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EJERCICIOS DEL TEMA 1
1.- Considere una cuerda recta de longitud l = 4 m que presenta una densidad lineal de
masa uniforme λ = 1.4 kg/m. Determine la masa de la cuerda.
Otra cuerda de la misma longitud está situada a lo largo del eje X positivo y con
un extremo en el origen. La densidad lineal de masa de esta ya no es uniforme y se
puede describir mediante la expresión λ ( x ) = 2 e − x /3 kg/m donde x es la distancia al
origen; ¿está segunda cuerda tiene mayor, menor o igual masa que la primera?
2.- La velocidad de una partícula viene dada por v ( t ) = 2 t i + e − t j − 3 t 2 k m/s donde t es
el tiempo en segundos. Determine la posición de la partícula en función del tiempo si en
el instante t = 0 la partícula está en la posición r ( t = 0 ) = 2i + j + 2k . ¿Cuál es la
posición en el instante t = 2 s.
3.- Si una partícula se mueve describiendo una trayectoria, Γ, desde una posición dada
por r hasta otra infinitamente próxima dada por r + dr y sobre ella está actuando, entre
otras, una fuerza F , se define el trabajo elemental desarrollado por la fuerza durante el
cambio de posición como dW = F idr = F idl y el trabajo finito entre un punto inicial
dado por ri y un punto final dado por rf será la suma de los trabajos elementales, que es:
W=
∫
Γ
rf
dW =
∫
F idr
ri
Veamos como ejemplos de aplicación los casos siguientes.
3.1.- Determine el trabajo desarrollado por la fuerza gravitatoria, supuesta
uniforme en las proximidades de la superficie terrestre, cuando una tiza de masa
m = 20 g cae verticalmente una distancia h = 1.5 m. Elegir la superficie terrestre como
el plano z = 0 y la altura sobre ella el eje Z.
3.2.-Una partícula se desplaza en al dirección radial desde la posición inicial
dada por r0 = 10−2 m hasta la posición final dada por rc = 2 ⋅10−2 m . La partícula está
2 ⋅10−9
ur durante dicho desplazamiento. Determine el trabajo
sometida a la fuerza F = −
r2
desarrollado por dicha fuerza.
4.- En cierta región del espacio existe un potencial ϕ ( r ) . Halle la diferencia de
potencial ϕQ − ϕ P , donde las coordenadas de los puntos son P ( 0, 4,3) y Q ( 0, 0, 6 ) , si
se sabe que su gradiente viene dado por ∇ϕ =
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ur . Realice el cálculo a través de los
r
dos caminos siguientes:
a) el camino formado por el tramo recto que une el punto P con un punto H de
coordenadas H ( 0, 0,3) , y el tramo recto que une H y Q.
b) el camino formado por el tramo recto orientado según la dirección radial que
va desde el punto P hasta el punto de intersección con una circunferencia situada en el
plano x = 0 con centro en el origen de coordenadas y radio R = 6 y el trozo de dicha
circunferencia desde el punto de corte hasta el punto Q por el camino más corto.
c) Compruebe si los resultados son iguales o distintos. ¿Qué podemos inferir de
lo anterior?
5.- Dos partículas 1 y 2 describen las trayectorias descritas por los vectores r1 ( t ) y r2 ( t )
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respectivamente, donde r1 ( t ) = i + t −1 j + cos (π t ) k y r2 ( t ) = 2 t i + j + e − t k siendo t
3
el tiempo en segundos. Determine las velocidades y aceleraciones de as dos partículas
en los instantes t = 0 y t = 9 segundos.
6.- Demuestre, usando calculo vectorial, que si la aceleración y la velocidad de una
partícula son perpendiculares para cualquier instante de tiempo entonces, el módulo de
la velocidad es constante. Cite algún ejemplo donde se verifique esto.
7.- Exprese el elemento de desplazamiento infinitesimal, en coordenadas polares planas,
asociado a una circunferencia situada en el plano z = 4, con centro en el punto ( 0, 0, 4 )
y radio R = 6.