Coherent states for three-dimensional hamiltonians with

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional DEPARTAMENTO DE FISICA Estados coherentes para Hamiltonianos cuadráticos tridimensionales con simetría axial Tesis que presenta Mercedes Paulina Velázquez Quesada para obtener el Grado de Maestra en Ciencias en la Especialidad de Física Director de tesis: Dr. David José Fernández Cabrera México, Distrito Federal Marzo, 2007 Dedico este trabajo a mi querida familia: A mis padres Fernando Velázquez y Marta Quesada. A mis hermanos Fernando, Inés y Susana. A Balam. Agradecimientos A los mexicanos por que, a través del CONACyT, me dieron la oportunidad de formar parte del Instituto Politécnico Nacional como estudiante en su Centro de Investigación y Estudios Avanzados. Al departamento de Física del CINVESTAV por el apoyo otorgado. A su personal administrativo y de intendencia porque con su trabajo facilitó mi desempeño. A todos los profesores que han contribuido a mi formación, en especial a los que además de compartirme sus conocimientos y darme orientación, me alientan con su ejemplo a continuar en este camino. A los doctores Bogdam Mielnik y Gabino Torres por su amabilidad en la revisión de este trabajo. Un sincero agradecimiento al Dr. David José Fernández Cabrera por la oportunidad de trabajar bajo su asesoría, la disponibilidad y paciencia mostrada en todo momento. Le agradezco en especial su ardua labor en la corrección de este texto. Para mi familia, mi más profundo agradecimiento por ser mi orgullo y porra incondicional, por todo el cariño, la comprensión y la confianza. A la familia Velázquez Gonzáles por su hospitalidad y calidez . Por ser parte de mi vida y por los tiempos alegres y difíciles que hemos compartido a lo largo de estos años, a mis queridos amigos: Lupita, Olivia, Alejandrina, Vannya, Memo, Balam y Adrián. A las muchachas por aquellos domingos de tareas y risas. A Xavier y Alejandro por que en tan poco tiempo supieron transmitirme su entusiasmo. A mis compañeros en el Departamento de Física por todos los momentos que disfruté con ellos. A Aldo, Elohim y Pablo por los consejos, el apoyo y por el ejemplo. A Brisa por ser mi compañera en este esfuerzo, por la amistad y complicidad compartidas. A aquellos que se saben parte de mi aunque su nombre no figure en estas páginas. Velázquez Quesada Mercedes Paulina marzo 2007 Índice general 1. Introducción 1 2. Técnica matricial 2.1. Oscilador unidimensional atractivo y repulsivo 2.2. Sistema bidimensional más simple . . . . . . . 2.2.1. Caso atractivo . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Caso repulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 9 10 14 3. Hamiltonianos cuadráticos tridimensionales con simetrı́a axial 3.1. Análisis de los eigenvalores complejos para la matriz Λ . . . . . . . 3.2. Eigenvalores puramente imaginarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 22 25 4. Estados coherentes para los Hamiltonianos tridimensionales 4.1. Derivación de los estados coherentes |zk i . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Completez del conjunto {|zk i} . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. EC a partir del operador de desplazamiento Dk (z) . . . 4.2. Cantidades fı́sicas de los EC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 29 32 33 35 5. Algunas aplicaciones del método 5.1. Sistema bidimensional atractivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Oscilador tridimensional anisotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Trampa de Penning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 45 49 6. Conclusiones 57 A. Técnicas matemáticas 59 B. Evolución temporal 61 C. Estado extremal 64 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen En esta tesis se derivarán los estados coherentes para Hamiltonianos cuadráticos tridimensionales que poseen simetrı́a de rotación alrededor del eje z. En el primer capı́tulo presentaremos una técnica matricial, que permite identificar directamente los operadores de creación y aniquilación, mediante el caso del oscilador estándar y repulsivo unidimensionales. Posteriormente, haremos un tratamiento similar para un caso bidimensional ilustrativo: la superposición de un oscilador repulsivo y un momento angular. Aplicaremos después la técnica matricial a los Hamiltonianos tridimensionales mencionados previamente, y se derivarán los correspondientes estados coherentes. Finalmente se desarrollarán algunos ejemplos para ilustrar la aplicación del método. Abstract In this thesis we will derive the coherent states for three-dimensional quadratic Hamiltonians with rotation symmetry around z axis. In the first chapter, we will present a matrix method that allows to identify directly the creation and annihilacion operators, by through the case of the standar and repulsive onedimensional oscillator. Then, we will perform a similar treatment for an illustrative two-dimensional case: the superposition of a repulsive oscillator and an angular momentum. We will apply the same matrix method to the three-dimensional Hamiltonians mentioned previously, and the corresponding coherent states will be derived. Finally, some examples to illustrate the method will be developed. Capı́tulo 1 Introducción Los estados coherentes (EC) fueron construidos inicialmente por Schrödinger en 1926 mientras buscaba estados mecánico cuánticos del oscilador armónico que llevaran a predicciones fı́sicas similares a las de los estados clásicos, al menos en el lı́mite macroscópico. Para tales estados cuánticos los valores esperados de los operadores de posición hXi i(t) y momento hPi i(t) deben ser funciones periodicas del tiempo y no iguales a cero para todo t, como ocurre para los eigenestados del operador energia del oscilador armónico. Los vectores con estas caracterı́sticas que encontró Schrödinger resultaron ser eigenestados del operador de aniquilación del oscilador armónico. A partir de este trabajo se empezó a desarrollar la teorı́a de los estados coherentes (autores como Fock, Iwata, Sudarshan, Rash, Klauder entre otros se mencionan en [1]). Roy Glauber fué quien introdujo el término Estados Coherentes al utilizar estados construidos de modo análogo a los encontrados por Schrödinger para trabajar correlaciones entre fotones [2], [3]. Sólo después de las contribuciones de Glauber los estados coherentes fueron ampliamente conocidos e intensamente usados en varios dominios de la fı́sica y las matemáticas. Durante este desarrollo, el formalismo ha sido generalizado mediante definiciones con alto grado de complejidad matemática, como puede verse en los artı́culos [4], [5] [6], [7], libros [8], entre otros (ver [9], [10]). En este trabajo nos restringiremos a las definiciones inicialmente introducidas por Glauber [3], las cuales están basadas en propiedades bien conocidas del oscilador armónico pero que serán usadas para sistemas más generales. 1. Los estados coherentes |zi son eigenestados, con eigenvalor complejo z, 1 del operador de aniquilación a del oscilador armónico, es decir a|zi = z|zi, z ∈ C. (1.1) Por otro lado, para el oscilador armónico se puede identificar un operador unitario D, que depende de la variable compleja z y actúa como operador de desplazamiento sobre las observables canónicas X y P , el cual está dado por † −z ∗ a D(z) = eza , (1.2) donde a† es el operador de creación estándar. Por tanto, surge una segunda definición. 2. Los estados coherentes |zi resultan de aplicar el operador de desplazamiento D(z) sobre el estado base |ψ0 i del oscilador, es decir |zi = D(z)|ψ0 i. (1.3) Por último, presentamos una propiedad de los estados coherentes que ha llegado a tomarse como otra posible definición. 3. Los estados coherentes |zi son estados cuánticos que minimizan la relación de incertidumbre de Heisenberg para X y P , la cual en unidades adimensionales en las que ~ = 1 se expresa (∆X)z (∆P )z = 1 2 (1.4) donde, para un sistema en el estado coherente |zi y un operador arbitrario O, la dispersión (∆O)z se define como: (∆O)2z = hz|(O − hz|O|zi)2 |zi = hz|O2 |zi − hz|O|zi2 = hO2 iz − hOi2z . Otra propiedad importante del conjunto de estados coherentes de un sistema, cualquiera que sea su naturaleza, es la completez. De hecho, resulta que ellos forman un conjunto sobrecompleto en el sentido de que para cualquier secuencia convergente de números complejos zn los estados coherentes correspondientes |zn i forman un conjunto completo [11]. Sobre esta caracterı́stica, en especial, existe un análisis muy interesante en [12]. Como se discute en [13], para el oscilador armónico la primera y segunda definiciones conducen a los mismos estados coherentes y éstos a su vez satisfacen la ecuación 1.4, ası́ como la ecuación de completez. Sin embargo, no todo 2 estado del oscilador que satisface la tercera definición lo hace con las otras dos, es decir, ésta es demasiado amplia por lo cual es preferible construir los estados coherentes mediante las dos primeras definiciones y considerar 1.4 únicamente como una propiedad resultante. En este trabajo generaremos los estados coherentes partiendo tanto de la definición que los considera como eigenvectores de los operadores de aniquilación del operador número del sistema, como de la dada por la ecuación 1.3. Para hacerlo, debemos primero identificar el álgebra del Hamiltoniano, expresarlo después en términos de sus operadores número y obtener explı́citamente los operadores de creación y aniquilación. La técnica que emplearemos está estrechamente relacionada con el conocido método de factorización y será desarrollada a manera de ejemplo para dos sistemas sencillos en el siguiente capı́tulo. 3 Capı́tulo 2 Técnica matricial 2.1. Oscilador unidimensional atractivo y repulsivo Para introducir la técnica matricial que vamos a ocupar a lo largo de esta tesis, trabajaremos inicialmente con el oscilador armónico en una dimensión, pero le daremos una libertad extra. Tomaremos el Hamiltoniano como H= P2 X2 +² , 2 2 (2.1) donde ² puede tomar los valores +1 y −1, es decir, trabajaremos con un oscilador que puede ser atractivo o repulsivo. Con el oscilador atractivo veremos que nuestros resultados coinciden con los conocidos y con el repulsivo encontraremos algunas generalidades que se pueden obtener con esta técnica. ³ q ´ ³ X ´ 1 Definimos el “vector-operador”|qi = = , donde X y P son q2 P operadores canónicos en una dimensión. Notemos que |qi (ası́ como |q(t)i) no representa el vector de un estado cuántico, sino un vector formal cuyas componentes son operadores. Entonces, las ecuaciones de Heisenberg para el movimiento estarán dadas por dqj (t) = [iH, qj (t)], dt j = 1, 2. Ahora, ya que el Hamiltoniano es cuadratico en X y P , podemos escribir las 4 dos ecuaciones anteriores en forma matricial para el vector |q(t)i d|q(t)i = [iH, |q(t)i] = Λ |q(t)i, dt con Λ una matrix 2 × 2 que en este caso tiene la forma explı́cita µ ¶ 0 1 Λ= . −² 0 (2.2) (2.3) Vamos ahora a encontrar los eigenvectores y las eigenformas de la matriz Λ , a partir de los cuales obtendremos los operadores de subida y bajada para los estados del oscilador. Notemos que si ² = 1, la matriz Λ no es hermitiana; por tanto, en este caso las eigenformas no serán necesariamente los adjuntos de los eigenvectores. La ecuación caracterı́stica de esta√matriz es√λ2 = −², de modo que los eigenvalores están dados por λ± = ± −² = ± i ². Notemos que si ² = −1, √ λ = i ² será real, mientras que para ² = 1 tendremos λ imaginaria. √ Si denotamos |u± i al eigenvector asociado al eigenvalor λ± = ± i ², obtenemos que |u+ i = a1 ³ 1 ´ √ , i ² |u− i = a2 ³ 1√ ´ , −i ² (2.4) donde a1 y a2 son constantes complejas aún por determinar. Mientras tanto, las eigenformas estarán dadas por ³ i ´ ³ −i ´ he− | = o2 1, √ , (2.5) he+ | = o1 1, √ , ² ² con o1 y o2 constantes complejas. Tenemos entonces que Λ |u± i = λ± |u± i y Λ = λ± he± |. he± |Λ La normalización ahora se hace exigiendo que he± |u± i = 1. (2.6) De hecho, se puede demostrar que en general se cumple he± |u∓ i = 0, (2.7) es decir, las eigenformas y eigenvectores que corresponden a eingenvalores distintos son ortogonales entre si (ver apéndice A). Es más, si el eigenvalor 5 es puramente imaginario se tiene que (λ− )∗ = λ+ y los eigenvectores correspondientes conviene escogerlos complejos conjugados entre sı́ (ver sección 3.2). Tomando, para normalizar, a1 = 2o11 y a2 = 2o12 tendremos que |u+ ihe+ | + |u− ihe− | = 1. (2.8) Escogiendo |u+ i∗ = |u− i y he+ |∗ = he− |, resultará que o∗1 = o2 . Definamos ahora los operadores L+ = he+ |qi y L− = he− |qi que obedecen la relación de conmutación £ ¤ √ √ Λ|qi = −i(±i ²)he± |qi = ± ² L± . (2.9) [H, L± ] = −ihe± | iH, |qi = −ihe± |Λ Por tanto, L+ y L− serán los operadores de subida y bajada respectivamente de los eigenvectores√del operador H, que denotaremos por |ψn i. Notemos sin embargo que si ² es imaginario, el nuevo eigenvector L+ |ψn i tendrá un eigenvalor imaginario, cuyo significado debemos analizar cuidadosamente. En nuestro caso tenemos ¶ µ ¶ µ iP iP + − ∗ L = o1 X − √ , L = o1 X + √ (2.10) ² ² y se puede calcular el conmutador · ¸ iP iP 2 − + 2 [L , L ] = |o1 | X + √ , X − √ = |o1 |2 √ . ² ² ² (2.11) Podemos ahora definir nuevos eigenvectores |ũ± i y eigenformas hẽ± | de la matriz Λ en la forma q¯ √ ¯ ± ¯[L− , L+ ]¯|u± i = 2 |o1 ||u± i, |ũ i = 1 1 ± hẽ± | = q¯ he± | ¯ he | = √ 2 |o1 | ¯[L− , L+ ]¯ (2.12) donde hemos usado que ² toma sólo los valores 1 y −1. ± Entonces, los nuevos operadores A± = hẽ± |qi = √L2 |o | cumplen las mis1 mas relaciones de conmutación con H √ √ [H, L± ] ± ²L± ± [H, A ] = √ (2.13) = √ = ± ²A± , 2|o1 | 2|o1 | 6 aunque entre sı́ satisfacen [L− , L+ ] 1 [A− , A+ ] = ¯¯ − + ¯¯ = √ ≡ γ. ² [L , L ] (2.14) Notemos que el módulo de éste último conmutador es unitario, el cual definiremos como γ. La forma explı́cita de estos operadores es + A A− o1 ³ iP ´ = √ X−√ , ² 2 |o1 | ³ ∗ iP ´ o = √ 1 X+√ . ² 2 |o1 | (2.15) Vemos que si ² = 1, es decir, en el caso del oscilador armónico atractivo, llegamos a los operadores usuales de subida y bajada, excepto por un factor fase o1 (X − iP ), 2 |o1 | o∗ = √ 1 (X + iP ). 2 |o1 | A+ = √ A− (2.16) Sin embargo, la forma de estos operadores para el caso en que ² = −1 cambia, ya que los eigenvalores son reales, y tendremos o1 (X − P ), 2 |o1 | o∗ = √ 1 (X + P ). 2 |o1 | A+ = √ A− (2.17) Por otro lado, notemos que el Hamiltoniano H puede escribirse en términos de los operadores A+ y A− . De hecho, esto es consecuencia de un teorema general [14]. Si un álgebra irreducible de operadores A es generada + + − − por los elementos A± k (k = 1, . . . , n) tales que [Ai , Aj ] = [Ai , Aj ] = 0, + − [Ai , Aj ] = γi δ(ij) (sin suma) y donde |γi | = 1 (i, j = 1, . . . , n), entonces, un operador H que pertenezca a A y que cumpla las relaciones de conmutación ± [H, A∓ j ] = ∓iλj Aj , 7 λj ∈ C, (2.18) se puede escribir como µ ¶ λk − A+ H= (−i) k Ak + g0 , γ k k=1 n X (2.19) donde g0 es un escalar y n es el número de dimensiones en las que está definido el Hamiltoniano. Efectivamente, debido a las relaciones de conmutación 2.13 y 2.14, la diferencia entre H y la suma en el lado derecho de 2.19 conmuta con A+ k y − Ak , para todo k, ası́ como con sus funciones y por tanto, tiene que ser un c-número. En nuestro caso tenemos n = 1 y, por tanto, µ √ ¶ i ² g0 = H + i 1 A+ A− = H − ²A+ A− √ ² 2 P2 iP ´ X o1 o∗1 ³ iP ´³ = X+√ , +² −² X−√ 2 2 2|o1 |2 ² ² lo que nos lleva a g0 = √ ² , 2 de modo que + − H = ²A A + (2.20) √ ² . 2 (2.21) Vemos que, usando esta técnica matricial, podemos obtener fácilmente operadores de escalera para los eigenvectores de H. Una vez que tenemos estos operadores, definiremos los estados coherentes como los eigenestados del operador de aniquilación del sistema. Analicemos ahora la evolución temporal correspondiente. En este caso, lo que nos interesa conocer es |q(t)i, y tenemos que la ecuación de movimiento homogenea 2.2 se integra inmediatamente para quedar como Λ(t − t0 ))|q(t0 )i. |q(t)i = exp (Λ (2.22) Tomando por simplicidad t0 = 0, |q(t)i = eΛ t |q(0)i = eΛ t |qi (2.23) Ahora, desarrollando la identidad como en la ecuación 2.8, pero para |ũ± i y hẽ± | podemos escribir ¡ ¢ |q(t)i = eΛ t 1|qi = eΛ t |ũ+ ihẽ+ | + |ũ− ihẽ− | |qi ¡ ¢ = eλ+ t |ũ+ ihẽ+ | + eλ− t |ũ− ihẽ− | |qi √ = ei ²t √ |ũ+ iA+ + e−i 8 ²t |ũ− iA− . (2.24) Notemos entonces que, si ² = 1, las exponenciales serán imaginarias, de modo que |q(t)i se mantiene oscilando a lo largo de los vectores |ũ+ i y |ũ− i, como era conocido para el oscilador atractivo. Sin embargo, si ² = −1, las exponenciales serán reales y el segundo término crecerá infinitamente conforme t aumenta, esto es, la partı́cula sometida al potencial de oscilador repulsivo no puede ser confinada. Estos resultados surgen directamente de que, para el caso atractivo, los eigenvalores que obtenemos para Λ son imaginarios, mientras que para el oscilador repulsivo tales eigenvalores son reales. Veremos más adelante que esto se generaliza para cualquier Hamiltoniano cuadrático, es decir, obtendremos trayectorias confinadas sólo cuando los eigenvalores de la matriz Λ , definida como se hizo en este ejemplo, son imaginarios (ver 3.2 y apéndice B). 2.2. Sistema bidimensional más simple Para ilustrar que podemos obtener eigenvalores de la matriz Λ que no son necesariamente reales o imaginarios, analizaremos a continuación el Hamiltoniano bidimensional ~2 P~ 2 X H= +² + βLz , (2.25) 2 2 donde ² = ±1. Hamiltonianos de este tipo se encuentran al trabajar en sistemas de referencia no inerciales (ver, por ejemplo, [17] en donde aparecen estudios similares). Definimos ahora el vector   X  Y   |qi =   Px  , Py para obtener una ecuación similar a 2.2, pero ahora cuadridimensional, con la matriz Λ de la forma   0 −β 1 0  β 0 0 1   Λ= (2.26)  −² 0 0 −β  . 0 −² β 0 A partir de las eigenformas de esta matriz obtendremos, como en el caso anterior, los operadores de escalera del sistema. Para analizar este problema lo separaremos en el caso atractivo (² = 1) y el repulsivo (² = −1). 9 2.2.1. Caso atractivo Para el primer caso tenemos que los dos términos del potencial son atractivos por lo que esperamos que el sistema se pueda confinar en el espacio. Resulta que los eigenvalores están dados por λ = ±i|1 ± β|, de modo que siempre tendremos eigenvalores imaginarios. Sin embargo, aún podemos tomar en cuenta tres casos, dependiendo del valor de β. Para el caso en que β < −1, los eigenvalores estarán dados por λ+ λ+ 2 = −i(β − 1), 1 = −i(1 + β), ∗ + ∗ − − λ2 = (λ+ λ1 = (λ1 ) = i(1 + β), 2 ) = i(β − 1). (2.27) Entonces, los eigenvectores normalizados, según la ecuación ± he± k |uk i = 1, serán  1  1   i , |u+ 1i =  −i  4r1 1   −1  1   −i  , |u+ 2i = 4r2  −i  1  k = 1, 2, (2.28)  1  1   −i  , |u− 1i = ∗  i  4r1 1   −1  1   i , |u− 2i = 4r2∗  i  1  (2.29) con r1 y r2 constantes complejas. Los coeficientes se relacionaron exigiendo + ∗ − + ∗ − + ∗ − + ∗ |u− 1 i = |u1 i y |u2 i = |u2 i puesto que λ1 = (λ1 ) y λ2 = (λ2 ) . Las correspondientes eigenformas se expresan como ∗ he+ he− 1 | = r1 (1, −i, i, 1) , 1 | = r1 (1, i, −i, 1) , ∗ he+ he− 2 | = r2 (−1, i, i, 1) , 2 | = r2 (−1, −i, −i, 1) . (2.30) − − + Ahora, los operadores L+ k = hek |qi y Lk = hek |qi, serán de la forma − ∗ L+ 1 = r1 (X − iY + iPx + Py ), L1 = r1 (X + iY − iPx + Py ), − ∗ L+ 2 = r2 (−X + iY + iPx + Py ), L2 = r2 (−X − iY − iPx + Py ), (2.31) 10 cuyos conmutadores resultan + 2 [L− 1 , L1 ] = −4|r1 | , + 2 [L− 2 , L2 ] = 4|r2 | . (2.32) Por lo tanto definiendo los nuevos eigenvectores y eigenformas como q¯ ¯ ± ¯[L− , L+ ]¯|u± i = 2|rk ||u± i, |ũk i = k k k k 1 1 hẽ± he± he± ¯ k | = q¯ k| = k |, 2|r | k ¯[L− , L+ ]¯ k k = 1, 2, (2.33) k ± tendremos los nuevos operadores A± k = hẽk |qi = siguientes relaciones de conmutación con H, ± [H, A± 1 ] = ∓(1 + β)A1 , L± k , 2|rk | los cuales cumplen las ± [H, A± 2 ] = ∓(β − 1)A2 . (2.34) Sin embargo, entre sı́ conmutan en la forma + [A− 1 , A1 ] = −1 ≡ γ1 , + [A− 2 , A 2 ] = 1 ≡ γ2 . (2.35) + Como estamos considerando β < −1, tendremos que A+ 1 y A2 son operadores de subida para los eigenvectores del Hamiltoniano, mientras que A− 1 y − A2 actúan como operadores de bajada. Ahora, según el teorema expresado en la ecuación 2.19, podemos escribir ¶ µ + λ1 + − λ+ 2 + − A A + A A + g0 H = (−i) γ1 1 1 γ2 2 2 µ ¶ −i(1 + β) + − −i(−1 + β) + − = (−i) A1 A1 + A2 A2 + g0 (−1) 1 − + − = (1 + β)A+ (2.36) 1 A1 + (1 − β)A2 A2 + g0 . − Un cálculo directo conduce a g0 = −β. Notemos que el coeficiente de A+ 1 A1 − es negativo mientras que el de A+ 2 A2 es positivo, de modo que nuestro Hamiltoniano no es definido positivo para β < −1. Si tomamos ahora la región −1 < β < 1 tendremos los eigenvalores + − λ1 = i(1 + β), λ+ 2 = −i(β − 1) y sus complejos conjugados λ1 = −i(1 + β) 11 y λ− 2 = i(β − 1). Los eigenvectores respectivos, ya normalizados, serán     1 1   1  1  −  −i  ,  i , |u+ |u i = 1i = 1 4r1  i  4r1∗  −i  1 1     −1 −1 1  1  −i  i  −   .  i = i = |u+ , |u (2.37) 2 2 4r2  −i  4r2∗  i  1 1 Las eigenformas correspondientes se expresan como ∗ he+ he− 1 | = r1 (1, i, −i, 1) , 1 | = r1 (1, −i, i, 1) , ∗ he+ he− 2 | = r2 (−1, i, i, 1) , 2 | = r2 (−1, −i, −i, 1) . (2.38) ± Entonces, definiendo los operadores L± k = hek |qi se obtiene L+ 1 = r1 (X + iY − iPx + Py ), + L2 = r2 (−X + iY + iPx + Py ), ∗ L− 1 = r1 (X − iY + iPx + Py ), ∗ L− 2 = r2 (−X − iY − iPx + Py ). (2.39) Estos operadores satisfacen + 2 [L− 1 , L1 ] = 4|r1 | , + 2 [L− 2 , L2 ] = 4|r2 | . (2.40) De tal modo, definimos los nuevos eigenvectores y eigenformas como ± |ũ± k i = 2|rk ||uk i 1 hẽ± he± |, k| = 2|rk | k k = 1, 2. (2.41) ± Ası́, A± k = hẽk |qi cumplen las relaciones de conmutación siguientes ± [H, A± 1 ] = ±(1 + β)A1 , ± [H, A± 2 ] = ∓(β − 1)A2 . (2.42) + Como −1 < β < 1, A+ 1 y A2 actúan nuevamente como operadores de subida − para los eigenvectores de H mientras que A− 1 y A2 serán operadores de bajada para estos estados. Finalmente tendremos + [A− 1 , A 1 ] = 1 ≡ γ1 , + [A− 2 , A 2 ] = 1 ≡ γ2 , 12 (2.43) por lo que escribimos − + − H = (1 + β)A+ 1 A1 − (β − 1)A2 A2 + g0 , (2.44) donde ahora g0 = 1. Notemos que, en este caso, ambos coeficientes son positivos de modo que nuestro Hamiltoniano es definido positivo. Por último, analicemos el caso en que 1 < β, para el cual tenemos λ+ 1 = i(1 + β), λ+ 2 = i(β − 1), λ− 1 = −i(1 + β), Los eigenvectores normalizados son   1  1   −i  , |u+ 1i = 4r1  i  1   −1 1  i   , |u+ i = 2 4r2  i  1 λ− 2 = −i(β − 1). (2.45)   1  1   i , |u− 1i = ∗  −i  4r1 1   −1 1  −i   . |u− i = 2 4r2∗  −i  1 (2.46) Las eigenformas serán he+ 1 | = r1 (1, i, −i, 1), + he2 | = r2 (−1, −i, −i, 1), ∗ he− 1 | = r1 (1, −i, i, 1), ∗ he− 2 | = r2 (−1, i, i, 1). (2.47) ± Entonces, obtendremos los operadores L± k = hek |qi como L+ 1 = r1 (X + iY − iPx + Py ), + L2 = r2 (−X − iY − iPx + Py ), ∗ L− 1 = r1 (X − iY + iPx + Py ), ∗ L− 2 = r2 (−X + iY + iPx + Py ). (2.48) Por tanto, + 2 [L− 1 , L1 ] = 4|r1 | , + 2 [L− 2 , L2 ] = −4|r2 | . (2.49) Tomamos ahora los nuevos eigenvectores y las eigenformas ± |ũ± k i = 2|rk ||uk i, 1 hẽ± he± |, k| = 2|rk | k 13 k = 1, 2, (2.50) ± para definir los operadores A± k = hẽk |qi, que cumplen ± [H, A± 1 ] = ±(1 + β)A1 , ± [H, A± 2 ] = ±(β − 1)A2 . (2.51) + − − Esto significa que A+ 1 , A2 actúan como operadores de subida y A1 , A2 como operadores de bajada de los eigenvectores del Hamiltoniano H. Notemos que, γ1 = 1, (2.52) γ2 = −1, por lo que nuevamente H se expresa como − + − H = (1 + β)A+ 1 A1 − (β − 1)A2 A2 + g0 , (2.53) donde en este caso g0 = β. Notemos que, nuevamente, nuestro Hamiltoniano − no es definido positivo, debido al coeficiente del producto A+ 2 A2 . 2.2.2. Caso repulsivo Aún nos resta analizar el Hamiltoniano 2.25 con ² = −1. Para este caso, + ∗ no se presentan eigenvalores puramente imaginarios tales que λ− k = (λk ) , sino que tendremos λ+ 1 = 1 + iβ, λ+ 2 = 1 − iβ, λ− 1 = −(1 + iβ), λ− 2 = −(1 − iβ). (2.54) − ∗ λ− 1 = (λ2 ) . (2.55) Por tanto + ∗ λ+ 1 = (λ2 ) , De hecho, siempre que β 6= 0, tendremos eigenvalores complejos. Ahora, con la normalización definida anteriormente se llega a que los eigenvectores están dados por     i i   1  1   1 ,  −1  , |u+ |u− 1i = 1i =    i −i  4s 4sm 1 1     −i −i   1  1  −  1 ,  −1  , |u i = |u+ (2.56) 2 2i = 4s∗  −i  4s∗m  i  1 1 14 con s y sm constantes complejas. Las eigenformas serán he+ 1 | = s(−i, 1, −i, 1), ∗ he+ 2 | = s (i, 1, i, 1), he− 1 | = sm (−i, −1, i, 1), ∗ he− 2 | = sm (i, −1, −i, 1), (2.57) las cuales conducen a los operadores L+ 1 = s(−iX + Y − iPx + Py ), ∗ L+ 2 = s (iX + Y + iPx + Py ), L− 1 = sm (−iX − Y + iPx + Py ), ∗ L− 2 = sm (iX − Y − iPx + Py ). (2.58) Obtenemos ası́ los conmutadores i(θ+θm ) + , [L− 1 , L1 ] = −4issm = −4irrm e −i(θ+θm ) − + ∗ ∗ , [L2 , L2 ] = −4is sm = −4irrm e donde tomamos s = reiθ y sm = rm eiθm . Por tanto ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − +¯ ¯ − +¯ ¯[L1 , L1 ]¯ = 4rrm ¯[L2 , L2 ]¯ = 4rrm . Definimos entonces nuevos eigenvectores y eigenformas como √ ± |ũ± k i = 2 rrm |uk i, 1 hẽ± he± |, k = 1, 2. √ k| = 2 rrm k (2.59) (2.60) Ası́, los nuevos operadores A± k tendrán la forma A+ 1 = A+ 2 = √ eiθ √ r [−i(X 2 rm √ e−iθ √ r 2 rm [i(X + Px ) + (Y + Py )], A− 1 = + Px ) + (Y + Py )], A− 2 = √ eiθm rm √ [−i(X − Px ) − (Y 2 r √ −iθ m e r √ m [i(X − Px ) − (Y 2 r − Py )], − Py )], + † − − † donde vemos que A+ 1 = (A2 ) y A1 = (A2 ) . Además, se cumplen las relaciones de conmutación ± [H, A± 1 ] = ∓(i − β)A1 , ± [H, A± 2 ] = ∓(i + β)A2 . (2.61) En este caso, no es correcto decir que los operadores A± k , k = 1, 2 son operadores de escalera para los eigenvectores de la energia, puesto que añadirı́an números complejos a los eigenvalores que en principio tenemos definidos como reales. 15 Por otro lado tenemos + iΘ γ1 ≡ [A− 1 , A1 ] = −ie , + −iΘ γ2 ≡ [A− , 2 , A2 ] = −ie (2.62) donde Θ = θ + θm . Notemos que en este caso, a diferencia de los anteriores, los valores de γ1 y γ2 dependen de las constantes s y sm . De hecho, dependen solamente de la suma Θ de las fases θ y θm . Esto es debido a que los eigenvalores que se obtuvieron para Λ son números complejos con parte real distinta de cero. Sin embargo, aún podemos seguir la técnica matricial que hemos empleado en los casos anteriores para escribir − iΘ + − H = e−iΘ (1 + iβ)A+ 1 A1 + e (1 − iβ)A2 A2 − i. (2.63) Notemos que en este caso g0 = −i. A continuación, trataremos de llevar el Hamiltoniano a una forma similar a la del oscilador armónico. Primero definamos los operadores F + , G+ , F − y G− , como + † A+ 1 + (A1 ) √ F = , 2 A− + (A− )† F− = 1 √ 1 , 2 + + † A+ 1 − (A1 ) √ G = , i 2 A− − (A− )† G− = 1 √ 1 . i 2 + Explı́citamente tendremos r i r h + F = (X + Px ) sin θ + (Y + Py ) cos θ , 2rm r i r h G+ = − (X + Px ) cos θ + (Y + Py ) sin θ , 2rm r h i rm F− = (X − Px ) sin θm − (Y − Py ) cos θm , 2r r h ¤ rm − (X − Px ) cos θm − (Y − Py ) sin θm . G− = 2r (2.64) (2.65) De ésto puede verse que F + , F − , G+ y G− son hermitianos, lo que también puede comprobarse directamente de la definición. 16 Entonces, podemos escribir H como ¶µ − ¶ µ + F + iG− F + iG+ −iΘ √ √ H = e (1 + iβ) 2 2 µ + ¶µ − ¶ + F − iG F − iG− iΘ √ √ +e (1 − iβ) −i 2 2 = (F + F − − G+ G− ) cos Θ + (F + G− + G+ F − ) sin Θ £ ¤ +β (F + F − − G+ G− ) sin Θ − (F + G− + G+ F − ) cos Θ − i. ∓ Ahora, como A± k conmuta con Aj siempre que k 6= j, podemos calcular los conmutadores [F + , F − ] = i cos Θ, [F + , G+ ] = 0, [F + , G− ] = i sin Θ, [G+ , G− ] = −i cos Θ, [F − , G− ] = 0, [F − , G+ ] = −i sin Θ. Si definimos ahora los operadores G1 = (F + F − − G+ G− ) cos Θ + (F + G− + G+ F − ) sin Θ, G2 = (F + F − − G+ G− ) sin Θ − (F + G− + G+ F − ) cos Θ, (2.66) es fácil ver que, como (F + F − −G+ G− ) y (F + G− +G+ F − ) conmutan, también lo harán G1 y G2 . Ası́, podemos escribir el Hamiltoniano como una suma de operadores que conmutan H = G1 + βG2 − i. (2.67) Sin embargo, tenemos que F + F − − G+ G− = F + G− + G+ F − = (F + +F − )2 −(F + −F − )2 −(G+ +G− )2 +(G+ −G− )2 4 (F + +G− )2 −(F + −G− )2 +(G+ +F − )2 −(G+ −F − )2 4 17 + i cos Θ, (2.68) + i sen Θ, y [F + + F − , F + − F − ] [F + + F − , G+ + G− ] [F + + F − , G+ − G− ] [F + − F − , G+ + G− ] [F + − F − , G+ − G− ] [G+ + G− , G+ − G− ] [F + + G− , F + − G− ] [F + + G− , G+ + F − ] [F + + G− , G+ − F − ] [F + − G− , G+ + F − ] [F + − G− , G+ − F − ] [G+ + F − , G+ − F − ] = = = = = = = = = = = = −2i cos Θ, 0, −2i sin Θ, 2i sin Θ, 0, 2i cos Θ, −2i sin Θ, 2i cos Θ, 0, 0, −2i cos Θ, −2i sin Θ. Ahora, tomemos por ejemplo el caso en que Θ = 0 de modo que cos Θ = 1 y sin Θ = 0, por lo que tendremos [F + + F − , F + − F − ] [G+ + G− , G+ − G− ] [F + + G− , G+ + F − ] [F + − G− , G+ − F − ] = = = = −2i, 2i, 2i, −2i, mientras que los otros conmutadores se hacen cero. Entonces podemos denotar 1 X1 = √ (F + − F − ), 2 1 X2 = √ (G+ + G− ), 2 1 X3 = √ (F + + G− ), 2 1 X4 = √ (G+ − F − ), 2 1 P1 = √ (F + + F − ), 2 1 P2 = √ (G+ − G− ), 2 1 P3 = √ (G+ + F − ), 2 1 P4 = √ (F + − G− ). 2 Notemos que los operadores Xk y Pk , k = 1, 2, 3, 4 también son hermitianos. 18 Ası́, G1 y G2 tendrán la forma i 1h 2 2 2 2 G1 = P1 − X1 + P2 − X2 + i, 2 i 1h 2 2 2 2 G2 = − P3 + X3 − P4 − X4 , 2 que podemos escribir como i 1h G1 = (P1 − X1 )(P1 + X1 ) + (P2 − X2 )(P2 + X2 ) + 2i, 2 i 1h G2 = − (X3 − iP3 )(X3 + iP3 ) − (X4 − iP4 )(X4 + iP4 ) , 2 o G1 = −B1− B1+ − B2− B2+ + 2i, G2 = −B3† B3 + B4† B4 , (2.69) (2.70) donde X1 + P1 √ , 2 X2 + P2 B2+ = √ , 2 X3 + iP3 √ B3 = , 2 B1+ = X1 − P1 √ , 2 X2 − P2 B2− = √ , 2 X4 + iP4 √ B4 = . 2 B1− = (2.71) Vemos que resultan expresiones similares a las obtenidas en el primer ejemplo: B3 y B4 tienen la forma que encontramos en el oscilador armónico atractivo, que se puede observar en las ecuaciones 2.16. Sin embargo, B1± y B2± tienen la forma de los operadores encontrados en el caso repulsivo de la ecuación 2.17, en la que el cociente de los coeficientes de los operadores Xi y Pi , i = 1, 2, son ambos reales. Finalmente, el Hamiltoniano tomará la forma ~2 P~ 2 X − + βLz 2 2 ¡ ¢ = −B1− B1+ − B2− B2+ − β B3† B3 − B4† B4 + i. H = (2.72) Vemos que los primeros términos de H corresponden a un oscilador bidimensional repulsivo, mientras que el término que está multiplicado por β a 19 un oscilador bidimensional atractivo. Esto concuerda con las similitudes que hallamos entre los operadores B 0 s y las ecuaciones 2.16 y 2.17. Es fácil comprobar que, al menos para los valores de Θ = 0, π2 , π, 3π y 2 2π, G1 y G2 conservan la misma estructura del Hamiltoniano de oscilador bidimensional, repulsivo y atractivo respectivamente que se observa en este caso. 20 Capı́tulo 3 Hamiltonianos cuadráticos tridimensionales con simetrı́a axial En los ejemplos anteriores hemos trabajado con Hamiltonianos que pueden ahora generalizarse a la forma H= √ P~ 2 1 + b0 Lz + b20 (X 2 + Y 2 ) + V ( X 2 + Y 2 , Z 2 ). 2 2 (3.1) Estos Hamiltonianos aparecen al considerar, en unidades adimensionales (~ = m = 1), una partı́cula cargada sin espı́n dentro de un campo magnético homogeneo constante a lo largo del eje z y bajo la acción de un potencial cuadrático con simetrı́a axial alrededor del campo. La forma más general de un potencial cuadrático, simétrico alrededor de z, está dado por √ v0 v1 V ( X 2 + Y 2 , Z 2 ) = (X 2 + Y 2 ) + Z 2 , (3.2) 2 2 £ ¤ con v0 y v1 constantes reales. Ası́, en este caso la matriz Λ tal que iH, |qi = Λ |qi, será   0 −b0 0 1 0 0  b0 0 0 0 1 0     0 0 0 0 0 1  .  (3.3) Λ= 2  + v ) 0 0 0 −b 0 −(b 0 0 0    0 −(b20 + v0 ) 0 b0 0 0  0 0 −v1 0 0 0 21 Λ − λ1| = 0, estará dada por el polinomio La ecuación caracterı́stica, |Λ DΛ (λ) = λ6 + C1 λ4 + C2 λ2 + C3 , (3.4) donde C1 = 4b20 + 2v0 + v1 , C2 = v02 + 4b20 v1 + 2v0 v1 , C3 = v02 v1 . Se puede mostrar en general que, para un Hamiltoniano cuadrático arbitrario, no necesariamente con simetrı́a axial como en nuestro caso, la ecuación caracterı́stica de la matriz Λ estará dada siempre por un polinomio con puras potencias pares en λ (ver apéndice B). 3.1. Análisis de los eigenvalores complejos para la matriz Λ Debemos ahora notar que las caracterı́sticas de los ejemplos anteriores varı́an, debido principalmente al tipo de eigenvalores de la matriz Λ. Estos valores se obtienen del polinomio caracterı́stico de sexto grado en λ dado en la ecuación 3.4, el cual contiene sólo potencias pares y por tanto podemos reescribir como DΛ (σ) = σ 3 + C1 σ 2 + C2 σ + C3 √ con σ = λ2 . Ası́, tendremos 6 eigenvalores de la forma λ = ± σ, que denotaremos como λk , −λk con Re(λk ) > 0 ó Re(λk ) = 0 y Im(λk ) > 0 k = 1, 2, 3. (3.5) Ya que σ es raı́z de un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, σ puede ser real o compleja dependiendo de las relaciones entre los valores de las costantes C1 , C2 y C3 [15]. Para el caso en que las tres σ’s sean reales y negativas, tendremos seis eigenvalores imaginarios para la matriz Λ lo cual conduce a tres osciladores armónicos atractivos desacoplados del tipo del primer ejemplo. En estos casos se puede mostrar (ver [14],[16], [17] y apéndice B) que el comportamiento de la partı́cula será acotado, es decir, una partı́cula bajo este tipo de Hamiltonianos quedará confinada. Sin embargo, si tenemos 22 que algún valor de σ es real pero positivo, lo cual generarı́a dos valores reales de λ, se tendrá un movimiento desconfinado y, eventualmente, la partı́cula escapará del potencial. Existe, sin embargo, un último caso en el que dos σ’s son complejas conjugados entre sı́, con parte real distinta de cero. En este caso tendremos una combinación de movimientos acotados y desacotados en diferentes direcciones y, ası́, el movimiento general será desacotado, con la partı́cula escapando del potencial . Si λ1 , λ2 y λ3 son todos distintos podemos hallar los vectores y formas propias de Λ . Si algunos de los λ’s son iguales, debemos recurrir al método de vectores de Jordan para encontrar eigenvectores y eigenformas independientes [14], [18]. Además, se demuestra (ver apéndice A) que si ± Λ |u± j i = ±λj |uj i, Λ = ±λk he± he± k |Λ k| (3.6) podemos normalizar en la forma 0 heri |urj i = δij δrr0 , (3.7) donde i, j = 1, 2, 3 y r, r0 = +, −, de tal modo que 3 X + − − (|u+ i ihei | + |ui ihei |) = 1. (3.8) i=1 Similarmente a lo que hicimos en el capı́tulo anterior, se pueden obtener ± los operadores L± k = hek |qi que, por definición, cumplen ± [H, L± k ] = ∓iλk Lk . (3.9) Además, podemos mostrar que + − − [L+ k , Lj ] = 0 = [Lk , Lj ], − [L+ k 6= j, k , Lj ] = 0, mientras que + [L− k , Lk ] 6= 0. + De hecho, si algún conmutador [L− k , Lk ] fuera cero, el correspondiente Lk − conmutarı́a con todos los operadores Lj y L+ j (j = 1, 2, 3). Como las eigen− + formas hej |, hej | forman una base del conjunto de formas con 6 componentes hξ|, Lk conmutarı́a con cualquier combinación lineal hξ|qi. Por tanto, podrı́a 23 conmutar con cualquier observable canónica qj , lo cual es imposible ya que hek | = 6 0, [14]. Si definimos nuevos eigenvectores y eigenformas de Λ como − + 1/2 ± |ũ± |uk i k i = |[Lk , Lk ]| hẽ± k| = he± k| − 1/2 |[Lk , L+ k ]| (3.10) ± los operadores A± k = hẽk |qi cumplen ahora que + [A− k , Aj ] = + + [L− [L− k , Lj ] k , Lk ] = + 1/2 + 1/2 + δkj = γk δ(kj) , |[L− |[L− |[L− j , Lj ]| k , Lk ]| k , Lk ]| (3.11) donde γk es un número complejo de módulo uno. Además, se siguen cumpliendo las relaciones de conmutación + − − [A+ k , Aj ] = 0 = [Ak , Aj ], (3.12) ± [H, A± k ] = ∓iλk Ak . (3.13) [H, A± k] ±αk A± k, Ahora, si definimos αk = −iλk ası́ que = vemos que + − Ak y Ak actuando sobre los eigenvectores de H aumentan y disminuyen, respectivamente, los valores propios correspondientes en una cantidad igual a αk , es decir, actúan como operadores de subida y bajada. Debemos notar que, en el caso en que αk no es real, lo anterior conducirı́a a que los eigenvalores de H serı́an complejos, lo cual no puede ocurrir ya que H es hermitiano. Esto significa que no existen eigenestados normalizables de H en este caso. Una consecuencia de las relaciones de conmutación anteriores es que H se puede escribir como [14] (ver también la discusión relacionada con las ecuaciones 2.18 y 2.19) H = = 3 X αk k=1 3 X γk − A+ k Ak + g0 αk + − − + Lk Lk [Lk , Lk ] k=1 + g0 , (3.14) donde g0 es un escalar complejo. De hecho, definamos g0 = H − 3 X αk k=1 γk − A+ k Ak . Entonces, debido a las relaciones 3.11 y 3.12, g0 conmuta con todos los operadores A± j . Por tanto, g0 conmuta con todas las componentes del vector |qi, de modo que g0 ∈ C. 24 3.2. Eigenvalores puramente imaginarios Según nuestra notación Λ = λk he+ he+ k |Λ k |, Λ = −λk he− he− k |Λ k |, (3.15) por lo que, si λj = iωj con ωj ∈ R+ para j = 1, 2, 3, entonces λ∗k = −λk y, como la matriz Λ es real, tendremos + ∗ he− k | ∝ hek | . Ası́, sin pérdida de generalidad podemos fijar + ∗ he− k | = hek | . (3.16) Ahora, como A± k son combinaciones lineales de las componentes de |qi, (X, Y, . . . , Px , Py , . . . ), que son operadores hermitianos, entonces + − − † † (A+ k ) = (hek |qi) = hek |qi = Ak . (3.17) Notemos además que + † + + − † γk† = [A− = (A− k , Ak ] k Ak − Ak Ak ) + + − − + = A− k Ak − Ak Ak = [Ak , Ak ] = γk , es decir, γk es real y como su módulo es uno tenemos que γk = ±1. Finalmente, tendremos también que ± ± ± [H, A± k ] = ∓iλk Ak = ∓i(iωk )Ak = ±ωk Ak . (3.18) Por tanto, en este caso los operadores de subida y bajada A± k aumentan o disminuyen el eigenvalor del Hamiltoniano H en una cantidad real ωk , un caso particular del general presentado anteriormente. Además, H se escribirá como H = = 3 X ωk k=1 3 X γk − A+ k A k + g0 ωk + − + Lk Lk − ] , L [L k k k=1 25 (3.19) + g0 , (3.20) de modo que, si γk es positivo para todos los valores de k, entonces H será un operador definido positivo. Ası́, existirá un estado base con eigenvalor mı́nimo, |ψ0 i, tal que A− k |ψ0 i = 0 para todo k. Sin embargo, si existe algún k entre los valores 1,2,3, para el cual γk es negativo, el operador H no será definido positivo, ya que habrá términos del tipo de oscilador “invertido”[17]. En este caso, en vez de un estado base tendremos un estado extremal, también deno− tado |ψ0 i, tal que A+ k |ψ0 i = 0 mientras que Aj |ψ0 i = 0 para j 6= k. A partir de |ψ0 i se generará una sucesión infinita de niveles espectrales negativos y + positivos conforme se aplican los operadores A− k y Aj . 26 Capı́tulo 4 Estados coherentes para los Hamiltonianos tridimensionales En el capı́tulo anterior demostramos que podemos escribir ası́ el Hamiltoniano cuadrático tridimensional dado en las ecuaciones 3.1, 3.2 H= 3 X αk k=1 γk − A+ k Ak + g0 , (4.1) − donde A+ k y Ak son operadores que cumplen las relaciones de conmutación 3.11, 3.12 y 3.13. Por la relación 3.12 podemos definir al producto entre A+ k y A− k , ordenado convenientemente, como el Hamiltoniano parcial Hk a modo de obtener el Hamiltoniano total 3.1 como suma de operadores que conmutan entre sı́ y con H. Para definir concretamente los operadores Hk , vamos a restringirnos al caso en que todos los eigenvalores de la matriz Λ son imaginarios puros (λj = iωj , con ωj ∈ R+ , j = 1, 2, 3). De este modo, serán válidos los resultados de + † la sección 3.2, en particular, tendremos que A− k = (Ak ) para k = 1, 2, 3. − Ası́, podemos definir un nuevo operador Bk en términos de A+ k o Ak para intentar agrupar los dos valores posibles de γk . Sean por tanto Bk = A− k, Bk† = A+ k, para γk = 1, Bk = A+ k, Bk† = A− k, para γk = −1, (4.2) con k = 1, 2, 3. Entonces, por la ecuación 3.11 tendremos que los operadores Bk y Bk† cumplen las relaciones de conmutación [Bj , Bk† ] = δjk , j, k = 1, 2, 3. 27 (4.3) Mientras tanto, las ecuaciones 3.12 nos llevan a [Bj , Bk ] = [Bj† , Bk† ] = 0, j, k = 1, 2, 3. (4.4) Vamos ahora a escribir el Hamiltoniano total en términos de los operadores Bk y Bk† . Si en la expresión 3.19 sustituimos Bk y Bk† , según las definiciones 4.2, y usamos las relaciones de conmutación 4.3 para ordenar los productos apropiadamente cuando γj = −1 obtenemos H = 3 X γk ωk Bk† Bk − j k=1 = 3 X X̃ ωj + g0 γk ωk Bk† Bk + g00 , (4.5) k=1 P P donde denotamos como g00 a g0 − ˜ j ωj y ˜ j representa la suma sobre todos los términos para los que γj = −1. Los operadores Hk propuestos anteriormente, quedarán definidos como Hk = γk ωk Bk† Bk , (4.6) de modo que H = H1 +H2 +H3 +g00 . Recordemos que una observable, como lo es H, es un operador hermitiano cuyo conjunto de eigenvectores forman una base del espacio de estados fı́sicos. Ya que los operadores Hk conmutan con H y son hermitianos, podemos buscar un conjunto completo de eigenestados comunes de H y Hk , k = 1, 2, 3. Analicemos otra vez cada caso por separado. Si γk = 1, el operador Hk será definido positivo, es decir, sus eigenvalores deben ser mayores o iguales ± a cero. Por la ecuación 3.18, tendremos que [Hk , A± k ] = ±ωk Ak , de modo que A− disminuye los eigenvalores de Hk en una cantidad igual a ωk . Entonces debe existir un vector |ψ0k i, tal que A− k |ψ0k i = 0, es decir, un vector base para este operador con el eigenvalor mı́nimo posible. Por otro lado, si γk = −1, el operador Hk será definido negativo. Por el conmutador anterior, que sigue siendo válido en este caso, deberemos tener un eigenestado cumbre de Hk , con el eigenvalor más alto posible. Tal eigenes+ tado, |ψ0k i, debe ser aniquilado por el operador A+ k , Ak |ψ0k i = 0. Por tanto, independientemente del valor de γk , existirá un eigenvector de Hk , |ψ0k i, al que llamaremos estado extremal, tal que Bk |ψ0k i = 0, k = 1, 2, 3. 28 (4.7) De hecho, la existencia de una función |ψ0 i que es solución simultánea de las tres ecuaciones anteriores está garantizada por un lema casi inmediato en el formalismo del espacio de Hilbert, cuya demostración se desarrolla de manera didactica en el apéndice C. Por ahora, sólo mencionaremos que si los operadores B1 , B2 y B3 obedecen las relaciones de conmutación dadas por 4.3 y 4.4, el sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales Bj |ψ0 i = 0, j = 1, 2, 3, (4.8) tiene la solución cuadrado integrable dada por 1 1 hx|ψ0 i = ψ0 (~x) = ce− 2 aij xi xj = ce− 2 (~x T a~ x) . (4.9) La matriz a = (aij ) es simétrica y sus entradas complejas quedan determinadas por el sistema de ecuaciones 4.8, el cual conduce a aα~j = β~j , j = 1, 2, 3. (4.10) α~j y β~j resultan de expresar los operadores Bj y Bj† como ~ · β~j , Bj = i P~ · α~j + X † ~ Bj† = −i α~j † · P~ + β~j · X, j = 1, 2, 3. (4.11) Notemos que, debido a la ecuación 4.5, la acción de H sobre el estado extremal |ψ0 i es de la forma H|ψ0 i = g00 |ψ0 i, (4.12) es decir, |ψ0 i es un eigenestado de H con eigenvalor g00 . 4.1. Derivación de los estados coherentes |zk i Por ahora, será suficiente trabajar con los operadores Bk y Bk† para seguir el desarrollo usual de los estados coherentes como eigenestados del operador de aniquilación Bk del modo k-ésimo. Posteriormente generalizaremos la técnica para obtener los estados correspondientes en el espacio total. Definimos primero los operadores número en términos de Bk y Bk† como Nk = Bk† Bk . Notemos que, por definición, el estado |ψ0 i es eigenvector de Nk con eigenvalor cero. Entonces, si denotamos como |nk i a los eigenvectores 29 normalizados de Nk tales que Nk |nk i = nk |nk i podemos escoger, ya que |ψ0 i está también normalizado, |ψ0 i = |0k i. Por otro lado entonces (4.13) [Nk , Bk† ] = Bk† , Nk Bk† |0k i = Bk† |0k i, (4.14) ésto es, Bk† |0k i es eigenvector de Nk con eigenvalor uno, Bk† |0k i ∝ |1k i. La normalización h1k |1k i = 1 nos lleva a que |1k i = Bk† |0k i. Continuando el proceso, en general se tiene que |nk + 1i = C(nk )Bk† |nk i, donde C(nk ) es un número complejo. Normalizando tenemos |C(nk )|2 = nk1+1 ası́ que, tomando C(nk ) como una costante positiva, tendremos √ Bk† |nk i = nk + 1|nk + 1i. (4.15) Por tanto, el operador Bk† es operador de creación para los eigenestados del operador número correspondiente Nk . Una aplicación sucesiva del operador Bk† sobre el estado extremal produce cualquier eigenvector de Nk , de modo que (B † )nk |nk i = √k |0k i. (4.16) nk ! Además, se tiene que [Nk , Bk ] = −Bk , por lo que Nk Bk |nk i = (nk −1)Bk |nk i, es decir, Bk |nk i es eigenvector de Nk con eigenvalor nk − 1. Normalizando se obtiene que √ Bk |nk i = nk |nk − 1i. (4.17) Entonces, Bk es operador de aniquilación para los eigenestados |nk i de Nk . Notemos sin embargo que, para j 6= k, (Bk† )nk (Bk† )nk Bj |0k i = √ Bj |ψ0 i = 0, Bj |nk i = √ nk ! nk ! (4.18) es decir, |nk i sigue siendo eigenvector de Bj con eigenvalor cero, siempre que k 6= j. Podemos considerar por tanto que |ψ0 i = |ψ0,0,0 i y tendremos, por ejemplo (B † )n1 |n1 i = |ψn1 ,0,0 i = √1 |ψ0,0,0 i. n1 ! 30 (4.19) En general obtenemos (B1† )n1 (B2† )n2 (B3† )n3 √ √ |n1 , n2 , n3 i ≡ |ψn1 ,n2 ,n3 i = √ |ψ0,0,0 i. n1 ! n2 ! n3 ! (4.20) Conservaremos por simplicidad la notación |nk i mientras no cause conflictos. Ahora, ya que los operadores Hk son observables y Nk es proporcional a Hk , tenemos que los eigenestados {|nk i} forman una base del espacio de estados. Entonces, podemos expresar cualquier vector como una combinación lineal de ellos. En particular, los eigenestados del operador Bk , que denotaremos como |zk i, pueden escribirse como |zk i = ∞ X Cnk (zk )|nk i, (4.21) nk =0 donde Cnk (zk ) son coeficientes complejos que se obtienen exigiendo que se cumpla Bk |zk i = zk |zk i (4.22) para zk complejo. Tenemos ası́ que Bk |zk i = ∞ X Cnk (zk )Bk |nk i = nk =0 ∞ X = zk ∞ X √ Cnk (zk ) nk |nk − 1i nk =0 ∞ X Cnk (zk )|nk i = zk nk =0 Cnk −1 (zk )|nk − 1i. (4.23) nk =1 Por tanto, se obtiene la relación de recurrencia zk Cnk (zk ) = √ Cnk −1 (zk ) nk (zk )nk Cnk (zk ) = √ C0k (zk ). (4.24) nk ! ⇒ Entonces podemos escribir ∞ X (zk )nk √ |zk i = C0k (zk ) |nk i. n ! k n =0 (4.25) k La normalización hzk |zk i = 1 nos da una expresión para |C0k (zk )|2 y tomando la fase igual a cero tendremos µ ¶ ³ r2 ´ |zk |2 C0k (zk ) = exp − (4.26) = exp − k , 2 2 31 donde zk = rk eiθk . Finalmente tendremos r2 k ∞ X (zk )nk e− 2 √ |zk i = |nk i. nk ! n =0 (4.27) k Ahora, hemos visto que Bk† y Bk son respectivamente los operadores de creación y aniquilación para los eigenestados del operador número, ası́ que los eigenestados de Bk serán por definición los estados coherentes de nuestro sistema. De este modo, hemos encontrado que los EC tienen la forma general dada en la ecuación anterior. 4.1.1. Completez del conjunto {|zk i} Notemos que, en la derivación de los vectores |zk i no obtuvimos ninguna restricción sobre el valor de zk ; tendremos por tanto un conjuto continuo e infinito de eigenestados del operador Bk . Ahora mostraremos que los vectores {|zk i} forman un conjunto completo en el espacio de estados. Para esto, calculamos la integral sobre el plano complejo Z Z ∞ X |mk ihnk | 2 2 √ |zk ihzk |d zk = (zk )mk (zk∗ )nk e−rk d2 zk . (4.28) mk !nk ! m ,n =0 k k Haciendo la integral en coordenadas polares y usando que Z ∞ 2 exp(−r2 )r2n+1 dr = n! (4.29) 0 junto con la completez del conjunto {|nk i}, resulta que Z 1 |zk ihzk |d2 zk = 1. π (4.30) Por tanto, los vectores {|zk i} forman un conjunto completo. En particular podemos escribir Z 1 0 (4.31) |zk ihzk |zk0 id2 zk . |zk i = π El valor del kernel reproductivo hzk |zk0 i se calcula usando la ecuación 4.27, lo que nos lleva a µ ¶ rk0 2 rk2 ∗ 0 0 + zk zk − hzk |zk i = exp − . (4.32) 2 2 32 De aquı́ vemos que los estados coherentes no son ortogonales entre sı́. Notemos además que, cuando mucho, puede haber un |nk i que sea también un estado coherente ya que cualesquiera dos |nk i’s serán ortogonales entre sı́, a diferencia de los estados coherentes. Analizando la forma de la ecuación 4.27, es claro que el único vector |nk i que es también un estado coherente es el estado |0k i que se obtiene cuando zk = 0, es decir, |zk = 0i = |0k i = |ψ0 i. 4.1.2. (4.33) EC a partir del operador de desplazamiento Dk (z) Recordando ahora las definiciones que se tienen para los estados coherentes, consideremos el operador de desplazamiento Dk , definido por la ecuación 1.2 en términos de los operadores de creación y aniquilación del conjunto {|nk i}. A continuación investigaremos si los vectores dados en 4.27 † ∗ coinciden con aquellos derivados de aplicar el operador Dk = e(zk Bk −zk Bk ) al estado extremal |ψ0 i. Sean R = zk Bk† y S = −zk∗ Bk , lo cual implica que [R, S] = |zk |2 = rk2 , [R, [R, S]] = [S, [R, S]] = 0, ası́ como los subsecuentes conmutadores. Usando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff µ ¶ ´ 1 ³ 1 exp(R) exp(S) = exp R+S+ [R, S]+ [R, [R, S]]+[S, [S, R]] +. . . , (4.34) 2 12 se obtiene ³ 1 ´ exp(zk Bk† ) exp(−zk∗ Bk ) = exp zk Bk† − zk∗ Bk + rk2 2 ³1 ´ = exp(zk Bk† − zk∗ Bk ) exp r2 . 2 k Por lo tanto ³ 1 ´ Dk (zk ) = exp − rk2 exp(zk Bk† ) exp(−zk∗ Bk ). 2 Ahora, exp(−zk∗ Bk )|ψ0 i = exp(−zk∗ Bk )|0k i = |0k i, mientras que exp(zk Bk† )|0k i ∞ ∞ X X (zk )nk (zk )nk (Bk† )nk √ |0k i = = |nk i. nk ! nk ! n =0 n =0 k k 33 (4.35) (4.36) Lo anterior implica ∞ 1 2 ´ X (zk )nk √ Dk (zk )|ψ0 i = exp − rk |nk i = |zk i, 2 n ! k n =0 ³ (4.37) k que es lo que querı́amos demostrar. Entonces, podemos obtener los estados coherentes ya sea como combinación lineal de los eigenestados del operador Hk (ver ecuación 4.27), o directamente a partir del estado extremal |ψ0 i del Hamiltoniano total, como se muestra en la ecuación anterior. Consideremos ahora el operador de desplazamiento en el espacio completo, dado por D(z) = D(z1 , z2 , z3 ) = D1 (z1 )D2 (z2 )D3 (z3 ). (4.38) Ası́ tendremos ¯ |zi = D(z)|ψ0 i = D(z1 )D(z2 )D(z3 )¯ψ0 i (4.39) = D(z1 )D(z2 )D(z3 )|z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0i = |z1 , z2 , z3 i ∞ ³ r2 + r2 + r2 ´ X (z1 )n1 (z2 )n2 (z3 )n3 1 2 3 √ |n1 , n2 , n3 i. = exp − 2 n1 ! n2 ! n3 ! n1 ,n2 ,n3 =0 Puesto que [zj Bj† − zj∗ Bj , zk Bk† − zk∗ Bk ] = 0 para todo j, k, resulta que † † ∗ † ∗ ∗ D(z) = ez1 B1 −z1 B1 ez2 B2 −z2 B2 ez3 B3 −z3 B3 † † † ∗ ∗ ∗ = ez1 B1 +z2 B2 +z3 B3 −(z1 B1 +z2 B2 +z3 B3 ) . (4.40) Usando ahora la expresión 4.11 tendremos ~ ~ ~ ~ D(z) = e−i(Γ·P −Σ·X) , (4.41) donde hemos tomado ~Γ = 2Re[z ∗ α~1 + z ∗ α~2 + z ∗ α~3 ], 1 2 3 ∗~ ∗~ ~ Σ = −2Im[z1 β1 + z2 β2 + z3∗ β~3 ]. (4.42) Usando ahora la fórmula BCH dada en 4.34, para cuando tanto A como B conmutan con [A, B], 1 eA+B = e− 2 [A,B] eA eB (4.43) se llega a i~ ~ D(z) = e− 2 Γ·Σ ei ~ X ~ −i~ ~ Σ· Γ·P e 34 i~ ~ ~ ~ = e 2 Γ·Σ e−iΓ·P ei ~ X ~ Σ· . (4.44) 4.2. Cantidades fı́sicas de los EC Usando la expresión previa del operador de desplazamiento y la relación 4.39 podemos encontrar la forma explı́cita para la función de onda de los estados coherentes |zi, φz (~x) = h~x|zi = h~x|D(z)|ψ0 i i~ ~ ~ ~ ~ = e− 2 Γ·Σ eiΣ·~x h~x|e−iP ·Γ |ψ0 i donde ahora ~x representa el valor de la posición. Entonces, usando que [X, f (P )] = if 0 (P ), podemos ver ([19]) que el operador e−ibi Pi , con bi ∈ R, es un operador de desplazamiento en los vectores |xi i pues tendremos que Xi e−ibi Pi |xi i = (xi + bi )e−ibi Pi |xi i, i = 1, 2, 3, (4.45) ⇒ hxi |eibi Pi = hxi + bi |. (4.46) es decir, e−ibi Pi |xi i = |xi + bi i En nuestro caso tridimensional ~ ~ h~x|e−iP ·Γ = h~x − ~Γ|, de modo que i~ ~ ~ φz (~x) = e− 2 Γ·Σ eiΣ·~x h~x − ~Γ|ψ0 i i~ ~ ~ = e− 2 Γ·Σ eiΣ·~x ψ0 (~x − ~Γ). (4.47) Si usamos ahora la forma de ψ0 (~x) dada en la ecuación 4.9, llegamos a i~ ~ ~ 1 ~ T a(~ x−~ Γ) φz (~x) = e− 2 Γ·Σ eiΣ·~x ce− 2 (~x−Γ) 1 ~ T a+iΣ)· ~ ~ ~ x Γ (~ ΓT a+iΣ)·~ = e− 2 (Γ e ψ0 (~x). (4.48) También podemos calcular fácilmente los valores esperados hXj iz ≡ hz|Xj |zi y hPj iz ≡ hz|Pj |zi (j = 1, 2, 3), para algún estado dado |zi = |z1 , z2 , z3 i ası́ como sus desviaciones cuadráticas medias, en términos de las cantidades correspondientes para el estado extremal |ψ0 i, que denotaremos como hψ0 |A|ψ0 i ≡ hAi0 para cualquier operador A. 35 Por componentes, tenemos que la ecuación 4.39 nos lleva a hXj iz ≡ hz|Xj |zi = hψ0 |D† (z)Xj D(z)|ψ0 i. (4.49) De la ecuación 4.44 es claro que i~ ~ ~ ~ ~ ~ i~ ~ ~ ~ ~ ~ D† (z) = e 2 Γ·Σ eiP ·Γ e−iΣ·X = e− 2 Γ·Σ e−iΣ·X eiP ·Γ . (4.50) Por lo tanto i~ ~ ~ ~ ~ ~ i~ ~ ~ ~ ~ ~ hXj iz = hψ0 |e 2 Γ·Σ eiP ·Γ e−iΣ·X Xj e− 2 Γ·Σ eiΣ·X e−iP ·Γ |ψ0 i ~ ~ ~ ~ = hψ0 |eiP ·Γ Xj e−iP ·Γ |ψ0 i, (4.51) ~ conmutan con Xj . donde hemos usado que todas las entradas del vector X Por tanto debemos calcular ~ ~ ~ ~ eiP ·Γ Xj e−iP ·Γ = eiΓi Pi Xj e−iΓi Pi , con suma sobre los ı́ndices repetidos y donde Γi es la i-ésima componente del vector ~Γ definido en la ecuación 4.42. Ahora, para dos operadores A y B tales que ambos conmutan con su conmutador [A, B], es válida la siguiente expresión eAt Be−At = B + t[A, B]. (4.52) Tomando A = Pi , B = Xj , resulta que eiΓi Pi Xj e−iΓi Pi = Xj + Γj . Ası́ tendremos hXj iz = hXj i0 + Γj . (4.53) Ahora ~ ~ ~ ~ hXj2 iz = hψ0 |eiΓ·P Xj2 e−iΓ·P |ψ0 i, lo que se puede simplificar introduciendo un operador identidad de la forma ~ ~ ~ ~ 1 = e−iΓ·P eiΓ·P 36 (4.54) entre los dos operadores Xj de Xj2 = Xj Xj , de modo que la ecuación 4.53 nos lleva a ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ hXj2 iz = hψ0 |eiΓ·P Xj e−iΓ·P eiΓ·P Xj e−iΓ·P = hψ0 |(Xj + Γj )(Xj + Γj )|ψ0 i ¡ = hψ0 | Xj2 + 2Γj Xj + Γj 2 )|ψ0 i = hXj2 i0 + 2Γj hXj i0 + Γj 2 . (4.55) Por lo tanto, llegamos a (∆Xj )2z = hXj2 iz − hXj i2z = hXj2 i0 − hXj i20 = (∆Xj )20 . (4.56) Trabajemos de modo idéntico para Pj , donde ahora tenemos i~ ~ ~ ~ ~ ~ i~ ~ ~ ~ ~ ~ hPj iz = hψ0 |e− 2 Γ·Σ e−iΣ·X eiΓ·P Pj e 2 Γ·Σ e−iΓ·P eiΣ·X |ψ0 i. Usando la ecuación 4.52, tenemos que ~ ~ ~ ~ e−iΣ·X Pj eiΣ·X = Pj + Σj . Por lo tanto hPj iz = hPj i0 + Σj . (4.57) Por otro lado ~ ~ ~ ~ hPj2 iz = hψ0 |e−iΣ·X Pj2 eiΣ·X |ψ0 i = hψ0 |(Pj + Σj )(Pj + Σj )|ψ0 i = hψ0 |(Pj2 + 2Σj Pj + Σj 2 )|ψ0 i = hPj2 i0 + 2Σj hPj i0 + Σj 2 . (4.58) Entonces tendremos también que (∆Pj )2z = hPj2 iz − hPj i2z = hPj2 i0 − hPj i20 = (∆Pj )20 . (4.59) Para finalizar esta sección, es necesario obtener los valores de hXj i0 , hPj i0 , hXj2 i0 y hPj2 i0 con j = 1, 2, 3. Los primeros seis valores esperados se pueden calcular fácilmente si recordamos la forma de los operadores Bk , Bk† en las 37 ecuaciones 4.11 y tomamos el valor esperado de cada uno de ellos en el estado |ψ0 i, hψ0 |Bk |ψ0 i = i(α~k )j hPj i0 + (β~k )j hXj i0 = 0, hψ0 |B † |ψ0 i = −i(α~k )∗ hPj i0 + (β~k )∗ hXj i0 = 0, j k k = 1, 2, 3, (4.60) k = 1, 2, 3, (4.61) j donde (u~k )j indica la j-ésima componente del vector u~k y tenemos suma sobre el ı́ndice j. Notese que hemos usado hψ0 |Bk† = 0 para obtener el cero de la segunda igualdad. Tenemos entonces 6 ecuaciones homogéneas de las cuales se pueden obtener las 6 incógnitas hXi0 , hY i0 , hZi0 , hPx i0 , hPy i0 y hPz i0 . Ahora, para calcular los valores esperados de los operadores cuadráticos Xi2 y Pi2 , tendremos que emplear los resultados correspondientes para los productos a pares de Bj y Bk† . Notemos que los productos se deben tomar en el orden correcto para poder emplear que Bj aniquila al ket |ψ0 i y que Bk† aniquila al bra hψ0 |. Tendremos entonces 21 productos distintos, al combinar por pares los 6 operadores Bi y Bj† , para i, j = 1, 2, 3. Los valores esperados de estos productos nos darán 21 ecuaciones, con el mismo número de incógnitas, las cuales no necesariamente serán ecuaciones homogéneas. Con este sistema de ecuaciones no sólo se obtendrán los valores esperados hXj2 i0 y hPj2 i0 (j = 1, 2, 3), que inicialmente buscamos, sino que obtendremos los valores esperados de cualquier producto cuadrático de los operadores canónicos Xi Pj . Este procedimiento quedará más claro en los ejemplos que se muestran al final del trabajo. A continuación vamos a calcular el valor esperado hHiz del Hamiltoniano total H en un estado coherente arbitrario |zi. Las ecuaciones 4.22 y 4.5 conducen a hHiz = hz|H|zi = 3 X ωk γk |zk |2 + g00 . (4.62) k=1 Para obtener también el valor esperado de H 2 , tomamos primero 2 H = 3 X γj γk ωj ωk Bj† Bk† Bj Bk + j,k=1 3 X ωk2 Bk† Bk + 2g00 k=1 3 X γk ωk Bk† Bk + g00 2 k=1 y por tanto tendremos 2 hH iz = 3 X j,k=1 2 2 γj γk ωj ωk |zj | |zk | + 3 X ωk2 |zk |2 k=1 38 + 2g00 3 X k=1 2 γk ωk |zk |2 + g00 , ası́ que (∆H)2z = 3 X ωk2 |zk |2 . (4.63) k=1 Será interesante ilustrar a continuación estos resultados generales mediante algunos ejemplos. 39 Capı́tulo 5 Algunas aplicaciones del método 5.1. Sistema bidimensional atractivo Podemos ahora continuar el análisis del sistema de la sección 2.2 para el caso atractivo, en el que se encuentran eigenvalores puramente imaginarios (±i|1±β|). Recordemos que hemos obtenido tres diferentes comportamientos dependiendo del valor de β: β < −1, −1 < β < 1, 1 < β, γ1 = −1, γ2 = 1, γ1 = 1, γ2 = 1, γ1 = 1, γ2 = −1. (5.1) De este modo, según las definiciones 4.2, tendremos: β < −1, −1 < β < 1, 1 < β, † † − − + B1 = A+ 1 , B1 = A1 , B2 = A2 , B2 = A2 , † † − + − + B1 = A1 , B1 = A1 , B2 = A2 , B2 = A2 , † † + + − B1 = A− 1 , B1 = A1 , B2 = A2 , B2 = A2 . (5.2) Para obtener la forma de la función de onda ψ0 (~x) en cada caso, debemos obtener la matriz a partiendo de los vectores α~j y β~j mediante la ecuación 4.10 para j = 1, 2, 3. Considerando primero la región β < −1, tendremos que r1 B1 = (X − iY + iPx + Py ), (5.3) 2|r1 | r∗ B2 = 2 (−X − iY − iPx + Py ), (5.4) 2|r2 | 40 de donde µ ¶ r1 1 α~1 = , 2|r1 | −i µ ¶ r2∗ −1 α~2 = , 2|r2 | −i µ r 1 β~1 = 2|r1 | µ ∗ r 2 β~2 = 2|r2 | 1 −i ¶ , ¶ −1 , −i por lo que obtendremos µ a= ¶ 1 0 0 1 . (5.5) Entonces, usando la fórmula 4.9, se llega a 1 2 +y 2 ) ψ0 (~x) = ce− 2 (x . (5.6) En general, un eigenestado arbitrario de H se expresa n1 n2 B1† B2† − 1 (x2 +y2 ) ψn1 ,n2 (~x) = c √ √ e 2 . n1 ! n2 ! (5.7) Por otro lado, podemos obtener el operador de desplazamiento D(z) dado por la ecuación 4.44, donde ahora · ∗ ³ ´ z ∗ r∗ ³ −1 ´¸ ~Γ = Re z1 r1 1 + 2 2 , |r1 | −i |r2 | −i ¸ £ z1∗ r1 ³ 1 ´ z2∗ r2∗ ³ −1 ´ ~ = −Im Σ + . |r1 | −i |r2 | −i Si tomamos, por simplicidad, las fases de r1 y r2 iguales a cero, tendremos µ ¶ Re[z − z ] 1 2 ~Γ = , −Im[z1 + z2 ] µ ¶ Im[z − z ] 1 2 ~ = Σ , (5.8) Re[z1 + z2 ] y podremos reducir el operador de desplazamiento a la forma ¡ ¢ − 2i {Re[z1 −z2 ]Im[z1 −z2 ]−Re[z1 +z2 ]Im[z1 +z2 ]} i Im[z1 −z2 ]X+Re[z1 +z2 ]Y D(z1 , z2 ) = e e ¡ ¢ −i Re[z1 −z2 ]Px −Im[z1 +z2 ]Py ×e . 41 Por tanto tendremos ¡ − 2i (Re[z1 −z2 ]Im[z1 −z2 ]−Re[z1 +z2 ]Im[z1 +z2 ]) i Im[z1 −z2 ]x+Re[z1 +z2 ]y φz (~x) = e ¢ e ¢ ×ψ0 x − Re[z1 − z2 ] , y + Im[z1 + z2 ] . ¡ (5.9) Ahora, los valores esperados de los operadores X, Y , Px y Py en un estado coherente |zi = |z1 , z2 i se obtendrán de las ecuaciones 4.53 y 4.57, las cuales se expresan en términos de hXi0 , hY i0 , hPx i0 y hPy i0 . Como mencionamos al final de la sección 4.2, es posible determinar estos valores del conjunto de ecuaciones que se forma al evaluar hBj i0 y hBj† i0 para j = 1, 2. En nuestro caso tenemos ´ 1³ hB1 i0 = hXi0 − ihY i0 + ihPx i0 + hPy i0 = 0, 2 ´ 1³ hB2 i0 = − hXi0 − ihY i0 − ihPx i0 + hPy i0 = 0, 2 ³ ´ 1 hB1† i0 = hXi0 + ihY i0 − ihPx i0 + hPy i0 = 0, 2 ³ ´ 1 hB2† i0 = − hXi0 + ihY i0 + ihPx i0 + hPy i0 = 0, 2 de donde obtenemos directamente que hXi0 = hY i0 = hPx i0 = hPy i0 = 0. (5.10) Por tanto, sustituyendo lo anterior en las ecuaciones 4.53 y 4.57 obtenemos hXiz1 ,z2 = Re[z1 − z2 ], hPx iz1 ,z2 = Im[z1 − z2 ], hY iz1 ,z2 = −Im[z1 + z2 ], hPy iz1 ,z2 = Re[z1 + z2 ]. (5.11) (5.12) Podemos además evaluar hX 2 i0 , hY 2 i0 , hPx2 i0 y hPy2 i0 del cálculo de los valores esperados de los productos cuadráticos entre los operadores Bj , Bk† . En este caso, por ser un sistema bidimensional tenemos 4 operadores con los que podemos obtener 10 productos independientes y, por tanto, 10 ecuaciones para el mismo número de incognitas (hX 2 i0 , hY 2 i0 , hPx2 i0 , hPy2 i0 , hXY i0 , hPx Py i0 , hXPx i0 , hY Py i0 , hXPy i0 , hY Px i0 ). 42 Ası́, calculemos primero B12 = B1† B1 = B1 B2 = B2† B1 = B1† 2 = B1† B2 = B1† B2† = B22 = B2† B2 = B2† 2 = 1 2 (X − Y 2 − Px2 + Py2 − 2iXY + 2iPx Py + 2iXPx − 2iY Py + 2XPy + 2Y Px ), 4 1 2 (X + Y 2 + Px2 + Py2 + 2XPy − 2Y Px − 2), 4 1 (−X 2 − Y 2 + Px2 + Py2 − 2iXPx − 2iY Py − 2), 4 1 (−X 2 + Y 2 − Px2 + Py2 + 2iXY + 2iPx Py ), 4 1 2 (X − Y 2 − Px2 + Py2 + 2iXY − 2iPx Py − 2iXPx + 2iY Py + 2XPy + 2Y Px ), 4 1 (−X 2 + Y 2 − Px2 + Py2 − 2iXY − 2iPx Py ), 4 1 (−X 2 − Y 2 + Px2 + Py2 + 2iXPx + 2iY Py + 2), 4 1 2 (X − Y 2 − Px2 + Py2 + 2iXY − 2iPx Py + 2iXPx − 2iY Py − 2XPy − 2Y Px ), 4 1 2 (X + Y 2 + Px2 + Py2 − 2XPy + 2Y Px − 2), 4 1 2 (X − Y 2 − Px2 + Py2 − 2iXY + 2iPx Py − 2iXPx + 2iY Py − 2XPy − 2Y Px ), 4 donde hemos tomado nuevamente las fases de r1 y r2 iguales a cero. Ahora tomaremos el valor esperado en el estado extremal |ψ0 i de cada uno de los productos anteriores. Notemos que el orden de los operadores se dispuso de modo que podamos usar Bj |ψ0 i = 0 o hψ0 |Bj† = 0. Resolviendo entonces el sistema de ecuaciones resultante obtenemos 1 , 2 1 = , 2 1 = , 2 1 = , 2 hX 2 i0 = hXY i0 = 0, hY 2 i0 hPx Py i0 = 0, hPx2 i0 hPy2 i0 i hXPx i0 = , 2 i hY Py i0 = . 2 43 hXPy i0 = 0, hY Px i0 = 0, Por tanto, tendremos que 1 + Re2 [z1 − z2 ], 2 1 hY 2 iz1 ,z2 = + Im2 [z1 + z2 ], 2 1 hPx2 iz1 ,z2 = + Im2 [z1 − z2 ], 2 1 2 hPy iz1 ,z2 = + Re2 [z1 + z2 ]. 2 hX 2 iz1 ,z2 = de donde podemos comprobar que 1 (∆X)2z = hX 2 iz − hXi2z = , 2 1 (∆Px )2z = hPx2 iz − hPx i2z = , 2 1 (∆Y )2z = , 2 1 (∆Py )2z = . 2 Finalmente, vemos que el producto (∆Xj )z (∆Pj )z minimiza la relación de incertidumbre de Heisenberg, tal y como uno esperarı́a para sistemas equivalentes a osciladores armónicos desacoplados en varias dimensiones. Para los otros dos casos seguiremos un procedimiento similar. Ası́, para −1 < β < 1, se obtiene µ ¶ µ ¶ r1∗ r1∗ 1 1 ~ α~1 = , β1 = , 2|r1 | −i 2|r1 | −i µ ¶ µ ¶ r2∗ r2∗ −1 −1 ~ α~2 = , β2 = , 2|r2 | −i 2|r2 | −i mientras que, para la región 1 < β, µ ¶ r1∗ 1 α~1 = , 2|r1 | −i µ ¶ r2 −1 α~2 = , 2|r2 | −i µ ∗ r 1 β~1 = 2|r1 | µ r2 ~ β2 = 2|r2 | 1 −i ¶ , ¶ −1 . −i Notemos que, con la suposición de que r1 y r2 son reales y positivos, los vectores α~i y β~i coinciden en los tres casos, por lo que obtendremos los mismos resultados, tanto en la forma de la función de onda ψ0 (~x) como en los valores esperados. 44 5.2. Oscilador tridimensional anisotrópico A continuación trataremos un ejemplo tridimensional muy simple para mostrar cómo se desarrolla el método presentado en el capı́tulo anterior. Sea P~ 2 ω 2 (x2 + y 2 ) + + 2 2 En este caso la matriz Λ estará dada por  0 0 0 1  0 0 0 0   0 0 0 0 Λ=  −ω 2 0 0 0   0 −ω 2 0 0 0 0 −ωz2 0 H= ωz2 z 2 . 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 (5.13)     ,    (5.14) para la cual los eigenvalores son siempre imaginarios de la forma λ∗1 = −iω, λ∗2 = −iω, λ∗3 = −iωz . λ1 = iω, λ2 = iω, λ3 = iωz , Tendremos entonces los eigenvectores normalizados     −i 0  0   −i      1  1  0  0      , |u3 i = 1 |u1 i = , |u2 i =    2r1 ω  ω  2r2 ω  0  2r3 ωz   0   ω  0 0         0 0 −i 0 0 ωz      ,(5.15)    y sus complejos conjugados, mientras que las eigenformas serán he1 | = r1 (iω, 0, 0, 1, 0, 0), he2 | = r2 (0, iω, 0, 0, 1, 0), he3 | = r3 (0, 0, iωz , 0, 0, 1), (5.16) y sus correspondientes conjugadas. Definimos entonces los operadores L+ i y − Li como L+ L+ L+ 1 = r1 (iωX + Px ), 2 = r2 (iωY + Py ), 3 = r3 (iωz Z + Pz ), (5.17) − − ∗ ∗ ∗ L1 = r1 (−iωX + Px ), L2 = r2 (−iωY + Py ), L− 3 = r3 (−iωz Z + Pz ), 45 los cuales satisfacen + 2 [L− 1 , L1 ] = 2ω|r1 | , + 2 [L− 2 , L2 ] = 2ω|r2 | , + 2 [L− 3 , L3 ] = 2ωz |r3 | . Ya que estos conmutadores son mayores o iguales que cero, la ecuación 4.2 nos lleva a identificar L− √i , |ri | 2ω L− √3 = . |r3 | 2ωz Bi = B3 i = 1, 2, Ası́, siguiendo la ecuación 4.5 podemos escribir H = 3 X γk ωk Bk† Bk + g00 k=1 ¢ ¡ 2ω + ωz = ω B1† B1 + B2† B2 + ωz B3† B3 − . 2 Por otro lado, tendremos los vectores     1 0 −i   −i   √ √ 0 , α~2 = 1 , α~1 = 2ω 2ω 0 0   0 −i   0 , α~3 = √ 2ωz 1 donde hemos tomado por simplicidad r1 , r2 y r3 reales. Mientras tanto       r r r 1 0 0 ω  ω  ωz   ~ ~ ~ 0 1 0 . , β2 = −i , β3 = −i β1 = −i 2 2 2 0 0 1 Entonces, la matriz a definida en la ecuación 4.10 resulta ser   ω 0 0 a =  0 ω 0 . 0 0 ωz (5.18) Con lo anterior, podemos obtener el estado extremal ψ0 (~x) como 1 2 +y 2 )+ω z 2 } z ψ0 (~x) = ce− 2 {ω(x 46 . (5.19) Para obtener la forma explı́cita de los estados coherentes de nuestro sistema, usaremos la definición 4.39, por lo que debemos calcular primero el operador D(z). Para esto empleamos la relación 4.41 en donde, para los números complejos z1 , z2 , z3 , tendremos  z   √  √1 z1 √ω ω √ √ z2  ~ ~Γ = − 2 Im  √  z2 ω  . , Σ = 2 Re (5.20)  ω  √ z 3 √ z3 ωz ωz Por tanto µ ¶ ~Γ · Σ ~ = −2 Im[z1 ]Re[z1 ] + Im[z2 ]Re[z2 ] + Im[z3 ]Re[z3 ] , µ ¶ √ √ √ √ ~ ·X ~ = Σ 2 Re z1 ω X + z2 ω Y + z3 ωz Z , µ ¶ √ ~Γ · P~ = − 2 Im z1 Px√+ z2 Py + z√3 Pz . ωz ω El operador de desplazamiento queda entonces como ¡ ¢ √ ¡ √ D(z) = ei Im[z1 ]Re[z1 ]+Im[z2 ]Re[z2 ]+Im[z3 ]Re[z3 ] ei 2 Re z1 ω ¢ √ √ X+z2 ω Y +z3 ωz Z ¡ z P +z P z P ¢ √ i 2 Im 1 x√ω 2 y + √3ω z ×e z . Ası́, obtenemos los estados coherentes del sistema en la forma ¡ ¢ √ ¡ √ ¢ √ √ i Im[z1 ]Re[z1 ]+Im[z2 ]Re[z2 ]+Im[z3 ]Re[z3 ] i 2 Re z1 ω x+z2 ω y+z3 ωz z e φz (~x) = e ¡ z P +z P z P ¢ √ i 2 Im 1 x√ω 2 y + √3ω z z |ψ i ×hx|e 0 ¡ ¢ √ ¡ √ ¢ √ √ i Im[z1 ]Re[z1 ]+Im[z2 ]Re[z2 ]+Im[z3 ]Re[z3 ] i 2Re z1 ω x+z2 ω y+z3 ωz z =e e r r r ¶ µ 2 2 2 ×ψ0 x + Im[z1 ], y + Im[z2 ], z + Im[z3 ] . ω ω ωz Hubieramos llegado al mismo resultado sustituyendo directamente en la ecuación 4.48. Por otro lado, igualando a cero el valor esperado de los operadores Bi y Bi† en el estado extremal, obtenemos el conjunto de ecuaciones −iωhXi0 + hPx i0 = 0, −iωhY i0 + hPy i0 = 0, −iωz hZi0 + hPz i0 = 0, iωhXi0 + hPx i0 = 0, iωhY i0 + hPy i0 = 0, iωz hZi0 + hPz i0 = 0, 47 cuya solución está dada por los siguientes valores esperados hXi0 = 0, hY i0 = 0, hZi0 = 0, hPx i0 = 0, hPy i0 = 0, hPz i0 = 0. Un sistema de ecuaciones similar, pero para los productos cuadráticos entre operadores Bi y Bj† , nos lleva directamente a 1 , hPx2 i0 = ω2 , hXPx i0 = 2i , hX 2 i0 = 2ω 1 hY 2 i0 = 2ω , hPy2 i0 = ω2 , hY Py i0 = 2i , 1 2 hZ i0 = 2ωz , hPz2 i0 = ω2z , hZPz i0 = 2i , (5.21) mientras que hXY i0 = hXZi0 = hY Zi0 = hPx Py i0 = hPx Pz i0 = hPy Pz i0 = 0, hXPy i0 = hXPz i0 = hY Px i0 = hY Pz i0 = hZPx i0 = hZPy i0 = 0. Siguiendo las ecuaciones 4.53, 4.57, tendremos r r 2 2 hXiz = − Im[z1 ], hY iz = − Im[z2 ], ω ω √ √ hPy iz = 2ω Re[z2 ], hPx iz = 2ω Re[z1 ], en tanto que 4.55 y 4.58 nos llevan a ¢ 1 ¡ hX 2 iz = 1 + 4Im2 [z1 ] , 2ω ¢ 1 ¡ 1 + 4Im2 [z2 ] , hY 2 iz = 2ω 1 ¡ hZ 2 iz = 1 + 4Im2 [z3 ]), 2ωz r 2 Im[z3 ], ωz √ hPz iz = 2ωz Re[z3 ], hZiz = − ¢ ω¡ 1 + 4Re2 [z1 ] , 2 ¡ ¢ ω hPy2 iz = 1 + 4Re2 [z2 ] , 2 ¢ ωz ¡ hPz2 iz = 1 + 4Re2 [z3 ] . 2 hPx2 iz = Podemos obtener también 1 1 1 (∆X)2z = , (∆Y )2z = , (∆Z)2z = , 2ω 2ω 2ωz ω ω ωz (∆Px )2z = , (∆Py )2z = , (∆Pz )2z = , 2 2 2 es decir, se minimizan las relaciones de incertidumbre de Heisenberg 1 1 1 (∆Y )z (∆Py )z = , (∆Z)z (∆Pz )z = , (5.22) (∆X)z (∆Px )z = , 2 2 2 que es lo que se espera para los estados coherentes estándar. 48 5.3. Trampa de Penning En esta sección estudiaremos a una partı́cula sin espı́n de carga e dentro de una trampa de Penning, es decir, sujeta a un campo magnético uniforme constante y a un potencial cuadrupolar eléctrico. Por simplicidad, supondremos que la masa de la partı́cula es igual a 1. Entonces, su Hamiltoniano estará dado por H= 1 ¡ ~ e ~ ~ ¢2 ~ P − A(X) + eΦ(X), 2 c (5.23) donde el campo magnético está representado por el potencial vectorial ~ X) ~ = −1X ~ × B, ~ A( 2 (5.24) ~ = B k̂ y tomaremos el potencial escalar como con B ~ = Φ0 (X 2 + Y 2 − 2z 2 ). Φ(X) (5.25) Podemos ahora llevar nuestro Hamiltoniano a la forma µ ¶ ½µ ¶2 ¾ P~ 2 eB eB 1 2 2 2 2 2 H = − Lz + (X + Y ) + 2eΦ0 (X + Y − 2Z ) 2 2c 2 2c ´ P~ 2 1³ 2 2 2 2 2 2 b (X + Y ) + v0 (X + Y ) − 2v0 Z , = + b0 Lz + (5.26) 2 2 0 donde b0 = − eB y v0 = 2eΦ0 . Es claro que podemos llegar de la ecuación 2c 3.1, con el potencial de la forma dada en 3.2, al Hamiltoniano anterior si tomamos v1 = −2v0 = −4eΦ0 . Por lo tanto, la matriz Λ en este caso se reduce  0 −b0 0  b0 0 0   0 0 0 Λ=  −(b20 + v0 ) 0 0   0 −(b20 + v0 ) 0 0 0 2v0 49 (5.27) a 1 0 0 1 0 0 0 −b0 b0 0 0 0 0 0 1 0 0 0     ,    (5.28) cuyos eigenvalores están dados por ±λ1 , ±λ2 y ±λ3 , con √ 2v0 , λ1 = r ³ q ´2 λ2 = − b0 + b20 + v0 , r ³ q ´ λ3 = − b0 − b20 + v0 2 . (5.29) (5.30) (5.31) Para analizar este ejemplo, nos restringiremos nuevamente a eigenvalores de Λ puramente imaginarios, es decir, necesitamos que v0 < 0. (5.32) p p Además, pediremos que tanto b0 + b20 + v0 como b0 − b20 + v0 sean reales. Para esto exigimos que b20 + v0 > 0, es decir, nos restringiremos a los valores de b0 y v0 que cumplan con p (5.33) |b0 | > |v0 |. p ¯ ¯ Ahora sólo nos resta analizar los valores absolutos ¯b0 ± b20 + v0 ¯. Definiendo q ω+ = b0 + b20 + v0 , q ω− = b0 − b20 + v0 , vemos que si b0 es positivo, con 5.32 y 5.33 tendremos ω± > 0. Sin embargo, para b0 negativo, ω± serán negativos y por tanto llegaremos a dos casos: √ b0 > 0, λ1 = i −2v0 , λ2 = iω+ , λ3 = iω− , √ (5.34) b0 < 0, λ̂1 = i −2v0 , λ̂2 = −iω+ , λ̂3 = −iω− . Por tanto, sólo necesitamos las restricciones 5.32 y 5.33 para poder aplicar la teorı́a de la sección 3.2. Analizando primero el caso b0 > 0, obtendremos los siguientes eigenvectores normalizados µ ¶ 1 i |u1 i = 0, 0, − √ , 0, 0, 1 , 2t1 −2v0 µ ¶ 1 1 i p |u2 i = , −p 2 , 0, i, 1, 0 , 4t2 b20 + v0 b0 + v0 µ ¶ 1 i 1 −p 2 ,p 2 , 0, i, 1, 0 , |u3 i = 4t3 b0 + v0 b 0 + v0 50 y sus complejos conjugados |u∗1 i = (|u1 i)∗ , |u∗2 i = (|u2 i)∗ y |u∗3 i = (|u3 i)∗ , con t1 , t2 y t3 constantes complejas. Mientras tanto, las eigenformas están dadas por ³ ´ √ he1 | = t1 0, 0, i −2v0 , 0, 0, 1 , q ³q ´ 2 2 he2 | = t2 b0 + v0 , i b0 + v0 , 0, −i, 1, 0 , q ´ ³ q he3 | = t3 − b20 + v0 , −i b20 + v0 , 0, −i, 1, 0 , y las correspondientes conjugadas he∗1 | = (he1 |)∗ , he∗2 | = (he2 |)∗ y he∗3 | = (he3 |)∗ . + − ∗ Si definimos ahora los operadores L± k como Lk = hek |qi y Lk = hek |qi para k = 1, 2, 3, obtendremos las relaciones de conmutación siguientes √ + 2 [L− −2v0 , 1 , L1 ] = 2|t1 | q + 2 [L− b20 + v0 , 2 , L2 ] = 4|t2 | q + 2 b20 + v0 . [L− , L ] = −4|t | 3 3 3 Por tanto, siguiendo la ecuación 3.20 podremos escribir el Hamiltoniano en la forma p p b0 + b20 + v0 + − b0 − b20 + v0 + − 1 + − p p H= L2 L2 − L3 L3 + g0 ,(5.35) L L + 2|t1 |2 1 1 4|t2 |2 b20 + v0 4|t3 |2 b20 + v0 q donde g0 = −v2 0 + b0 . Notemos, por otro lado, que los valores + [L− j , Lj ] γj = ¯¯ − + ¯¯ , [Lj , Lj ] j = 1, 2, 3, están dados por γ1 = 1, γ2 = 1, γ3 = −1, (5.36) es decir, según las definiciones 4.2, ahora debemos tomar L− B1 = q¯ 1 ¯, + ¯ ¯[L− , L ] 1 1 L− B2 = q¯ 2 ¯, + ¯ ¯[L− , L ] 2 2 51 L+ B3 = q¯ 3 ¯ . (5.37) + ¯ ¯[L− , L ] 3 3 Siguiendo la definición 4.11, identificamos los vectores   0 ∗ it1  0 , α~1 = − √ |t1 | 2(−2v0 )1/4 1   1 ∗ t2  −i  , α~2 = 2 2|t2 |(b0 + v0 )1/4 0   1 t3  i , α~3 = − 2|t3 |(b20 + v0 )1/4 0 (5.38) y  β~1 β~2 β~3  0 = − √ (−2v0 )1/4  0  , |t1 | 2 1   1 ∗ t2 2 (b + v0 )1/4  −i  , = 2|t2 | 0 0   1 t3 2 = − (b0 + v0 )1/4  i  . 2|t3 | 0 it∗1 (5.39) Por tanto, la matriz a se expresa como  p 2  b 0 + v0 p 0 0 . a= 0 b20 + v0 √ 0 0 0 −2v0 (5.40) Con esto, se puede obtener la forma de la función de onda extremal dada en la ecuación 4.9, lo que nos lleva a ψ0 (~x) = ce − 12 √ q b20 +v0 (x2 +y 2 ) − e −v0 2 z2 (5.41) . De aquı́ se puede calcular cualquier eigenfunción de H √2 1 B n1 B n2 B n3 2 2 ψn1 ,n2 ,n3 (~x) = c √ 1 √ 2 √ 3 e− 2 b0 +v0 (x +y ) e− n1 ! n2 ! n3 ! 52 q −v0 2 z2 . (5.42) Pasemos ahora a desarrollar el operador de desplazamiento en este caso. ~ Según la ecuación 4.44, D(z) se obtiene en términos de los vectores ~Γ y Σ definidos como   Γ1 ~Γ ≡ 2Re[z1∗ α~1 + z2∗ α~2 + z3∗ α~3 ] =  Γ2  , Γ3   Σ1 ~ ≡ −2Im[z1∗ β~1 + z2∗ β~2 + z3∗ β~3 ] =  Σ2  . Σ Σ3 Por componentes tenemos 1 Γ1 = (b20 + v0 )− 4 (Re[z2 − z3 ]) , − 14 2 Γ2 = −(b √0 + v0 ) − 1(Im[z2 + z3 ]) , Γ3 = − 2(−2v0 ) 4 Im[z1 ], (5.43) Σ1 = (b20 + v0 )1/4 (Im[z2 − z3 ]) , 2 1/4 Σ2 = (b √0 + v0 ) 1/4(Re[z2 + z3 ]) , Σ3 = 2(−2v0 ) Re[z1 ], (5.44) donde hemos tomado por simplicidad las fases de t1 , t2 y t3 iguales a cero. Calcularemos los productos en términos de los cuales se expresa el operador D(z) en la ecuación 4.44. Vemos primero que ¡ ¢ ~Γ · Σ ~ = −2 Re[z1 ]Im[z1 ] + Re[z2 ]Im[z3 ] + Re[z3 ]Im[z2 ] . (5.45) Además podemos escribir ~ ·X ~ = (b20 + v0 )1/4 Σ n¡ ¢ ¡ ¢ o Im[z2 − z3 ] X + Re[z2 + z3 ] Y √ + 2(−2v0 )1/4 Re[z1 ]Z, (5.46) y ~Γ · P~ = n¡ ¢ ¡ ¢ o 1 Re[z2 − z3 ] Px − Im[z2 + z3 ] Py (b20 + v0 )1/4 √ 2 − Im[z1 ]Pz . (−2v0 )1/4 53 (5.47) Sustituyendo los resultados anteriores en la ecuación 4.44 obtenemos la forma explı́cita del operador de desplazamiento. ª © √ i 2 − 2 i 1/4 (Re[z2 −z3 ])Px −(Im[z2 +z3 ])Py + Im[z1 ]Pz (b0 +v0 ) (−2v0 )1/4 ~ D(z) = C(z)F (X)e , donde tomamos i~ ~ C(z) = C(z1 , z2 , z3 ) = e− 2 Γ·Σ ¡ ¢ i Re[z1 ]Im[z1 ]+Re[z2 ]Im[z3 ]+Re[z3 ]Im[z2 ] = e , (5.48) y hemos definido la función ~ X ~ ~ = eiΣ· F (X) = e i(b20 +v0 )1/4 ©¡ ¢ ¡ ¢ ª Im[z2 −z3 ] X+ Re[z2 +z3 ] Y (5.49) √ +i 2 (−2v0 )1/4 Re[z1 ]Z . Ası́, la forma explı́cita de los estados coherentes será √ µ ¶ 2 Im[z1 ] Re[z2 − z3 ] Im[z2 + z3 ] φz (~x) = C(z)F (~x)ψ0 x − 2 ,y + 2 ,z + , (b0 + v0 )1/4 (b0 + v0 )1/4 (−2v0 )1/4 donde ψ0 (~x) esta dada por la ecuación 5.41. Como en los ejemplos anteriores, podemos calcular los valores esperados de Xi y Pi para los estados coherentes en términos de las cantidades correspondientes en el estado extremal |ψ0 i. Ası́, sólo debemos sustituir en las ecuaciones 4.53 y 4.57, los valores que obtengamos para hXi i0 y hPi i0 a partir del sistema de ecuaciones formado al tomar hBi i0 = 0, hBi† i0 = 0, i = 1, 2, 3. (5.50) En este caso se obtiene hXi i0 = hPi i0 = 0, i = 1, 2, 3, (5.51) y por tanto las ecuaciones 4.53 y 4.57 nos llevan a hXj iz = Γj , hPj iz = Σj . Estas expresiones ya están desarrolladas en las ecuaciones 5.43 y 5.44. Ahora, también buscamos los valores esperados de los productos cuadráticos entre los operadores canónicos, en especial hXi2 iz y hPi2 iz con i = 1, 2, 3 54 para poder calcular las desviaciones cuadráticas medias (∆Xi )2z y (∆Pi )2z . Según las ecuaciones 4.55 y 4.58, sólo necesitamos calcular los valores esperados en el estado extremal |ψ0 i, por lo cual nuevamente recurrimos a los valores esperados de los productos entre los operadores de escalera en dicho estado. Ası́ obtendremos un sistema de 21 ecuaciones y el mismo número de incognitas, como resultado de multiplicar por pares los 6 operadores. Con este método obtendremos 1 1 hX 2 i0 = hY 2 i0 = p 2 , hZ 2 i0 = √ , 2 −2v0 2 b 0 + v0 p √ b20 + v0 −2v0 2 2 2 hPx i0 = hPy i0 = , hPz i0 = . 2 2 mientras que i hXPx i0 = hY Py i0 = hZPz i0 = . 2 Los demás valores esperados que se obtienen del sistema de ecuaciones son identicamente cero. Por tanto, las ecuaciones 4.56 y 4.59 nos llevan a obtener 1 1 2 p √ , (∆Z) = , z 2 −2v0 2 b20 + v0 p √ b20 + v0 −2v0 2 2 2 (∆Px )z = (∆Py )z = , (∆Pz )z = , 2 2 y se puede ver que se cumplen las relaciones de mı́nima incertidumbre (∆X)2z = (∆Y )2z = 1 1 1 (∆X)z (∆Px )z = , (∆Y )z (∆Py )z = , (∆Z)z (∆Pz )z = , 2 2 2 como se ha obtenido en los ejemplos anteriores. Analizando ahora el caso b0 < 0, encontramos grandes similitudes con el anterior. Notemos primero que λ̂1 = λ1 , λ̂2 = −λ2 , λ̂3 = −λ3 . (5.52) Entonces tendremos |û1 i = |u1 i, |û2 i = |u∗2 i, |û3 i = |u∗3 i, |û∗1 i = |u∗1 i, |û∗2 i = |u2 i, |û∗3 i = |u3 i, hê1 | = he1 |, hê2 | = he∗2 |, hê3 | = he∗3 |, 55 hê∗1 | = he∗1 |, hê∗2 | = he2 |, hê3 | = he∗3 |. Por tanto, los operadores L̂± quedarán definidos como + L̂+ 1 = hê1 |qi = L1 , ∗ − L̂− 1 = hê1 |qi = L1 , − L̂+ 2 = hê2 |qi = L2 , ∗ + L̂− 2 = hê2 |qi = L2 , − L̂+ 3 = hê3 |qi = L3 , ∗ + L̂− 3 = hê3 |qi = L3 . En términos de estos operadores, con ayuda de la ecuación 4.5 y partiendo de 5.35, podemos escribir H como √ √ b0 + b20 +v0 b0 − b20 +v0 − + − − √ √ 2 L̂+ H = 2|t11 |2 L̂+ L̂ + (5.53) L̂ L̂ − 1 1 2 2 3 L̂3 + ĝ0 , 2 2 2 4|t2 | b0 +v0 4|t3 | b0 +v0 q donde ĝ0 = −v2 0 − b0 . Por otro lado, tendremos los conmutadores p + 2 [L̂− , L̂ ] = 2|t | 2|v0 |, 1 1 1 q + 2 [L̂− b20 + v0 , 2 , L̂2 ] = −4|t2 | q + 2 [L̂− b20 + v0 , 3 , L̂3 ] = 4|t3 | es decir, ahora γ1 = 1, γ2 = −1, γ3 = 1, (5.54) de modo que las ecuaciones 4.2 nos llevan a elegir para este caso L̂− L− 1 q q B̂1 = ¯£ = ¯£ 1 ¤¯ = B1 , ¤¯ + ¯ + ¯ ¯ L− ¯ L̂− , L , L̂ 1 1 1 1 L− L̂+ 2 q q B̂2 = ¯£ = ¯£ 2 ¤¯ = B2 , ¤¯ + ¯ + ¯ ¯ L− ¯ L̂− , L , L̂ 2 2 2 2 L̂− L+ 3 q q B̂3 = ¯£ , = ¯£ 3 ¤¯ = B3 . ¤¯ + ¯ + ¯ ¯ L− ¯ L̂− , L , L̂ 3 3 3 3 Esto significa que los operadores B̂k del caso b0 < 0 coinciden con los correspondientes Bk para b0 > 0, k = 1, 2, 3. Ası́, el resto del tratamiento es exactamente igual, lo cual incluye tanto a las expresiones explı́citas de la función de onda extremal ψ0 (~x) y de los estados coherentes φz (~x) como a los valores esperados de los operadores canónicos. Lo anterior incluye también la minimización de la relación de incertidumbre de Heisenberg. 56 Capı́tulo 6 Conclusiones En este trabajo encontramos explı́citamente los estados coherentes de sistemas descritos por Hamiltonianos cuadráticos cuya forma está dada en la ecuación 3.1. Para lograrlo fuimos capaces de determinar operadores análogos a los de creación y aniquilación del oscilador armónico. En el régimen de desconfinamiento se encontró que estos nuevos operadores, mediante una técnica algebraica similar a la del oscilador, podrı́an generar eigenvectores con eigenvalor complejo lo cual no puede ocurrir ya que H es hermitiano. Esto implica que, en este régimen, no existen estados estacionarios asociados a H. Al restringirnos a sistemas confinados espacialmente fue posible obtener tales estados estacionarios y, en particular, la forma explı́cita de la función de onda del estado extremal. Asimismo mostramos que, para sistemas regidos por los Hamiltonianos en cuestión, las definiciones de estados coherentes dadas por las ecuaciones 1.1 y 1.3 son equivalentes. Ası́, desarrollamos el operador de desplazamiento y, a partir de éste, obtuvimos la forma explı́cita de los estados coherentes en términos de la función de onda del estado extremal del sistema. Es importante notar que este desarrollo proporciona un método algebraico directo, a partir de un sistema de ecuaciones lineales, para obtener los valores esperados de los operadores de posición y momento en un estado coherente arbitrario, ası́ como de los productos cuadráticos entre estos. Cuando menos para los ejemplos presentados, encontramos que los estados coherentes ası́ derivados minimizan la relación de incertidumbre de Heisenberg para Xi , Pi . Es interesante mencionar especı́ficamente a la trampa de Penning, para la cual nuestro tratamiento algebraico permite concluir de manera directa que el 57 Hamiltoniano correspondiente no es un operador definido positivo, debido al signo de γ que se obtiene en uno de los modos en los cuales se descompone H. Este fenómeno ya ha sido observado en el pasado para operadores que juegan un papel análogo al Hamiltoniano en sistemas de referencia no inerciales. Como podemos ver con este ejemplo, tal propiedad puede surgir también para Hamiltonianos en sistemas de referencia inerciales. 58 Apéndice A Técnicas matemáticas Sea Λ una matriz n × n diagonalizable no necesariamente hermı́tica, con entradas reales [20]. Sean   u1i  u2i    |ui i =  ..  , (A.1) hei | = (ei1 , ei2 , . . . , ein ),  .  uni los eigenvectores y eigenformas de Λ correspondientes al eigenvalor λi . Suponiendo que los eigenvalores λi no se repiten tendremos eigenvectores y eigenformas linealmente independientes. Definamos las matrices U y E, formadas por las columnas |ui i y los renglones hei | respectivamente.     u11 u12 . . . u1n e11 e12 . . . e1n  u21 u22 . . . u2n   e21 e22 . . . e2n      U =  .. E =  .. .. ..  , .. ..  . (A.2)  .  . . .  . .  un1 . . . en1 . . . Tendremos entonces que λ, Λ U = Uλ (A.3) Λ = λ E, EΛ (A.4) y 59 donde λ es la matriz diagonal formada por los eigenvalores de Λ ,   λ1 0   λ2   λ= . ..   . 0 λn (A.5) Si multiplicamos entonces la ecuación A.3 a la izquierda por E y A.4 a la λ = λ EU. Ya que los λi son diferentes entre derecha por U tendremos EUλ s1́, es fácil ver que EU tiene que ser una matriz diagonal que denotaremos por D = EU. Ahora, ya que U y E son invertibles podemos escribir D−1 = U−1 E−1 y como U = E−1 D, tenemos U−1 = D−1 E, es decir 1 = UU−1 = U(D−1 E). Definiendo las matrices ψ = UD−1 y χ = E se satisface que ψ χ = 1, χψ = EUD−1 = DD−1 = 1. (A.6) Analizando cuidadosamente la matriz D, vemos que cada una de sus entradas tiene la forma del producto escalar dij = hei |uj i. Como D es diagonal, tendremos que hei |uj i ∝ δij , esto es, los eigenvectores y las eigenformas son ortogonales entre sı́ cuando corresponden a distinto eigenvalor. Además, ya que las componentes djj de la diagonal de la matriz D son de la forma djj = hej |uj i tendremos que (d−1 )jj = hej 1|uj i y ası́ las entradas de la matriz ψ serán de la forma uij ψij = . hej |uj i Por tanto, las entradas del producto ψ χ estarán dadas como X X uij X uij ejm ψχ (ψχ ψχ)im = ψij χjm = (E)jm = . he |u i he |u i j j j j j j j Entonces, normalizando de modo que hej |uj i = 1, para todo j, la primera ecuación en A.6 nos lleva a X uij ejm = δim , j esto es, X |uj ihej | = 1. (A.7) j Ası́, los eigenestados y las eigenformas de la matriz Λ generan el espacio completo. 60 Apéndice B Evolución temporal En el cuadro de Heisenberg, la evolución temporal de un operador O(t) que en el cuadro de Schrödinger no depende explı́citamente del tiempo, para un sistema descrito por un Hamiltoniano H, está dada por la ecuación d O(t) = [iH, O(t)]. dt (B.1) Consideremos un Hamiltoniano cuadrático de la forma 1 H = η T Bη + d 2 µ ¶ ~ X(t) con η = , B una matriz 2n × 2n real y simétrica de entradas P~ (t) costantes y d un número real. Entonces, se llega fácilmente a que el conmutador de la ecuación B.1 para el vector de operadores η puede escribirse como el producto matricial [iH, η] = JBη, (B.2) 1 donde J es la conocida matriz J= µ 0 1 −1 0 ¶ , (B.3) en la cual 1 representa la matriz identidad n × n. Por su forma J cumple que JT = −J, J2 = −1. 1 (B.4) En este apéndice utilizaremos una notación distinta a la del texto con el fin de evitar posibles confusiones. 61 Entonces, la matriz Λ definida en el texto como aquella que cumple la relación [iH, η] = Λ η, tendrá la forma Λ = JB. Por tanto, la ecuación B.1 para el vector η será dη(t) = JBη(t) = Λ η(t), dt (B.5) cuya solución está dada como η(t) = eΛ t η(0) = eΛ t η0 . (B.6) Además, tendremos que el polinomio caracterı́stico de la matriz Λ , P (λ) = Λ − λ|, se puede escribir como |Λ P (λ) = |JB − λ|. (B.7) Usando ahora las propiedades B.4, ası́ como las conocidas para determinantes y matrices simétricas, se llega a que |JB − λ| = |JB + λ|, (B.8) es decir, P (λ) = P (−λ). Por tanto, si λ es raı́z del polinomio caracterı́stico, esto es eigenvalor de Λ , también lo será −λ. Ası́, podemos etiquetar los eigenestados y las eigenformas, correspondientes a los eigenvalores λj y −λj , ± como |u± j i y hej | respectivamente. Ahora, según el apéndice A, normalizando adecuadamente se llega a la ecuación A.7, que en este caso toma la forma X ¡¯ ¯ ¯ ¯¢ ¯u+ ihe+ ¯ + ¯u− ihe− ¯ . 1= (B.9) j j j j j Por tanto, podemos escribir η(t) = eΛ t 1η0 = eΛ t = X¡ j = X¡ X¡ ¢ + − − |u+ j ihej | + |uj ihej | η0 j λj t e + |u+ j ihej |η0 ¯ ¢ ¯ −¯ + e−λj t ¯u− j ihej η0 ¢ + −λj t − eλj t |u+ |uj iL− j iLj + e j , j 62 (B.10) ± donde definimos los operadores L± j como el producto hej |η0 . Por tanto, la evolución temporal de η(t) estará definida por los valores que tomen los λk ’s, los cuales en general serán complejos. Vemos que si λk tiene su parte real distinta de cero, ya sea positiva o negativa, alguno de los coeficientes exponenciales de la expresión anterior diverge conforme t crece y por tanto el movimiento clásico no será acotado. La única forma en que esto no ocurra es que todos los eigenvalores λk sean puramente imaginarios, de modo que los coeficientes sean exponenciales imaginarios en el tiempo, induciendo ası́ osci± laciones de los coeficientes entre los valores L± k y −Lk conforme avanza el tiempo. Entonces, la evolución temporal del vector η(t) quedará definida por − los valores iniciales de posición y momento dados en L+ k y Lk , manteniendose siempre acotada. 63 Apéndice C Estado extremal Sean B1 , ...Bn un sistema de n operadores diferenciales en el espacio C (Rn ), donde cada uno es una combinación lineal de los 2n operadores canónicos Xj Pj = −i∂j , y sean B1† , . . . , Bn† sus operadores adjuntos. Si se satisfacen las relaciones de conmutación 2 [Bj , Bk ] = 0, [Bj , Bk† ] = δjk , j, k = 1, . . . , n, (C.1) (C.2) el sistema de n ecuaciones diferenciales Bj ψ0 (~x) = 0, j = 1, . . . , n, (C.3) tiene solución cuadrado integrable. Para demostrarlo vemos primero que, de acuerdo a lo que hemos asumido, los operadores Bj y Bj† tienen la forma ~ · β~j , Bj = iP~ · α~j + X † ~ Bj† = −iα~j † · P~ + β~j · X, j = 1, . . . , n, (C.4) donde α~j , β~j (j = 1, . . . , n) son vectores de n componentes complejas. Notemos que los vectores α~j son linealmente independientes. De hecho, supongamos que c1 , . . . , cn son numeros complejos tales que c1 α~1 + · · · + cn α~n = 0. Podemos definir por tanto los operadores B = c1 B1 + · · · + cn Bn y B † = c∗1 B1† + · · · + c∗n Bn† los cuales no contienen operadores de momento, pues su suma se cancela, ası́ que [B, B † ] = 0. 64 (C.5) Por lo tanto n X cj c∗k [Bj , Bk† ] = n X |cj |2 = 0, (C.6) j=1 j,k=1 de modo que tendremos (C.7) c1 = · · · = cn = 0. De manera similar se puede encontrar que los vectores β~1 , . . . , β~n son linealmente independientes. En vista de la conmutatividad C.1, el sistema de ecuaciones C.3 es integrable y, ya que los Bj son lineales en X, la solución ψ0 tiene la forma 1 1 T a~ x) ψ0 (~x) = ce− 2 aij xi xj = ce− 2 (~x , (C.8) donde a = (a)ij es una matriz n × n simétrica de coeficientes complejos. Introduciendo C.8 en C.3 obtenemos que a debe cumplir aα~j = β~j , j = 1, . . . , n. (C.9) Ya que tenemos independencia lineal en los sistemas de vectores {α~j } y {β~j }, la ecuación anterior nos da una definición única de la matriz no singular a. Más aún, por sustitución directa C.1 nos lleva a α~j T · β~k = α~k T · β~j de modo que la simetrı́a α~j T aα~k = α~k T aα~j está garantizada. Para obtener la forma explı́cita de a, definimos una base s~1 , . . . , s~n dual a α~1 , . . . , α~n , es decir s~k · α~j = δkj = α~j † · s~k † . (C.10) Dado que los productos s~k † ⊗ s~j generan todo el espacio de matrices n × n [21], podemos expresar a en la forma a = αkj s~k † ⊗ s~j , (C.11) donde αkj es otra matriz de coeficientes. Tomando ahora el producto escalar de C.11 con α~k † por la izquierda y α~j por la derecha encontramos αkj = α~k † aα~j = α~k † · β~j , 65 (C.12) y usando C.2 vemos que † ∗ αkj + αjk = α~k † · β~j + β~k · α~j = δkj . (C.13) Ası́, la descomposición de C.11 en sus partes Hermitiana y anti-Hermitiana nos lleva a a = S + iΩ (C.14) donde 1 † s~j ⊗ s~j , h2 i † Ω = (α~k † · β~j − β~k · α~j )/2i s~k † ⊗ s~j . S = La expresión C.8, por tanto, se convierte en " # n 1X i ψ0 (~x) = c exp − |~ sj · ~x|2 − [~xT Ω ~x] , 4 j=1 2 donde ~xT Ω ~x es real. 66 (C.15) (C.16) (C.17) Bibliografı́a [1] V. V. Dodonov. Nonclassical states in quantum optics: a squeezed review of the first 75 years, J. Opt. B. 4 (2002), R1–R33. [2] R. J. Glauber. Photon correlations, Phys. Rev. Lett. 10 (1963), 84–86. [3] R. J. Glauber. Coherent and incoherent states of the radiation field, Phys. Rev. 131 (1963), 2766–2788. [4] V. Bargmann. On a Hilbert Space of Analytic Functions and an Associated Integral Transform. Part I, Commun. Pure App. Math, 14 (1961), 187–214. [5] A. O. Barut, L. Girardello. New “coherent states”associated with noncompact grups, Commun. Math. Phys. 21 (1971), 41–55. [6] A. M. Perelomov. Coherent states for arbitrary lie group, Commun. Math. Phys. 26 (1972), 222–236. [7] V.V. Dodonov, E. V. Kurmyshev, V. I. Man’ko. Generalized uncertainty relation and correlated coherent states, Phys. Lett. A. 79 (1980), 150– 152. [8] A. Perelomov. Generalized coherent states and their applications, Springer-Verlag, Heidelberg, 1986. [9] J. R. Klauder, B. S. Skagerstam Eds. Coherent states. Applications in physics and mathematical physics, World Scientific, Singapore, 1985. [10] J. P. Gazeau, S. T. Ali, J. P. Antoine. Coherent states, wavelets and their generalizations, Springer-Verlag, New York, Inc., 2000. I [11] K. E. Cahill. Coherent-state representations for the photon density operator, Phys. Rev. 138 (1965), B1566–B1576. [12] V. Bargmann. P.Butera, L. Girardello, J. R. Klauder. On the completeness of the coherent states, Rep. Math. Phys. 2 (1971), 221–228. [13] D. J. Fernández. Estados coherentes para hamiltonianos unidimensionales, B. Sc. thesis FCFM-BUAP, 2006 [14] B. Mielnik, D. J. Fernandez. An electron trapped in a rotating magnetic field, J. Math. Phys. 30 (1989), 537–549. [15] A. G. Kurosch. Curso de álgebra superior, Mir, 1977. [16] D. J. Fernández. Semiclassical resonance in rotating magnetic fields, Acta Physica Polonica B21 (1990), 589–601. [17] S. G. Cruz y Cruz. Esquemas cuánticos de floquet: espetros y operaciones, Ph.D. thesis CINVESTAV, (2005). [18] S. I. Grossman. Álgebra lineal, McGraw-Hill, 1998. [19] C. Cohen-Tannodji, B. Diu, F. Laloë. Quantum Mechanics, WileyInterscience, New York, 1977. [20] J. V. Moloney F. H. M. Faisal. Time-dependent theory of non-hermitian Schrödinger equation: application to multiphoton-induced ionization decay or atoms, J. Phys. B. 14 (1981), 3603–3620. [21] Nering, Evar D. Linear algebra and matrix theory, Wiley, New York, 1970. II

Coherent states for three-dimensional hamiltonians with

Documentos relacionados

Productos

Apoyo

Coherent states for three-dimensional hamiltonians with

Documentos relacionados

Añadir este documento a la recogida (s)

Añadir a este documento guardado

Sugiéranos cómo mejorar StudyLib