Universidad Tecnológica Nacional

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Avellaneda
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Guía de Ejercitación
(2ª parte)
Autores:
Mg. Lic. María Cristina Kanobel
Lic. Andrea Alvarez
Lic. Luis Garaventa
Revisión de respuestas:
Prof. Gabriel Romero
Año 2012
Probabilidad y estadística
UTN- FRA
Guía de ejercitación
Segunda parte
Unidad 4: Valor esperado-Varianza- Suma de variables aleatorias
1. Sea una variable aleatoria discreta con la siguiente distribución de probabilidades:
x
2
0
x3
12
p(x)
1
2
1
4
p3
1
16
5
, calcule x3 y p3
4
2. Una fábrica embarca sus productos en camiones de dos tamaños distintos, uno de 2 x
3 x 12 metros y el otro de 2 x 3 x 9 metros. Si el 30 por ciento de los envíos se hacen
con el camión de 9 metros y el resto con el de 12 metros, calculen el volumen medio
embarcado por camión (consideren que los camiones van siempre llenos.)1.
Si se sabe que E(X)=
3. En un puesto de una feria se paga $4 para tener derecho a realizar un tiro al blanco. El
puestero ofrece un premio igual al triple del puntaje obtenido en el blanco que muestra
la figura. Un señor A se dispone a tirar y, según su experiencia en este juego, sus
probabilidades de obtener un determinado puntaje son las siguientes:
x
0
1
2
5
p(x) 0.2 0.4 0.3 0.1
1
2
5
a) Calculen E(X)
b) Si Y la variable aleatoria que denota la ganancia del
jugador:
i.
Construyan la distribución de Y
ii.
Calculen E(Y) de dos formas distintas.
4. Se contrata una póliza sobre un auto con las siguientes cláusulas: se paga $5000 por
destrucción total o robo o $2400 por destrucción parcial La probabilidad del suceso
destrucción total es 0,04 y la de destrucción parcial 0.16. Calculen el valor de la prima
de seguros, considerando que para el cálculo de la prima, la ganancia esperada de la
compañía debe ser cero.
5. El número N de casas residenciales que una dotación de bomberos puede atender
depende de la distancia r (en cuadras) que una autobomba puede recorrer en un
período especifico de tiempo. Si suponemos que N es proporcional al área de un
círculo cuyo radio es r cuadras, entonces N C r donde C es una constante y r (
que es una variable aleatoria) es el número de cuadras que una autobomba puede
recorrer en un intervalo de tiempo específico. Para una compañía dada C = 8, la
1
Mendenhall W. Introducción a la probabilidad y la estadìstica. Grupo Editorial Iberoamérica México 1987
2
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Segunda parte
distribución de probabilidad de r está dada en la siguiente tabla y p(r) = 0 para r<21 y
para r>26.
r
p(r)
21
22
23
24
25
26
0,05
0,20
0,30
0,25
0,15
0,05
Encuentren el valor esperado del número de casas N que la dotación de
bomberos puede atender.
6. Un juego de azar se considera un juego justo (fair play) cuando la ambos jugadores
tienen la misma ganancia esperada. Adriana y María juegan un juego de apuestas que
tiene las siguientes características: Se tiran un dado y una moneda. Si sale cara en la
moneda y as en el dado, Adriana se lleva el pozo, en caso contrario se lo lleva María.
¿Cuánto debe apostar María por cada peso que paga Adriana si se pretende que el
juego sea justo?
7. Calculen la varianza y el desvío estándar de las siguientes variables aleatorias
discretas:
a) X = cantidad de paradas diarias de una máquina
x
0
1
2
3
p(x)
0,25
0,15
0,35
b) Y:” Pasajeros por auto en una autopista”
y
1
2
3
p(y)
0,40
0,30
0,15
0,25
4
0,10
5
0,05
8. Dos tiradores procuran alcanzar un blanco que tiene puntuaciones 1, 3, 5. El tirador X
y el tirador Y tienen de acuerdo con sus antecedentes probabilidad de hacer blanco
según las siguientes tablas:
x
1
3
5
p(x) 0.1 0.5 0.4
y
1
3
5
p(y) 0.3 0.1 0.6
a) Calculen E(X) y E (Y).
b) Calculen V(X) y V(Y)
c) Se forma un equipo con los dos tiradores (los puntos individuales se suman).
Construyan la distribución para la variable X+Y, y calculen E(X+Y) y V(X+Y) de
dos formas distintas.2
9. Calculen el valor esperado de una variable aleatoria Bernouilli usando la definición.
2
Bueno C. y Garaventa L. “Probabilidad y Estadística para profesores de Escuela Media” (1996) INSPT Bs As.
3
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10. Calculen la varianza y el desvío de una variable aleatoria Bernouilli usando la fórmula
de cálculo de la varianza.
11. Calculen el valor esperado de una distribución binomial usando la propiedad del valor
esperado de la suma de variables.
12. Calculen la varianza de una distribución binomial usando la propiedad de la varianza
de la suma de variables independientes.
13. Sea una X variable aleatoria uniformemente distribuida en (a; b)
a) Calculen el valor esperado usando la definición.
b) Calculen la varianza y el desvío usando la fórmula de cálculo de la varianza.
14. Una variable aleatoria uniforme es tal que su valor esperado es 12 y su varianza
16
.
3
Calcular P (9<x<11,5).
15. Una reciente encuesta señaló que a las 9 p.m. del sábado, 40% de la audiencia mira
el canal A, 30% el canal B y 30% el canal C. En una muestra aleatoria de 10
televidentes, ¿cuántos se esperaría que estuvieran viendo cada canal?
16. El número de averías por semana de una computadora es una variable aleatoria que
tiene una distribución de Poisson con media 0,4
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora trabaje sin averías durante dos
semanas consecutivas?
b) Si se eligen al azar 5 computadoras, calculen la probabilidad de que al meno
una de ellas trabaje sin averías durante tres semanas consecutivas.
17. El número de huracanes que llega a la costa oriental de los Estados Unidos por año,
es una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson con valor
medio 1.8. Hallar la probabilidad de que en un año dado:
a) No lleguen huracanes
b) ocurra no más de un huracán.
kx para valores de X comprendidos entre
18. Si X es una variable aleatoria tal que f x
-2 y 2 y nula fuera del intervalo. Hallen E(X) y V(X).
19. Sabiendo que X es una v.a. exponencial negativa de parámetro
, calculen:
a) el valor esperado de la distribución usando la definición.
b) la varianza usando la fórmula de cálculo.
20. El volumen de producción de cierto artículo es N(a, b). Si un 60% de los días se
producen menos de 150 t, el 35% de los días se producen entre 150 y 160 toneladas,
y en los mejores días se pasan las 160 t.
a) Hallar a y b.
4
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b) Si produce un volumen entre 160 y 140 toneladas, el fabricante gana $ 5000
por tonelada y pierde $2600 si la producción diaria excede o no alcanza dicho
rango. Calcular la ganancia diaria esperada.
21. La cantidad de kilómetros que recorre un camión por viaje contratado es una variable
1
aleatoria con función de densidad f x
para valores de X comprendidos en el
400
intervalo 100 ; 500 km. Si la ganancia en $ está dada por
G = 0,30X+50 (donde X
es la cantidad de kilómetros recorridos), calcular la ganancia esperada y es desvío
estándar de la ganancia por viaje.
22. Una máquina empaqueta cierto producto en dosis de peso Xi que está distribuida
normalmente con media 25 gramos y desvío 4 gramos. Además el peso del paquete
vacío es una variable aleatoria normal con media 5 g y desvío 0,2 gramos. Si se toma
al azar un paquete completo hallar la probabilidad de que el peso se encuentre entre
29 y 31 gramos.
23. Para cierto proceso se usan tornillos y arandelas. El diámetro de los tornillos es
N(10;1)mm y el de las arandelas N(9,0,95). Cuando un par elegido al azar no calza, se
descartan tornillo y arandela. Hallar el porcentaje de pares descartados en este
procedimiento.
24. Las manzanas que se producen en un huerto tienen un peso que es una variable
normal con media 150 gramos y desvío 40 g.
a) Si se toma una muestra de 50 manzanas y se las embolsa, hallar la
probabilidad de que la bolsa completa supere los 8 kg.
b) Si se eligen dos manzanas al azar, hallar la probabilidad de que la diferencia
entre sus pesos sea inferior a 40 gramos.
25. Los tubos que produce una fábrica tienen una duración exponencial; negativa con
varianza 1000000 h². Se colocan 50 tubos de este tipo en un sistema de modo tal que
al quemarse el tubo en uso se enciende automáticamente el siguiente (considerar nulo
el tiempo entre que se apaga y se prende el siguiente tubo. Hallar la probabilidad de
que el sistema falle después de los 7 años de funcionamiento.
Actividades integradoras
1 / 9x
0
x
3
2 / 3 1 / 9x
3
x
6
26. Hallar el valor esperado y la varianza de la función f ( x)
27. Analice si se cumple la siguiente afirmación:
Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces V(X-Y) < V(X) (3)
3
Extraído del final de PyE- UTN FRA- 18/4/06
5
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Segunda parte
28. Los arribos a la cola de espera de un banco ocurren según Poisson de modo tal que la
probabilidad de que no haya arribos en 5 minutos es e 1 .
a) Calcular la cantidad esperada de personas que arriban a la cola en una hora.
b) Si a las personas se les entrega un número, calcular la probabilidad de que el
número 40 se haya entregado luego de las cuatro horas de iniciada la cola
(recordar que el tiempo entre dos arribos según Poisson se distribuye según
una exponencial negativa del mismo parámetro)
c) Calcular entre las 40 personas que arribaron a la cola, la cantidad esperada de
las que tardan más de 5 minutos en tener otro cliente detrás.
29. El peso de ciertos bultos es una variable aleatoria normal tal que el 16 % pesa mas
de 50 Kg. y el 2,5% pesa menos de 44 Kg. Para transportarlas les cobran $10 por los
que pesan mas de 52 Kg. , $8 por los que pesan entre 52 y 46 Kg. y $5 por los que
pesan menos de 46 Kg. Hallar el precio esperado de transporte por bulto.
30. Las mechas de widia que se producen en una fábrica tienen un diámetros que se
distribuye según una N (5,0; 0,1)mm. Las mechas se envasan en estuches cilíndricos
cuyo diámetro interior es N(5,1; 0,2). Si se toma cinco pares al azar, calcular la
probabilidad de en por lo menos uno de ellos, que la mecha quepa en el envase.
31. La duración de ciertos componentes tienen distribución exponencial con desvío de
2000hs. Si la componente dura menos de 1200hs produce un costo en la operatoria
de$1000, si dura entre 1200 y 1500 el costo es de $50, y si la duración es superior a
1500hs se considera nulo el costo. Hallar el costo medio de la operatoria.
3
32. Una envasadora automática de líquidos llena botellas de capacidad 1100 cm . La
operación garantiza que el contenido neto, en el 95% de los casos, no es inferior a
3
3
1000 cm . Razones técnicas obligan a dejar libre un volumen de por lo menos 50 cm .
La máquina está preparada para que la probabilidad de que esto no ocurra sea 0.01.
¿Cuál es la media y cuál es el desvío estándar del contenido neto suponiendo que
está normalmente distribuido?
33. Los envases para una mecha de widia tienen un diámetro que se distribuye
normalmente con media 8,2 y desvío 0,3 mm. Las mechas que se fabrican tienen un
diámetro cuya distribución es N (8; 0,02).Si se toman al azar 50 pares mecha envase, calcular la cantidad esperada de mechas que entran en su envase.4
34. ¿Es válido afirmar que si E(X) >0 entonces el recorrido de la variable aleatoria X está
incluido en el conjunto de los números reales positivos? Justifique su respuesta. 5
4
5
Final P y E UTN FRA ( 28 / 05/ 07)
Final P yE UTN FRA ( 20/ 12/ 06)
6
Probabilidad y estadística
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Guía de ejercitación
Segunda parte
0
si x 0
2
35. Sea F ( x)
1
x
x
si0 x 100
50
10000
1
si x 100
FDA de una v.a. continua, hallar su valor
esperado y su varianza.
36. El tiempo de espera para la salida de un tren desde que se arriba a la estación puede
explicarse mediante una distribución uniforme entre 0 y 30 minutos. Si una persona
utiliza dicho servicio todos los días durante un mes, ¿cuál es la probabilidad de que el
tiempo medio de espera supere los 10 minutos? 6
37. La duración de ciertos tubos de luz tiene distribución exponencial con un desvío
estándar de 1500 horas. Para cotizar una partida para la venta se procede de la
siguiente manera: se toma un tubo y si la duración superior a las 1500 horas, el lote se
cotiza a $ 2 cada tubo, si se encuentra entre 1000 y 1500 horas, el lote se vende a
$1,25 cada tubo y si la duración es inferior a las 1000 horas se vende como material de
segunda a $0,50.
a) Calcular la cotización esperada por tubo.
b) Si se eligen al azar 50 tubos hallar la cantidad esperada de tubos que duran más de
1000 horas
38. Una máquina embotella líquido en forma automática. Las botellas tienen un volumen
Y:N(1000,10) en cm³ y son llenadas desde un pico que entrega una cantidad de
líquido X, siendo X:N(990,20) cm3
a) En un proceso de llenado ¿Cuál es la probabilidad de derramar líquido?
b) Hallar la probabilidad de que de una muestra de 120 botellas más de 100
tengan 15 cm³ libres.
39. Una máquina produce tornillos cuyos diámetros se distribuyen normalmente con
parámetros 3,3 y 0,05 mm. Los tornillos se acoplan con arandelas cuyo diámetro
interior se distribuye normalmente con media 3,5 y desvío 0,05 mm. Si se toma un par
tornillo-arandela al azar de la producción general, calcular la probabilidad de que el
tornillo calce en la arandela.
40. Un ascensor está diseñado para un peso máximo de 300 kg. Si el peso de los
hombres se distribuye normalmente con una media de 78 kg y un desvío standard de
7 kg mientras que el peso de las mujeres se distribuye según una normal con media
57 kg y un desvío de 6 k, ¿cuál es la probabilidad de que al subir dos hombres y dos
mujeres se sobrepase el peso permitido?
41. El espesor de una plancha metálica se distribuye uniformemente entre 5 y 7 mm. Si se
apilan 100 planchas, ¿cuál es la probabilidad de que la altura de la pila sea superior a
61 cm?7
42. En relación con un experimento aleatorio se define una variable distribuida según:
6
7
Final PyE UTN FRA ( 1/ 08 / 07)
Extraído de Zanardi, Oílda: Introducción a la Teoría de Probabilidades e inferencia estadística, UTN- FRA
7
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Segunda parte
f(x) = 0,75 (1-x2) si -1<x<1 ( 0 fuera del intervalo)
a. Calcular el valor medio y el desvío estándar de Y=4X-5
b. Hallar la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos en 36
observaciones independientes de X sea superior a 1,8.
c. Calcular la cantidad esperada de veces, entre las 36 observaciones, que el
valor de X es inferior a 0,25
43. Una máquina envasadora larga en cada impulsión de líquido una cantidad que es una
variable aleatoria normal (k; 0,04k). Indicar si conviene más llenar un envase de un
litro con cuatro impulsiones de valor medio 250 cm3 o con una sola de 1000 cm3, si se
quiere minimizar la cantidad de envases con menos de 990 cm3.
44. El consumo diario de combustible en una planta industrial es una variable aleatoria
con media 35 litros y varianza 140 litros al cuadrado. ¿Qué capacidad en litros deberá
tener un tanque para satisfacer el consumo de 300 días con 90% de probabilidad?
45. La estatura de las personas que asisten a un gimnasio se distribuye normalmente. Se
sabe que el 15.87% de las mismas no llegan a medir 1.50m mientras que el 34.46%
supera 1.78m. Si se eligen dos personas al azar, calcular la probabilidad de la
diferencia entre las alturas sea superior a 20 cm8
Respuestas a los ejercicios:
1. X3 = 8
p3 = 3/16
2. E(V) =66,6
3. a) E(X) = 1.5
b) i. Y = 3X - 4
Y
-4
-1
2
11
P(y)
0.2
0.4
0.3
0.1
ii. E(Y) = 3 E(X) – 4 = 0.5
4. Prima: 584
5. 588
6. María = 11
Adriana = 1
7. E(x)=1,60 V(x) = 1,24
E(y) = 2,1 V(y)= 1,39
8. a) E(X) = 3.6
V(X) = 1.64
b) E(Y) = 3.6
V(Y) = 3.24
c)
X+Y
2
4
6
P(X+Y)
0.03
0.16
0.23
E(X+Y) = 7.2
V(X+Y) = 4.88
8
8
0.34
10
0.24
Ejercicio extraído del Final PyE UTN FRA ( 1 / 08 / 07)
8
Probabilidad y estadística
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Segunda parte
9. E(X)=p
10. V(X)=p(1 – p)
11. E(X)= n.p
12. V(X)= n.p(1-p)
13. E(X)= (a + b) / 2
V(X)= (b – a)2 / 12
14. 0,3125
15. E(A)= 4;
E( B)= 3;
E(C)=3
16. a) P(x=0)= 0,449
b) P(x>1)= 0,833
17. a) P(x=0)= 0,16529
b) P(x<1)= 0,4628
18. E(x)=0
19. E ( x)
x *e
x
dx
xe
x
e
x
dxi
0
xe
x
E (( x 2
E ( x 2) )
xe
e
x
0 0 (
1
)
1
0
0
V ( x)
1
E(x 2
E ( x))
x
2 xE ( x)
E 2 ( x)
E(x 2
2 E ( x) E ( x) E 2 ( x)
E ( x 2 ) E 2 ( x)
2
dx
2
0
V ( x)
2
2
1
2
2
1
2
20. a) b=7,14 a=148,21; b) G(x)= 3624,22
21. E(X) = 300
V(X)= 4188,02
E(G) =140
22. X: N(25;4)
V(G)= 10,3923
Q:N(5;0.2)
E(X+Y) = 30
V(X+Y) = 16.04
P( 29 X+Q 31) = P(-0.25 Z 0.25) = 0.197412
23. T: N(10;1)
A:N(9;0.95)
E(T-A) = 1
V(T-A) = 1.9025
P (T A) = P ( T-A 0) = P(Z -0.72) = 0.764238 es decir: 76.42%
24. X: N(150;40)
E(X1+X2+...+X50) = 50. 150 = 7500
V(X1+X2+...+X50) = 50. 40²
P(X1+X2+...+X50 8000) = P( Z 1,77) = 0.0384
25. 1/ ² = 1000000 h²
E(X) = 1/ = 1000
V(X) = 1/ ² = 1000000
E(X1+X2+...+X50) = 50000 V(X1+X2+...+X50) = 50.1000000
P(X1+X2+...+X50 61320) = P (Z 1,60) =0,0455
Respuestas a las actividades de integración:
9
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Segunda parte
Unidad 5: Estimación de parámetros
1. La distancia que recorre un camión de basura por viaje es una variable aleatoria
normal con media 60 km y desvío 20 km. Si se toman los recorridos de 40 viajes,
calcular la probabilidad de que la distancia promedio no exceda los 63 km.
2. El tiempo que un adolescente utiliza su mp3 en el día se distribuye uniformemente
en el intervalo (1; 5) horas. Si se eligen 100 jóvenes al azar, hallar la probabilidad de
que el tiempo medio utilizado sea superior a 2 hs.
3. En un país dado, el ingreso promedio anual de una persona es $6200 con una
desviación estándar de $400.
a) Si se toma una muestra aleatoria de 64 personas en este país, calcular la probabilidad
de que el ingreso medio de la muestra exceda $6300.
b) Si se toma una segunda muestra independiente de 64 personas, calcular la
probabilidad de que ambas medias muestrales excedan $6300.
4. La carga máxima (con un factor de seguridad generoso) para el elevador de un
edificio de oficinas es 1000 kg. La distribución de frecuencias relativas de todos los
hombres y mujeres que usan el elevador tiene distribución aproximadamente
acampanada, con media igual a 75 kg. y desviación estándar de 17,5 kg. ¿Cuál es el
mayor número de personas que se debe permitir en el elevador si se quiere que el
peso total exceda el peso máximo con una probabilidad menor que 0.01?
5. Se empaquetan 18 bombones en cajas de 120 gramos (peso constante). El peso de
cada bombón es una variable aleatoria normal, con media 22 gramos y desvío
estándar 2,5 gramos. La inspección final pesa las cajas llenas y rechaza las que
pesan menos de 500 gramos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de no rechazar una caja en que por error se
empaquetan 17 bombones?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea rechazada una caja con 18
bombones?9
6. Las bolsas que salen de una embolsadora de papas tienen un peso aleatorio que se
distribuye normalmente de modo tal que el 2% de las bolsas pesa más de 63 kg y el
5% menos de 41,80 kg. En cuánto habría que modificar el desvío estándar para que
el promedio de 10 bolsas elegidas al azar sea menor de 48 kg. como máximo el 2%
de las veces?
7. Para efectuar un control de calidad en cierto supermercado sobre los paquetes de
espinaca congelada se decide pesar 40 paquetes y aceptar el embarque si el peso
promedio supera los 490 g. Si el fabricante envasa con una media de 500g y desvío
de 50g, hallar la probabilidad de que el supermercado rechace el envío.
9
Magazanik, José (1997). Probabilidad y Estadística. Guía de Trabajos Prácticos. CEIT - FRBA
10
Probabilidad y estadística
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Segunda parte
8. En diferentes ocasiones se tomaron los tiempos que un operario tarda para realizar
una tarea, obteniéndose los siguientes resultados: 25 – 27 – 32 – 35 – 33 – 28 – 31
– 30 – 29 – 32. Estimar la media y la varianza muestral.
9. La tabla siguiente da la resistencia a la tracción FT y la dureza Brinell HB de diez
probetas de cierto tipo de acero:
FT
38.4
39.9
39.8
42.4
39.4
43.2
42.9
42.8
42.7
40.5
HB
123
122
120
119
121
128
119
124
132
122
a) Estimar la resistencia media de las probetas a la tracción FT y la dureza Brinell
b) Hallar un intervalo de confianza al 90% en cada caso.
10. Decir V o F. Justificar:
a) La media muestral para un tamaño n dado es un número fijo.
b) El desvío muestral es un estimador insesgado
11. Sabiendo que ˆ es un estimador insesgado del parámetro q, analizar si también lo
es k ˆ , donde k es una constante.
12. La producción de un tipo de lámparas tiene un desvío de 1400 horas. Se toma una
muestra de 36 lámparas que dieron en promedio una duración de 1600 hs. Hallar un
intervalo de confianza del 98% para la duración media.
13. Una maquina llena botellas de litro de gaseosa. Se toma una muestra de 35 botellas
y se calcula un contenido promedio de 950cm3. Suponiendo un desvío 35cm3, hallar
un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.
14. Para estimar el peso de unas manzanas, se tomo una muestra de 50 manzanas, se
las peso y se obtuvo un peso medio de 125gr, con un desvío de 20gr.
a) Hallar un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de las manzanas
que se producen.
b) Si se conociera que el desvío de los pesos de las manzanas es 15gr, calcular
el tamaño de la muestra necesario para estimar el peso medio con un intervalo
de confianza del 95% de precisión 10 gr.
15. Un investigador esta convencido de que su equipo de medición posee una
variabilidad medida por un desvío estándar de 2. Al realizar el experimento registró
observaciones de 9,8; 3.0, 4.8, 4.1, 5.2, 4,9 y 10.2. Hallar un intervalo de confianza
para el desvío estándar poblacional al 98% ¿Puede sacar alguna conclusión?
16. El diámetro de los tornillos que se fabrican en una planta es una variable aleatoria.
Estimar el desvío estándar al 95% de confianza, si se cuenta con la siguiente
muestra: 51 – 52 – 48 – 51 – 48 – 53 – 50 – 48.
11
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
17. Un genetista se interesa en el porcentaje de hombres africanos que tiene cierto
trastorno sanguíneo. Para ello se observan 100 hombres, de los cuales 24 padecen
la enfermedad. Hallar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de
hombres africanos que tienen ese desorden sanguíneo.
18. El diámetro de los tornillos que se producen en una fábrica se distribuyen
normalmente con desvío estándar de 0,1 mm. ¿Cuántos tornillos habría que relevar
para estimar el diámetro promedio mediante un intervalo de confianza del 99% cuyo
error de estimación no supere los 0,5 mm?
19. Analizar la validez de las siguientes afirmaciones:
a. Los extremos de un intervalo de confianza es una variable aleatoria
b. La longitud de un intervalo de confianza al p% para la media poblacional tiene
longitud fija.
20. Un contratista ha construido un gran número de casas de aproximadamente el
mismo tamaño y precio. Si se conociera que el desvío en el precio de las casa es de
$400, ¿de que tamaño debería tomarse una muestra para estimar el precio
promedio con un intervalo de confianza del 90% que tenga un error menor a $200?
Actividades de integración:
21. La duración (en horas) de ciertas baterías, se distribuye según una exponencial
negativa con desvío 200 hs. Si se eligen 49 elementos al azar:
a. Calcular la probabilidad de que el promedio de duraciones no se aparte de la
media en más de 190 hs.
b. Hallar la varianza de la cantidad de elementos que siguen funcionando
después de 210hs
22. Deduzca la expresión del intervalo de confianza de nivel 1-α para la varianza de una
variable aleatoria normal. Indique claramente los supuestos teóricos que sustentan
su demostración
23. Una encuesta de 400 seres humanos, produjo 280 para los que el ojo derecho es el
ojo dominante. Estime la fracción de la población total cuyo ojo derecho es el
dominante por medio de un intervalo de confianza del 95%.
24. Explique por qué X es un “buen” estimador puntual del valor medio poblacional.10
25. Se calcula que la media de los promedios de 36 alumnos de la UTN FRA del último
año es de 8.3. Hallar el intervalo de confianza del 99% para la media general de los
alumnos del último año. Los registros históricos indican un desvío de la población de
0.3 puntos.
10
Teórico extraído del Final P y E UTN FRA ( 20 / 12 / 06)
12
Probabilidad y estadística
UTN- FRA
Guía de ejercitación
Segunda parte
26. Se toman 100 muestras de tamaño n de una población normal de la cual se conoce
el valor de . Con los valores obtenidos se construyen 10 intervalos de confianza
de probabilidad 1
. ¿Qué características tienen en común y qué diferencias los
intervalos obtenidos?11
27. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 3 para estimar la media de una población
y se define el estimador ˆ
x1
2x2
6
3x 3
. Analizar si es insesgado y explicar
porque x es más eficiente que el estimador definido.
28. Sabiendo que a1 y a2 son estimadores insesgados del parámetro a, analizar si el
promedio entre ellos es otro estimador insesgado de menor varianza.
29. Se pretende estimar la media con el intervalo (174; 196) al 98% de confianza. Si el
desvío es 12 ¿de que tamaño era la muestra que permitió dicha estimación?
30. La cantidad de km por que transitan los autos en una ciudad está normalmente varía
según una distribución normal. Con una muestra aleatoria de 41 automóviles que
dio una media de 9120km y un desvío insesgado de 92,6km se construyó un
intervalo de confianza cuyo extremo superior fue de 9155 km. ¿Cual fue el nivel de
confianza?
31. Para estimar la proporción de piezas que se fabrican que tienen fallas, se toman 150
piezas, de las cuales 20 están falladas. Construir un intervalo de confianza del 95%
para la proporción
32. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus baterías duran en
promedio, 3 años con una varianza de 1 año. Si 6 de estas baterías tienen
duraciones de 1.9 – 2.5 – 3.0 – 3.2 – 3.5 y 4.2 años, construir un
intervalo de confianza de 95% para la varianza.
Respuestas a las actividades:
1. X: N(60;20)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11
E( X ) = 60
V( X ) = 20²/40
P( X 63) = P( Z 0.95) = 0.828944
1
a) 0.0228; b) 0.00052
…..
a) 0.2546; b) 0.9345
a) 0; b) 4.98
0.1038
0.9977
FT: IC μ =(40.17;42.23); HB: IC μ =(120.6;125.4)
Teórico extraído del Final P y E UTN FRA ( 1/ 08 / 07)
13
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
10. a) No b) No
11. No
12. IC μ =(1056.33;2143.67)
13. IC μ =(934.77;965.23)
14. a) IC μ =(117.42;132.58) ; b) n=9
15. IC=(1.7;7.4)
16. C σ = (1.29;3.99)
17. C p = (0.13;0.35)
18. n =7
19. ….
20. n =11
Respuestas de las actividades de integración:
21. a) 1; b) 11.15
22. Resuelto en clase
23. IC p =(0.655;0.745)
24. Es insesgado, consistente y eficiente
25. IC μ =(8.171;8.429)
26. Tienen la misma longitud; los extremos varían
27. Es insesgado; x tiene menos varianza
28. Es insesgado; tiene menor varianza
29. n = 7
30. 98%
31. IC p =(0.08;0.18)
32. IC = (0.25;3.82)
14
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
Unidad 6: Test de hipótesis
1. La resistencia a la rotura de los cables producidos por un fabricante tiene una media
de 800 kg y una desviación estándar de 40 kg. Se afirma que mediante una nueva
técnica en el proceso de fabricación esta resistencia puede ser incrementada. Para
probar esto se ensaya una muestra de 50 cables y se encuentra que su resistencia
media es de 820 kg. Admitiendo que la nueva técnica no modifica la desviación
estándar, ¿puede decirse, al nivel de significación del 1%, que hay un aumento en la
resistencia media?
2. Los paquetes de azúcar de 1 kg se distribuyen normalmente con media 1000 gramos
y desvío 15 gramos. Tras varios controles, se sospecha que hay problemas con la
envasadora ya que el peso de los envases difiere mucho del peso esperado. Se
selecciona una muestra cuyos pesos fueron: 990, 988, 1007, 1020,950, 930, 1090,
1120, 998, 1005. ¿Avalaría la sospecha con un nivel de significación del 5%?
3. Los directivos de una empresa sostienen que, con el sistema de premios que
estableció, el salario de bolsillo promedio excede los $750. Se sospecha que esto no
ocurre. Para poder efectuar el reclamo, el sindicato toma una muestra aleatoria de 31
salarios que dieron una media de $745 con un desvío de $18. ¿Podría el sindicato
refutar las afirmaciones de la empresa con un nivel de significación del 10%?
4. El llenado de ciertas botellas se realiza automáticamente, resultando que el volumen
se distribuye normalmente con un desvío estándar de 10 cc. Se presume que el
contenido medio de las botellas es inferior a 995 cc.
a) ¿Apoyaría esta suposición, con un 5 % de probabilidad de error, si para una
muestra aleatoria de 12 botellas el contenido medio fue de 993 cc?12
b) Calcule la potencia si μ =980
c) Idem c) para μ =994. ¿Qué conclusiones se pueden sacar?
5. Se acusa a una empresa de discriminación en sus prácticas de contratación. En el
juicio, un jurado comete un error tipo II al no encontrar que la empresa es culpable.
Escriba las hipótesis nula y alternativa que se plantearon y justifique su respuesta.
6. Un sociólogo afirma que la proporción de familias en las que sólo uno de los dos
padres trabaja supera el 40%. Para ello se tomó una muestra de 400 familias de las
cuales en 180 de los casos trabajaba solamente uno de los dos padres. ¿Proveen
estos datos suficiente evidencia para avalar la posición del sociólogo, con un nivel de
significación del 5%? 13
7. Para ciertos caños de desagüe se especifica que su diámetro no puede tener un
desvio mayor a 5 mm. Una muestra de 15 caños dio una media de 117 mm y un
desvío de 8 mm. ¿Se puede afirmar con un nivel de significación del 5% que el desvío
de los diámetros es superior al especificado?
12
13
Extraído de Zanardi, Introducción a la Teoría de probabilidades e Inferencia Estadística, UTN FRA
Ejercicio extraído del Final P y E UTN FRA ( 28/ 05/ 07)
15
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
8. En una fábrica de gaseosas se afirma que, durante el proceso de llenado, se
desperdician muchos litros de gaseosa por mes con un desvío de 300 litros. Se
implementó durante 10 meses una modificación en el proceso que reduciría la pérdida
de líquido pero no así su variabilidad. Para tomar una decisión seleccionaron sendas
muestras de diez meses elegidos al azar con uno y otro proceso. Los datos fueron los
siguientes: con el proceso anterior se obtuvo una media de14900 litros con un desvío
de 350 litros, en cambio con el actual, la media fue de 14000 l con un desvío de 400 l
¿Se podría afirmar, con un nivel de significación del 5%, que el nuevo proceso
minimizaría la pérdida?
9. Se presume que el volumen promedio, en ml, colocados por una máquina (I), es
menor que el análogo para otra máquina (II). Se supone que el contenido se distribuye
normalmente. Se hicieron 10 observaciones de la máquina (I) obteniendo un volumen
promedio de 32,6 ml con un desvío de 0,3 ml y para la máquina (II) se hicieron 12
observaciones las que dieron un contenido promedio de 33 ml con un desvío standard
de 0,35 ml. ¿ Qué conclusión sacaría con un riesgo de decidir mal del 1 %? Hacer los
supuestos necesarios.14
Actividades integradoras:
10. Suponga que un médico alergista desea probar la hipótesis de que, no menos del
30% de la población es alérgica a ciertos derivados de la leche. Plantee las hipótesis
explicando de qué forma podría cometer un error tipo I
11. Una panificadora ha implementado un nuevo proceso de fermentación para preparar
panes con salvado de trigo a fin de reducir su nivel calórico. Se seleccionaron al azar
sendas muestras de dichos panes que fueron analizadas para determinar su contenido
calórico antes y después de la implementación del nuevo proceso. Una muestra de 32
panes con el proceso antiguo dio un a media de 1330 calorías con un desvío de 238
calorías mientras que otra muestra de 50 panes elaborados con el nuevo proceso dio
un promedio de 1255 calorías y un desvío de 215 calorías. ¿Se proporcionan pruebas
suficientes para concluir que el número medio de calorías de dicho pan ha disminuido
desde que se implementó el nuevo proceso? Utilice un nivel de significación del 5 % e
indique los supuestos necesarios para la validez de la prueba.
12. En el boletín de la Asociación Americana del Corazón, Hypertension, investigadores
reportan que los individuos que practican la meditación trascendental (MT) bajan su
presión sanguínea de manera significativa. Si una muestra aleatoria de 225 hombres
practicantes de MT meditan, en promedio, 8,5 horas a la semana con un desvío de
2,25 horas, ¿esto sugiere que, en promedio, las personas que hacen MT utilizan más
de 8 horas por semana? Utilice un nivel de significación del 5%.15
14
15
Extarído de Zanardi, Introducción a la Teoría de Probabilidades e inferencia estadística, UTN FRA
Extraído de Walpole, Myers, Probabilidad y Estadística para ingenieros, Editorial Prentice Hall
16
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
13. Se duda que las longitudes de los clavos producidos por dos fabricantes, sean, en
promedio, iguales. Se supone que estas longitudes se distribuyen normalmente con un
desvío de 0,04cm. Se dispone de una muestra aleatoria de cada uno, que dieron
medias de 3,9 y 4,0 cm sobre 16 y 12 observaciones respectivamente. ¿Se podría
afirmar, con un 5 % de probabilidad de equivocarse en la decisión, que efectivamente
existe la diferencia sospechada?16
14. El voltaje de salida de un circuito eléctrico es de 130. Una muestra de 40 lecturas
independientes del voltaje de este circuito arrojó una media muestral de 128,6 y una
desviación standard de 2,1. Se podría afirmar que el voltaje de salida es inferior al
estipulado? Utilice un nivel de significación del 5 %.17
15. En una fábrica de gaseosas el encargado de producción afirma que se desperdician
en promedio no más de 15000 litros de gaseosa por mes con un desvío de 450 litros
¿Se puede corroborar esta afirmación sobre la base de una muestra de 10 meses
elegidos al azar en los últimos cinco años, que dio un promedio de 14900 litros con un
desvío de 500 litros? (usar un nivel de significación del 5%)
16. Se dice que una máquina expendedora de gaseosas está fuera de control si el desvío
de los contenidos excede 1,15 decilitros. Si una muestra aleatoria de 25 bebidas de
esta máquina tiene un desvío insesgado de 2,03 decilitros, ¿esto indica que, con un
nivel de significación del 5 %, la máquina está fuera de control? Suponga que los
contenidos se distribuyen de forma aproximadamente normal. 18
17. Una empresa que vende productos de limpieza para la ropa afirma que un nuevo
removedor de manchas eliminará más de 70 % de las manchas en las que se aplica.
Para verificar esta afirmación, una cadena de tintorerías que pretende adquirir el
producto, utilizará el removedor de sobre 12 manchas elegidas al azar. Si se eliminan
menos de 11 manchas tomará la decisión de no adquirir el nuevo producto.
a) Evalúe el nivel de significación utilizado
b) Evalúe β si el porcentaje de manchas que se eliminan es del 90%.
18. Se desarrolla un transistor de bajo ruido para uso en productos de cómputo. Se afirma
que su nivel medio de ruido será menor que los 2,5 dB de los productos que se utilizan
actualmente.
a. Especifique las hipótesis apropiadas para verificar la afirmación
b. Se obtiene una media de 1,8 dB y un desvío (s.) de 0,8 dB a partir de una
muestra de 16 transistores. Para qué nivel de significación sería posible
realizar la afirmación?
16
Extraído de Zanardi, Introducción a la Teoría de probabilidades e inferencia estadística, UTN FRA
Extraido de Wackerly,Mendenhall, Estadística Matemática con aplicaciones, Editorial Thompson
18
Extraído de Walpole, Myers, Probabilidad y Estadística para ingenieros, Editorial Prentice Hall
17
17
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
c. Explique, en el contexto del problema qué conclusión puede extraerse acerca
del nivel de ruido de esos transistores.
d. Explique, en el contexto del problema, el significado de cometer un error de tipo
II.
Respuestas a las actividades:
1) Sí (Z=3,53)
2) Se puede avalar la sospecha ( Z=2,06)
3) Se pueden refutar las afirmaciones ( t=-2,97)
4) a) No. (Z=-0,69)
b) 1
c) 1
0,0594
1
5) Ho = No es culpable
6) Sí. (Z=-2,04)
7) Sí ( 2 35,84 )
8) Es posible afirmar que el nuevo proceso reduce las pérdidas
9) Se puede afirmar que el volumen promedio de la máquina 1 es menor al de la máquina
2 ( t=-2,83)
Respuestas a las actividades de integración
10) Comete un error de tipo I decidiendo erróneamente que no menos del 30% de la
población es alérgica.
11) Las pruebas no son suficientes. (t=1,477)
12) La muestra no es suficiente para sugerirlo ( t=0,33)
13) Sí. (Z=-6,55)
14) Sí, (t=-4,21)
15) No. (t=-0,70)
2
74 ,78
16) Sí.
17) a)
b)
0,085
0,34
18) a) Se puede realizar la afirmación con un nivel de significación de hasta 0,005.
b) Se puede afirmar que el nivel de ruido es inferior a 2,5 dB, con un nivel de
significación de hasta aproximadamente 0,005
c) No poder afirmar que el nivel de ruido es inferior a 2,5 dB cuando en realidad lo es.
18
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
Guía de revisión para el segundo parcial
.
1. Los envases para una mecha de widia tienen un diámetro que se distribuye
normalmente con media 8,2 y desvio 0,3 mm. Las mechas que se fabrican tienen un
diámetro cuya distribución es N(8;0,02).
a) Si se toma al azar un par mecha-envase, calcular la probabilidad de que la mecha
no quepa en el envase.
b) Si se toman al azar de un lote grande 50 envases, calcular la probabilidad de que
el diámetro promedio difiera de la media en no más de 0,1 mm19
2. Las manzanas que se producen en un huerto tiene distribución normal con media 100
gramos y desvío 20 gramos
a) Hallar la probabilidad de que una bolsa con 50 manzanas pese más de 5,3 kg.
(Considerar despreciable el peso de la bolsa)
b) Si se toman dos manzanas, hallar la probabilidad de que la diferencia entre ambas
no sobrepase los 10 gramos.
3. El peso de ciertos bultos es una variable aleatoria normal tal que el 16% pesa más de
50 kg. y el 2,5% pesa menos de 44 kg. Para transportarlos les cobran $10 por los que
pesan más de 52 kg., $8 por los que pesan entre 52 y 46 kg. y $5 por los que pesan
menos de 46 kg. Hallar el precio esperado de transporte por bulto
4. Se quiere probar que ciertas componentes duran, en promedio, más de 1500 horas.
Para ello se toma una muestra de 30 que dan un promedio de 1550 horas y un desvío
de 75 horas. (Si se supone que la distribución de la duración es aproximadamente
normal) Hallar un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.
5. El tiempo que tarda un operario en hacer una tarea tiene distribución normal con
desvío estándar 10 minutos. Una muestra aleatoria arrojó los siguientes valores: 2527-32- 35- 33- 28- 31- 30- 29- 32
a) ¿Cuántos operarios deberían relevarse si se quisiera estima el tiempo promedio
con un intervalo de confianza del 99% con un error menor que 2 minutos?
b) Si se desconociera la varianza y se quisiera usar la muestra para construir un
intervalo de confianza del 99% ¿cuáles serían los extremos?
6. La duración de ciertos componentes tienen distribución exponencial con desvío 2000
horas. Si la componente dura menos de 1200 horas, produce un costo en la operatoria
de $1000. Si dura entre 1200 y 1500 el costo es de $500 y si dura más de 1500 horas,
se considera el costo nulo Hallar el valor esperado y el desvío estándar del costo de
operatoria.
7. Los bujes producidos por un torno tienen un diámetro distribuído normalmente. Se
afirma que el diámetro medio supera 11.9 mm. ¿Aceptaría esta afirmación con una
probabilidad de equivocarse del 1% en base a la siguiente muestra aleatoria: 12.4;
12.94; 12.42; 12.3?
19
Extraido del Final PyE UTN FRA (5/ 12/ 02)
19
Probabilidad y estadística
UTN- FRA
Guía de ejercitación
Segunda parte
8. El diámetro de las arandelas que producen en una fábrica es una variable aleatoria
normal con media 4 mm. ¿Que valor debería tomar el desvío estándar para que el
porcentaje de arandelas con diámetro menor que 3,75 mm no exceda el 2%?
9. Sea una botella de 450 cm3. La maquina envasadora envía una cantidad de líquido
que es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
f ( x)
k. x 500
0
0 x 500
otrox
a) Entre 50 botellas que se llenaron, calcular la cantidad esperada con menos de 10
cm3 libres.
b) Si se toman 30 botellas, calcular la probabilidad de que el contenido promedio no
supere los 440 cm3
10. Para estimar la proporción de piezas que se fabrican que tiene fallas se toman 150
piezas y se encuentra entre ellas que 20 de ellas están falladas. Construir un intervalo
de confianza del 95% para la proporción poblacional.
11. El peso de los ovillos que produce una máquina se distribuye normalmente. Se obtuvo
la siguiente muestra aleatoria: 132, 115, 119, 126, 127, 121, 117, 127.
a) Hallar un I.C. de 99% para el peso medio de los ovillos.
Respuesta guía de revisión para el segundo parcial
1. a) 0,2546 b) 0,2736
2.a) 0,0124 b) 0,2736
3. E(P)=7,5311
4. (1522;1578)
sigma es desconocido
5. a) n=165 b) (27,115; 33,285)
6. σ=480,30
7. Deberán construir el intervalo de confianza y con la muestra dada y analizar si el valor
del diámetro medio que se postula pertenece o no al intervalo obtenido.
8. σ=0,1217
9. a) E(K)=0,22 b) 1
10. (0,078; 0,1877)
11. ( 115,72; 129,53)
20
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
Revisión para el examen final
Final 14/ 02/ 07
P1. En una fábrica de gaseosas el encargado de producción afirma que se desperdician
en promedio no más de 15000 litros de gaseosa por mes. ¿Se puede corroborar esta
afirmación sobre la base de una muestra de 10 meses elegidos al azar en los últimos
cinco años, que dio un promedio de 14900 litros con un desvío de 500 litros? ( usar un
nivel de significación del 5%).
P2. En un proceso de fabricación se detectan dos tipos de fallas independientes A y B. La
falla A ocurre en el 2% de las piezas y la B en el 1% de las piezas. Se debe enviar a
un proovedor una partida de muestra, que será rechazada si alguna de las piezas
tiene fallas ¿Cuántas piezas se deberán enviar como máximo para tener un 95% de
probabilidad de que le acepten la partida?
P3.En una industria textil se fabrican remeras que luego de armadas se tiñen y se
estampan. El 3% de las remeras presenta fallas, producto del proceso de estampado.
El proceso de teñido presenta fallas según Poisson con una media de 0,5 fallas por
remera. Si se toman 5 remeras al azar, calcular la cantidad esperada de remeras con
un solo tipo de defecto.
P4. El tiempo que tarda una persona en ser atendida en una cola de espera se puede
explicar mediante una distribución exponencial negativa con parámetro con valor
medio 0,2 hs. Calcular la probabilidad de que el tiempo promedio que tardan 30
personas elegidas al azar en una cola no supere las 0,15 horas
T1. Dadas las variables aleatorias independientes X :N 2 ;
e Y :N
; 2 , calcular el
valor esperado y la varianza de W = X + 2Y. ¿Qué distribución tiene W? Justifique.
T2. Si A y B son sucesos independientes entonces la unión entre ambos y la intersección
son independientes
T3. En el contexto del problema 1, explicar el significado del nivel de significación y de la
potencia del test.
T4. Sabiendo que 1 y 2 son estimadores insesgados del parámetro
analizar si la
semisuma entre ellos es otro estimador insesgado
Final 26/ 07/ 06
P1. Cierto tipo de lámparas se fabrican en dos plantas A y B. La duración de las mismas
es una variable aleatoria distribuida exponencialmente con medias 1200 hs y 1400 hs
respectivamente. Si se eligen al azar 36 lámparas de cada producción, ¿cuál es la
probabilidad de que las duraciones promedio difieran entre sí en más 100 hs?
21
Probabilidad y estadística
UTN- FRA
Guía de ejercitación
Segunda parte
P2. Un fabricante de ganchos para abrochadoras afirma que hay menos del 1% de
fallados. Si en una muestra aleatoria de 200 broches hay 4 fallados, ¿ refutaría la
afirmación del fabricante con un nivel de significación del 5%?
P3. Las fallas de aislación en un cable se distribuyen según Poisson a razón de 2 cada
500 metros. Si se toman 10 rollos de 750metros y se encuentran fallas, hallar la
probabilidad de que ninguno de ellos tenga más de dos.
P4. Los paquetes de azúcar de 1 kg se distribuyen normalmente con media 1005 gramos
y desvío 15 gramos. Se sabe también que los paquetes se embolsan de a 100
unidades y que el peso de la bolsa vacía se distribuye según una N( 100; 5 ) en g. Si
se hace un envío de 3 bolsas, ¿cuál es la probabilidad de que el pedido pese menos
de 300 kg?
T1. Analizar si es posible fijar la amplitud de un intervalo de confianza para la media de
una población normalmente distribuida.
T2. Deduzca por qué P( A
B)
P( A
B)
T3. Explicar por qué en la función de probabilidad de una distribución binomial “aparece” el
factor
n
k
T4. Analizar si la función
f x
kx 3
0
k x k
otro x
puede ser una función de densidad
para algún valor de k
Final 29/ 05/ 07
P1. Los rollos de tela que se producen en una fábrica tienen fallas que se distribuyen
según Poisson, de modo tal que el 40% de los rollos de 25m presenta fallas. Hallar la
probabilidad de que un rollo de 50 metros tenga a lo sumo una falla.
P2. El 2% de los envases de yogur que se fabrican se deben descartar por abolladuras
mientras que el 1% tienen imperfecciones en el rótulo.
a) Se envía una partida de 10 piezas a un proveedor que la rechazará si alguna de las
piezas está fallada. Calcular la probabilidad de que rechacen la partida.
b) ¿Cuántas piezas se deberán enviar como máximo para tener un 95% de probabilidad
de que le acepten la partida?
P3. El jefe de personal de una fábrica sostiene que, con el sistema de premios que
estableció, el salario de bolsillo promedio excede los $750. El sindicato toma una
muestra aleatoria de 36 salarios que dieron una media de $780 con un desvío de $18.
Hallar un intervalo de confianza al 90% para el sueldo medio del personal.
P4. La duración (en horas) de ciertas baterías, se distribuye según una exponencial
negativa. Se sabe también que el 60,65% de la producción dura más de 100 hs. Si se
22
Probabilidad y estadística
UTN- FRA
Guía de ejercitación
Segunda parte
eligen 64 elementos al azar, calcular la probabilidad de que el promedio de duraciones
no se aparte de la media en más de 10 hs.
T1. Analizar si P A
PA
B
T2. ¿Las fallas del ejercicio P2 son independientes? Justifique su respuesta.
T3. Analizar si se cumple que: Si X e Y son v.a. independientes, entonces V(X-Y) < V(X)
n
T4. Si Xi son v.a. independientes todas con valor medio
y desvío
e Y
Xi
i 1
Deducir la distribución de la variable aleatoria 2Y-5 y deducir sus parámetros.
23
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
Anexo
Tablas estadísticas
24
Probabilidad y estadística
Guía de ejercitación
UTN- FRA
Segunda parte
25
Probabilidad y estadística
UTN- FRA
Guía de ejercitación
Segunda parte
PERCENTILES DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
0.9
0.95
0.975
0.99
0.995
0.999
G de libertad
1 3.077685 6.313749 12.706150 31.820964 63.655898 318.288803
2 1.885619 2.919987 4.302656
6.964547
9.924988
22.328459
3 1.637745 2.353363 3.182449
4.540707
5.840848
10.214280
4 1.533206 2.131846 2.776451
3.746936
4.604080
7.172930
5 1.475885 2.015049 2.570578
3.364930
4.032117
5.893526
6 1.439755 1.943181 2.446914
3.142668
3.707428
5.207548
7 1.414924 1.894578 2.364623
2.997949
3.499481
4.785252
8 1.396816 1.859548 2.306006
2.896468
3.355381
4.500762
9 1.383029 1.833114 2.262159
2.821434
3.249843
4.296890
10 1.372184 1.812462 2.228139
2.763772
3.169262
4.143658
11 1.363430 1.795884 2.200986
2.718079
3.105815
4.024769
12 1.356218 1.782287 2.178813
2.680990
3.054538
3.929599
13 1.350172 1.770932 2.160368
2.650304
3.012283
3.852037
14 1.345031 1.761309 2.144789
2.624492
2.976849
3.787427
15 1.340605 1.753051 2.131451
2.602483
2.946726
3.732857
16 1.336757 1.745884 2.119905
2.583492
2.920788
3.686146
17 1.333379 1.739606 2.109819
2.566940
2.898232
3.645764
18 1.330391 1.734063 2.100924
2.552379
2.878442
3.610476
19 1.327728 1.729131 2.093025
2.539482
2.860943
3.579335
20 1.325341 1.724718 2.085962
2.527977
2.845336
3.551831
21 1.323187 1.720744 2.079614
2.517645
2.831366
3.527093
22 1.321237 1.717144 2.073875
2.508323
2.818761
3.504974
23 1.319461 1.713870 2.068655
2.499874
2.807337
3.484965
24 1.317835 1.710882 2.063898
2.492161
2.796951
3.466776
25 1.316346 1.708140 2.059537
2.485103
2.787438
3.450186
26 1.314972 1.705616 2.055531
2.478628
2.778725
3.434980
27 1.313704 1.703288 2.051829
2.472661
2.770685
3.421010
28 1.312526 1.701130 2.048409
2.467141
2.763263
3.408204
29 1.311435 1.699127 2.045231
2.462020
2.756387
3.396271
30 1.310416 1.697260 2.042270
2.457264
2.749985
3.385212
40 1.303076 1.683852 2.021075
2.423258
2.704455
3.306923
50 1.298713 1.675905 2.008560
2.403267
2.677789
3.261375
60 1.295821 1.670649 2.000297
2.390116
2.660272
3.231689
70 1.293763 1.666915 1.994435
2.380802
2.647903
3.210807
80 1.292224 1.664125 1.990065
2.373872
2.638699
3.195237
90 1.291029 1.661961 1.986673
2.368497
2.631568
3.183231
100 1.290075 1.660235 1.983972
2.364213
2.625893
3.173773
200 1.285798 1.652509 1.971894
2.345132
2.600627
3.131499
300 1.284379 1.649948 1.967901
2.338838
2.592315
3.117602
400 1.283672 1.648673 1.965914
2.335710
2.588167
3.110763
500 1.283247 1.647907 1.964718
2.333827
2.585693
3.106616
26
Probabilidad y estadística
UTN- FRA
Guía de ejercitación
Segunda parte
PERCENTILES DE LA DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADA
0.0050
0.0100
0.0250
0.0500
0.1000 0.9000
0.9500
0.9750
0.9900
0.9950
G de libertad
1 0.0000 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794
2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107 4.6052 5.9915 7.3778 9.2104 10.5965
3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 12.8381
4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 14.8602
5 0.4118 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103 9.2363 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496
6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 18.5475
7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777
8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 21.9549
9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660 23.5893
10 2.1558 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 25.1881
11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 17.2750 19.6752 21.9200 24.7250 26.7569
12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 28.2997
13 3.5650 4.1069 5.0087 5.8919 7.0415 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 29.8193
14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.3194
15 4.6009 5.2294 6.2621 7.2609 8.5468 22.3071 24.9958 27.4884 30.5780 32.8015
16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 23.5418 26.2962 28.8453 31.9999 34.2671
17 5.6973 6.4077 7.5642 8.6718 10.0852 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 35.7184
18 6.2648 7.0149 8.2307 9.3904 10.8649 25.9894 28.8693 31.5264 34.8052 37.1564
19 6.8439 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509 27.2036 30.1435 32.8523 36.1908 38.5821
20 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426 28.4120 31.4104 34.1696 37.5663 39.9969
21 8.0336 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.4009
22 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415 30.8133 33.9245 36.7807 40.2894 42.7957
23 9.2604 10.1957 11.6885 13.0905 14.8480 32.0069 35.1725 38.0756 41.6383 44.1814
24 9.8862 10.8563 12.4011 13.8484 15.6587 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 45.5584
25 10.5196 11.5240 13.1197 14.6114 16.4734 34.3816 37.6525 40.6465 44.3140 46.9280
26 11.1602 12.1982 13.8439 15.3792 17.2919 35.5632 38.8851 41.9231 45.6416 48.2898
27 11.8077 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139 36.7412 40.1133 43.1945 46.9628 49.6450
28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392 37.9159 41.3372 44.4608 48.2782 50.9936
29 13.1211 14.2564 16.0471 17.7084 19.7677 39.0875 42.5569 45.7223 49.5878 52.3355
30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992 40.2560 43.7730 46.9792 50.8922 53.6719
40 20.7066 22.1642 24.4331 26.5093 29.0505 51.8050 55.7585 59.3417 63.6908 66.7660
50 27.9908 29.7067 32.3574 34.7642 37.6886 63.1671 67.5048 71.4202 76.1538 79.4898
60 35.5344 37.4848 40.4817 43.1880 46.4589 74.3970 79.0820 83.2977 88.3794 91.9518
70 43.2753 45.4417 48.7575 51.7393 55.3289 85.5270 90.5313 95.0231 100.4251 104.2148
80 51.1719 53.5400 57.1532 60.3915 64.2778 96.5782 101.8795 106.6285 112.3288 116.3209
90 59.1963 61.7540 65.6466 69.1260 73.2911 107.5650 113.1452 118.1359 124.1162 128.2987
100 67.3275 70.0650 74.2219 77.9294 82.3581 118.4980 124.3421 129.5613 135.8069 140.1697
200 152.2408 156.4321 162.7280 168.2785 174.8353 226.0210 233.9942 241.0578 249.4452 255.2638
300 240.6631 245.9727 253.9122 260.8781 269.0679 331.7885 341.3951 349.8745 359.9064 366.8439
400 330.9029 337.1552 346.4817 354.6410 364.2074 436.6490 447.6324 457.3056 468.7244 476.6068
500 422.3034 429.3874 439.9360 449.1467 459.9261 540.9303 553.1269 563.8514 576.4931 585.2060
27