Álgebra y Funciones - Sistemas de Ecuaciones

C U R S O : MATEMÁTICA
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un
sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F
donde A, B ,C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas
ecuaciones.
OBSERVACIÓN:
Cada ecuación de un sistema de ecuaciones,
sistema de ejes coordenados.
representa una línea recta en un
EJEMPLOS
1.
El par ordenado (5, 4) es solución del (los) sistema(s):
I)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3x + 4y = 31
2x + 3y = 22
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I , II
II)
x+y=9
-3x + 2y = -7
los valores de m y n deben ser, respectivamente
2
2
5
3
10
y
y
y
y
y
2x – y = 6
x–y=1
I
I y II
I y III
II y III
y III
Para que el par ordenado (2, 3) sea solución del sistema
A)
B)
C)
D)
E)
III)
5
6
2
5
3
mx – y = 7
x + ny = 8
MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge
una de las siguientes posibilidades.
i)
Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a ,b) es la solución del
sistema (fig. 1).
ii)
Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (fig. 2).
iii)
Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (fig. 3).
y
L1
y
Fig. 1
y
Fig. 2
L2
Fig. 3
L1 = L2
L2
L1
x
x
x
L1 ∩ L2 = (a, b)
L1 ∩ L2 = ∅ (vacío)
L1 ∩ L2 = L1 = L2
EJEMPLOS
1.
La solución gráfica del sistema
A)
B)
y
-6
2.
-3
2x + 3y = 12
-x + 3y = 3
es
C)
y
D)
y
y
4
4
4
4
2
2
2
2
3
6
x
2 3
6
x
-4
3
6
x
-3
E)
y
4
2
3
6
x
La figura 4 es la solución gráfica del sistema
A)
-x + y = -2
-x + y = 3
B)
-x + y = 2
x–y=3
C)
2x – 2y = 4
3x –3y = 3
D)
-3x + 3y = 2
x–y =3
E)
-x – y = -2
-x – y = 3
y
3
2
-3
-2
2
x
Fig. 4
3
6
x
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con
dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y
luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.
MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas
ecuaciones,
multiplicando ambos miembros convenientemente,
obteniéndose un sistema
equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación
con una incógnita.
EJEMPLOS
1.
Sea el sistema
x + y = -2
2x – 3y = -5
despejando x en una de las ecuaciones y sustituyéndola en la
otra, se obtiene:
A)
B)
C)
D)
E)
2.
5y + 9 = 0
5y + 1 = 0
5y - 1 = 0
4y - 1 = 0
y-1=0
En el sistema
obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
2x – y = -1
5x – 7y = 16
al eliminar la incógnita y por el método de reducción se
23 + 9x = 0
23 – 9x = 0
9x + 9 = 0
6x – 23 = 0
19x – 23 = 0
3
ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Sea el sistema:
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2 .
i) El sistema tiene solución única si
Entonces:
a1
≠
a2
ii) El sistema tiene infinitas soluciones si
iii) El sistema no tiene solución si
b1
b2
a1
b
c
= 1 = 1
a2
b2
c2
a1
b
c
= 1 ≠ 1
a2
b2
c2
EJEMPLOS
1.
En el sistema
2x – ky = 5
4x – y = 15
, ¿qué condición debe cumplir k para que tenga solución
única?
2.
A)
k≠
1
1
=
2
1
=2
1
≠ 2
1
≠
2
B)
k
C)
k
D)
k
E)
k
¿Para qué valor de k el sistema
A)
B)
C)
D)
E)
5x – ky = 2
3x + 2y = 3
4
3
10
3
2
10
3
5
-
4
no tiene solución?
APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
Los sistemas de ecuaciones tienen aplicación en problemas de planteo. Si el enunciado implica dos
incógnitas, dicho problema podrá ser resuelto mediante un sistema de ecuaciones. Cómo por
ejemplo: problemas de edades, de cifras o dígitos, etc.
EJEMPLOS
1.
Un cuarto de la suma de dos números es 81 y un tercio de su diferencia es 54. El doble del
menor es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
La edad de Juan es el doble que la de Fernando, y hace 5 años tenía el triple de la edad que
tenía Fernando. ¿Cuál será la edad de Fernando dentro de 5 años?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
72
81
162
243
486
5 años
10 años
15 años
20 años
25 años
En un negocio se venden sólo bicicletas y triciclos. Entre bicicletas y triciclos hay 35 ruedas
en total. El número de bicicletas menos el número de triciclos es 10. ¿Cuánto suman las
bicicletas y los triciclos?
A)
B)
C)
D)
E)
12
13
Menos de 12
Más de 13
Ninguna de las anteriores
5
EJERCICIOS
1.
Para que el par ordenado (1,-2) sea solución del sistema
t deben ser respectivamente
k
2.
A)
B)
6
6
C)
6
D)
E)
2
2
Si
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Si
A)
B)
C)
D)
E)
t
1
-1
1
3
1
-1
13x + 2y = 44
12x - y = 15 , entonces 12x =
2
9
24
59
108
cx + dy = c
dx + cy = d
con c ≠ d, entonces x – y =
-1
1
c–d
c+d
c-d
c-d
c+d
6
kx - y = 4
2x + 3ty = -4
, los valores de k
y
4.
m+n =a
Si
m - n =b
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Si
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Si
A)
B)
C)
D)
E)
, entonces 4mn =
a2 - b2
(a – b)2
(a + b)2
a–b
4a2 - 4b2
x - y - p =0
x - 2y + 3p = 0
, entonces
x
=
y
–2
5
4
2
5
4
5
5
4
ax + by = a2 + ab
bx + ay = b2
+ ab
con a ≠ - b, entonces
0
a–b
a+b
(a – b)2
(a + b)2
7
x+y =
7.
Si el sistema de ecuaciones
A)
B)
C)
D)
E)
8.
9.
tiene solución única, entonces k es
Cualquier valor real
Igual a -15
21
Igual a 2
21
Distinto de 2
Distinto de -15
Si el sistema
A)
B)
C)
D)
E)
x - 3y = 2
5x + ky = 7
3x - 15y = 5
x + by = 4
no tiene solución, entonces
Igual a -5
Distinto de -12
Igual a -12
Distinto de –5
Igual a -45
Dado el sistema
2x - cy = 5
3y - 5 = -2x
.
Entonces,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
b es
10
, el sistema no tiene solución.
3
Si c = -3,
el sistema tiene solución.
Si c ≠ -3, el sistema tiene solución única.
Si c =
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
I, II y III
8
10.
La diferencia entre dos ángulos complementarios es 50º.
mayor y el doble del menor es
A)
B)
C)
D)
E)
11.
6
7
8
10
13
Hace 30 años Lotario tenía la mitad de la edad que tenía Lautaro y dentro de 15 años Lotario
4
de la edad que tendrá Lautaro. ¿Cuánto será la suma de las edades en cinco años
tendrá
5
más?
A)
B)
C)
D)
E)
13.
70º
110º
140º
160º
180º
Juan compra 13 fichas en un casino, entre verdes y rojas. Las fichas verdes valen $800
y las rojas valen $300. Si el total gastado en ellas fue $6.900, entonces ¿cuántas fichas
verdes compró?
A)
B)
C)
D)
E)
12.
Entonces, la suma entre el
90 años
95 años
105 años
110 años
115 años
¿Cuántas unidades mayor es x que y?
(1)
2x = 3y + 12
(2)
2y = 2x – 14
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
14.
15.
El sistema
2x + 5y = 9
4x + ky = p
tiene infinitas soluciones si:
(1)
p = 18
(2)
k = 10
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
La colecta de la Cruz Roja en una escuela primaria reunió $45.000, sólo en monedas de $50
y $100. Se puede conocer el número de alumnos que tiene la escuela si:
(1)
Todos los alumnos donaron una moneda.
(2)
El total de los alumnos es un múltiplo de 9.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1
2
3
4
5
1
2
E
D
C
E
C
C
A
A
B
C
CLAVES PÁG. 6
3
1.
2.
3.
4.
5.
D
11
D
C
B
A
E
6.
7.
8.
9.
10.
C
E
A
D
B
11.
12.
13.
14.
15.
A
E
B
C
E