l
da
∆V
L
Fig. 1.6: Estudio del comportamiento de la Divergencia en la vecindad de
fuentes puntuales distribuidas de forma continua en un contorno L
En este caso, la Divergencia puede reescribirse así:
⎛
F ⋅da ⎞
⎜
⎟
Div(F) ≡ lím ⎜ S= δ ∆V
∆L →dl
∆L ⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
∫
⋅
1
da→ 0 da
lím
(1.6)
donde da está especificado en la figura 1.6.
Analizando la ecuación 1.6, se obtiene que el primer límite es acotado y
proporcional a la densidad lineal de fuentes, mientras que el segundo límite es singular,
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
24
CAPÍTULO 1
por lo que puede concluirse que la Divergencia es singular en todos los puntos del
contorno L que contiene a la fuente distribuida linealmente.
Además, la Divergencia es nula fuera de los puntos del contorno, por lo que su
comportamiento es el de una Delta de Dirac centrada en el contorno. La singularidad de
la Divergencia sobre todo un contorno permite establecer que la fuente en este caso está
distribuida linealmente y no concentrada en un punto.
Para casos en que la fuente del campo está distribuida de forma continua sobre una
superficie S, se elige para el cálculo del Flujo Neto en la ecuación 1.5 un diferencial de
volumen ∆V = ∆a ⋅ dl en forma de “caja de píldoras”, el cual contiene a un diferencial de
área ∆a de la fuente, tal como se muestra en la figura 1.7.
S
∆V
∆a
dl
Fig. 1.7: Estudio del comportamiento de la Divergencia en la vecindad de
fuentes puntuales distribuidas de forma continua en una superficie S
En este caso, la ecuación 1.5 puede reescribirse así:
⎛
F ⋅da ⎞
⎜
⎟
1
⋅ lím
Div( F ) ≡ lím ⎜ S= δ ∆V
⎟
∆a→ da
∆a
dl→ 0 dl
⎜
⎟
⎠
⎝
∫
(1.7)
Analizando la ecuación 1.7, se obtiene que el primer límite (el cual es definido en
algunos textos como Divergencia superficial del campo) es acotado y es proporcional a la
densidad superficial de fuentes del campo, mientras que el segundo límite es singular, por
lo que puede concluirse que la Divergencia es singular en puntos sobre la superficie que
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
25
CAPÍTULO 1
contiene a la fuente distribuida superficialmente. Como la Divergencia es nula en puntos
fuera de la superficie de las fuentes, se tiene que la Divergencia se comporta como una
Delta de Dirac centrada en dicha superficie. La singularidad de la Divergencia sobre
toda una superficie permite establecer que la fuente en este caso está distribuida
superficialmente y no concentrada en un punto ni distribuida linealmente.
De todo el análisis anterior se concluye que el estudio del comportamiento de la
Divergencia de un campo vectorial permite establecer cómo y dónde están distribuidas
las fuentes puntuales del campo. Si adicionalmente se considera que la Divergencia de
un campo vectorial, siendo un operador diferencial, es singular donde el campo es
discontinuo o singular, mientras que es acotada donde el campo es diferenciable, se
concluye que puede establecerse una relación entre la distribución de las fuentes
puntuales del campo y el comportamiento del mismo. Esta relación puede resumirse en
la Tabla 1.2 que se presenta en la próxima página.
Es oportuno mencionar que, aunque en el caso de fuentes puntuales distribuidas
superficialmente es posible matemáticamente asociar a la singularidad de la Divergencia
con una singularidad del campo en la superficie, el hecho de que pueda evaluarse la
discontinuidad del campo en presencia de fuentes puntuales distribuidas superficialmente
(como en el caso del campo eléctrico en presencia de cargas superficiales) permite
verificar la asociación de la singularidad de la Divergencia con una discontinuidad del
campo vectorial. Además, en el caso de fuentes puntuales distribuidas en una superficie
o concentradas en un punto, el hecho de que el campo eléctrico sea singular donde hay
cargas lineales o puntuales permite asociar a la singularidad de la divergencia del campo
con una singularidad del campo.
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
26
CAPÍTULO 1
Tabla 1.2: Relación entre la Divergencia, la distribución de las fuentes y el
comportamiento del campo.
Divergencia
Distribución de fuentes
3
∇ ⋅ F = 0 en V ⊂ ℜ
No hay fuentes puntuales
en V ⊂ ℜ
∇ ⋅ F > 0 en V ⊂ ℜ
3
3
Campo
Acotado, continuo, diferenciable
Hay fuentes distribuidas vo- Acotado, continuo, diferenlumétricamente en V, con
ciable, excepto en la
densidad proporcional a
frontera de V
∇⋅ F
∇ ⋅ F → ∞ en S ⊂ ℜ 3
Hay fuentes distribuidas su- Acotado, discontinuo en S
perficialmente sobre S
3
∇ ⋅ F → ∞ en L ∈ℜ
Hay fuentes distribuidas li-
Singular en L
nealmente sobre L
∇ ⋅ F → ∞ en P ∈ℜ 3
Hay una fuente puntual en
Singular en L
P
1.5
CONCLUSIONES.
Se ha propuesto un enfoque novedoso para el análisis de campos en cursos de
electromagnetismo. En el enfoque propuesto se destaca el rol de las fuentes del campo, y
se enfatiza el estudio del comportamiento de los campos vectoriales a través de la
Circulación, el Flujo Neto, el Rotacional y la Divergencia, relacionando dicho
comportamiento con la naturaleza y la distribución de las fuentes del campo.
Adicionalmente, el enfoque tiene como tema recurrente al Teorema de Helmholtz, el
cual establece que cualquier campo vectorial se construye como la superposición de un
campo irrotacional, producido por fuentes puntuales, y un campo solenoidal, producido
por fuentes de rotación.
Se presentó una estrategia metodológica recomendada para cubrir el tópico de
análisis de campos bajo el enfoque propuesto.
Se presentó a la Circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno cerrado
como una herramienta integral para detectar la presencia de fuentes de rotación del
1.4 ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES MEDIANTE HERRAMIENTAS DIFERENCIALES
CAPÍTULO 1
27
campo, para determinar el sentido de giro del campo y para medir la intensidad neta de
dichas fuentes. Adicionalmente, se concluyó que la Circulación no detecta las fuentes
puntuales del campo, ni ofrece información sobre la dirección, distribución ni ubicación
precisa de sus fuentes de rotación.
Se presentó al Flujo Neto de un campo vectorial a través de una superficie cerrada
como una herramienta integral para detectar la presencia de fuentes puntuales del campo
y para medir la intensidad neta de dichas fuentes. Adicionalmente, se concluyó que el
Flujo Neto no detecta las fuentes de rotación del campo, ni ofrece información sobre la
distribución ni ubicación precisa de sus fuentes puntuales.
Se presentó al Rotacional de un campo vectorial como una herramienta diferencial
que permite detectar la ausencia o presencia de fuentes de rotación del campo, que indica
la magnitud, dirección y sentido de la densidad de dichas fuentes cuando éstas están
distribuidas de forma continua en un volumen, y que indica cuando es singular si las
fuentes de rotación están concentradas en un contorno o distribuidas en una superficie.
En base al comportamiento del Rotacional en la vecindad de las fuentes de rotación se
dedujo el comportamiento de un campo vectorial en presencia de dichas fuentes, lo cual
permite predecir las discontinuidades y singularidades del campo con sólo conocer la
distribución de sus fuentes de rotación.
Se presentó a la Divergencia de un campo vectorial como una herramienta
diferencial que permite detectar la ausencia o presencia de fuentes puntuales del campo,
que mide la densidad de dichas fuentes cuando éstas están distribuidas de forma continua
en un volumen, y que indica cuando es singular si las fuentes puntuales están
concentradas en un punto o distribuidas en un contorno o una superficie. En base al
comportamiento de la Divergencia en la vecindad de las fuentes de rotación se dedujo el
comportamiento de un campo vectorial en presencia de dichas fuentes, lo cual permite
predecir las discontinuidades y singularidades del campo con sólo conocer la distribución
de sus fuentes puntuales.
Entre las ventajas del enfoque propuesto están:
a)
Se establece tempranamente que los campos vectoriales son producidos por fuentes
puntuales y/o fuentes de rotación.
1.5 CONCLUSIONES
CAPÍTULO 1
28
b) Al presentarse los conceptos de Circulación, Flujo Neto, Rotacional y Divergencia
como herramientas para investigar el comportamiento de los campos vectoriales y
para determinar la naturaleza de las fuentes que los producen, se le da un sentido de
propósito útil al tópico de análisis de campos.
c)
Al establecerse el comportamiento del Rotacional y de la Divergencia de los campos
en presencia de las fuentes de éstos, y relacionar dicho comportamiento con las
singularidades y discontinuidades de los campos, se tienen elementos para predecir
el comportamiento de los campos en la vecindad de las fuentes que los producen, en
función de cómo están distribuidas espacialmente dichas fuentes.
d) Las ecuaciones de Maxwell, tanto en forma integral como en forma diferencial,
surgen de manera natural como consecuencia del Teorema de Helmholtz. Además,
al habérsele dado un significado físico a los conceptos de Circulación, Flujo Neto,
Rotacional y Divergencia, resulta más sencillo interpretar las ecuaciones de Maxwell
como ecuaciones que establecen las fuentes puntuales y de rotación de los campos
electromagnéticos.
La utilización del enfoque propuesto es de mucha utilidad en cursos intermedios de
Electromagnetismo, en los cuales se parte de las Ecuaciones de Maxwell, descritas a
través de su Circulación y su Flujo Neto, o de su Rotacional y Divergencia, ya que brinda
un soporte sólido y coherente al estudio de los campos vectoriales y sus fuentes. Por lo
tanto, se recomienda utilizar el enfoque propuesto, ya sea parcialmente o en su totalidad.
1.6
[1]
REFERENCIAS
L. M. Magid, Electromagnetic Fields, Energy and Waves, New York: J. Wiley &
Sons, Inc., 1972, ch. 3.
[2]
C. T. A. Johnk, Engineering Electromagnetic Fields and Waves, 2nd ed. New
[3]
York: J. Wiley & Sons, Inc., 1980, ch. 1-2.
P. Lorrain and D. L. Corson, Introduction to Electromagnetic Fields and Waves.
San Francisco: W. H. Freeman and Co., 1962, ch. I.
[4]
J. R. Reitz, F. J. Milford y R. W. Christy, Fundamentos de la Teoría
[5]
Electromagnética. Delaware: Addison-Wesley Iberoamericana, 1996, cap. 1.
K. R. Demarest, Engineering Electromagnetics. New Jersey: Prentice-Hall, 1998,
ch. 12.
1.5 CONCLUSIONES
CAPÍTULO 1
[6]
29
D. K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics. Massachusetts: Addison-Wesley,
1989, ch. 8.
[7]
D. T. Paris and F. K. Hurd, Basic Electromagnetic Theory. New York: McGrawHill, 1969, ch. 8.
[8]
M. Schwartz, Principles of Electrodynamics, New York: McGraw-Hill, 1975, ch. 1.
[9]
M. Zahn, Teoría Electromagnética. México: Nueva Editorial Interamericana, 1983,
cap. 7.
[10] R. M. Fano, L. J. Chu and R. B. Adler, Electromagnetic Fields, Energy, and
Forces, Massachusetts: MIT Press, 1968, ch. 7.
[11] R. Plonsey and R. E. Collin, Principles and Applications of Electromagnetic Fields,
New York: McGraw-Hill, 1961, ch. 1.
[12] D. W. Dearholt and W. R. McSpadden, Electromagnetic Wave Propagation. New
York: McGraw-Hill, 1973, ch. 3.
[13] W. Hauser, Introduction to the Principles of Electromagnetism. Massachusetts:
Addison-Wesley, 1989, ch. 3.
[14] J. E. Marsden y A. J. Tromba, Cálculo Vectorial.
Interamericano, 1981, caps. 3, 6 y 7.
México: Fondo Educativo
[15] Ch. A. Holt, Introduction to Electromagnetic Fields and Waves. New York: J.
Wiley and Sons, 1963, ch. 2, ch. 10.
[16] M. Javid and P. M. Brown, Field Analysis and Electromagnetics. New York:
McGraw-Hill, 1964, ch. 4.
[17] E. V. Bohn, Introduction to Electromagnetic Fields and Waves. Massachusetts:
Addison-Wesley, 1968, ch. 1.
1.6 REFERENCIAS
CAPITULO 2
UNA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL
VECTOR DE POYNTING EN
ELECTROMAGNETISMO: TEORÍA Y
APLICACIONES
CAPÍTULO 2
2.1
2
INTRODUCCIÓN.
Se conoce que las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial estarían incompletas
sin las condiciones de frontera correspondientes, ya que la solución de las ecuaciones
diferenciales no sería única.
En particular, las leyes de Gauss, que establecen la
divergencia del campo eléctrico y del campo magnético, son complementadas por
condiciones de frontera para las componentes normales de dichos campos. Por analogía,
el Teorema de Poynting en forma diferencial, el cual establece la divergencia del vector
de Poynting, está incompleto sin una condición de frontera para la componente normal
del mencionado vector. Por lo tanto, se requiere de una condición de frontera para la
componente normal del vector de Poynting, a fin de que dicha condición soporte al
Teorema de Poynting en forma diferencial.
La potencia y la energía electromagnéticas, con el Teorema de Poynting como punto
central, son consideradas en muchos textos de Electromagnetismo de los niveles
intermedio y avanzado [1 - 25].
Sin embargo, la condición de frontera para la
componente normal del vector de Poynting hasta donde se tiene conocimiento sólo
aparece en un texto, sin incluir aplicaciones de la misma [25]. En algunos textos se
afirma que la definición del vector de Poynting es arbitraria, y se cuestiona la validez de
su interpretación como densidad de flujo de potencia [20 - 23]. La existencia de una
condición de frontera para el vector de Poynting podría ayudar a resolver la cuestión de
la definición del vector de Poynting.
En primer lugar se presenta la condición de frontera para la componente normal del
vector de Poynting, incluyendo una breve interpretación física. Luego se muestran dos
aplicaciones de la mencionada condición de frontera en problemas estáticos.
La
deducción de la condición de frontera es presentada en el Apéndice. Se concluye que la
condición de frontera presentada, en conjunto con el Teorema de Poynting en forma
diferencial, permite resolver el vector de Poynting sin necesidad de calcular el campo
magnético, permite estudiar sistemas electromagnéticos estáticos a partir del vector de
Poynting, y contribuyen a una mejor descripción de las relaciones de potencia y energía
en los sistemas electromagnéticos.
2.1 INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 2
2.2
3
CONDICIÓN DE FRONTERA PARA LA COMPONENTE NORMAL DEL VECTOR DE
POYNTING.
El Teorema de Poynting en forma diferencial establece las fuentes y sumideros
volumétricos del vector de Poynting a través de su divergencia. En el teorema están
involucradas las densidades de corriente de fuente, de convección y de conducción, así
como las densidades de flujo eléctrico y magnético, de acuerdo con la siguiente ecuación:
−∇ ⋅ S = (J i + J + Jc )⋅ E + E ⋅
∂D
∂B
+ H⋅
∂t
∂t
(2.1)
donde:
S = E × H = vector de Poynting, W/m2
Ji = Densidad de corriente de fuente, A/m2
J = Densidad de corriente de convección, A/m2
Jc = Densidad de corriente de conducción, A/m2
E = Intensidad de campo eléctrico, V/m
H = Intensidad de campo magnético, A/m
D = Densidad de flujo eléctrico, C/m2
B = Densidad de flujo magnético, Wb/m2
Tal como se estableció en la introducción de este capítulo, la ecuación 2.1 no es
suficiente para describir al vector de Poynting si no se complementa con una condición
de frontera para la componente normal de dicho vector.
La condición de frontera para la componente normal del vector de Poynting resulta
ser (ver la deducción en el apéndice):
n ⋅ [S1 − S2 ] = − (J s i + J s + J sc )⋅ E s
(2.2)
donde:
n = vector unitario normal a la superficie
S1 = vector de Poynting evaluado sobre la superficie, en el lado donde está n
2.2 CONDICIÓN DE FRONTERA PARA LA COMPONENTE NORMAL DEL VECTOR DE POYNTING
CAPÍTULO 2
4
S2 = vector de Poynting evaluado sobre la superficie, en el lado opuesto a n
J si = Densidad superficial de corriente de fuente, A/m
J s = Densidad superficial de corriente de convección, A/m
J sc = Densidad superficial de corriente de conducción, A/m
E s = Campo eléctrico en la superficie, V/m
Esta condición de frontera se deduce a partir del Teorema de Poynting de forma
integral, de la misma manera en que se deducen las condiciones de frontera para las
componentes normales de los campos electromagnéticos a partir de las leyes de Gauss en
forma integral. Esta condición es general, ya que no se han impuesto restricciones con
relación a la linealidad, la isotropía y la homogeneidad de la materia.
Antes de presentar la interpretación física de la condición de frontera, es necesario
acotar que se supone que en un mismo punto no pueden coexistir corrientes superficiales
de conducción, de convección y de fuente. También debe mencionarse que, aunque el
producto escalar en la ecuación 2.2 selecciona a la componente del campo eléctrico
tangencial a la superficie (la cual es continua), se utiliza el subíndice “s” en el campo
eléctrico para enfatizar que este campo está evaluado en la superficie. Por último, se
supone que en una fuente la densidad de corriente es antiparalela al campo eléctrico, que
la densidad de corriente de convección es paralela a dicho campo, y que la de conducción
es paralela al campo en medios isotrópicos.
La condición de frontera dada por la ecuación 2.2 establece que la componente
normal del vector de Poynting es discontinua donde existen fuentes de corriente
superficiales en presencia de un campo eléctrico, o donde existen corrientes superficiales
de conducción o de convección en presencia de dicho campo.
En el caso de que exista en la superficie una corriente superficial de fuente J si , se
tiene que J si ⋅ E < 0 y n ⋅ [S1 − S2 ]> 0 , de donde se interpreta que J si ⋅ E es una fuente
del vector de Poynting, distribuida superficialmente. Específicamente, J si ⋅ E mide la
densidad de potencia superficial de la fuente, en W/m2.
En el caso de que exista en la superficie una corriente superficial de convección J s ,
se tiene que J s ⋅ E > 0 y n ⋅ [S1 − S2 ]< 0 , de donde se interpreta que J s ⋅ E es un
2.2 CONDICIÓN DE FRONTERA PARA LA COMPONENTE NORMAL DEL VECTOR DE POYNTING
CAPÍTULO 2
5
sumidero del vector de Poynting, distribuido superficialmente. También en el caso de
que exista en la superficie una corriente superficial de conducción J sc , se tiene
J sc ⋅ E > 0 y n ⋅ [S1 − S2 ]< 0 , de donde se interpreta que J sc ⋅ E es un sumidero del
vector de Poynting, distribuido superficialmente. Tanto J s ⋅ E como J sc ⋅ E miden la
densidad de potencia superficial del sumidero, en W/m2.
A continuación se presentan dos aplicaciones de la condición de frontera para la
componente normal del vector de Poynting, usado en conjunto con el Teorema de
Poynting en forma diferencial.
2.3
APLICACIONES DE LA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR DE
POYNTING.
2.3.1
Solución del vector de Poynting utilizando la condición de frontera.
La condición de frontera para la componente normal del vector de Poynting puede
utilizarse junto con el Teorema de Poynting en forma diferencial para determinar el
vector de Poynting en un sistema electromagnético estático sin necesidad de determinar
el campo magnético, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Se tiene un sistema de longitud L en z, constituido por dos láminas de material
conductor ideal ubicadas en y = 0 y en y = d , una fuente de corriente superficial con
densidad J si = 1y J s0 ubicada en x = 0 y un conductor homogéneo de conductividad σ 0
en la región a < x < 2 a , 0 < y < d , cuya sección se muestra en la figura 2.1 de la
siguiente página.
Se pide determinar el vector de Poynting dentro del sistema, utilizando el teorema de
Poynting en forma diferencial y la condición de frontera para el vector de Poynting,
suponiendo que éste es nulo fuera del sistema y que el campo eléctrico es E = −1y E0
dentro del sistema.
2.2 CONDICIÓN DE FRONTERA PARA LA COMPONENTE NORMAL DEL VECTOR DE POYNTING
CAPÍTULO 2
6
y
Conductor
Aire
Fuente de
corriente
σ0
x
0
a
2a
Fig. 2.1: Sección longitudinal del sistema electromagnético bajo estudio.
Las líneas gruesas representan conductores ideales.
Solución
Por la ubicación de la fuente y el conductor, y la geometría del sistema, el vector de
Poynting es de la forma S = Sx (x) 1x . Entonces ∇ ⋅ S = dSx / dx .
En la región 0 < x < a hay aire, por lo que dSx / dx = 0 y Sx = c1 .
Aplicando la condición de frontera en x = 0 , y considerando que Sx (0 − ) = 0, se
(
)
tiene: 1x ⋅ S (0 + ) − S (0− ) = − J si ⋅ E = Js 0 E0 , por lo que Sx = c1 = Js 0 E0 .
En la región a < x < 2a hay un conductor, por lo que dSx / dx = − Jc ⋅ E = − σ 0 E02 y
Sx = − σ 0 E02 x + c2 .
(
)
Aplicando la condición de frontera en x = a , se tiene: 1x ⋅ S (a + ) − S (a− ) = 0 , por
lo que c2 =
J s0 E0 + σ 0 E02 a ,
y Sx =
− σ 0 E02 (x − a)
+ Js 0 E0 .
Para el vector de Poynting, se tiene finalmente:
⎧1x Js0 E0 , 0 < x < a, 0 < y < d
⎪
S =⎨
⎪⎩1 [− σ E 2 (x − a) + Js E ], a < x < 2a, 0 < y < d
0 0
x
0 0
Adicionalmente, puede encontrarse la relación entre la magnitud del campo eléctrico
y la de la densidad de corriente superficial de la fuente. Aplicando la condición de
(
)
frontera en x = 2 a , se tiene: 1x ⋅ S (2a+ ) − S (2a − ) = 0 , por lo que 0 = − σ 0 E02 a + J s0 E0 ,
de donde Js 0 = σ 0 E0 a . Por último, si se desea también puede determinarse el campo
magnético dentro del sistema, a partir del campo eléctrico y del vector de Poynting.
2.3 APLICACIONES DE LA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR DE POYNTING
CAPÍTULO 2
7
2.3.2 Descripción de un sistema estático a partir del vector de Poynting.
A partir del conocimiento del vector de Poynting en un sistema estático se puede
determinar la ubicación de las fuentes y sumideros de potencia del sistema.
Si
adicionalmente se conoce el campo eléctrico, se pueden determinar las densidades de
corriente volumétricas y superficiales del sistema. El siguiente ejemplo ilustra esta
aplicación, en la cual se utilizan en conjunto el Teorema de Poynting en forma diferencial
y la condición de frontera para la componente normal del vector de Poynting.
Ejemplo
Se tiene un sistema estático cilíndrico, de longitud L y radio 2R, en el cual el campo
eléctrico es E = 1z E0 y el vector de Poynting está dado por:
⎧1
⎪ ρ
S =⎨
⎪ 1ρ
⎩
E0 I0ρ
, 0 ≤ ρ < R,0 ≤ φ ≤ 2 π ,0 < z < L
2π R 2
E0 I0
πρ
,
R < ρ < 2R,0 ≤ φ ≤ 2π ,0 < z < L
Determinar la ubicación de las fuentes y sumideros de potencia del sistema y
determinar las densidades de corriente correspondientes, suponiendo que: a) no hay flujo
de potencia fuera del sistema, b) todas las constantes de la expresión dada son positivas,
c) las densidades de corriente son paralelas al campo eléctrico, y d) no hay corrientes de
convección.
Solución
Para determinar las fuentes y sumideros distribuidos volumétricamente, se calcula la
divergencia del vector de Poynting y se hace la clasificación de los volúmenes según los
resultados obtenidos y el Teorema de Poynting en forma diferencial.
La divergencia del vector de Poynting es:
⎧ E0 I0
⎪ 2 > 0 , 0 < ρ < R, 0 ≤ φ ≤ 2π , 0 < z < L
ρ Sρ = ⎨ π R
∇⋅ S =
ρ ∂ρ
⎪0, R < ρ < 2R, 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 < z < L
⎩
1 ∂
( )
De acuerdo a este resultado, hay una fuente de potencia en el volumen 0 < ρ < R ,
0 ≤ φ < 2 π , 0 < z < L , ya que en esa región la divergencia del vector de Poynting es
2.3 APLICACIONES DE LA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR DE POYNTING
CAPÍTULO 2
positiva.
8
En el volumen R < ρ < 2 R , 0 ≤ φ < 2 π , 0 < z < L hay algún material no
disipativo o vacío.
Para determinar la densidad de corriente de fuente, se utiliza nuevamente el Teorema
de Poynting en forma diferencial:
∇⋅ S =
E0 I 0
= − Ji ⋅ E
πR2
Como la densidad de corriente es antiparalela al campo eléctrico, de lo anterior se
deduce que Ji = −1z I0 / ( π R2 ) en el volumen 0 < ρ < R , 0 ≤ φ < 2 π , 0 < z < L .
Para ubicar las fuentes y sumideros distribuidos superficialmente, se evalúan las
discontinuidades del vector de Poynting en los extremos de cada intervalo, mediante la
condición de frontera, y se concluye en base a la magnitud y signo de los resultados:
(
+
−
)
En ρ = R : 1ρ ⋅ S (R ) − S (R ) = E0 I0 / (2π R) > 0 (hay una fuente de corriente
superficial)
En
ρ = 2 R:
(
)
1ρ ⋅ S (2 R + ) − S (2 R − ) = − E0 I0 / (2π R ) < 0
(hay
un
conductor
superficial)
Para determinar las densidades de corriente superficiales, se utiliza nuevamente la
condición de frontera para la componente normal del vector de Poynting:
ρ = R:
En
(
)
1ρ ⋅ S ( R + ) − S ( R − ) = E0 I0 / (2π R ) = − J si ⋅ E ,
de
donde
J si = −1z I0 / (2π R )
En
ρ = 2R :
(
)
1ρ ⋅ S (2 R + ) − S (2 R − ) = − E0 I0 / (2π R ) = − J sc ⋅ E ,
de
donde
J sc = 1z I0 / (2 π R).
En conclusión, el sistema electromagnético cuyo vector de Poynting y campo
eléctrico se especifican en el enunciado de este ejemplo, está constituido por una fuente
de corriente volumétrica con densidad Ji = −1z I0 / ( π R2 ) en el volumen 0 < ρ < R ,
0 ≤ φ ≤ 2π ,
0 < z < L,
una
fuente
de
corriente
superficial
con
densidad
J si = −1z I0 / (2π R) en la superficie ρ = R , 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 < z < L , y un conductor
superficial que transporta una densidad de corriente superficial J sc = 1z I0 / (2 π R) en la
superficie ρ = 2R , 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 < z < L . Además, para que exista continuidad en el
flujo de corriente, deben existir discos de material conductor ideal en las superficies
0 ≤ ρ < 2R , 0 ≤ φ ≤ 2 π , z = 0 y 0 ≤ ρ < 2R , 0 ≤ φ ≤ 2 π , z = L (las densidades de
2.3 APLICACIONES DE LA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR DE POYNTING
CAPÍTULO 2
9
corriente superficial en los discos puede obtenerse a partir de la condición de frontera
para la densidad de corriente). En el volumen R < ρ < 2R , 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 < z < L hay un
material no disipativo o vacío.
2.4
CONCLUSIONES.
En este capítulo se ha presentado la condición de frontera para la componente
normal del vector de Poynting, la cual establece que dicha componente es discontinua
donde existen fuentes de corriente superficiales en presencia de un campo eléctrico, y
donde existen corrientes superficiales de conducción o de convección en presencia de un
campo eléctrico. Esta condición de frontera complementa al Teorema de Poynting en
forma diferencial en cuanto a la descripción del vector de Poynting, de la misma manera
que las condiciones de frontera para las componentes normales de los campos
electromagnéticos complementan a las Leyes de Gauss en forma diferencial y la
condición de frontera para la densidad de corriente complementa a la Ecuación de
Continuidad en forma diferencial.
Además, la condición de frontera establece las
densidades de potencia de fuentes o sumideros de potencia distribuidos superficialmente.
Se puede conocer la naturaleza y distribución de las fuentes y sumideros de potencia
de un sistema electromagnético analizando la divergencia y las discontinuidades del
vector de Poynting mediante el Teorema de Poynting en forma diferencial y la condición
de frontera mencionada. Gracias a la existencia de la condición de frontera, también es
posible plantear y resolver problemas de valor en la frontera para el vector de Poynting,
sin necesidad de calcular el campo magnético en el volumen en cuestión. Por lo tanto, la
condición de frontera en cuestión puede utilizarse como una herramienta poderosa para
analizar y describir sistemas electromagnéticos, y para desarrollar nuevos problemas que
ayuden a entender y visualizar el significado físico del Teorema de Poynting.
La existencia de una condición de frontera para el vector de Poynting también puede
ser de ayuda en la solución del problema de la unicidad del vector de Poynting y de la
validez de su interpretación como densidad de flujo de potencia electromagnética.
La condición de frontera presentada aquí ha sido enseñada en la Universidad Simón
Bolívar por varios años, tanto en el curso intermedio de Electromagnetismo para
Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (EC1311), como en el curso introductorio de
2.3 APLICACIONES DE LA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR DE POYNTING
CAPÍTULO 2
10
Electromagnetismo de la Maestría de Ingeniería Electrónica (EC6311), demostrando su
valor pedagógico y práctico.
2.5
[1]
REFERENCIAS.
C. A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics, New York: J. Wiley &
Sons, Inc., 1981, ch. 1.
[2]
C. T. A. Jhonk, Engineering Electromagnetic Fields and Waves, 2nd ed., New
York: J. Wiley & Sons, Inc., 1980, ch. 7.
[3]
D. K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics, Massachusetts: Addison-Wesley
Pub. Co., 1989, ch. 8.
[4]
J. A. Kong, Theory of Electromagnetic Waves, New York: J. Wiley & Sons, Inc.,
1975, ch. 1.
[5]
L. M. Magid, Electromagnetic Fields, Energy and Waves, New York: J. Wiley &
Sons, Inc., 1972, ch. 8.
[6]
[7]
M. Schwartz, Principles of Electrodynamics, New York: McGraw-Hill, 1975, ch. 5.
R. F. Harrington, Time-Harmonic Electromagnetic Fields, New York: McGrawHill, 1961, ch. 1.
[8]
R. M. Fano, L. J. Chu and R. B. Adler, Electromagnetic Fields, Energy, and
[9]
Forces, Massachusetts: MIT Press, 1968, ch. 7.
R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics,
Mainly Electromagnetism and Matter, Vol. II, Massachusetts: Addison-Wesley
Pub. Co., 1964, ch. 27.
[10] R. Plonsey and R. E. Collin, Principles and Applications of Electromagnetic Fields,
New York: McGraw-Hill, 1961, ch. 9.
[11] S. Ramo, J. R. Whinnery and T. Van Duzer, Fields and Waves in Communication
Electronics, New York: J. Wiley & Sons, Inc., 1965, ch. 4.
[12] P. Lorrain and D. L. Corson, Introduction to Electromagnetic Fields and Waves.
San Francisco: W. H. Freeman and Co., 1962, ch. 9.
[13] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 2nd. ed. New York: J. Wiley and Sons,
1975, ch. 6.
[14] J. A. Stratton, Electromagnetic Theory. New York: McGraw-Hill, 1941, ch. 2.
[15] D. W. Dearholt and W. R. McSpadden, Electromagnetic Wave Propagation. New
York: McGraw-Hill, 1973, ch. 3.
2.4 CONCLUSIONES
CAPÍTULO 2
11
[16] M. Javid and P. M. Brown, Field Analysis and Electromagnetics. New York:
McGraw-Hill, 1964, ch. 6.
[17] C. C. Johnson, Field and Wave Electrodynamics. New York: McGraw-Hill, 1965,
ch. 1.
[18] R. K. Wangsness, Campos Electromagnéticos. México: Limusa, 1983, cap. 21.
[19] N. N. Rao, Basic Electromagnetics with Applications. New Jersey: Prentice-Hall
International, 1972, ch. 4.
[20] L. Eyges, The Classical Electromagnetic Field. Massachusetts: Addison-Wesley,
1972, ch. 11.
[21] P. C. Clemmov, An Introduction to Electromagnetic Theory.
Cambridge:
Cambridge University Press, 1973, ch. 5.
[22] J. Heading, Electromagnetic Theory and Special Relativity. London: University
Tutorial Press, 1964, ch. 7.
[23] L. Solymar, Lectures on Electromagnetic Theory.
London: Oxford University
Press, 1976, ch. 5.
[24] W. Hauser, Introduction to the Principles of Electromagnetism. Massachusetts:
Addison-Wesley, 1989, ch. 15.
[25] G. S. Smith, An Introduction to Classical Electromagnetic Radiation. Cambridge:
Cambridge University Press, 1997, pp. 52.
2.6
APÉNDICE: DERIVACIÓN DE LA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR
DE POYNTING
El teorema de Poynting en forma integral establece:
∫∫ S (r,t) ⋅ da = P (t) − (P(t) + P (t)) − dt (U (t) + U
d
i
c
e
m (t)
)
(A.1)
S =δ V
donde:
Pi (t) = Potencia entregada por las fuentes dentro del volumen V, W
P(t) = Potencia gastada en formar la corriente de convección dentro del volumen V,
W
Pc (t)= Potencia disipada por los conductores dentro del volumen V, W
2.5 REFERENCIAS
CAPÍTULO 2
12
dUe (t) / dt = Potencia absorbida por el campo eléctrico y la polarización dentro del
volumen V, W
dUm (t) / dt = Potencia absorbida por el campo magnético y la magnetización dentro
del volumen V, W
Estas potencias vienen dadas por las siguientes expresiones:
Pi (t) = −
∫∫∫ J ⋅ E dV − ∫∫ J
dV −
∫ E ⋅ (I dl)
(A.2)
∫∫∫ J ⋅ E dV + ∫∫ J ⋅ E dV + ∫ E ⋅ (I dl)
(A.3)
V
P(t) =
si ⋅ E
i
i
S
L
s
V
Pc (t) =
S
L
∫∫∫ J ⋅ E dV + ∫∫ J
c
V
dUe (t )
=
dt
sc
∫
⋅ E dV + E ⋅(Ic dl)
S
(A.4)
L
∂D
∫∫∫ E ⋅ ∂ t dV
(A.5)
V
dU m (t)
=
dt
∂B
∫∫∫ H ⋅ ∂ t dV
(A.6)
V
Para la deducción de la condición de frontera, se toma la superficie donde existen
corrientes superficiales, se supone que no hay corrientes lineales en la vecindad de la
superficie, y que los campos son finitos. Se supone también que la normal a la superficie
puede definirse en todo punto de la misma.
Se toma un volumen cilíndrico elemental ∆V atravesado por la superficie S, y con
tapas paralelas a la superficie, como se muestra en la figura A.1 de la siguiente página.
Luego se divide la expresión (A.1) entre el área ∆S de las tapas del volumen elemental, y
se toman los límites cuando ∆S → da y δ h → 0 en cada término.
Mediante este procedimiento, resulta:
∫∫ S (r ,t) ⋅ da
lím
δ h →0
∆ S →da
S= δV
∆S
= lím
δ h →0
∆S →da
Pi (t) − (P(t ) + Pc (t )) −
∆S
d
(Ue (t) + Um (t))
dt
(A.7)
2.6 APÉNDICE: DERIVACIÓN DE LA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR DE POYNTING
CAPÍTULO 2
13
n
S
∆S
∆V
P
∆S
δh
1
S
2
Perspectiva
Vista lateral
Fig. A.1: Volumen elemental para la deducción de la condición de
frontera (izquierda) y vista lateral del volumen y la superficie (derecha)
Después se sustituyen las expresiones (A.2) a (A.6) en (A.7) y se evalúan los límites
término a término, obteniéndose:
∫∫ S ⋅ da
lím
δ h→0
∆S→da
lím
δ h →0
∆ S →da
lím
δ h →0
∆ S →da
lím
δ h→0
∆S→da
S= δ ∆V
∆S
= n ⋅ (S1 − S2 )
Pi (t)
= −J si ⋅ E
∆S
(A.8)
(A.9)
P(t)
= Js ⋅ E
∆S
(A.10)
Pc (t)
= J sc ⋅ E
∆S
(A.11)
Los límites de los otros dos términos son cero porque los campos son finitos.
Sustituyendo de nuevo las expresiones (A.8) a (A.11) en (A.7) se obtiene finalmente la
condición de frontera en cuestión:
n ⋅ [S1 − S2 ] = − (J s i + J s + J sc )⋅ E
(A.12)
2.6 APÉNDICE: DERIVACIÓN DE LA CONDICIÓN DE FRONTERA PARA EL VECTOR DE POYNTING
CAPITULO 3
SOBRE LA REFLEXIÓN DE ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS ARMÓNICAS
CAPÍTULO 3
3.1
43
INTRODUCCIÓN.
El problema de la Reflexión y Refracción de ondas electromagnéticas es considerado
en la mayoría de los textos básicos de Física, así como en textos básicos, intermedios y
avanzados de Electromagnetismo y Ondas Electromagnéticas. Para el caso de incidencia
oblicua de una onda plana uniforme monocromática sobre la interfaz plana que separa a
dos medios semi-infinitos lineales, isotrópicos y homogéneos, se estudian los casos en
que el campo eléctrico de la onda incidente tiene polarización perpendicular o paralela, y
se define en cada caso un coeficiente de reflexión y un coeficiente de transmisión,
también llamados coeficientes de Fresnel, aplicando las condiciones de frontera para las
componentes tangenciales de los campos electromagnéticos en la interfaz entre los
medios. Dichos coeficientes relacionan a las amplitudes de los campos eléctricos de las
ondas reflejada y transmitida con la de la onda incidente, para cada caso de polarización.
En la mayoría de los textos se derivan los mencionados coeficientes sólo para el caso
en que los medios son dieléctricos ideales [1 - 13]. En algunos textos, especialmente de
los niveles intermedio y avanzado, se presenta el estudio del problema de reflexión para
medios sin pérdidas, suponiendo que los medios pueden ser magnetizables [14 - 36].
Sólo en algunos textos se consideran medios con pérdidas, considerados a través de
permitividades y permeabilidades complejas [37 - 39].
Algunos textos discuten la
conservación de la energía asociada al problema de reflexión [3, 12, 14, 16, 17, 18, 21,
25, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 39].
Es conveniente mencionar que algunos autores llaman coeficientes de reflexión y de
transmisión a aquellos que relacionan la componente normal a la interfaz de las
densidades de potencia promedio de las ondas reflejada y transmitida con la de la onda
incidente [2, 15, 33, 34, 35]. En el contexto de este trabajo, se llamará a éstos últimos
Reflectancia y Transmitancia, o coeficientes de reflexión y transmisión de potencia,
como lo hacen algunos autores [12, 16, 17, 21, 32, 39].
Existe lo que podría llamarse el “paradigma clásico” del fenómeno de reflexión y
refracción de ondas electromagnéticas planas, que podría resumirse como sigue: la onda
incidente, al chocar con la interfaz que separa a los dos medios, se divide, originando una
onda reflejada en el medio de incidencia y una onda transmitida en el medio de
3.1 INTRODUCCIÓN
43
CAPÍTULO 3
44
transmisión. Esta es la forma en que describen al fenómeno de reflexión la mayoría de
los estudiantes después de haber sido expuestos al tema en los cursos de física básica, e
inclusive después de haber estudiado detalladamente la reflexión en el curso de Teoría de
Ondas electromagnéticas. También es la forma en que describen el fenómeno muchos
ingenieros electrónicos.
En las numerosas ocasiones que he dictado el curso de Teoría de Ondas
electromagnéticas de la carrera de Ingeniería Electrónica, he detectado que los
estudiantes deducen los siguientes conceptos al aplicar el principio de conservación de la
energía al paradigma descrito en el párrafo anterior:
•
La amplitud del campo eléctrico de la onda transmitida no puede ser mayor que la de
la onda incidente, ya que la onda transmitida es originada por la incidente.
Adicionalmente, la densidad de potencia de la onda transmitida no puede superar a la
de la onda incidente.
•
La suma de las magnitudes de las densidades de potencia promedio de las ondas
reflejada y transmitida es igual a la magnitud de la densidad de potencia promedio de
la onda incidente. Esta idea aparece también en algunos textos [17, 20].
Entre los casos particulares del fenómeno de Reflexión se estudian frecuentemente el
caso de Reflexión Nula (incidencia con el ángulo de Brewster), y el caso de Reflexión
Total Interna (incidencia con ángulo igual o superior al ángulo crítico), casos que se dan
cuando los medios de incidencia y transmisión no tienen pérdidas. En estos casos, al
aplicar el principio de conservación de la energía al paradigma descrito anteriormente, el
estudiante deduce los siguientes conceptos:
•
Cuando hay Reflexión Total Interna no existe onda transmitida, ya que el coeficiente
de transmisión es mínimo. La idea de que no existe onda transmitida en este caso
aparecen también en algunos textos [8 - 11], aunque la asocian al hecho de que es
imposible que el seno del ángulo de transmisión supere la unidad, resultado obtenido
de aplicar la Ley de Snell a este caso.
•
Cuando hay Reflexión Nula el coeficiente de transmisión es máximo. Algunos
textos mencionan que en este caso hay máxima refracción [21, 31, 38]. Aunque esto
no implica que el coeficiente de transmisión sea máximo, sino el de Transmitancia
[21], el estudiante hace la asociación de inmediato.
3.1 INTRODUCCIÓN
44
CAPÍTULO 3
45
Los conceptos mencionados reflejan la idea de que cuando el coeficiente de
reflexión es máximo, el de transmisión es mínimo, y viceversa, y la idea de que los
mencionados coeficientes tienen máximos o mínimos locales. Estas ideas no sólo son
manejadas por los estudiantes del curso de ondas electromagnéticas, sino por
profesionales de la ingeniería e incluso por algunos autores, tal como se deduce de los
enunciados de algunos problemas, en los cuales se pide al estudiante “calcular el ángulo
de incidencia para el cual se tiene máxima potencia transmitida”, implicando el uso del
ángulo de Brewster.
El manejo de estos conceptos demuestra, por una parte, la fuerza del paradigma
arriba descrito, y por otra, que al tópico de reflexión frecuentemente se le da un
tratamiento incompleto, y se pasan por alto detalles que ponen en duda la validez de los
conceptos enunciados. Estos detalles se describen a continuación:
•
En el caso de incidencia con el ángulo crítico, los coeficientes de transmisión no se
anulan, sino que superan a la unidad tanto para polarización perpendicular como
para polarización paralela, por lo que existe una onda plana uniforme transmitida
cuyo campo eléctrico tiene una amplitud que en cualquier caso supera a la del campo
eléctrico de la onda incidente.
•
Cuando el ángulo de incidencia supera al ángulo crítico, la onda en el medio de
transmisión se hace una onda evanescente. Aunque los textos que consideran este
caso mencionan que esta onda se atenúa exponencialmente en una distancia corta en
dirección normal a la interfaz [11, 12, 13, 14, 16, 19, 21, 24, 27, 28, 29, 30, 31, 32,
33, 36], la transición de onda plana uniforme a onda evanescente debe hacerse de
forma continua, por lo que la distancia en que se extingue la onda disminuye a
medida que aumenta la diferencia entre el ángulo de incidencia y el ángulo crítico.
De igual manera, los coeficientes de transmisión deben variar continuamente desde
el valor que tienen para incidencia con el ángulo crítico hasta cero, que es el valor
que deben tener para incidencia rasante.
•
El coeficiente de transmisión no es máximo para incidencia con el ángulo de
Brewster, sino para incidencia con el ángulo crítico, como se demostrará más
adelante. Por lo tanto, la incidencia con el ángulo de Brewster no maximiza el
coeficiente de transmisión.
3.1 INTRODUCCIÓN
45
CAPÍTULO 3
46
Esto quiere decir que existen resultados numéricos que no están de acuerdo con lo
que predicen los conceptos manejados comúnmente, generándose una aparente
contradicción que justifica una revisión profunda de los conceptos derivados de la
descripción clásica de la Reflexión, así como la verificación de los resultados numéricos
a la luz de la conservación de la energía y la revisión de la misma descripción del
fenómeno.
La reacción de los distintos autores a esta contradicción, la cual se hace más evidente
en el caso de Reflexión Total Interna, es diversa: la mayoría no la menciona, Wangsness
menciona que es paradógico que haya energía en el medio de transmisión [16]; Solymar,
luego de afirmar que no hay propagación en dicho medio, se pregunta por qué el
coeficiente de transmisión no se anula [11], Stratton señala que el análisis en régimen
armónico no ofrece explicaciones sobre la manera en que la energía pasa al medio de
transmisión [35].
También es frecuente encontrar la extrapolación de los resultados del estudio de la
reflexión de ondas planas uniformes sobre una interfaz plana a ondas que no son
uniformes, a problemas en que la interfaz es finita y a problemas con tres o más regiones,
sin tomar en cuenta que pueden violarse algunas de las suposiciones hechas en el
momento de deducir los coeficientes de Fresnel.
Este trabajo se ocupa de presentar, discutir y resolver la contradicción aparente entre
los resultados numéricos obtenibles en el estudio del problema de reflexión en medios sin
pérdidas y el principio de conservación de la energía, y de discutir sobre la extrapolación
de los resultados del estudio de la reflexión a problemas más complejos.
Se comienza por estudiar el comportamiento de los coeficientes de Fresnel en
función del ángulo de incidencia, y se deduce que dicho comportamiento es
monótonamente creciente o decreciente, dependiendo del cociente de las velocidades de
propagación en los medios, para todos los ángulos en que dichos coeficientes son
números reales, con lo cual los coeficientes tienen sus máximos y mínimos en los
extremos de los intervalos angulares. Se evalúan seguidamente dichos valores máximos
y mínimos. Este estudio de los coeficientes de Fresnel no ha sido encontrado en ninguno
de los textos revisados.
3.1 INTRODUCCIÓN
46
CAPÍTULO 3
47
Puesto que se verifica con el estudio de los coeficientes de Fresnel que los resultados
numéricos obtenibles son correctos en todos los casos, queda pendiente la solución de la
contradicción aparente entre dichos resultados y el principio de conservación de la
energía. Para resolver la contradicción, se aplica el Teorema de Poynting al problema de
reflexión, y se deduce una expresión que relaciona entre sí a las magnitudes de las
densidades de potencia promedio de las ondas incidente, reflejada y transmitida, y se
demuestra que los resultados numéricos son admisibles a la luz del Teorema de Poynting.
Además, se discute sobre el origen de las ondas reflejada y transmitida a la luz de dicho
teorema.
Se concluye que no hay contradicción en los resultados numéricos y el Teorema de
Poynting, y que las aparentes contradicciones surgen de: a) una aplicación errónea del
principio de conservación de la energía a las magnitudes de los campos y/o a las de las
densidades de potencia, y b) de la misma descripción clásica del fenómeno de reflexión,
descripción en la que la onda incidente se divide para originar a las ondas reflejada y
transmitida. Se presenta una descripción alternativa del fenómeno de reflexión, en la que
no se establece la división de la onda incidente, sino la existencia simultánea de las ondas
incidente, reflejada y transmitida, originadas en una fuente común y necesarias para que
se satisfagan las condiciones de frontera en la interfaz que separa a los medios.
El capítulo culmina con la presentación y discusión de algunos ejemplos en que se
hace frecuentemente una extrapolación de los resultados del estudio básico de reflexión a
problemas de reflexión con geometrías más complejas o con ondas no uniformes, y se
mencionan los errores que pueden producirse en dichas extrapolaciones.
3.2
ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE FRESNEL.
El fenómeno de Reflexión está vinculado a la incidencia de ondas electromagnéticas
planas, uniformes y monocromáticas sobre la interfaz plana infinita que separa a dos
medios lineales, isotrópicos y homogéneos de parámetros electromagnéticos distintos.
Suponiendo, para mayor generalidad, que los medios tienen pérdidas, cada medio es
caracterizado por una impedancia intrínseca compleja ηˆ = µˆ / εˆ y una constante de
propagación compleja γˆ = jω µˆ εˆ , siendo µˆ y εˆ la permeabilidad compleja y la
permitividad compleja del medio, respectivamente.
3.1 INTRODUCCIÓN
47
CAPÍTULO 3
48
En el problema de reflexión se define un plano de incidencia, el cual contiene al
vector n normal a la interfaz y a los vectores de unitarios de propagación 1i , 1r y 1t de
las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectivamente.
Adicionalmente, los
campos eléctricos de cada una de las ondas se descomponen en una componente paralela
al plano de incidencia, identificada con el subíndice / / , y una componente perpendicular
al plano de incidencia, identificada con el subíndice ⊥ . En la figura 3.1 se muestra la
geometría para el estudio del problema de reflexión en régimen armónico.
Fig. 3.1: Geometría para el estudio de la reflexión de ondas planas
uniformes en régimen armónico.
Antes de definir los coeficientes de Fresnel, es necesario escribir los campos
eléctricos de las ondas incidente, reflejada y transmitida:
(
)
ˆ
Eˆ r = (1y Eˆr⊥ + 1er // Eˆr / / )e − γ 1r⋅r
ˆ
Eˆ t = (1y Eˆt⊥ + 1et/ / Eˆ t // )e − γ 1t⋅r
ˆ
− γˆ 1i⋅r
Ei = 1y Eˆi⊥ + 1ei / / Eˆi // e 1
1
2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
3.2 ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE FRESNEL
CAPÍTULO 3
49
donde Eˆ i⊥ y Eˆ i/ / son, respectivamente, las amplitudes complejas de la componentes
perpendicular y paralela del campo eléctrico de la onda incidente, Eˆ r⊥ y Eˆ r/ / son,
respectivamente, las amplitudes complejas de la componentes perpendicular y paralela
del campo eléctrico de la onda reflejada, y Eˆ t⊥ y Eˆ t/ / son las amplitudes complejas de la
componentes perpendicular y paralela del campo eléctrico de la onda transmitida,
respectivamente. Nótese que en la forma de expresar los campos está implícito que se
supone que son ondas planas uniformes.
3.2.1
Definición de los coeficientes de reflexión y transmisión.
Los coeficientes de reflexión para cada polarización se definen como el cociente
entre la amplitud compleja del campo eléctrico reflejado y la del campo eléctrico
incidente para la polarización en cuestión:
Rˆ ⊥ ≡ Eˆ r⊥ / Eˆi⊥ ; Rˆ / / ≡ Eˆ r/ / / Eˆ i/ /
De manera análoga, los coeficientes de transmisión para cada polarización se definen
como el cociente entre la amplitud compleja del campo eléctrico transmitido y la del
campo eléctrico incidente para la polarización bajo estudio:
Tˆ⊥ ≡ Eˆt⊥ / Eˆ i⊥ ; Tˆ/ / ≡ Eˆt / / / Eˆi //
Los coeficientes de reflexión y de transmisión pueden deducirse de aplicando las
condiciones de frontera de las componentes de los campos electromagnéticos
tangenciales a la interfaz que separa los dos medios. Los resultados son:
ηˆ cos θ i − ηˆ 2 cos θt
Rˆ / / = 1
ηˆ1 cos θ i + ηˆ 2 cos θt
(3.4)
ηˆ cos θi − ηˆ 1 cos θt
Rˆ ⊥ = 2
ηˆ 2 cos θi + ηˆ 1 cos θt
(3.5)
Tˆ/ / =
2 ηˆ 2 cos θi
ηˆ 1 cos θ i + ηˆ 2 cos θ t
(3.6)
Tˆ⊥ =
2 ηˆ 2 cos θi
ηˆ 2 cosθ i + ηˆ1 cosθ t
(3.7)
3.2 ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE FRESNEL
CAPÍTULO 3
3.2.2
50
Comportamiento de los coeficientes de reflexión y transmisión.
A continuación se estudio el comportamiento de los coeficientes de reflexión y
transmisión en función del ángulo de incidencia para el caso en que los dos medios no
tienen pérdidas, a fin de conocer la ubicación de sus máximos y mínimos y determinar si
es cierto que pueden maximizarse o minimizarse para algún ángulo de incidencia. Antes
de procederse al estudio, hay que sustituir al ángulo de transmisión en términos del
ángulo de incidencia, para lo cual se recurre a la Ley de Snell generalizada:
γˆ1 senθ i = γˆ 2 senθ t
(3.8)
Para el caso en que los medios no tienen pérdidas, la Ley de Snell se puede escribir
de la siguiente manera:
senθ t = (v2 / v1 ) senθi
(3.9)
donde v1 y v2 son las magnitudes de las velocidades de propagación de los dos medios.
De aquí se tiene que1:
cos θ t = 1− (v2 / v1 ) sen 2θ i
2
(3.10)
Dado que 0 ≤ θ i ≤ π / 2, la ecuación 3.9 implica que cuando v2 > v1 se tiene que
senθ t > senθ i , por lo que senθ t puede ser la unidad para algún 0 < θ i < π / 2. Al ángulo
de incidencia para el cual senθ t = 1 se le denomina ángulo crítico θ ic , y viene dado por:
θ ic = sen -1 (v1 / v 2 )
(3.11)
Cuando θ i > θ ic , se tiene que senθ t > 1, lo que implica que θ t es complejo. El
hecho de que para v2 > v1 puedan existir ángulos de transmisión complejos exige estudiar
por separado el comportamiento de los coeficientes de Fresnel para los casos v2 < v1 y
v2 > v1 . Puede demostrarse que cuando θ t es complejo la onda transmitida es una onda
plana no uniforme, también llamada onda evanescente.
El comportamiento de los coeficientes de Fresnel se estudia a continuación mediante
diferenciación respecto al ángulo de incidencia.
Dado que existen ecuaciones que
relacionan a los coeficientes de reflexión con los de transmisión, a continuación se
procede a calcular la derivada de estos últimos respecto al ángulo de incidencia.
1
Se utiliza el signo positivo porque el ángulo de transmisión está en el primer cuadrante.
3.2 ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE FRESNEL
CAPÍTULO 3
51
Se obtiene2:
dT //
dθi
=
2
η22 senθi
cos θ t
⎛
⎛
⎜ v2 − 1⎞⎟ ⎜ v2 sen 2 θi + 1⎞⎟
⎠ ⎝ v1
⎠
⎝ v1
(η1 cos θ i + η2 cos θ t )2
⎜⎛ v2 − 1⎞⎟ ⎜⎛ v2 sen2 θ + 1⎞⎟
i
⎠
dT⊥ 2 η1 η2 senθ i ⎝ v1 ⎠ ⎝ v1
=
2
dθ i
cos θt
(η2 cos θ i + η1 cos θ t )
(3.12)
(3.13)
Para las derivadas de los coeficientes de reflexión, se tiene:
R/ / = (η1 / η2 ) T / / − 1 ⇒
R⊥ = T⊥ − 1 ⇒
dR//
dT
= (η1 / η2 ) //
dθ i
dθi
dR⊥ dT⊥
=
dθ i
dθ i
(3.14)
(3.15)
A continuación se analizan las derivadas de los coeficientes de Fresnel para los casos
v2 < v1 y v2 > v1 .
3.2.2.1 CASO v2 < v1 .
En este caso, θ t es real para 0 ≤ θ i ≤ π / 2. Además, θ t < θi . Se observa que todos
los factores en las ecuaciones 3.12 y 3.13 son positivos, con la excepción del factor
(v2 / v1 − 1) , por lo que las derivadas de los coeficientes de transmisión y reflexión son
negativas para 0 ≤ θ i ≤ π / 2. Esto implica que los mencionados coeficientes tienen un
comportamiento monótonamente decreciente, con lo cual son máximos para θ i = 0 y son
mínimos para θ i = π / 2. Los valores de los máximos y mínimos de los coeficientes se
presentan en la tabla 3.1 de la siguiente página.
El hecho de que los coeficientes de Fresnel en este caso sean estrictamente
decrecientes confirma que es falso que para incidencia con el ángulo de Brewster, en la
cual el coeficiente de reflexión es nulo, el coeficiente de transmisión sea máximo, tal
como comúnmente se deduce mediante la aplicación intuitiva del principio de
conservación de la energía al problema de reflexión.
2
La derivación se hizo en primer lugar de forma analítica, y luego se verificó utilizando el programa
“Mathematica” [40].
3.2 ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE FRESNEL
CAPÍTULO 3
52
Tabla 3.1: Máximos y mínimos de los coeficientes de Fresnel para v2 < v1 .
Máximos (θ i = 0)
Polarización
Paralela
R/ / (máx) =
η1 − η2
η1 + η2
Mínimos (θ i = π / 2)
R/ / (mín) = −1
T / / ( mín) = 0
2 η2
T / / (máx) =
η1 + η2
η2 − η1
η2 + η1
2η2
T ⊥ ( máx ) =
η 2 + η1
Perpendicular
R⊥ (máx) =
R⊥ (mín) = − 1
T ⊥ (mín) = 0
Los máximos de los coeficientes de reflexión y transmisión ocurren simultáneamente
para incidencia normal (θ i = 0) , mientras que los mínimos ocurren simultáneamente para
incidencia rasante (θ i = π / 2). Adicionalmente, los coeficientes de transmisión superan
la unidad si η2 > η1 . La simultaneidad de los máximos y mínimos de los coeficientes de
reflexión y de transmisión no podría predecirse bajo el paradigma de que la onda
incidente se divide y origina a las ondas reflejada y transmitida, ya que contradice a dicho
paradigma.
Observando la tabla 3.1, se concluye también sobre la factibilidad de existencia del
ángulo de Brewster.
Dado el comportamiento estrictamente decreciente de los
coeficientes de reflexión, y sabiendo que son negativos para θ i = π / 2, se deduce que
tienen que ser positivos para θ i = 0 , con lo cual el ángulo de Brewster existe si η1 > η 2
en el caso de polarización paralela, y si η1 < η 2 para el caso de polarización
perpendicular. Este resultado es importante, ya que en la mayoría de los textos sólo se
discute sobre la factibilidad de existencia del ángulo de Brewster para los casos
particulares µ1 = µ2 y ε 1 = ε 2 .
3.2.2.2
CASO v2 > v1 .
En este caso, θ t es real para 0 ≤ θ i ≤ θic . Además, θ t > θi . Se observa que todos
los factores en las ecuaciones 3.11 y 3.12 son positivos, por lo que las derivadas de los
coeficientes de transmisión y reflexión son positivas para 0 ≤ θ i ≤ θic . Esto implica que
los mencionados coeficientes tienen un comportamiento monótonamente creciente, con
lo cual son mínimos para θ i = 0 y son máximos para θ i = θ ic . Los valores de los
máximos y mínimos de los coeficientes se presentan en la tabla 3.2.
3.2 ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE FRESNEL
CAPÍTULO 3
53
Tabla 3.2: Máximos y mínimos de los coeficientes de Fresnel para v2 > v1 y
0 ≤ θ i ≤ θic .
Polarización
Paralela
Mínimos (θ i = 0)
R/ / (mín) =
η1 − η 2
η1 + η 2
2 η2
T/ / (mín) =
η1 + η2
Perpendicular
R⊥ (mín) =
η2 − η1
η2 + η1
2 η2
T ⊥ ( mín) =
η2 + η1
Máximos (θ i = θic )
R/ / (máx ) = 1
T / / ( máx ) =
2 η2
η1
R⊥ (máx) = 1
T ⊥ (máx) = 2
El hecho de que los coeficientes de Fresnel en este caso sean estrictamente
crecientes confirma que es falso que para incidencia con el ángulo crítico, en la cual el
coeficiente de reflexión es máximo, el coeficiente de transmisión sea mínimo (nulo), tal
como comúnmente se deduce a partir de la aplicación intuitiva del principio de
conservación de la energía al problema de reflexión. También es falso, nuevamente, que
el coeficiente de transmisión sea máximo para incidencia con el ángulo de Brewster.
Los mínimos de los coeficientes de reflexión y transmisión ocurren simultáneamente
para incidencia normal (θ i = 0) , mientras que los máximos ocurren simultáneamente
para incidencia con el ángulo crítico (θ i = θic ) .
Además, para polarización
perpendicular el coeficiente de transmisión máximo es 2, mientras que para polarización
paralela puede superar la unidad si η2 > η1 / 2 . La simultaneidad de los máximos y
mínimos de los coeficientes de reflexión y transmisión de nuevo no podría predecirse
bajo el paradigma de que la onda incidente se divide y origina a las ondas reflejada y
transmitida, ya que contradice dicho paradigma.
En relación a la factibilidad de existencia del ángulo de Brewster, en este caso es
necesario que los coeficientes de reflexión sean negativos para θ i = 0 , dado el
comportamiento estrictamente creciente de los coeficientes. Las condiciones para la
existencia del ángulo de Brewster son, en este caso: η1 < η 2 para polarización paralela, y
η1 > η 2 para polarización perpendicular.
3.2 ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE FRESNEL
CAPÍTULO 3
54
El comportamiento de los coeficientes de Fresnel para θ i > θ ic se presenta a
continuación. Como senθ t > 1, se tiene para el coseno3:
cos θ t = − j sen θt − 1
2
Sustituyendo la Ley de Snell en la ecuación anterior, se tiene:
cos θ t = − j
(v2 / v1 )2 sen 2 θi − 1 = − j (senθ i / senθ ic )2
−1
(3.16)
Al sustituir la ecuación 3.16 en los coeficientes de reflexión y de transmisión, se
tienen las expresiones mostradas en la tabla 3.3.
Tabla 3.3: Coeficientes de Fresnel complejos para incidencia con θ i > θ ic
Coeficientes de Reflexión
Coeficientes de transmisión
⎡
⎛
⎞⎤
⎛ senθ i ⎞ 2
η2
−1
ˆ
⎜
⎟
− 1⎟ ⎥
R/ / = exp ⎢ j2tan ⎜
⎢⎣
⎠ ⎥⎦
⎝ η1 cos θi ⎝ v1 / v2 ⎠
Tˆ/ / =
⎡
⎛
⎞⎤
⎛ senθ i ⎞ 2
η1
−1
ˆ
⎜
⎟
− 1⎟ ⎥
R⊥ = exp ⎢ j2tan ⎜
⎢⎣
⎝ η2 cos θ i ⎝ v1 / v2 ⎠
⎠ ⎦⎥
Tˆ⊥ =
2 η2
η1 − j
⎛⎜ senθi ⎞
η2
⎟
cos θ i ⎝ v1 / v2 ⎠
2
−1
2 η2
η2 − j
η1 ⎛⎜ senθ i ⎞⎟
cosθ i ⎝ v1 / v 2 ⎠
2
−1
Lo más importante de destacar en el caso de incidencia con θ i > θ ic es que la
magnitud de los coeficientes de reflexión es la unidad para θ ic < θ i < π / 2 , con lo cual
se mantiene la Reflexión Total Interna para todo el intervalo θ ic ≤ θ i < π / 2 . En cuanto
a los coeficientes de transmisión, el radical en la parte imaginaria del denominador es
creciente, mientras que cos θ i es decreciente, con lo cual la magnitud del denominador
es creciente y la magnitud de dichos coeficientes es decreciente para θ ic ≤ θ i < π / 2 ,
siendo nulos para incidencia rasante (θ i = π / 2) , como debe esperarse.
3.3
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE POYNTING AL PROBLEMA DE REFLEXIÓN.
Considérese un volumen en forma de paralelepípedo que contenga parte de los dos
medios, tal como se muestra en la figura 3.2.
3
Se elige el signo negativo en la raíz para que la onda en el medio 2 (z>0) sea una onda evanescente.
3.2 ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE FRESNEL
CAPÍTULO 3
55
5
Sr
Sr
Sr
Si
1
2
MEDIO 1
Si
Si
x
MEDIO 2
3
4
St
St
6
Fig. 3.2:
z
St
Volumen para la aplicación del Teorema de Poynting al
problema de reflexión en medios sin pérdidas y sin fuentes. Se muestran
las densidades de potencia promedio en cada cara del volumen.
Como no hay fuentes y los medios no tienen pérdidas, el promedio temporal del
Teorema de Poynting para campos armónicos en este caso establece que:
∫∫ S .da = 0
(3.17)
S =δ V
Dado que las ondas son planas y uniformes, y que los medios no tienen pérdidas, sus
vectores de Poynting promedio son constantes. De aquí que los flujos a través de los
pares de superficies 1-2 y 3-4 se anulan entre sí.
Los flujos a través de las superficies 5 y 6 deben anularse entre sí para que el flujo
total sea cero. Por lo tanto:
Si cos θ i − Sr cos θi − St cos θ t = 0
Esta es la única relación entre Si , Sr
(3.18)
y St , y se satisface aunque St
sea
mayor que Si gracias a que cos θ t < cos θ i en los casos en que v2 > v1 , como sucede en
el caso de Reflexión Total Interna, donde además cos θ t = 0 .
La ecuación 3.18 establece que la componente normal a la interfaz de la densidad de
potencia promedio incidente es igual a la suma de las componentes normales de las
densidades de potencia promedio reflejada y transmitida, y es análoga a la expresión que
3.3 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE POYNTING AL PROBLEMA DE REFLEXIÓN
CAPÍTULO 3
56
relaciona a la Reflectancia y la Transmitancia: Reflectancia+Transmitancia=1 [16, 21, 33,
35]. En otras palabras, el principio de conservación de la energía sólo aplica a las
componentes normales a la interfaz de la densidad de potencia promedio, lo cual es
reseñado por Diament [25].
Mediante este análisis no se ha obtenido ninguna ecuación que relacione a las
componentes paralelas a la interfaz de las densidades de potencia promedio incidente,
reflejada y transmitida. Este hecho es reseñado explícitamente sólo por algunos autores
[26]. Esto implica que las componentes tangenciales de las densidades de potencia
promedio tangenciales de las ondas reflejada y transmitida no se originan en la onda
incidente.
Pocos autores se cuestionan el origen de la energía que poseen las ondas en el
problema de reflexión, los que lo hacen, lo hacen en el marco del caso de Reflexión
Interna (RTI).
Ya se comentó que Stratton menciona que el análisis en régimen
permanente, con ondas y superficies infinitas, no es capaz de explicar cómo pasa energía
a la onda transmitida en RTI [35]. Javid y Brown indican que la densidad de potencia de
la onda transmitida en RTI proviene del extremo izquierdo en el medio de transmisión
[21]. Demarest sugiere que la onda transmitida en RTI se establece en el proceso
transitorio [18]. Magid afirma, sin referirse específicamente al fenómeno de RTI, que las
componentes tangenciales de la densidad de potencia promedio de cada onda se
conservan por sí mismas, por lo que el hecho de que sean distintas en los dos medios no
constituye una violación de la conservación de la energía [26].
Para resolver la cuestión del origen de las ondas, hay que considerar a la fuente
dentro del problema. Como las ondas son planas y uniformes en un espacio infinito, hay
que suponer también que la fuente es de extensión infinita, por lo que parte de ella estará
en el medio 1 y parte en el medio 2. Aunque el hecho de suponer a parte de la fuente en
el medio 2 rompe con el paradigma clásico de que la fuente está sólo en el medio 1, es
una idealización comparable con la idealización de que la superficie reflectora y las
ondas son de extensión infinita.
Se aplicará el Teorema de Poynting considerando un volumen que contiene a un
segmento de la fuente y a parte de ambos medios, como se muestra en la figura 3.3 de la
siguiente página. Para simplificar el análisis, se supone que la fuente sólo irradia ondas
3.3 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE POYNTING AL PROBLEMA DE REFLEXIÓN
CAPÍTULO 3
57
hacia su lado derecho, además, se elige a la superficie del lado izquierdo del volumen
paralela a la fuente.
5
Sr
Sr
Si
1
2
MEDIO 1
Si
x
MEDIO 2
3
4
FUENTE
6
St
z
St
Fig. 3.3: Volumen para la aplicación del Teorema de Poynting al problema
de reflexión en medios sin pérdidas, considerando a la fuente.
El promedio temporal del Teorema de Poynting para campos armónicos en este caso
establece que:
Ps =
∫∫ S .da > 0
(3.19)
S= δ V
donde Ps es la potencia promedio entregada por la fuente dentro del volumen.
Para el volumen de la figura 3.3, la ecuación 3.19 implica:
Ps = Pi , x + Pr , x + Pt , x − Pi , z + Pr ,z + Pt , z
(3.20)
donde el subíndice x identifica a las potencias promedio correspondientes a las
componentes del vector de Poynting paralelas a la interfaz, y el subíndice z identifica a
las potencias promedio correspondientes a las componentes del vector de Poynting
normales a la interfaz.
De la ecuación 3.20 se deduce lo siguiente:
a)
Aunque en el análisis correspondiente a la figura 3.2 (caso sin fuente) se obtuvo la
ecuación 3.18, la cual puede reescribirse − Pi,z + Pr,z + Pt,z = 0 , en ese caso dicha
3.3 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE POYNTING AL PROBLEMA DE REFLEXIÓN
CAPÍTULO 3
58
ecuación era válida porque el área de la superficie identificada como 5 era igual al
área de la identificada como 6. Sin embargo, en el caso del análisis correspondiente
a la figura 3.3 se tiene que el área de la superficie identificada como 5 es menor al
área de la identificada como 6, por lo que − Pi,z + Pr,z + Pt,z > 0 . Esto implica que
las porciones de Pr,z y Pt,z que no son originadas por Pi,z se originan en la fuente.
b) Dado que − Pi,z + Pr,z + Pt,z > 0 , se tiene que Pi,x , Pr,x y Pt,x también se originan
en la fuente.
c)
Aunque Pi,z no se origina dentro del volumen (es un flujo de potencia entrante al
volumen), es originada por la parte de la fuente que está fuera del volumen.
En resumen, las ondas incidente, reflejada y transmitida son originadas por la fuente
de potencia del sistema (la cual tiene extensión infinita). Más aún, en régimen armónico
dicha fuente debe suministrar potencia permanentemente a las tres ondas para
mantenerlas, así como para mantener los procesos de polarización y magnetización en los
medios, los cuales son responsables de las discontinuidades de los campos en la interfaz
e, indirectamente, del fenómeno de refracción [32, 33]. A la luz del presente análisis, no
es cierto que la onda incidente origina a las ondas reflejada y transmitida, tal como se
cree corrientemente y como afirman algunos autores [33].
3.4
DESCRIPCIÓN ALTERNATIVA DEL FENÓMENO DE REFLEXIÓN.
A continuación se ofrece una descripción alternativa del fenómeno de reflexión en
régimen sinusoidal permanente, basada en el hecho de las ondas incidente, reflejada y
transmitida son originadas por la misma fuente.
Dado que en régimen sinusoidal permanente se supone que los campos existen
permanentemente, la naturaleza misma del régimen elimina la secuencia temporal en la
existencia de los campos y en la descripción del fenómeno de reflexión.
Esto significa que en régimen armónico no tiene sentido decir que la onda incidente
“llega, choca con la interfaz y origina a las ondas reflejada y transmitida”, puesto que las
ondas existen permanentemente. Tiene más sentido decir que “deben existir las tres
ondas (incidente, reflejada y transmitida) simultánea y permanentemente para que se
cumplan las condiciones de frontera en la interfaz”. Al eliminarse la secuencia temporal
3.3 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE POYNTING AL PROBLEMA DE REFLEXIÓN
CAPÍTULO 3
59
en la descripción del fenómeno, las ondas reflejada y transmitida no se originan de la
onda incidente, sino que se admite la posibilidad de que las tres ondas se originen en una
fuente común, tal como se demostró mediante la aplicación del Teorema de Poynting. Si
se desea incluir la conservación de la energía en la descripción del fenómeno, hay que
indicar explícitamente que dicha conservación sólo involucra a las componentes
normales a la interfaz de los vectores de Poynting promedio de las tres ondas.
3.5
SOBRE LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO DE LA
REFLEXIÓN.
Es frecuente encontrar análisis y problemas propuestos en los que se supone que los
resultados del estudio de la reflexión de ondas planas uniformes con dos medios infinitos
son extrapolables. A continuación se dan ejemplos de dichos análisis y problemas, y se
explican las consecuencias de dicha extrapolación, así como las condiciones que se
supusieron en el estudio original y que no se verifican al hacerse la extrapolación.
3.5.1 Existen tres (o más medios).
Este es uno de los ejemplos más comunes encontrados en los textos [1, 14, 41]. La
figura 3.4 de la siguiente página muestra el caso de incidencia oblicua con tres medios.
Entre los conceptos más comunes que se aplican aquí están el del ángulo de Brewster y el
de Reflexión Total Interna.
Los coeficientes de Fresnel para incidencia oblicua con dos regiones, así como la
Ley de Snell, se deducen aplicando las condiciones de frontera para las componentes
tangenciales de los campos en la interfaz entre los dos medios. En el caso de dos
regiones, en el medio 2 existe una sola onda: la onda transmitida, mientras que en el
medio 1 existen una onda incidente y una onda reflejada.
3.4 DESCRIPCIÓN ALTERNATIVA DEL FENÓMENO DE REFLEXIÓN
CAPÍTULO 3
60
MEDIO 1
MEDIO 2
MEDIO 3
Fig. 3.4: Incidencia oblicua de ondas planas uniformes en tres medios.
En el caso de incidencia oblicua con tres regiones, si se utilizan los mismos
coeficientes de Fresnel del problema con dos regiones, se cumplirían las condiciones de
frontera en la interfaz entre los medios 1 y 2 sin tomar en cuenta la existencia en el medio
2 de las ondas reflejadas en la interfaz entre los medios 2 y 3, ni de las ondas que éstas
producen al incidir desde el medio 2 a la interfaz entre los medios 1 y 2, y sin tomar en
cuenta la existencia en el medio 1 de ondas transmitidas desde el medio 2.
De acuerdo a lo explicado en el párrafo anterior, la amplitud de todas las ondas que
no fueron consideradas debería ser nula para que se cumplan las condiciones de frontera
en las interfaces.
Sin embargo, como las mencionadas ondas realmente existen, al
introducirlas en las condiciones de frontera junto con las tres ondas asociadas a la
primera reflexión, harían que no se cumplan dichas condiciones.
Como consecuencia de lo anterior, deben deducirse los coeficientes de reflexión y de
transmisión tomando en cuenta múltiples reflexiones en las dos interfaces, con lo cual se
obtendrían coeficientes necesariamente distintos a los del problema con dos regiones. Al
ser distintos los coeficientes de reflexión, cambian los conceptos asociados a éstos,
específicamente los de ángulo de Brewster y de Reflexión Total Interna.
La derivación de los coeficientes de transmisión y de reflexión para incidencia
normal sobre tres medios, en términos de los coeficientes de reflexión y de transmisión
derivados para dos medios, se encuentra en algunos textos [18].
Los coeficientes
obtenidos son distintos a los del caso de dos regiones, e incorporan como parámetro al
3.5 SOBRE LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO DE LA REFLEXIÓN
CAPÍTULO 3
61
grosor del segundo medio. Sin embargo, el estudio del problema de incidencia oblicua
sobre múltiples medios es considerado con poca frecuencia [23, 31, 37], quizás debido al
concepto generalizado de que los resultados obtenidos para dos medios pueden
extrapolarse a más de dos medios, concepto que es erróneo a la luz de los argumentos
presentados aquí.
Un caso especial es aquel en que incide un haz de luz, no una onda uniforme, sobre
múltiples medios. Si el grosor de las regiones intermedias es el adecuado, no se presenta
el problema de superposición de las reflexiones múltiples. Sin embargo, el problema de
la extrapolación en este caso es que se están extendiendo directamente resultados
obtenidos con ondas uniformes de extensión infinita al caso de ondas no uniformes.
Pocos autores comentan sobre la validez o las condiciones de esta extrapolación. Cook
plantea como condiciones para la extrapolación a haces electromagnéticos que el área de
la superficie reflectora debe ser mucho mayor que el cuadrado de la longitud de onda del
haz incidente, y que dicha longitud de onda debe ser muy grande en comparación con la
separación de las moléculas de los materiales [15]. Javid indica que la uniformidad de
las ondas no tiene influencia en los resultados [21], principio que es discutible por cuanto
no se deduce como caso límite de expresiones que tomen en cuenta a la no uniformidad
de las ondas.
3.5.2 Incidencia sobre un plano conductor ideal y sobre la interfaz entre dos
medios.
El planteamiento de este problema se ilustra en la figura 3.5 de la siguiente página.
En este problema se tienen las siguientes condiciones:
a)
La existencia de más de dos ondas planas uniformes en el medio 1.
b) Si se supone que la onda que incide sobre el conductor es uniforme, entonces gran
parte de dicha onda incide no sobre el conductor, sino sobre la interfaz entre los
medios 1 y 2, produciendo una reflexión adicional, como se muestra en la figura 3.6
de la siguiente página .
3.5 SOBRE LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO DE LA REFLEXIÓN
CAPÍTULO 3
62
σ→∞
MEDIO 1
MEDIO 2
Fig. 3.5: Incidencia sobre un conductor ideal y sobre la interfaz entre dos
medios.
σ→∞
MEDIO 1
MEDIO 2
Fig. 3.6: Reflexiones adicionales en el problema de la figura 3.5.
Las ondas de la figura 3.5 al reflejarse sobre el conductor ideal e incidir nuevamente
sobre la interfaz provocarían nuevas reflexiones, con lo que el número de ondas en los
medios 1 y 2 aumenta. De aquí se deduce que no se cumple una de las condiciones
originales bajo las que se dedujeron los coeficientes de Fresnel: la existencia de dos
ondas (incidente y reflejada) en el medio 1 y de una onda (transmitida) en el medio 2, por
lo que los mencionados coeficientes no son aplicables a este problema.
La razón principal por la cual se extrapolan erróneamente los resultados del
problema de reflexión con dos regiones a problemas más complejos, como el de la figura
3.5, es la representación de cada onda plana uniforme mediante un rayo único.
Dependiendo de donde se dibuje el rayo, se está dejando de concebir parte de lo que
sucede en realidad. Como se puede ver en el ejemplo, aún superponiendo las figuras 3.5
y 3.6 se tendría una concepción incompleta de lo que está ocurriendo. La representación
3.5 SOBRE LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO DE LA REFLEXIÓN
CAPÍTULO 3
63
de ondas mediante un rayo único es estrictamente correcta cuando las ondas son haces,
en cuyo caso no son uniformes.
A continuación se muestra un tercer ejemplo de extrapolación errónea de los
resultados obtenidos con el análisis de la reflexión con dos regiones.
3.5.3 Reflexión sobre planos conductores finitos y sobre la interfaz entre dos
aislantes.
La situación en este caso se ilustra con la figura 3.7. Lo que se pretende con este
sistema es polarizar a una onda en el medio 1, ajustando el ángulo de los planos
conductores de manera que la onda reflejada por el primer plano incida con el ángulo de
Brewster sobre la interfaz entre los medios 1 y 2.
Onda no
polarizada
Onda
polarizada
MEDIO 1
MEDIO 2
Fig. 3.7: Reflexión sobre planos conductores finitos y sobre la interfaz
entre medios aislantes.
La condición supuesta en la deducción de los coeficientes de Fresnel que no se
cumple en este problema es que la onda que incide a la interfaz sea uniforme, ya que el
plano conductor es finito (la onda reflejada por el conductor sólo llegaría a una porción
de la interfaz). Además, la porción de la onda incidente a la izquierda que no incide
sobre el primer plano conductor sigue viajando en línea recta, por lo que la onda que se
tendría a la derecha del dibujo tendría una porción polarizada y otra sin polarizar.
Adicionalmente, se tendrían los campos producidos por difracción en los bordes de los
planos conductores.
3.5 SOBRE LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO DE LA REFLEXIÓN
64
CAPÍTULO 3
En este problema, la causa de no ver las inconsistencias es, de nuevo, la
representación de las ondas mediante un rayo único, como si en efecto se tratase de haces
enfocados como los de un láser (exactamente lo opuesto a una onda uniforme). En el
caso de haces puntuales, habría que deducir los coeficientes de Fresnel bajo de la
condición de que la onda incidente (y por consiguiente, la reflejada y la transmitida) son
no uniformes.
Algunos textos presentan aplicaciones del fenómeno de reflexión de ondas planas
uniformes a ondas no uniformes, típicamente láseres. Ejemplos de esto son: el sistema
para el enrutamiento de señales de distinta longitud de onda sobre fibras ópticas [18], el
polarizador al ángulo de Brewster en una cavidad láser [4, 5, 8, 28], sistemas con prismas
para desviar la trayectoria de un haz luminoso [5, 12, 13, 14], el experimento para la
demostración de la penetración de ondas reflejadas internamente [2]. En otros ejemplos
se aplica el fenómeno a ondas producidas por fuentes puntuales o a ondas que inciden
sobre superficies curvas [14].
Si bien no existe duda de que estas aplicaciones funcionan en la práctica, raramente
se hace mención de que se ha hecho una extrapolación de los resultados obtenidos para
ondas planas uniformes a ondas planas no uniformes: en otras palabras, se hace la
extrapolación de forma automática, sin tomar en cuenta que se está violando uno de los
supuestos empleados en el estudio inicial: la uniformidad de las ondas.
Aunque la evidencia experimental corrobora la validez de la extrapolación
mencionada en el párrafo anterior (no siempre desde el punto de vista de las amplitudes
de los campos, sino como verificación de la Ley de Snell), desde mi punto de vista es
importante hacer ver al estudiante que dicha extrapolación se está efectuando. También
es importante hacer ver al estudiante que las condiciones impuestas para el análisis del
fenómeno básico de reflexión son ideales. En el mundo real, no existen superficies
reflectoras infinitas ni fuentes que produzcan ondas planas uniformes en espacios
infinitos.
El estudiante debe percatarse de que se está explicando un hecho real a través de un
modelo, el cual en este caso funciona cuando las dimensiones de la superficie reflectora
son mucho mayores que la longitud de onda.
Estas condiciones normalmente se
satisfacen en óptica, sin embargo, existen numerosas aplicaciones en Ingeniería
3.5 SOBRE LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO DE LA REFLEXIÓN
65
CAPÍTULO 3
Electrónica en que la longitud de onda es apreciable, por ejemplo en la propagación de
ondas de radio-frecuencia, y en las que el estudiante debe estar consciente de las
limitaciones del modelo de reflexión y de las condiciones en que se realizan las
extrapolaciones.
3.6
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
En este trabajo se ha presentado un estudio detallado del comportamiento de los
coeficientes de Fresnel para el caso de incidencia oblicua sobre la interfaz que separa a
dos medios sin pérdidas. Dicho estudio fue motivado por la contradicción aparente entre
los resultados numéricos obtenidos al calcular los coeficientes de transmisión para los
casos de Reflexión Total Interna y de incidencia con el ángulo de Brewster, y los
resultados esperables como consecuencia de la aplicación de la conservación de la
energía.
El análisis detallado de los coeficientes de reflexión y de transmisión revela que,
para los ángulos de incidencia en que éstos son reales, los mismos se comportan
monótonamente. Por lo tanto, es falso que existan ángulos de incidencia para los cuales
se maximice o se minimice alguno de los coeficientes, y los máximos y mínimos de los
coeficientes se obtienen en los extremos de los intervalos.
Además, se obtuvo que los coeficientes de reflexión y de transmisión crecen o
decrecen simultáneamente. En particular, el ángulo crítico, el cual maximiza todos los
coeficientes, es uno de los extremos del intervalo en que los coeficientes son reales
cuando v2 > v1 . Por lo tanto, es falso que el coeficiente de transmisión sea mínimo
cuando el coeficiente de reflexión es máximo, y que el coeficiente de transmisión sea
máximo cuando el coeficiente de transmisión es nulo, tal como podría deducirse de una
interpretación de la conservación de la energía basada sólo en la intuición.
Se demostró que los coeficientes de transmisión pueden superar la unidad, por lo que
la amplitud de los campos transmitidos, y por ende su densidad de potencia promedio,
pueden ser superiores a los correspondientes a la onda incidente. Si bien esto contradice
a la intuición, al aplicarse el Teorema de Poynting al problema de reflexión se demuestra
que no existe contradicción alguna, demostrándose además que los conceptos derivados
de la aplicación del sentido común a la conservación de la energía son erróneos: la
3.5 SOBRE LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO DE LA REFLEXIÓN
66
CAPÍTULO 3
conservación de la energía sólo aplica a las componentes de densidad de potencia
promedio normales a la interfaz.
De hecho, se demostró que las componentes de
densidad de potencia promedio tangenciales a la interfaz no guardan ninguna relación
entre sí a la luz del Teorema de Poynting, el cual se satisface independientemente de las
magnitudes de dichas componentes.
Se demostró también, al considerar a la fuente dentro de la aplicación del Teorema
de Poynting al problema de reflexión, que las todas las ondas del problema de reflexión
son producidas por la fuente del sistema.
Dado que la descripción clásica del fenómeno de reflexión puede dar lugar a
conceptos erróneos, se presenta en este trabajo una descripción alternativa del fenómeno
para régimen armónico, en la cual se reemplaza a la secuencia temporal de la descripción
clásica, en la cual la onda incidente choca con la interfaz y se divide generando a las
ondas reflejada y transmitida, por una descripción en la que las tres ondas existen
simultáneamente, producidas por la misma fuente, para que se satisfagan las condiciones
de frontera correspondientes a los campos electromagnéticos en la interfaz.
Al eliminarse el concepto de división de la onda incidente de la descripción del
fenómeno de reflexión, el estudiante puede admitir que la amplitud de los campos
eléctricos y que la magnitud de la densidad de potencia de las ondas transmitidas puedan
ser mayores en algunos casos que las de las ondas incidentes, siempre que se establezca
que no hay contradicción con la conservación de la energía, al aplicar ésta sólo a las
componentes normales a la interfaz de la densidad de potencia promedio.
En este trabajo se presentaron también casos en que los coeficientes de Fresnel
derivados del estudio del problema de reflexión de ondas planas uniformes con dos
medios semi-infinitos se extrapolan a problemas con más de dos medios, a problemas con
múltiples reflexiones, y a problemas en que las ondas no son uniformes o en que las
superficies reflectoras son finitas. Se discutió sobre la aplicabilidad de la extrapolación a
cada uno de los mencionados problemas. Se concluye que es inconveniente representar a
las ondas planas uniformes en problemas complejos mediante rayos únicos, ya que se
oscurece el entendimiento de la situación real. Se concluye además que es importante
que el estudiante esté consciente en todo momento de las limitaciones del modelo del
3.7 REFERENCIAS
67
CAPÍTULO 3
fenómeno de reflexión, y de las condiciones bajo las cuales puede dicho modelo
extrapolarse a situaciones más complejas.
Se recomienda incluir en el estudio del fenómeno de reflexión por lo menos los
resultados del estudio del comportamiento de los coeficientes de Fresnel, a fin de que el
estudiante conozca en qué condiciones los coeficientes de reflexión y de transmisión son
máximos o mínimos, y se abstenga de sacar conclusiones erradas como consecuencia de
aplicar intuitivamente el principio de conservación de la energía.
Se recomienda además incluir en el estudio del fenómeno de reflexión la
conservación de la energía a la luz del Teorema de Poynting, así como la verificación
numérica de éste a pesar de que los coeficientes de transmisión sean mayor que la unidad,
para que el estudiante acepte que no hay contradicción entre los resultados numéricos y el
principio conservación de la energía, y que pueda aplicar correctamente dicho principio.
Se recomienda finalmente, especialmente a los colegas profesores, ser especialmente
prudentes a la hora de extrapolar los resultados que son válidos para el problema básico
de reflexión a problemas más complejos, ya que se podría incurrir en contradicciones con
las condiciones del problema básico.
Estas recomendaciones las he aplicado, dentro de las limitaciones de tiempo que
impone el régimen trimestral, en las últimas ediciones del curso Teoría de Ondas
(EC2322) de la carrera de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar. Sin
embargo, la acogida por parte de los estudiantes de los análisis y las conclusiones
presentadas ha sido escasa. No han bastado las demostraciones formales para cambiar la
concepción que tienen los estudiantes del fenómeno de reflexión: tal es la fuerza del
paradigma clásico, acuñado en los estudiantes desde los cursos de Física de educación
media, y reforzado en los cursos de Física básica de nuestra universidad.
Si los
paradigmas son capaces de influir en la forma en que perciben y conciben los científicos
y personas en general a la realidad, más aún lo harán con los estudiantes, a quienes les
falta madurez intelectual para poder ver más allá de los paradigmas y superar la llamada
“crisis paradigmática”.
3.7 REFERENCIAS
68
CAPÍTULO 3
3.7
[1]
REFERENCIAS.
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[15] D. M. Cook, The Theory of the Electromagnetic Field. New Jersey: Prentice-Hall
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3.7 REFERENCIAS
69
CAPÍTULO 3
[16] R. K. Wangsness, Campos Electromagnéticos. México: Limusa, 1983, cap. 25.
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3.7 REFERENCIAS
70
CAPÍTULO 3
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3.7 REFERENCIAS