Matematicas discretas - Universidad Autónoma de Nuevo León

Matemáticas discretas
(apoyo de clase)
Dr. Miguel Mata
[email protected]
FIME-UANL
2 de septiembre de 2016
Índice general
Introducción
V
1. Lógica
1.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Operadores lógicos . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Negación . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Conjunción . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Disyunción . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Implicación . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Doble implicación . . . . . . . . .
1.2.6. Precedencia . . . . . . . . . . . .
1.3. Representaciones . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Tablas de verdad . . . . . . . . .
1.3.2. Redes de decisión . . . . . . . . .
1.3.3. Diagrama de decisión binario . .
1.4. Tautologı́as . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Implicación tautológica . . . . . .
1.4.2. Equivalencias . . . . . . . . . . .
1.4.3. Leyes del álgebra de proposiciones
1.4.4. Más sobre la implicación . . . . .
1.5. Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Reglas de inferencia . . . . . . . .
1.6. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Negación . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Cuantificadores anidados . . . . .
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2. Conjuntos
2.1. Relación de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Matemáticas discretas (M. Mata)
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2.2.
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2.6.
Subconjuntos e igualdad . . . . . . . . . . .
Conjunto universal y conjunto vacı́o . . . . .
Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . .
Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . .
2.6.1. Unión . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Intersección . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Diferencia . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4. Complemento . . . . . . . . . . . . .
2.6.5. Propiedades de los conjuntos . . . . .
2.6.6. Propiedades de las cardinalidades . .
2.7. Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Conteo mediante diagramas de Venn
3. Alfabetos, cadenas y lenguajes
3.1. Alfabetos . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Cadenas . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Concatenación . . . . . . . . .
3.2.2. Subcadenas, prefijos y sufijos
3.2.3. Potencia de una cadena . . .
3.2.4. Reflexión de una cadena . . .
3.3. Lenguajes . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Operaciones entre lenguajes .
3.3.2. Concatenación de lenguajes .
3.3.3. Reflexión de un lenguaje . . .
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4. Producto cartesiano y matrices
4.1. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Pares ordenados . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Conjunto producto . . . . . . . . . . .
4.1.3. Conjunto producto en general . . . . .
4.1.4. Conjuntos de verdad de proposiciones
4.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Matriz traspuesta . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Matrices cuadradas . . . . . . . . . . .
4.2.3. Matriz diagonal y matriz identidad . .
4.2.4. Matriz simétrica . . . . . . . . . . . .
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Matemáticas discretas (M. Mata)
iii
4.2.5. Matrices triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6. Operaciones entre matrices* . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Relaciones y funciones
5.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Representación gráfica de una relación .
5.1.2. Representación matricial de una relación
5.1.3. Dominio y rango de una relación . . . .
5.1.4. Relación inversa . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Relaciones de equivalencia y relaciones de orden
5.2.1. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . .
5.2.3. Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Relaciones de equivalencia y particiones
5.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Gráfica de una función . . . . . . . . . .
5.3.2. Composición de funciones . . . . . . . .
5.3.3. Funciones inyectivas y sobreyectivas . . .
5.3.4. Función inversa . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5. Función identidad . . . . . . . . . . . . .
6. Recursividad
6.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Sucesiones crecientes y decrecientes
6.1.2. Subsucesiones . . . . . . . . . . . .
6.2. Funciones recursivas . . . . . . . . . . . .
6.3. Notación Sigma . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Inducción matemática . . . . . . . . . . .
7. Combinatoria
7.1. Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Principio fundamental del conteo
7.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Permutaciones con repetición . .
7.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Diagramas de árbol . . . . . . . . . . . .
7.5. Coeficientes binomiales . . . . . . . . . .
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Matemáticas discretas (M. Mata)
iv
7.5.1. Triángulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2. Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Teorı́a de grafos
8.1. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Incidencia y adyacencia . . . . . . .
8.2.2. Cadenas, caminos, ciclos y circuitos
8.3. Algunos tipos de grafos . . . . . . . . . . .
8.3.1. Grafos completos . . . . . . . . . .
8.3.2. Grafos conexos . . . . . . . . . . .
8.3.3. Árboles . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4. Grafos bipartitos . . . . . . . . . .
8.4. Predecesores, sucesores y grados . . . . . .
8.5. Representaciones matriciales . . . . . . . .
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62
Introducción
Respecto a estas notas
Este material ha sido preparado como material de apoyo para la materia de
((Matemáticas discretas)) que se imparte a nivel licenciatura en la Facultad de
Ingenierı́a Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Nuevo León.
No es propiamente el material del curso, y su elaboración está aún en construcción por lo que el infortunado lector podrá encontrar que aún hay partes no
desarrolladas, otras inacabadas e incluso otras aún ausentes.
Aún con lo anterior, el material se encontrará en desarrollo continuo y esperamos sinceramente que, eventualmente, sea de utilidad.
Competencias especı́ficas
De acuerdo al programa analı́tico de la materia, las competencias de la
materia son:
((Modelar problemas por métodos analı́ticos y/o computacionales, generando alternativas de solución basadas en lenguaje matemático y computacional de
tal manera que permite identificar el fundamento matemático que sustenta a la
computadora.
))Implementar soluciones tecnológicas a problemas de ingenierı́a en software y
hardware de tal forma que esté basada en algoritmos matemáticos y computacionales)).
Unidades temáticas
De acuerdo a la academia, este curso debe cubrir:
v
Matemáticas discretas (M. Mata)
vi
Lógica
Combinatoria
Grafos
Según los ejercicios del programa analı́tico, este curso debe cubrir:
Tablas lógicas
Inducción matemática
Leyes, propiedades y operaciones con conjuntos
Tipos de sucesiones
Tipos cadenas y alfabetos
Relaciones de recurrencia mediante gráficas y matriz de relaciones
Representación de funciones
Según un miembro de la academia, el material se deberı́a organizar de la
siguiente manera:
Lógica: representación digital, expresiones booleanas, tablas de verdad, inferencia, árboles de decisión, circuitos.
Combinatoria: inducción, sucesiones, funciones, conjuntos.
Grafos y árboles: recorridos, modelos, problemas y algoritmos fundamentales, optimización combinatoria.
Otro miembro de la académia propuso un orden distinto pero similar. En este
material hemos hecho una fusión de todo lo anterior ordenado en una secuencia
lógica de acuerdo al contenido.
Calificación
De acuerdo a la academia, esta materia debe ser evaluada de la siguiente
manera:
Exámenes: 40 %.
Actividades: 50 %.
Proyecto: 10 %.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
vii
Incidencia en los planes de estudio
Según los programas vigentes, la materia de ((Matemáticas discretas)) forma
parte de los planes de estudio de las siguientes carreras:
IAS (401): 2.o semestre. Materia obligatoria.
IAS: 3.er semestre. Materia obligatoria.
ITS: 3.er semestre. Materia obligatoria.
IMTC (401): 5.o semestre. Materia optativa.
Bibliografı́a
R. Johnsonbaugh. Matemáticas discretas. 6.a edición. Editorial Pearson
Educación. México, 2005.
S. Lipschutz. Matemáticas finitas. McGraw-Hill. México, 1966.
R. Grimaldi. Matemáticas discretas y combinatoria. 3.a edición. Editorial
Addison-Wesley Iberoamericana. Estados Unidos, 1997.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Capı́tulo 1
Lógica
La ((lógica)) es una ciencia formal que estudia el ((razonamiento)) correcto. Suele
ser confundida con el ((sentido común)).
Por ello, antes de comenzar, iniciemos con un pequeño examen de lógica. Responda a lo siguiente:
1. ¿Es verdadera la afirmación ((algunos de los alumnos de este salón tienen
menos de 80 años))?
2. Si estudio, apruebo. No estudio. ¿Cuál es la conlusión?
3. La afirmación ((Madrid está en España o Londres está en Inglaterra)) ¿es
verdadera o falsa?
4. ((Si dos rectas son paralelas no se intersectan e inversamente)), en este caso,
¿qué es ((inversamente))?, es decir, ¿cuál es la afirmación ((inversa))?
5. El siguiente, ¿es un razonamiento correcto? ((Si estudio aprendo más)), ((Estudio))
y ((No aprendo más)), por lo tanto ((Soy un genio)).
6. El padre dijo a su hijo, ((Si sacas buenas notas te compro una bicicleta)), el
niño sacó malas notas, cuando el padre las vio el hijo le preguntó, ((Papá,
¿me vas a comprar una bicicleta?)). ¿Hizo el niño una pregunta lógica?
Las respuestas correctas son: 1. Sı́. 2. Se puede concluir cualquier cosa. 3.
Verdadera. 4. Si dos rectas no se intersectan son paralelas. 5. Sı́. 6. Sı́.
Si contestó incorrectamente a más de una de las preguntas anteriores, no puede
obviar este capı́tulo.
1
Matemáticas discretas (M. Mata)
1.1.
2
Proposiciones
Una proposición es un enunciado que puede ser calificado como verdadero o
falso.
Ejemplo 1.1. Las siguientes son proposiciones simples:
1. Parı́s está en Inglaterra.
1 2.
2. 1
3. x2
1 ¡ 0.
4. Las violetas son azules.
En cambio, expresiones como ((Hola, ¿qué hace?)), ((Cierra la puerta)) o ((¡Viva
México!)) no son proposiciones.
Denotaremos las proposiciones simples con letras minúsculas: p, q, r, . . .
1.2.
Operadores lógicos
Las proposiciones simples pueden combinarse para formar proposiciones más
complejas mediante algunos operadores lógicos. Las proposiciones compuestas las
denotaremos, en ocasiones, con letras mayúsculas.
1.2.1.
Negación
Dada una proposición p la negación de p es también una proposición. La
denotaremos p y se lee ((no p)). Su valor de verdad será el contrario al de p.
Ejemplo 1.2. Algunos ejemplos de negación:
1.
p: Parı́s está en Inglaterra,
p: Parı́s no está en Inglaterra.
2.
q: 2
q: 2
3.
r: x2
r: x2
4.
s: Las rosas son rojas,
s: Las rosas no son rojas.
2 4,
2 4.
1 ¡ 0,
1 ¤ 0.
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1.2.2.
3
Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q la conjunción de p con q es también una proposición, la denotaremos p ^ q y se lee ((p y q)). Su valor de verdad será verdadero
sólo cuando ambas proposiciones p y q sean verdaderas.
Ejemplo 1.3. Algunos ejemplos de conjunción:
1. p: Parı́s está en Inglaterra,
q: Madrid está en España,
p ^ q: Parı́s está en Inglaterra y Madrid está en España.
2. p: |x| ¡ π,
q: x2 16 ¤ 0,
p ^ q: |x| ¡ π y x2 16 ¤ 0.
3. p : Las rosas son rojas,
q: Las violetas son azules,
p ^ q: Las rosas son rojas y las violetas son azules.
1.2.3.
Disyunción
Dadas dos proposiciones p y q la disyunción de p con q es también una proposición, la denotaremos p _ q y se lee ((p o q)). Su valor de verdad será falso sólo
cuando ambas proposiciones p y q sean falsas.
Ejemplo 1.4. Algunos ejemplos de disyunción:
1. p: Parı́s está en Inglaterra, q: Madrid está en España,
p _ q: Parı́s está en Inglaterra o Madrid está en España.
2. Sacas buenas calificaciones o no vas a la fiesta.
1.2.4.
Implicación
Dadas dos proposiciones p y q la implicación de p con q es también una proposición, la denotaremos p Ñ q y se lee ((p implica q)) o ((si p entonces q)) (entre
otras expresiones). Su valor de verdad será falso sólo cuando p sea verdadera pero
q sea falsa.
Ejemplo 1.5. Algunos ejemplos de implicación:
1. p: Parı́s está en Francia, q: Madrid está en Inglaterra,
p Ñ q: Si Parı́s está en Francia, Madrid está en Inglaterra.
2. Si x 2 entonces x2
¡ 4.
3. Si apruebas matemáticas te compro una bicicleta.
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1.2.5.
4
Doble implicación
Dadas dos proposiciones p y q la doble implicación de p y q es también una
proposición, la denotaremos p Ø q y se lee ((p si y sólo si q)) o ((p siempre y cuando
q)). Su valor de verdad será verdadero sólo cuando p y q tengan el mismo valor de
verdad.
1.2.6.
Precedencia
Cuando se escriben sin paréntesis, los operadores se ejecutan con la siguiente
precedencia: , ^, _, Ñ, Ø. De esta manera, la expresión p _ q ^ r _ s Ñ p _ s
es equivalente a rp _ pq ^ p rqq _ ss Ñ rp _ p sqs.
1.3.
Representaciones
Los valores de verdad de las proposiciones se representan simbólicamente de
diversas maneras:
Verdadero:
Falso:
V, T,
F, F,
J, 1.
K, 0.
En este curso, usaremos los valores binarios 1 y 0.
1.3.1.
Tablas de verdad
Las tablas de verdad de los operadores son como sigue:
p q p^q
p q p_q
p q pÑq
p
p
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 0
1 0
0
1 0
1
1 0
0
0 1
0 1
0
0 1
1
0 1
1
0 0
0
0 0
0
0 0
1
p
1
1
0
0
q pØq
1
1
0
0
1
0
0
1
Con estas tablas podemos calcular los valores de verdad de expresiones más
complejas.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
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5
Ejemplo 1.6. Calcular la tabla de verdad de pp _ q q ^ r.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
pp _ q q A
1
1
1
1
1
1
0
0
r
B
0
1
0
1
0
1
0
1
A^B
0
1
0
1
0
1
0
0
Ejercicio 1.7. Calcular la tabla de verdad de p _ rp ^ pq _ rqs.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
r
0
1
0
1
0
1
0
1
pq _ rq A rp ^ As B
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
p_B
1
1
1
1
0
0
0
0
Ejercicio 1.8. Calcular la tabla de verdad dep ^ rp q ^ rq _ pq ^ rqs.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
1.3.2.
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
p q ^ rq A pq ^ rq B rA _ B s C
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
p^C
0
1
1
0
0
0
0
0
Redes de decisión
Existe una representación de redes de los operadores binarios , _ y ^. Suele ser útil en la comprensión de circuitos o redes eléctricas, y en diagramas de
comunicación y conmutadores.
Imaginemos que hay un emisor T0 y un receptor T1 . El flujo debe pasar por
algunos puertos que pueden estar abiertos (valor de 1) o cerrados (valor de 0).
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6
p
T0
T1
En este caso, el flujo será recibido en el receptor si p toma el valor de 1, y no
será recibido si toma el valor de 0.
La red toma la siguiente forma para el disyuntivo p _ q:
p
T0
T1
q
La red toma la siguiente forma para el conjuntivo p ^ q:
p
T0
q
T1
Ejemplo 1.9. Dibujar la red de decisión para rp ^ p r _ sqs _ rq ^ ts:
r
p
s
T0
q
T1
t
Ejercicio 1.10. Dibujar la red de decisión para rrp ^pq _ rqs_rpq _ sq^ tss^ s:
1.3.3.
Diagrama de decisión binario
Árbol de decisión binario y diagrama (reducido) de decisión binario.
Ejemplo 1.11. pp ^ q q _ pp ^ rq _ pq ^ rq
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
pp ^ qq A pp ^ rq B pq ^ rq C
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
A_B_C
1
1
1
0
1
0
0
0
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
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7
p
p
q
q
r
r
1
1
1
q
r
0
r
1
0
0
q
r
0
1
p p ^ q ^ r q _ pp ^ q q _ pq ^ r q
p p ^ q ^ rq A pp ^ qq B pq ^ rq C
0
Ejemplo 1.12.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
p
p
q
q
r
1
r
1
0
q
r
0
1
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
pq _ rq A rp ^ As B
1
1
0
1
1
1
0
1
q
r
r
Ejercicio 1.13. p _ rp ^ pq _ rqs.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
A_B_C
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
p_B
1
1
1
1
0
0
0
0
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
r
0
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8
p
p
q
q
r
1
1.4.
r
1
1
r
1
0
r
0
0
0
1
0
Tautologı́as
Ejercicio 1.14. Calcular la tabla de verdad de la siguiente proposición:
r p _ pq ^ rqs _ rp ^ p q _ rqs.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
pq ^ rq A r p _ As B p q _ rq C rp ^ C s D
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
B_D
1
1
1
1
1
1
1
1
Observamos que el valor de verdad de la expresión anterior es verdadero, sin
importar los valores de verdad de p, q y r. Este tipo de expresiones, en las que su
único valor posible es verdadero, son de particular interés en matemáticas y se les
llama tautologı́as.
1.4.1.
Implicación tautológica
Cuando una proposición es una implicación y es una tautologı́a se llama implicación tautológica. Esta estructura es importante porque, si A Ñ B es una
tautologı́a, entonces B es cierta si A lo es, sin importar los valores de verdad de
las variables simples. Es decir, tenemos una estructura que es siempre válida para
todas las variables.
Cuando A implica tautológicamente a B se escribe A ñ B.
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9
Ejercicio 1.15. Verifique que: rp Ñ pq ^ rqs ^ r
p
1
1
1
1
0
0
0
0
1.4.2.
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
pq ^ rq A rp Ñ As B
1
0
0
0
1
0
0
0
ñ p
B^ rC
1
0
0
0
1
1
1
1
C
0
0
0
0
0
1
0
1
Ñ
p
1
1
1
1
1
1
1
1
Equivalencias
Cuando una proposición es una doble implicación y es una tautologı́a se llama
equivalencia. Esta estructura es importante porque, si A Ø B es una tautologı́a,
entonces A tiene el mismo valor de verdad de B. Es decir, tenemos una estructura
que es equivalente para todas las variables.
Cuando A es equivalente a B se escribe A ô B.
Ejercicio 1.16. Verifique que:
pA Ñ B q ô pA ^
Bq
Ejercicio 1.17. Verifique que: pA Ø B q ô rpA Ñ B q ^ pB
1.4.3.
Ñ Aqs
Leyes del álgebra de proposiciones
Todas las siguientes son equivalencias tautológicas, por lo cual pueden enunciarse como leyes.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p_pôp
p^pôp
p_q ôq_p
p^q ôq^p
p _ pq _ rq ô pp _ q q _ r
p ^ pq ^ rq ô pp ^ q q ^ r
p _ pq ^ rq ô pp _ q q ^ pp _ rq
p ^ pq _ rq ô pp ^ q q _ pp ^ rq
pp _ qq ô p ^ q
pp ^ qq ô p _ q
p pq ô p
p_ pô1
p^ pô0
p_0ôp
p^1ôp
p_1ô1
p^0ô0
Leyes idempotentes
Leyes conmutativas
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Leyes de De Morgan
Doble negación
Leyes de complementación
Leyes de identidad
Leyes de dominación
Ejercicio 1.18. Demostrar, mediante las leyes de las proposiciones, las siguientes
equivalencias:
1. pp _ q q ^ p
2.
3.
ô p^q
p _ pp ^ q q ô p
pp _ qq _ p p ^ qq ô
1.4.4.
p
Más sobre la implicación
AÑB
BÑA
AÑ B
BÑ A
Implicación
Inversa
Conversa
Contrapuesta
Ejemplo 1.19. Sean A : pienso, B : existo.
1. Implicación: ((Pienso, luego existo)).
2. Inversa: Existo, entonces pienso.
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11
3. Conversa: No pienso, entonces no existo.
4. Contrapuesta: No existo, entonces no pienso.
Ejercicio 1.20. ((Si dos rectas son paralelas, no se intersectan, e inversamente)).
En este caso, ¿qué es ((inversamente))?
Algunas leyes más que involucran la implicación:
10
11
12
13
1.5.
pÑqô qÑ p
pÑq ô p_q
pp Ñ qq ô p ^ q
p Ø q ô pp Ñ q q ^ pq
Ñ pq
Contrapuesta
Euivalencia a la implicación
Negación de la implicación
Doble implicación
Argumentos
Definición 1.21. Un argumento es la deducción de una conclusión Q a partir de
un conjunto de premisas P1 , P2 , . . . , Pn .
Un argumento, denotado por P1 , P2 , . . . , Pn $ Q, es válido si la conclusión Q
es verdadera cuando todas las premisas son verdaderas.
Observación 1.22. El argumento P1 , P2 , . . . , Pn $ Q es válido si y sólo si la
proposición pP1 ^ P2 ^ ^ Pn q Ñ Q es una tautologı́a.
Ejemplo 1.23. Verificar si el siguiente es un argumento válido: ((Todos los hombres son mortales)), ((Homero es hombre)), por lo tanto, ((Homero es mortal)).
Ejemplo 1.24. Verificar si el siguiente es un argumento válido:
p _ q, r
Ñ
q, s ^ r, t Ñ
p
$
pt ^ r q
Una opción serı́a verificar mediante su tabla de verdad que:
rpp _ qq ^ pr Ñ qq ^ ps ^ rq ^ pt Ñ
pqs ñ
pt ^ rq
Afortunadamente hay una alternativa.
Notación 1.25. El argumento P1 , P2 , . . . , Pn
calmente de la forma
$ Q también suele denotarse verti-
P1
P2
..
.
Pn
Q
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1.5.1.
12
Reglas de inferencia
Existen modelos de argumentos ya establecidos. Son llamados reglas de inferencia:
Modus ponendo ponens:
AÑB
A
B
Modus tollendo tollens:
AÑB
B
A
Modus tollendo ponens:
A_B
B
A
Simplificación:
A^B
A
Conjunción:
A
B
A^B
Adición:
A
A_B
Silogismo hipotético:
AÑB
BÑC
AÑC
Prueba por casos:
AÑC
BÑC
A_B
C
Ejercicio 1.26. Demostrar, por medio de las reglas de inferencia, que los siguientes argumentos son válidos:
1.
p Ñ ps _ tq,
p
$ s_t
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
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13
Ñ s, s ^ p $ r
q Ñ s, p _ q, r ^ p $ s _ t
p _ q, r Ñ q, s ^ r, t Ñ p $
pt ^ r q
p _ q, t ^ p, q Ñ s $ s Ñ m
m Ñ n, q _ m, p Ñ n, p _ r, q $ r
A, A $ B (regla de contradicción)
2. r
3.
4.
5.
6.
7.
1.6.
Cuantificadores
Cuantificador universal: Empleamos el sı́mbolo @, el cual se lee para todo:
@x, ppxq.
Cuantificador existencial: Empleamos el sı́mbolo D, el cual se lee existe:
Dx, ppxq.
Ejemplo 1.27. .
1. Todos los números racionales son números reales: @x P Q, x P R.
2. Existen números reales que no son racionales: Dx P R, x R Q.
?
3. ¿Es cierto que @n P N, n R Q?
1.6.1.
Negación
La negación de un cuantificador universal es uno existencial con la propiedad
negada. De la misma forma, la negación de un cuantificador existencial es uno
universal con la propiedad negada:
r@x, ppxqs ô Dx, ppxq.
rDx, ppxqs ô @x, ppxq.
Ejemplo 1.28. .
1. No es verdad que todos los números naturales son pares:
r@n P N, n es pars ô Dn P N, n no es par.
2. ¿Es cierto que @n P N con 1 n 14 y n impar, n es primo?
R= No es cierto, pues existe el 9 que no es primo.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
14
3. ¿Cuál es la negación de la oración ((si todos estudian, entonces nadie reprueba))?
R= Todos estudian y alguien reprueba.
4. ¿Es cierto que a todos las personas de 140 años les gustan los xoconostles?
5. Si S es el conjunto de estudiantes de este salón, ppxq es ((x repasa en casa)) y
q pxq es ((x aprueba sus materias)), ¿qué significa @x P S, ppxq ^ q pxq? ¿Cuál
serı́a su negación?
1.6.2.
Cuantificadores anidados
Son de la forma:
@x, @y, P px, yq.
@x, Dy, P px, yq.
Dx, @y, P px, yq.
Dx, Dy, P px, yq.
Ejemplo 1.29. .
1. Todos los números pares se pueden escribir de la forma 2m para algún
número entero m:
@n par, Dm P Z, n 2m.
2. Todos aman a alguien:
@x, Dy, x ama a y.
3. Existe un número natural que divide a todos los números enteros:
Dn P N, @z P Z, n divide a z.
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Capı́tulo 2
Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos.
Ejemplo 2.1. Las siguientes son descripciones de conjuntos.
1. El conjunto A de objetos en mi mochila, en este momento.
tárbol, ave, zapato, chancletau
C t1, 3, 5, 7, 9u
C tn P N | n es un número dı́gito imparu
D tn P Z | n es un número dı́gitou
D t0, 1, 2, . . . , 9u
E t11, 12, 13, . . . u
E tn P N | n ¡ 10u
F tx P R | x2 3x 2 0u
F t1, 2u
2. B
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2.1.
(forma explı́cita)
(forma descriptiva)
(forma explı́cita abreviada)
Relación de pertenencia
Sea A un conjunto y a un elemento de A, entonces se dice que ((a pertenece a
A)) y se escribe a P A. Si b no pertenece a A escribimos b R A.
15
Matemáticas discretas (M. Mata)
2.2.
16
Subconjuntos e igualdad
Definición 2.2. Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es un subconjunto de B,
y se escribe A „ B, si y sólo si todos los elemento de A pertenecen a B. También,
si A „ B, se dice que B contiene a A y se escribe B … A.
Observación 2.3. Si A
entonces: @x P A, x P B.
„ B, entonces: x P A ñ x P B. También, si A „ B,
¿Cuál es la negación de A „ B?
Se dice que A no es subconjunto de B, o que B no contiene a A, si existe a P A
tal que a R B, y se escribe A„
{ B.
Ejemplo 2.4. Sean A tn P Z | n es paru y B tn P Z | n es múltiplo de cuatrou.
Demuestre que B „ A. (Recuerde que n es múltiplo de k si existe m P Z tal que
n km).
Ejercicio 2.5. Sean A tn P N | 1
13, n es primou. ¿A „ B o B „ A?
n 14, n es imparu y B tn P N | n ¤
Definición 2.6. Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es igual a B, y se
escribe A B, si y sólo si A „ B y B „ A.
Definición 2.7. En caso de que A „ B pero A B, se dice que A es subconjunto
propio de B y se escribe A € B.
Notación 2.8. Algunos autores escriben simplemente A € B cuando A es subconjunto de B, pero deben escribir A Š B cuando A es subconjunto propio de B.
2.3.
Conjunto universal y conjunto vacı́o
No existe un conjunto que contenga a todos los objetos. En cualquier aplicación
de la teorı́a de conjuntos, todos los posibles conjuntos a investigar se consideran
subconjuntos de un conjunto dado. Llamamos a ese conjunto el conjunto universal.
En nuestro estudio lo denotaremos por U .
Ejemplo 2.9. .
1. En geometrı́a, U es el plano.
2. En estudios poblacionales, U es toda la gente del mundo.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
17
Por otra parte, en ocasiones deberemos estudiar conjuntos que no tienen
ningún elemento. Dicho conjunto es llamado conjunto vacı́o y lo denotamos por ∅.
Ejemplo 2.10. .
1. A tn P Z | n2
2.
16, n es imparu ∅.
B tx P R | x2 1 0u ∅.
3. Sea C el conjunto de personas de más de 140 años. ¿C
∅?
Ejercicio 2.11. Demuestre que, si A es un conjunto cualquiera, ∅ „ A.
2.4.
Cardinalidad
Dado A un conjunto, se define la cardinalidad de A, y se denota |A|, como la
cantidad de elementos que pertenecen a A.
Ejemplo 2.12. .
1. Dado A ta, e, i, o, uu, |A| 5.
2. Dado B el conjunto de las letras del alfabeto español, ¿cuánto vale |B|?
3. Dado C el conjunto de consonantes del alfabeto español, ¿cuánto vale |C|?
Ejercicio 2.13. .
1. Si S
∅, ¿cuánto vale |S|?
2. ¿Cuál es la cardinalidad de N?
3. Si A „ B, ¿|A| ¤ |B|?
4. Si A € B, ¿|A| |B|?
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
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2.5.
18
Conjunto potencia
Ejercicio 2.14. Sea S
ta, b, cu, escribir todos sus posibles subconjuntos.
Definición 2.15. El conjunto de todos los posible subconjuntos de un conjunto
A es llamado conjunto potencia de A, y se denota por P pAq.
Ejemplo 2.16. Sea A ta, b, cu, entonces
P pAq t∅, tau, tbu, tcu, ta, bu, ta, cu, tb, cu, Au.
Ejercicio 2.17. Si A es un conjunto finito con n elementos, ¿cuántos elementos
tiene el conjunto P pAq?
Ejercicio 2.18. Calcular P p∅q.
Observe que t∅u ∅.
2.6.
2.6.1.
Operaciones con conjuntos
Unión
Definición 2.19. La unión de dos conjuntos A y B, expresada por A Y B, es el
conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B:
AYB
2.6.2.
tx | x P A _ x P B u.
Intersección
Definición 2.20. La intersección de dos conjuntos A y B, expresada por A X B,
es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B:
AXB
2.6.3.
tx | x P A ^ x P B u.
Diferencia
Definición 2.21. La diferencia entre dos conjuntos A y B, expresada por AzB,
es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen
a B:
AzB tx | x P A ^ x R B u.
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2.6.4.
19
Complemento
Definición 2.22. El complemento de un conjunto A, expresado por Ac , es el
conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A:
tx | x P U ^ x R Au.
Ejercicio 2.23. Sea U t0, 1, 2, 3, . . . , 13u. Calcular:
1. A tx P U | x es paru
2. B tx P U | x es múltiplo de 3u
3. C tx P U | x es primou
4. Ac Y C
5. B c X C
6. C zA
7. AzC
8. B zpA Y C q
Ac
Ejemplo 2.24. Demostrar (por las definiciones) que:
1. pA X B qc
2.
Ac Y B c
B zA B X Ac
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2.6.5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20
Propiedades de los conjuntos
AYAA
AXAA
AYB BYA
AXB BXA
A Y pB Y C q pA Y B q Y C
A X pB X C q pA X B q X C
A Y pB X C q pA Y B q X pA Y C q
A X pB Y C q pA X B q Y pA X C q
pA Y B qc Ac X B c
pA X B qc Ac Y B c
pAcqc A
A Y Ac U
A X Ac ∅
AY∅A
AXU A
AYU U
AX∅∅
Leyes idempotentes
Leyes conmutativas
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Leyes de De Morgan
Ley de involución
Leyes de complementación
Leyes de identidad
Leyes de dominación
Ejercicio 2.25. Demostrar, por medio de las propiedades, que:
1. pAzB qc
2.
3.
4.
Ac Y B.
A Y pA X B q A.
pAzB q X B ∅.
A X pB zC q pA X B qzpA X C q.
2.6.6.
Propiedades de las cardinalidades
1. |∅| 0.
2. Si A „ B, entonces |A| ¤ |B|.
3. |A Y B| |A|
|B| |A X B|.
4. |A Y B| ¥ máxt|A|, |B|u.
5. |A X B| ¤ mı́nt|A|, |B|u.
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Matemáticas discretas (M. Mata)
21
Ejercicio 2.26. Demostrar por medio de las propiedades que:
1. Si A B, entonces |A| |B|.
2. Si A X B
3.
4.
∅, entonces |A Y B| |A|
|A| |Ac | |U |.
|AzB| |A| |A X B|.
2.7.
|B|.
Diagramas de Venn
Propuestos por John Venn (1834-1923) para cálculos lógicos, en la actualidad
se emplean para representar gráficamente los conjuntos y sus relaciones.
U
A
B
Figura: Representación de dos conjuntos mediante un diagrama de Venn.
Ejemplo 2.27. Representar mediante el diagrama de Venn las siguientes condiciones:
1. A y B no se intesectan
2. A „ B
Ejemplo 2.28. Representar mediante el diagrama de Venn los siguientes conjuntos:
1. A Y B
2. A X B
3. Ac
4. Ac X B
Ejercicio 2.29. Verificar mediante un diagrama de Venn: A „ B
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ñ A X B A.
Matemáticas discretas (M. Mata)
2.7.1.
22
Conteo mediante diagramas de Venn
Ejemplo 2.30. En una empresa trabajan 20 personas de las cuales 13 son casadas
y 11 son profesionistas; de las profesionistas 5 no son casadas. ¿Cuántas personas
no son casadas ni profesionistas y cuántas son casadas y profesionistas?
R = Dos y seis.
Ejercicio 2.31. En una encuesta a 200 alumnos se encontró que 68 tienen excelente conducta, 138 son inteligentes, 160 son muy sociables, 120 son muy sociables
e inteligentes, 20 tienen excelente conducta pero no son inteligentes, 13 tienen excelente conducta pero no son muy sociables, y 15 tienen excelente conducta, son
muy sociables y no son inteligentes. Identificar en un diagrama de Venn.
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Capı́tulo 3
Alfabetos, cadenas y lenguajes
3.1.
Alfabetos
Definición 3.1. Un alfabeto es un conjunto finito no vacı́o de elementos que
llamaremos sı́mbolos.
Notación 3.2. En teorı́a de computación se suele denotar con Σ a un alfabeto
cualquiera.
Ejemplo 3.3. Determinar si los siguientes son alfabetos:
1. Sea Σ el conjunto de letras, tanto mayúsculas como minúsculas, del idioma
español.
2. Sea Γ el conjunto de letras, tanto mayúsculas como minúsculas, del idioma
griego.
3. Sea A ta, b, c, du.
t0, 1u.
Sea Σ N.
4. Sea B
5.
Ejercicio 3.4. Investigar sobre los siguientes alfabetos:
1. ASCII.
2. ISO 8859-1 (Latı́n 1).
3. UTF-8.
23
Matemáticas discretas (M. Mata)
3.2.
24
Cadenas
Definición 3.5. Una cadena o palabra sobre un alfabeto A es una secuencia finita
de elementos de A.
Ejemplo 3.6. .
1. Sea A ta, b, c, du, las siguientes son tres posibles cadenas sobre A: babc,
dcbbbbad y a.
2. Sea B
y 01.
t0, 1u, las siguientes son posibles cadenas sobre B: 10010, 001, 10
Observación 3.7. En las cadenas el orden de los sı́mbolos es importante, de tal
manera que aab aba.
Notación 3.8. Las repeticiones de un elemento se pueden denotar con un superı́ndice. Por ejemplo, baaaccbbbd puede escribirse como ba3 c2 b3 d.
Definición 3.9. La cadena sin elementos se llama cadena nula y se denota por λ.
Definición 3.10. Sea A un alfabeto, se define A como el conjunto de todas las
posibles cadenas sobre A, incluyendo la cadena nula.
Ejercicio 3.11. Responder lo siguiente:
1. Si A es un conjunto finito, ¿A es finito?
2. Sea A tau, ¿cuál es el conjunto A ?
Definición 3.12. La longitud de una cadena β, denotada por |β|, es el número
de sı́mbolos que conforman β.
Ejercicio 3.13. Calcular la longitud de las siguientes cadenas:
aabcad
β 015 08 1
1. β
2.
3. λ
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3.2.1.
25
Concatenación
Definición 3.14. Sea A un alfabeto y sean α y β dos cadenas sobre A, la concatenación de α con β es la cadena formada por α seguida de β, y se escribe αβ.
Observación 3.15. Observe que la concatenación de α con β también es una
cadena sobre A.
Ejercicio 3.16. .
1. Sean α aab y β
acad, escribir αβ y βα.
0110, escribir λγ y γλ.
Sean ε x10 z 9 y 13 y δ y 8 x7 , escribir εδ y δε.
2. Sea γ
3.
Ejercicio 3.17. .
1. Si α P A y β
2.
P B , ¿a qué conjunto pertenece αβ?
Si |α| n y |β| m, ¿cuál es el valor de |αβ|?
3.2.2.
Subcadenas, prefijos y sufijos
Definición 3.18. Se dice que una cadena α es una subcadena de la cadena β si
y sólo si existen dos cadenas γ y δ tales que β γαδ.
Ejercicio 3.19. .
1. En los siguientes casos, decir si α es una subcadena β.
a) α ab y β cabad.
b) α 011 y β 001011.
x10z9y13, ¿cuáles de las siguientes son una subcadena de β?
α1 x2 y 3 .
α2 x10 z 10 .
α3 zy.
2. Dado β
a)
b)
c)
Ejercicio 3.20. Demostrar que toda cadena es subcadena de sı́ misma.
Definición 3.21. Se dice que una cadena α es un prefijo de la cadena β si y sólo
si existe una cadena δ tal que β αδ.
Similarmente, se dice que una cadena α es un sufijo de la cadena β si y sólo
si existe una cadena γ tal que β γα.
Ejercicio 3.22. Demostrar que los prefijos y sufijos son subcadenas.
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3.2.3.
26
Potencia de una cadena
Definición 3.23. Dados β
β reiterada n veces:
P A y n P N, se define β n como la concatenación de
βn
βββ
β .
loooomoooon
n veces
Notación 3.24. Por convención, suele definirse β 0
λ.
Ejercicio 3.25. Sea β una cadena, demuestre las siguientes:
β n m.
|β n | n|β|.
|β n m | |β n |
1. β n β m
2.
3.
3.2.4.
|β m |.
Reflexión de una cadena
Definición 3.26. La reflexión de una cadena β es la cadena formada por los
mismos sı́mbolos dispuestos en orden inverso y se denota β R .
Ejemplo 3.27. Sea β
f ime, entonces β R emif .
Notación 3.28. Algunos autores denotan la cadena inversa con β 1 .
Ejercicio 3.29. Demuestre que pαβ qR
3.3.
β R αR .
Lenguajes
Definición 3.30. Un lenguaje L sobre un alfabeto Σ es un subconjunto de Σ .
Observación 3.31. Todo lenguaje L cumple que ∅ „ L „ Σ , y puede ser finito
o infinito.
Ejemplo 3.32. Sean:
Σ ta, b, c, . . . , z, á, é, ı́, ó, ú, üu
tλ, a, áéñyz, rótulo, . . . u
L tβ P Σ |β está en el diccionario de la RAEu
Σ
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3.3.1.
27
Operaciones entre lenguajes
Dado que los lenguajes son conjuntos, todas las operaciones de conjuntos pueden aplicarse a ellos.
Ejemplo 3.33. Sean A y B dos lenguajes sobre Σ, entonces los siguientes también
son lenguajes:
1. A Y B.
2. A X B.
3. AzB.
4. Ac
3.3.2.
ΣzA.
Concatenación de lenguajes
Definición 3.34. Dados dos lenguajes A y B, la concatenación de A con B,
denotada por AB, se define como
AB
tαβ | α P A, β P B u
.
Observación 3.35. Observe que, en general, AB
3.3.3.
BA.
Reflexión de un lenguaje
Definición 3.36. Dado L un lenguaje, la reflexión de L, denotada por LR , se
define como
LR tβ R | β P Lu
.
Ejercicio 3.37. Sean A y B dos lenjguajes sobre Σ, decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas:
1. pAB qR
2.
3.
4.
B R AR .
pA Y B qR AR Y B R .
pA X B qR AR X B R .
pAR qR A.
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Capı́tulo 4
Producto cartesiano y matrices
4.1.
4.1.1.
Producto cartesiano
Pares ordenados
Un par ordenado o pareja ordenada es una asociación de dos elementos a y b
tales que el primer elemento es a y el segundo es b. El par ordenado se escribe
pa, bq.
Definición 4.1. Formalmente, un par ordenado se define mediante el siguiente
conjunto:
pa, bq ttau, ta, buu.
La definición anterior se debe a Kuratowski (1896-1980).
Ejemplo 4.2. .
1. Observe que p2, 3q p3, 2q.
2. De hecho pa, bq pc, dq si y sólo si a c y b d.
3. Ambos elementos del par ordenado puede ser el mismo: pa, aq.
4.1.2.
Conjunto producto
Definición 4.3. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto
cartesiano de A y B, denotado por A B, consta de todos los pares ordenados
pa, bq tales que a es elemento de A y b es elemento de B, esto es:
AB
tpa, bq | a P A ^ b P B u.
28
Matemáticas discretas (M. Mata)
29
Notación 4.4. Al producto cartesiano de un conjunto A con sı́ mismo, es decir
A A, lo denotamos también por A2 .
Ejercicio 4.5. .
1. Sean A ta, bu y B
t1, 2, 3u, escribir explı́citamente el conjunto A B.
2. Si un conjunto A tiene n elementos y un conjunto B tiene m elementos,
¿cuántos elementos tiene A B?
3. Sean A t0, 1, 2, 3u y B
pA B q X pB Aq.
4.1.3.
t2, 3, 4u,
escribir explicitamente el conjunto
Conjunto producto en general
El concepto de producto cartesiano se puede generalizar: Sean A1 , A2 , . . . , An
conjuntos, el producto cartesiano de ellos se define por
A1 A2 An
tpa1, a2, . . . , anq | a1 P A1, a2 P A2, . . . , an P Anu
donde a cada elemento pa1 , a2 , . . . , an q se le llama n-upla ordenada.
De igual manera, dado A un conjunto,
An
4.1.4.
tpa1, a2, . . . , anq | a1, a2, . . . , an P Au.
Conjuntos de verdad de proposiciones
Supongamos que una proposición P tiene tres variables p, q y r, cada una de
ellas toma un valor de verdad en el conjunto B t1, 0u, por lo cual cada posible
combinación de valores de verdad puede estar dada por una terna pb1 , b2 , b3 q P B 3 ,
donde b1 es el valor de verdad de p, b2 el valor de q y b3 el de r.
Con lo anterior, todas las posibles combinaciones para evaluar P estarı́an dadas
por B 3 tp1, 1, 1q, p1, 1, 0q, p1, 0, 1q, p1, 0, 0q, p0, 1, 1q, p0, 1, 0q, p0, 0, 1q, p0, 0, 0qu.
Observación 4.6. Recordemos que, según la notación usada, el conjunto de valores de verdad también puede ser B tV, F u o B tJ, Ku.
Definición 4.7. El conjunto de verdad de una proposición P que contiene n
variables proposicionales, denotado por T pP q, está formado por aquellos elementos
de B n para los cuales la proposición P es verdadera.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
30
Ejemplo 4.8. .
1. T pp _ q q tp1, 1q, p1, 0q, p0, 1qu.
2. T ppp Ñ q q ^ pq
Ñ rqq tp1, 1, 1q, p0, 1, 1q, p0, 0, 1q, p0, 0, 0qu.
Ejercicio 4.9. .
1. T pp Ø q q.
2. T p pq.
3. Es evidente que siempre T pP q „ B n pero, ¿puede T pP q B n ?
4. ¿Existe la posibilidad de que T pP q ∅?
Teorema 4.10. Sean P y Q proposiciones. Entonces:
1. T pP
2.
3.
4.
_ Qq T pP q Y T pQq.
T pP ^ Qq T pP q X T pQq.
T p P q T pP qc .
P ñ Q si y sólo si T pP q „ T pQq.
4.2.
Matrices
Definición 4.11. Una matriz de m n es un arreglo rectangular de elementos
de un conjunto (normalmente numérico) de la forma
a11
a
21
..
.
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
a1n
a2n .. . ...
am1 am2 am3
amn
Notación 4.12. Una matriz m n, A, es usualmente denotada por paij q, donde
cada aij es el elemento situado en la i-ésima fila y la j-ésima columna de A.
Ejemplo 4.13. Considere la matriz 2 3
donde, por ejemplo, a21
?
A
2 y a13
?1
2
5.
3
0
5
2
Observación 4.14. Observe la estrecha relación que hay entre una matriz y el
producto cartesiano. De hecho, cuando cada uno de los elementos de la matriz
m n, A, están en un conjunto F, se suele denotar A P Fmn .
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
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4.2.1.
31
Matriz traspuesta
Definición 4.15. La traspuesta de una matriz m n, A, denotada por At , es la
matriz n m tal que el elemento aij de At es igual al elemento aji de A, es decir,
a11
a12
a22
..
.
a
21
..
.
a13
a23
..
.
am1 am2 am3
...
t
a1n
a2n .. . amn
Observación 4.16. Observe que pAt qt
4.2.2.
a11 a21
a
12 a22
a13 a23
..
..
.
.
a1n a2n
am1
am2 am3 .. . ...
amn
A.
Matrices cuadradas
Definición 4.17. Una matriz se dice que es cuadrada si y sólo si tiene la misma
cantidad de filas que de columnas, es decir si es de dimensión n n.
4.2.3.
Matriz diagonal y matriz identidad
Definición 4.18. Se define la diagonal principal de una matriz cuadrada a los
elementos de la forma aii , es decir, a los elementos a11 , a22 , . . . , ann .
Definición 4.19. Una matriz cuadradad paij q se dice que es diagonal si y sólo si
los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son cero, es decir, aij 0
si i j.
Ejercicio 4.20. Cuáles de las siguientes son matrices diagonales:
5
0
A
0
0
3
C 0
0
0
8
0
0
3
0
0
0
0
2
0
6
0
0
1
0 0
B 0 0
0 0
0 0
0 0
2 0
D
π
0
?0
0
0
1
3
E
4
Definición 4.21. Se define la matriz identidad, y se denota In como la matriz
diagonal n n cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
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32
Ejemplo 4.22. La matriz identidad 3 3:
1 0 0
I3 0 1 0
0 0 1
4.2.4.
Matriz simétrica
Definición 4.23. Se dice que una matriz cuadrada paij q es simétrica si y sólo si
todos sus elementos cumplen que aij aji .
Ejemplo 4.24. La siguiente es una matriz simétrica:
3
4
5
8
4
1
0
3
5
8
0 3
1 2
2 12
Observación 4.25. Una matriz A es simétrica si y sólo si A At .
4.2.5.
Matrices triangulares
Se dice que una matriz cuadrada es triangular si todos sus elementos por
encima o por debajo de la diagonal principal son cero.
Definición 4.26. Se dice que una matriz cuadrada paij q es triangular superior si
y sólo aij 0 para i ¡ j.
Definición 4.27. Se dice que una matriz cuadrada paij q es triangular inferior si
y sólo aij 0 para i j.
Ejemplo 4.28. La siguientes son una matrices triangulares inferior y superior,
respectivamente:
3
4
A
5
9
0
7
0
3
0
0
1
2
0
0
B
0
6
1
0
0
0
4
2
0
0
5
3
1
0
8
0
2
6
Observación 4.29. Si una matriz A es triangular superior (inferior), entonces
At es una matriz triangular inferior (superior).
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
4.2.6.
33
Operaciones entre matrices*
Las matrices se pueden sumar y multiplicar entre sı́, bajo ciertas condiciones,
se puede multiplicar una matriz por un escalar y se pueden transformar por medio
de operaciones elementales, pero todas estas operaciones escapan al enfoque de
este material de estudio. Dicha teorı́a puede leerse en cualquier texto de Álgebra
Lineal.
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Capı́tulo 5
Relaciones y funciones
5.1.
Relaciones
Definición 5.1. Sean A y B dos conjuntos, una relación R definida del conjunto
A al conjunto B es un subconjunto de A B.
Ejemplo 5.2. .
1. Sean A ta, b, cu, B
2.
3.
t1, 2, 3u y R tpa, 2q, pa, 3q, pb, 3qu
Sean A t1, 2, 3, 4u, B t3, 4, 5, 6, 7, 8u y R tpa, bq P A B | b 2au.
Sean A t1, 2, 3u y R tpa, bq P A2 | a bu.
Cuando una relación R está definida del conjunto A al conjunto A, es decir,
cuando R „ A2 , se dice simplemente que R está definida sobre A.
Notación 5.3. Algunos autores usan la siguiente notación. Si pa, 2q P R denotan
a R 2 y se lee ((a está en relación con 2)) o ((a se relaciona con 2)). También, si
pb, 1q R R denotan b R{ 1 y se lee ((b no está en relación con 1)) o ((b no se relaciona
con 1)). Este es un abuso de notación, puesto que entonces R es, al mismo tiempo,
un subconjunto de A B y un operador binario entre los elementos de A y B,
pero, salvo por el rigor, no suele haber oposición en su uso, puesto que no hay
peligro de ambigüedad.
5.1.1.
Representación gráfica de una relación
Una relación puede representarse graficamente en un sistema de coordenadas
cartesiano o por medio de un grafo.
34
Matemáticas discretas (M. Mata)
35
Ejemplo 5.4. Dados A t1, 2, 3u, B ta, b, cu y la relación de A a B dada
por R tp1, aq, p1, bq, p2, aq, p2, cq, p3, cqu. La representación gráfica de R, tanto
en forma cartesiana como en forma de grafo, serı́a:
c
b
a
1
2
3
1
a
2
b
3
c
Ejemplo 5.5. Dado A t1, 2, 3, 4u y la relación definida sobre A definida por
R tp1, 2q, p1, 4q, p3, 3q, p4, 1q, p4, 2qu. La representación de R en un grafo se puede
hacer replicando el conjunto A, resultando un ((gráfico bipartito)) como el del caso
anterior, pero también se puede usar el conjunto A una única vez, resultando un
((gráfico dirigido)).
4
3
1
1
2
2
3
3
4
4
1
2
4
3
2
1
1
2
3
4
Ejercicio 5.6. Dados A
representación gráfica.
5.1.2.
t1, 2, 3, 4, 5u y R tpa, bq P A2 | a ¤ bu. Hacer su
Representación matricial de una relación
Dados A ta1 , a2 , . . . , am u y B tb1 , b2 , . . . , bn u dos conjuntos y R una
relación de A a B, entonces R se puede representar por una matriz m n, prij q,
de tal manera que
#
1 si pai , bj q P R,
rij 0 si pai , bj q R R.
Ejemplo 5.7. Dados A t1, 2, 3u, B ta, b, c, du y la relación de A a B dada
por R tp1, aq, p1, bq, p2, aq, p2, cq, p3, cq, p3, dqu. La representación matricial de R
es:
1 1 0 0
A 1 0 1 0
0 0 1 1
Ejercicio 5.8. Dado A t1, 2, 3, 4u y la relación definida sobre A definida por
R tp1, 2q, p1, 4q, p3, 3q, p4, 1q, p4, 2qu. Encontrar la representación matricial de R.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
5.1.3.
36
Dominio y rango de una relación
Definición 5.9. Dada una relación R de A a B, el dominio y el rango de R están
definidos por:
Dom R : ta P A | Db P B, pa, bq P Ru,
Ran R : tb P B
| Da P A, pa, bq P Ru.
Ejemplo 5.10. Sean A t1, 2, 3, 4u, B
b 2au. Encontrar Dom R y Ran R.
t3, 4, 5, 6, 7, 8u y R tpa, bq P A B |
Ejercicio 5.11. Si R es una relación de A a B, diga si las siguientes afirmaciones
son verdaderas o falsas:
1. Dom R A
4. Dom R € A
7. Ran R € B
2. Dom R „ B
5. Ran R B
8. Ran R „ B
3. Dom R „ A
6. Ran R „ A
9. Ran R „ Dom R
Notación 5.12. Algunos autores dan otros nombres al rango de R, como contradominio, imagen o recorrido. Por la misma razón, al conjunto Ran R lo denotan
de otra manera, por ejemplo Im R.
5.1.4.
Relación inversa
Definición 5.13. Sea R una relación de A a B, la inversa de R, representada
por R1 , es una relación de B a A que se define como sigue:
R1
tpb, aq | pa, bq P Ru.
Ejemplo 5.14. .
1. R tp1, 2q, p1, 3q, p2, 3qu.
R1 tp2, 1q, p3, 1q, p3, 2qu.
2. Sea A el conjunto de alumnos del salón y R definida sobre A como sigue:
R tpa, bq | a es más alto que bu, entonces R1 tpb, aq | b es más bajo que au.
3. Sea R tpp, q q
pq 2q{3u.
P Q2 | q 3p
2u, entonces R1
tpq, pq P Q2 | p Ejercicio 5.15. Sea R tp1, 2q, p1, 3q, p2, 1q, p2, 3qu:
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37
1. Expresar R1 .
2. Hacer la representación matricial de R y de R1 .
3. ¿Es posible establecer alguna relación entre las representaciones matriciales
de R y de R1 ?
5.2.
Relaciones de equivalencia y relaciones de
orden
Definición 5.16. Sea R una relación sobre A:
1. Se dice que R es reflexiva si y sólo si para todo a P A, pa, aq P R.
2. Se dice que R es transitiva si y sólo si se cumple que, si pa, bq P R y pb, cq P R,
entonces pa, cq P R.
3. Se dice que R es simétrica si y sólo si se cumple que, si pa, bq P R, entonces
pb, aq P R.
4. Se dice que R es antisimétrica si y sólo si se cumple que, si pa, bq
a b, entonces pb, aq R R.
PRy
Ejercicio 5.17. Para cada una de las relaciones siguientes, diga si es reflexiva,
transitiva, simétrica o antisimétrica.
1. R tp1, 2q, p1, 3q, p2, 3qu.
2. R tpa, bq P Z | a ¥ bu.
3. Sea A el conjunto de alumnos del salón y R definida sobre A de tal forma
que a R b si y sólo si a es amigo de b.
Ejercicio 5.18. Sea R una relación sobre A. Decir si la representación matricial
de R tiene alguna caracterı́stica en cada caso:
1. Si R es reflexiva.
2. Si R es transitiva.
3. Si R es simétrica.
4. Si R es antisimétrica.
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5.2.1.
38
Relaciones de orden
Definición 5.19. Sea R una relación sobre A, se dice que R es una relación de
orden si y sólo si R es reflexiva, transitiva y antisimétrica.
Ejemplo 5.20. Precisamente en los conjuntos numéricos, las relaciones ((menor
o igual)) (¤) y ((mayor o igual)) (¥) son relaciones de orden. Se llaman ası́ porque
definen un orden (de menor a mayor o viceversa) entre los elementos del conjunto.
5.2.2.
Relaciones de equivalencia
Definición 5.21. Sea R una relación sobre A, se dice que R es una relación de
equivalencia si y sólo si R es reflexiva, transitiva y simétrica.
Ejemplo 5.22. Sea Pn pxq el conjunto de los polinomios de grado menor o igual
a n. Sean ppxq y q pxq dos polinomios en Pn pxq y sea R la relación que se define
mediante la regla ((ppxq R q pxq si y sólo si ppxq y q pxq tienen el mismo grado)).
Entonces R es una relación de equivalencia.
Ejemplo 5.23. Sea n P N, para cada a P Z se define el valor de a módulo n como
el residuo que queda al dividir a entre n. Suponiendo que el residuo de dividir a
entre n es r, se denota a mód n r.
Se dice que p es congruente a q módulo n, y se denota p q pmód nq, si y
sólo si p q mód n 0 mód n.
La relación ((p R q si y sólo si p q pmód nq)) es una relación de equivalencia.
5.2.3.
Particiones
Definición 5.24. Una partición de un conjunto X es una división de los elementos
de X de tal manera que cada elemento pertenece sólo una parte de la división.
Formalmente, tX1 , X2 , X3 , . . . , Xn u es una partición de X si y sólo si X X1 Y
X2 Y Y Xn y para cada par de conjuntos Xi y Xj (con i j) se cumple que
Xi X Xj ∅.
Nomenclaura 5.25. Dos conjuntos que cumplen que Xi
disjuntos.
X Xj ∅ se llaman
t1, 2, 3, 4, 5, 6u, la siguiente es una partición:
tt1, 2, 4u, t3, 5u, t6uu.
Ejemplo 5.27. Sea X el intervalo cerrado r0, 1s, ¿cuáles de las siguientes es una
Ejemplo 5.26. Sea X
partición de X?:
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1.
2.
3.
4.
39
tr0, 21 s, r 12 , 1su
tr0, 21 q, r 12 , 1su
tr0, 21 s, p 12 , 1su
tr0, 21 q, p 12 , 1su
5.2.4.
Relaciones de equivalencia y particiones
Definición 5.28. Sea R una relación de equivalencia sobre A. Para un elemento
a P A se define la clase de equivalencia de a, y se denota ras, como el conjunto de
todos los elementos de A que se están relacionados con a, es decir:
ras tx | pa, xq P Ru.
Ejemplo 5.29. Sea A t1, 2, 3, 4, 5, 6u y R tp1, 1q, p1, 2q, p1, 4q, p2, 2q, p2, 1q,
p2, 4q, p3, 3q, p3, 5q, p4, 1q, p4, 2q, p4, 4q, p5, 3q, p5, 5q, p6, 6qu. ¿Es R una relación de
equivalencia?
Ejercicio 5.30. En el ejemplo anterior calcular r1s, r2s, r3s, . . . , r6s.
Observación 5.31. Las clases de equivalencia ras son subconjuntos de A.
Teorema 5.32. Sea R una relación de equivalencia sobre A. Entonces el conjunto
S de las clases de equivalencia son una partición de A. Es decir:
S
tras | a P Au es una partición de A.
Ejercicio 5.33. En el ejemplo anterior escribir S y verificar el teorema anterior.
Ejemplo 5.34. Graficar, como un grafo dirigido, la relación del ejemplo anterior.
1
2
3
4
6
5
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40
Observación 5.35. El grafo obtenido de la relación de equivalencia R está dividido en los subconjuntos de la partición definida por R y cada uno de esos
subgrafos es completo.
Ejercicio 5.36. .
¿Cuántos arcos se conectan a cada nodo en cada parte del grafo?
¿Cuántos arcos hay en total en cada parte del grafo?
¿Cuál es su representación matricial?
5.3.
Funciones
Definición 5.37. Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es una
relación f tal que a cada elemento de A se le asigna uno y sólo un elemento de B.
Notación 5.38. Si f es una función de A en B, la denotamos:
f :AÑB
o también
A ÝÑ B.
f
Para cada elemento a P A, el elemento de B asignado a a se denota f paq.
Ejemplo 5.39. .
1. Sean A t1, 2, 3u y B
2.
ta, b, cu. Sea f tp1, aq, p2, cq, p3, cqu.
Sean A Z y B N. Sea f pz q z 2 1.
Ejercicio 5.40. Diga si las siguientes son funciones:
1. Sean A ta, b, c, d, eu y B
2.
3.
4.
5.
6.
A. Sea f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pe, aqu.
Sean A ta, b, c, d, eu y B A. Sea f tpa, eq, pb, eq, pc, eq, pd, eq, pe, equ.
Sean A ta, b, c, d, eu y B A. Sea f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pb, eq, pe, aqu.
Sean A Z y B N. Sea f pz q z 3 3.
Sean A Z y B N. Sea f pz q z 4 .
Sean A Z y B t0, 1u. Sea f definida como: f pz q 0 si z es par y
f pz q 1 si z es impar.
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41
Observación 5.41. Dado que las funciones son un caso particular de las relaciones, todo lo que hemos estudiado de las relaciones es válido para las funciones.
Observación 5.42. Si f es una función, entonces Dom f
riamente Ran f B (aunque forzosamente Ran f „ B).
A, pero no necesa-
Observación 5.43. Dos funciones f y g, son iguales si y sólo si f paq g paq para
todo a P A. ¿Cuándo dos funciones son distintas?
Ejercicio 5.44. Sean f pxq x y g pxq ?
x2 . ¿Son f y g iguales?
Ejercicio 5.45. Se define el piso de un número real x, denotado por txu, como
el mayor número entero menor o igual a x. Análogamente, se define el techo de
un número real x, denotado por rxs, como el menor número entero mayor o igual
a x.
Sean f : R Ñ Z y g : R Ñ Z definidas por f pxq txu y g pxq rxs.
1. ¿Son f pxq y g pxq funciones?
2. ¿Son f pxq y g pxq iguales?
Observación 5.46. En la mayorı́a de las implementaciones computacionales se
define la función de truncamiento como
Truncpxq #
txu
rxs
si x ¥ 0,
si x 0,
y la función de redondeo como
Roundpxq 5.3.1.
#
Truncpx 0.5q si x ¥ 0,
Truncpx 0.5q si x 0.
Gráfica de una función
Dado que una función es una relación, la gráfica de una función es en realidad
su representación en producto cartesiano.
Algunos autores dan la siguiente definición formal de gráfica (que, en nuestro
caso, coincide con la definición de función).
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42
Definición 5.47. Sea f : A Ñ B una función, la gráfica de f , denotada por Γpf q,
es el subconjunto de A B definido por:
Γpf q tpa, f paqq | a P Au.
Ejemplo 5.48. Graficar las siguientes funciones:
1. Sean A ta, b, c, d, eu y B
2.
3.
A. Sea f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pd, cq, pe, aqu.
Sean A Z y B Z. Sea f pz q 2z 1.
Sean A Z y B N. Sea f pz q z 2 1.
e
d
c
5
10
4
9
3
8
2
7
1
3 2 1
b
a
6
0
1
2
5
3
1
4
2
3
3
2
4
a
b
c
d
1
5
e
3 2 1
0
1
2
3
Gráficas de los ejemplos 1, 2 y 3, respectivamente.
Observación 5.49. En la gráfica de una función cada recta vertical que pasa por
un elemento del dominio intersecta con uno y sólo un punto de la gráfica.
5.3.2.
Composición de funciones
Sean f : A Ñ B y g : B Ñ C dos funciones. Dado que para cada a P A, f paq
es un elemento de B, y puesto que B es el dominio de g, entonces tiene sentido
calcular g pf paqq, el cual es un elemento de C, ya que C es el contradominio de g.
Definición 5.50. Dadas f : A Ñ B y g : B Ñ C dos funciones, la función
compuesta de f con g, denotada por g f es la función de A en C tal que g f paq g pf paqq.
f
A
g
B
C
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43
Ejemplo 5.51. Sean A ta, b, cu, B t1, 2, 3u y C tx, y, z u. Sean f : A Ñ B
y g : B Ñ C las siguientes: f tpa, 2q, pb, 3q, pc, 2qu y g tp1, xq, p2, z q, p3, xqu.
¿Son f y g funciones? ¿Quién es g f ?
Ejemplo 5.52. Sean f : R Ñ R y g : R Ñ R definidas como sigue: f pxq
g pxq x 3. ¿Son f y g funciones? ¿Quién es g f ? ¿Quién es f g?
Observación 5.53. Se debe tener cuidado de no confundir g f con f
el ejemplo 1 ni siquiera existe f g).
5.3.3.
x2 y
g. (En
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Definición 5.54. Se dice que una función f : A Ñ B es inyectiva si y sólo si
diferentes elementos del dominio tienen diferentes imágenes, esto es:
a b ñ f paq f pbq
o equivalentemente
f paq f pbq ñ a b.
Definición 5.55. Se dice que una función f : A Ñ B es sobreyectiva si y sólo si
todo b P B es imagen de algún a P A, esto es:
@b P B, Da P A, f paq b
o equivalentemente
Definición 5.56. Se dice que una función f : A
inyectiva y sobreyectiva.
Ran f
B.
Ñ B es biyectiva si y sólo si es
Ejercicio 5.57. Decir si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas,
biyectivas o ninguna:
1. Sea A ta, b, c, d, eu y f : A Ñ A, f
2. f : Z Ñ Z,
tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pd, cq, pe, aqu.
f pz q 2z 1
3. f : R Ñ R0 ,
4. f : R Ñ R,
f p xq x2
f pxq xp donde p es un número natural impar.
Ejercicio 5.58. Demostrar las siguientes afirmaciones:
1. La composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.
2. La composición de dos funciones sobreyectivas es sobreyectiva.
g es inyectiva, entonces g es inyectiva.
Si f g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva.
3. Si f
4.
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5.3.4.
44
Función inversa
Dada una función f , puesto que f es una relación, la relación inversa f 1
definida antes siempre existe, pero ¿es siempre f 1 una función?
Ejemplo 5.59. Dados A B ta, b, c, d, eu y f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pd, cq, pe, aqu,
entonces f 1 tpa, eq, pb, aq, pc, bq, pc, dq, pd, cqu no es una función.
Ejemplo 5.60. Dados A B ta, b, c, d, eu y f tpa, bq, pb, dq, pc, eq, pd, aq, pe, cqu,
entonces f 1 tpa, dq, pb, aq, pc, eq, pd, bq, pe, cqu sı́ es función.
Observación 5.61. Para que f 1 sea una función, es necesario que f sea biyectiva.
Ejercicio 5.62. Sea f : Q
biyectiva?, ¿cuál su inversa?
Ejercicio 5.63. Dada f
Ñ
Q dada por f pxq
4
c
3
b
2
a
1
2
2. ¿Es función?, ¿es
f 1
5
d
1
3x
tp1, bq, p2, dq, p3, eq, p4, aq, p5, cqu, graficar f y f 1.
f
e
3
4
5
a
b
c
d
e
Observación 5.64. Dada f una función, la gráfica de la función inversa f 1 es
la gráfica de f reflejada sobre un eje de 45 .
5.3.5.
Función identidad
Definición 5.65. Dado A un conjunto, la función IA : A Ñ A definida por
IA paq a se llama función identidad en A. Es decir, IA asigna cada elemento a
sı́ mismo.
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45
Observación 5.66. Dada f : A Ñ B cualquier función, entonces:
IB f
Observación 5.67. Si f : A
función inversa, entonces:
f 1 f
f I f.
A
Ñ B es una función biyectiva y f 1 : B Ñ A su
f 1 I .
Observación 5.68. Si f es biyectiva, pf 1 q1 f .
Observación 5.69. Si |A| n, entonces la representación matricial de la función
I
A
y
f
B
identidad IA es la matriz identidad In .
Observación 5.70. Si f es una función biyectiva y F es la representación matricial de f , entonces la representación matricial de f 1 es F t .
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Capı́tulo 6
Recursividad
6.1.
Sucesiones
Definición 6.1. Una sucesión S es una función f : N Ñ A. Si f pnq sn solemos
denotar S ps1 , s2 , s3 , . . . q, S psn q8
n1 , S psn qnPN o simplemente S psn q.
Los elementos sn son llamados términos de la sucesión.
Notación 6.2. La mayorı́a de los autores denotan las sucesiones por S tsn u.
Nosotros las denotaremos con paréntesis como una n-upla y no con llaves como
un conjunto, ya que el orden de los elementos es importante.
Ejemplo 6.3. .
#
1. f pnq n
2
n 1
2
si n es par,
si n es impar.
2. f pnq p1qn
3. p2, 4, 6, 8, . . . q
4.
n2 n
2
6.1.1.
P
n N
Sucesiones crecientes y decrecientes
Definición 6.4. Sea S psn q una sucesión, entonces:
Se dice que S es creciente si y sólo si sk sk 1 para todo k P N.
Se dice que S es decreciente si y sólo si sk ¡ sk 1 para todo k P N.
Se dice que S es no creciente si y sólo si sk ¥ sk 1 para todo k P N.
Se dice que S es no decreciente si y sólo si sk ¤ sk 1 para todo k P N.
46
Matemáticas discretas (M. Mata)
47
Nomenclaura 6.5. Una sucesión se dice monótona si es creciente, decreciente, no
creciente o no decreciente. Ası́, por ejemplo, si una sucesión es creciente, también
se dice que es monótona creciente.
Ejemplo 6.6. Decir si las siguientes sucesiones son crecientes, decrecientes, no
crecientes, no decrecientes o ninguna.
1. sn
np ,
1
2.
pp ¥ 1q
P
n n N
nn 1
S p2, 4, 6, 8, . . . q
sn p1qn
3. sn
4.
5.
6.
n n2
2
8
7. pn2 2n qn1
6.1.2.
Subsucesiones
Definición 6.7. Sea psn q una sucesión y pnk q una sucesión de elementos de N tales
que n1 n2 n3 . Entonces, la sucesión psnk q es llamada una subsucesión
de psn q.
Ejemplo 6.8. Sea S psn q una sucesión, la sucesión ps2n qnPN
es una subsucesión de S.
ps2, s4, s6, . . . q
Teorema 6.9. Toda sucesión de números reales tiene una subsucesión monótona.
6.2.
Funciones recursivas
Ejercicio 6.10. En la biblioteca se cobran $ 5.00 por el préstamo de un libro que
debe devolverse al dı́a siguiente. Si un estudiante desea llevarse el libro por más
tiempo, pagará una cantidad de $ 1.50 por cada dı́a adicional.
Sea cn el costo que el alumno debe pagar el dı́a n por haber pedido prestado
un libro. ¿Cuánto se debe pagar por conservarlo un dı́a más?
cn
1
cn
1.5
con
c1
5.
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48
Observación 6.11. La anterior es una fórmula recursiva. En este caso es posible
hallar una expresión alternativa que no dependa del valor anterior:
cn
5
1.5pn 1q.
Nomenclaura 6.12. Una función recursiva es una función f : N Ñ R tal que el
valor de f pnq depende de un conjunto de valores anteriores, los cuales deben ser
conocidos o pueden ser calculados.
En términos simples, una función recursiva es aquella que se invoca a sı́ misma.
Notación 6.13. Con frecuencia escribimos fn como equivalente de f pnq.
Ejemplo 6.14. .
n fn1.
Dado a ¡ 0, ga p0q 1 y ga pnq a ga pn 1q.
F0 0, F1 1 y Fn Fn1 Fn2 .
1. f0
2.
3.
1
6.3.
y fn
Notación Sigma
Una suma de términos se puede escribir en forma más compacta y más concisa
mediante la notación sigma:
n
¸
ai
a1
a2
a3
an .
i 1
Ejercicio 6.15. Expresar las siguientes sumas en su notación desarrollada:
1.
7
¸
bi
i 3
2.
4
¸
cj
1
j 1
3.
5
¸
a2k1
k 1
Ejercicio 6.16. Calcular el resultado de las siguientes sumas:
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
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1.
5
¸
49
3i
i 2
2.
4
¸
pj
1q2
j 1
5
¸
3.
p2k 1q
k 1
4.
888
¸
p1qi
i 1
5.
n
¸
1
i 1
Teorema 6.17. Sean pan q y pbn q dos sucesiones y c una constante, entonces las
siguientes propiedades se cumplen:
1.
n
¸
c ai
c
i 1
2.
n
¸
n
¸
pai
bi q i 1
3.
n
¸
i 1
6.4.
ai
i 1
n
¸
ai
i 1
ai
m
¸
i 1
ai
n
¸
bi
i 1
n
¸
ai
i m 1
Inducción matemática
La inducción matemática es un método que permite demostrar que cierta
propiedad se cumple para todos los elementos de un conjunto infinito numerable.
La idea fundamental se basa en que, si una propiedad P es válida para un
número k0 P N y que si siempre que dicha propiedad sea verdadera para un
número k también lo para su sucesor k 1; entonces se puede asegurar que la
propiedad P es válida para todos los números naturales mayores o iguales que k0 .
La demostración por inducción matemática se basa, por tanto, en dos pasos:
Paso inductivo (paso de la muerte): Suponiendo que la propiedad deseada
es verdadera para un número k, demostrar que lo es para su sucesor k 1.
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Matemáticas discretas (M. Mata)
50
Paso base: Demostrar que existe un número inicial k0 para el cual se cumple
la propiedad deseada.
Ejemplo 6.18. Considere la siguiente sucesión. Sea Sn
Demuestre que, para todo n P N se cumple que:
Sn
1
2
3
npn2 1q .
Ejercicio 6.19. Demostrar por inducción las siguientes afirmaciones:
1.
n
¸
i2
npn
i 1
1qp2n
6
1q
2. n! ¥ 2n ¿cuál es la base?
3.
4.
5.
@n P N se cumple que 5n 1 es divisible por 4.
n
¸
rn 1 1
ri r1
i0
n
¸
p2k 1q n2
k 1
6.
7.
@n P N se cumple que n3 n es divisible por 3.
n
¸
npn 1qpn 2q
k pk 1q 3
k 1
8.
n
¸
i3
i 1
9.
n
¸
i 1
i4
2
2
n pn4 1q
npn
1qp2n
1qp3n2
30
10. Si h ¡ 1, entonces p1
hqn
3n 1q
¥1
nh (desigualdad de Bernoulli).
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n.
Capı́tulo 7
Combinatoria
7.1.
Conteo
Ejemplo 7.1. Un estudiante tiene 6 playeras, 4 pantalones y 2 pares de tenis.
¿De cuántas formas distintas puede combinar su ropa al vestir?
7.1.1.
Principio fundamental del conteo
Si un suceso puede ocurrir de n1 formas distintas, un segundo suceso puede
ocurrir de n2 formas distintas, y ası́ sucesivemente hasta un k-ésimo evento que
puede ocurrir de nk formas distintas, entonces el número de formas distintas en
que los sucesos pueden ocurrir es
n1 n2 nk .
Ejercicio 7.2. Las placas de automovil contienen 3 letras seguidas de 4 números.
¿Cuántas placas diferentes pueden fabricarse?
Ejercicio 7.3. Si se eligen en el salón un presidente, un secretario y un tesorero,
¿de cuántas formas diferentes puede hacerse esta selección?
7.2.
Permutaciones
Definición 7.4. Sea A un conjunto de n elementos. Una ((permutación de esos
n elementos tomados de r a la vez)) (r ¤ n) es un arreglo de r elementos de A
en un orden determinado. En otras palabras, una ((permutación de n en r)) es un
posible ordenamiento de r de los elementos de A.
Nomenclaura 7.5. Cuando se permutan todos los elementos A se dice simplemente permutación en vez de ((permutación de n en n)).
51
Matemáticas discretas (M. Mata)
52
Ejercicio 7.6. Sea A ta, b, c, du.
1. ¿Cuántas son todas las posibles permutaciones de los elementos de A? Enliste algunos ejemplos.
2. ¿Cuántas son todas las posibles permutaciones tomadas de 3 a la vez? Enliste
algunos ejemplos.
3. ¿Cuántas son todas las posibles permutaciones tomadas de 2 a la vez? Escriba algunos ejemplos.
4. ¿Cuántas son todas las posibles permutaciones tomadas de 1 a la vez? Enliste
algunos ejemplos.
Notación 7.7. El número de permutaciones de n en r se representa por Prn .
Otros autores también usan P pn, rq, n Pr o Pn,r .
Definición 7.8. Se define el factorial de un número n P N0 , y se denota n!, como
1 si n 0 y como el producto de todos los números naturales menores o iguales
a n para el resto de los casos. Es decir,
n! Teorema 7.9. Prn
#
1
si n 0,
1 2 . . . n si n P N.
npn 1qpn 2q pn r
1q n!
pn rq!
Ejercicio 7.10. Calcular P47 .
Ejercicio 7.11. Demostrar que Pnn
7.2.1.
n!.
Permutaciones con repetición
En ocasiones deseamos encontrar el número de permutaciones de objetos, algunos de los cuales son iguales.
Teorema 7.12. El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son
iguales, n2 son iguales, . . . , nk son iguales (n n1 n2 nk ) es
n!
n1 !n2 ! nk !
Ejemplo 7.13. ¿Cuántos cadenas distintas de longitud 7 pueden formarse con
los elementos de la cadena cananea?
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
7.3.
53
Combinaciones
Definición 7.14. Sea A un conjunto de n elementos. Una ((combinación de esos
n elementos tomados de r a la vez)) es cualquier selección de r elementos de A sin
importar el orden. En otras palabras, una ((combinación de n en r)) es cualquier
subconjunto de r elementos del conjunto A.
Ejercicio 7.15. Sea A ta, b, c, du.
1. Enliste todas las posibles combinaciones tomadas de 3 a la vez.
2. Enliste todas las posibles combinaciones tomadas de 2 a la vez.
3. Enliste todas las posibles combinaciones tomadas de 1 a la vez.
4. Enliste todas las posibles combinaciones tomadas de 4 a la vez.
Notación 7.16. El número de combinaciones de n en r se representa por Crn .
Otros autores también usan C pn, rq, n Cr o Cn,r .
n
Teorema 7.17. Crn
Pr!r r!pnn! rq!
Ejemplo 7.18. .
1. ¿Cuántos comités de 3 personas pueden hacerse de un grupo de 8?
2. ¿Cuántas manos de poquer distintas pueden tomarse de la baraja inglesa?
Ejercicio 7.19. Demostrar que C1n
7.4.
Cnn1 n.
Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol es un recurso gráfico que se puede emplear para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia finita de sucesos.
Ejemplo 7.20. Un estudiante tiene 3 camisetas, 2 pantalones y 2 pares de tenis.
¿De cuáles formas puede combinar su ropa al vestir?
Denotemos por el conjunto C tc1 , c2 , c3 u las tres camisetas, por P tp1 , p2 u
los dos pantalones y por T tt1 , t2 u los dos pares de tenis. Las posibles formas
de combinar la ropa se ilustran en el siguiente diagrama:
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
54
t1
p1
t2
c1
t1
p2
t2
t1
p1
t2
c2
t1
p2
t2
t1
p1
t2
c3
t1
p2
t2
Ejemplo 7.21. Marcos y Enrique van a jugar frontenis. El primero en ganar dos
juegos seguidos o que gane un total de tres juegos será el ganador del encuentro.
El siguiente diagrama ilustra las posibles formas en que termine el encuentro:
M
M
M
M
E
M
E
E
E
M
M
M
E
M
E
E
E
E
Ejercicio 7.22. Un hombre jugará a la ruleta. El hombre inicia con un peso y en
cada juego gana o pierde un peso. El hombre teminará de jugar si se queda sin
dinero, cuando termine el quinto juego, o cuando tenga una ganacia de tres pesos
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
55
(es decir, si acumula cuatro pesos). Realice un diagrama de árbol que represente
todas las posibilidades.
4
4
3
2
3
2
2
1
0
1
2
4
3
2
1
2
0
2
1
0
7.5.
0
Coeficientes binomiales
Definición 7.23. Se define el ((coeficiente binomial de n en r)) (con n y r números
naturales o cero tales que r ¤ n) como
n
r
Observación 7.24.
n
r
Crn
Ejemplo 7.25. Demostrar que
7.5.1.
r!pnn! rq!
n
r
n
n r
Triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal es una disposición de números ordenados en forma
triangular, de tal manera que cada número interior tiene un número superior
derecho y un número superior izquierdo, tales que dicho número es igual a la
suma de sus números superiores.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
56
1
1
1
1
1
1
7
3
4
5
6
1
2
1
1
1
3
1
6
4
10 10
1
5
15 20 15
1
6
1
21 35 35 21
7
6
0
7
1
6
1
5
1
7
2
1
0
7
0
1
5
0
4
0
3
0
2
0
2
1
3
1
4
1
0
0
5
2
6
2
7
3
4
2
6
3
1
1
3
2
2
2
4
3
5
3
5
4
6
4
7
4
3
3
7
5
4
4
6
5
5
5
6
6
7
6
7
7
Los números del triángulo de Pascal están ı́ntimamente relacionados con los
coeficientes binomiales, como se muestra en la figura, y con el teorema del binomio.
Para establecer la relación entre el triángulo de Pascal y los coeficientes
bino1.
miales observe que el k-ésimo elemento de la n-ésima fila es nk
1
Ası́, la propiedad de que cada elemento del triángulo es igual a la suma de los
elementos superiores a él se puede demostrar en el siguiente teorema.
n
r
Teorema 7.26.
7.5.2.
n1
.
r
n1
r1
Teorema del binomio
El teorema del binomio, que puede demostrarse por inducción matemática,
establece la expresión general para el desarrollo de pa bqn .
Teorema 7.27. pa
bq
n
n
¸
r 0
Ejemplo 7.28. Desarrollar pa
pa
bq6
a6
6a5 b
n nr r
a b.
r
bq6 .
15a4 b2
20a3 b3
15a2 b4
6ab5
b6 .
Ejercicio 7.29. Desarrollar p2x 3y q5 .
Ejemplo 7.30. Demostrar que
Ejercicio 7.31. Demostrar que
n
0
n
0
n
1
n
1
n
2
n
2
n
n
2n.
p1qn
n
n
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
0.
Capı́tulo 8
Teorı́a de grafos
Los grafos, también llamados gráficas, son herramientas muy útiles en la comprensión, construcción y resolución de modelos y métodos matemáticos para la
solución de diversos problemas teóricos y prácticos de diversas áreas del conocimiento.
La teorı́a de grafos aún no es una disciplina uniformada, por lo que las definiciones y conceptos varı́an de un autor a otro (ya sea en relación al problema
a resolver o la imaginación del autor) en forma casi anárquica. Las definiciones
que se proporcionan en este capı́tulo han sido constituidas en forma más o menos
generalizada.
8.1.
Grafos
Definición 8.1. Un grafo G pV, E q es una pareja ordenada constituida por
un conjunto V de vértices o nodos y
un conjunto E de parejas de elementos de V .
Observación 8.2. La mayorı́a de los autores suele definir a V como un conjunto finito y no vacı́o. Por su parte, el conjunto E puede ser definido de parejas
ordenadas o de parejas no ordenadas de elementos de V .
Definición 8.3. Se dice que un grafo G pV, E q es:
Un grafo dirigido si el conjunto E está formado por parejas ordenadas de
elementos de V , es decir, E „ V V . En este caso, los elementos de E son
llamados arcos.
57
Matemáticas discretas (M. Mata)
58
Un grafo no dirigido si el conjunto E está formado por parejas no ordenadas
de elementos de V , es decir, E „ ttu, v u | u, v P V u. En este caso, los
elementos de E son llamados aristas.
Un grafo mixto si el conjunto E contiene tanto arcos como aristas.
Ejemplo 8.4. Sea G pt1, 2, 3, 4u, tp1, 2q, p2, 2q, p2, 4q, p3, 2q, p3, 4quq, el cual se
puede representar gráficamente por:
1
2
4
3
Ejercicio 8.5. Representar gráficamente G
t3, 3u, t3, 4u, t4, 5uuq:
pt1, 2, 3, 4, 5u, tt1, 2u, t2, 4u, t2, 5u,
1
5
2
4
3
Ejemplo 8.6. Sea V el conjunto de pasajeros de cierto vuelo transatlántico y E
el conjunto de pares pu, v q de pasajeros tales que el pasajero u habla un idoma
común con v y u es más joven que v.
Ejercicio 8.7. En el grafo del ejemplo anterior:
1. Si pu, v q está en el grafo, ¿es posible que pv, uq también esté en el grafo?
2. Si existen pasajeros u, v y w tales que pu, v q y pv, wq están en el grafo,
¿entonces pu, wq también pertenece al grafo?
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
8.2.
Definiciones básicas
8.2.1.
Incidencia y adyacencia
59
Definición 8.8. Dado un arco a pu, v q, el vértice u es llamado vértice inicial
de a y v es llamado vértice terminal de a; también u y v serán llamados vértices
extremos de a.
Definición 8.9. Un vértice v y un arco a son incidentes si v es un vértice extremo
de a.
Definición 8.10. Dos arcos son adyacentes si tienen un mismo vértice extremo.
Dos vértices son adyacentes si existe un arco que los une.
Definición 8.11. Un arco de la forma pv, v q es llamado bucle. Una arista de la
forma tv, v u es llamado lazo.
8.2.2.
Cadenas, caminos, ciclos y circuitos
Definición 8.12. Una sucesión de aristas (o arcos) adyacentes que empieza en v
y termina en w se llama una cadena de v a w.
Definición 8.13. En un grafo dirigido, un camino es una cadena tal que cada
par de arcos adyacentes en la cadena, el vértice final de un arco es el vértice inicial
del otro arco.
Ejemplo 8.14. Poner un par de ejemplos. . .
Definición 8.15. Una cadena (o camino) simple es aquella que no pasa más de
una vez por la misma arista (o arco). Una cadena (o camino) elemental es aquella
que no pasa más de una vez por el mismo vértice.
Observación 8.16. Toda cadena (o camino) elemental es simple.
Definición 8.17. Un ciclo es una cadena que inicia y termina en el mismo vértice.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
60
Definición 8.18. En un grafo dirigido, un circuito es un camino que inicia y
termina en el mismo vértice.
Definición 8.19. Todo circuito es un ciclo.
Ejemplo 8.20. Poner un par de ejemplos. . .
Definición 8.21. Un camino euleriano (o cadena euleriana) es un camino (cadena) simple que pasa por todos los arcos (aristas). Un ciclo euleriano (o circuito
euleriano) es un ciclo (circuito) simple que pasa por cada arista (arco).
Definición 8.22. Un camino hamiltoniano (o cadena hamiltoniana) es un camino
(cadena) elemental que pasa por todos los vértices. Un ciclo hamiltoniano (o
circuito hamiltoniano) es un ciclo (circuito) elemental que pasa por cada vértice.
8.3.
8.3.1.
Algunos tipos de grafos
Grafos completos
Definición 8.23. Un grafo es completo si para cada par de vértices distintos
existe una arista (un arco) que los une.
Observación 8.24. Un grafo completo no contiene bucles o lazos.
Notación 8.25. El grafo completo de n vértices suele denotarse por Kn .
Ejercicio 8.26. Hacer la representación gráfica de K6 .
Teorema 8.27. El número de aristas (arcos) de Kn es igual a
npn 1q
.
2
8.3.2.
Grafos conexos
Definición 8.28. Un grafo es conexo si para cada par de vértices distintos existe
una cadena que los une.
Ejercicio 8.29. ¿Cuál es la menor cantidad de aristas que contiene un grafo
conexo de n vértices?
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
8.3.3.
61
Árboles
Definición 8.30. Un árbol es un grafo conexo sin ciclos.
Teorema 8.31. Sea G un grafo con n vértices, entonces las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
G es un árbol.
G tiene n 1 arcos y es conexo.
G tiene n 1 arcos y no tiene ciclos.
Definición 8.32. Un bosque es un grafo en el cual cada componente conexa es
un árbol.
8.3.4.
Grafos bipartitos
Definición 8.33. Un grafo G pV, E q es bipartito si existe una partición de V ,
tV1, V2u, tal que para todo pu, vq P E se cumple que u P V1 y v P V2, o bien u P V2
y v P V1 .
Observación 8.34. Recordemos que tV1 , V2 u es una partición de V si y sólo si
V V1 Y V2 y V1 X V2 ∅.
Definición 8.35. La cardinalidad de una cadena es el número de arcos que la
componen.
Teorema 8.36. Un grafo es bipartito si y sólo si no contiene ciclos de cardinalidad
impar.
8.4.
Predecesores, sucesores y grados
Definición 8.37. El conjunto de vértices predecesores de un vértice v se define
por
Γ pv q tu | pu, v q P E u.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)
Matemáticas discretas (M. Mata)
62
Definición 8.38. El conjunto de vértices sucesores de un vértice v se define por
Γ pv q t w
| pv, wq P E u.
Definición 8.39. El grado entrante de v se define por g pv q |Γ pv q|. El grado
saliente de v se define por g pv q |Γ pv q|. El grado de v se define por g pv q g pv q g pv q.
Observación 8.40. En el cálculo del grado, un bucle se cuenta dos veces.
8.5.
Representaciones matriciales
Definición 8.41. La matriz de incidencia de un grafo G pV, E q, con |V |
y |E| m es una matriz n m tal que cada elemento eij está dado por:
n
$
'
& 1
si el vértice i es el vértice inicial del arco j,
eij 1 si el vértice i es el vértice terminal del arco j,
'
%
0
en otro caso.
Observación 8.42. La suma de cada columna de la matriz de incidencia es cero.
Definición 8.43. La matriz de adyacencia de un grafo G pV, E q, con |V | n
es una matriz n n tal que cada elemento aij está dado por:
aij
#
1 si el arco pi, j q P E,
0 si el arco pi, j q R E.
Observación 8.44. La suma de cada fila de la matriz de adyacencia es g
t1, 2, 3, 4, 5u y E tp1, 2q, p2, 5q, p3, 2q, p3, 4q, p5, 1q, p5, 4qu:
Graficar G pV, E q.
Ejemplo 8.45. Dados V
1.
piq.
2. Escribir la matriz de incidencia.
3. Escribir la matriz de adyacencia.
¡Material en construcción! (versión: 2016.09.02)