M´etodos de Integraci ´on - Canek

CAP ÍTULO
1
Métodos de Integración
2.7 Integrales impropias
Hasta aquı́, al referirnos a la integral definida
Z
b
f .x/ dx consideramos que f es una función continua
a
en un intervalo cerrado Œa; b, el cual tiene una longitud finita b a. Es decir, para la integral definida
Z b
f .x/ dx se exige el cumplimiento de dos requisitos escenciales: la continuidad de la función f en todo
a
el intervalo de integración y además que dicho intervalo sea cerrado. Son estas caracterı́sticas las que dan
sustento a la definición de la integral de Riemann:
Z
a
b
f .x/ dx D lı́m
jxj!0
n
X
f .ci /xi :
i D1
La finitud del intervalo Œa; b nos permite obtener un número finito n de subintervalos Œxi 1; xi  y todos
de longitud finita xi D xi xi 1 ; y la continuidad de f en todo el intervalo cerrado Œa; b nos permite
asegurar la existencia de cada número f .ci / para xi 1 ci xi ; con i D 1; 2; 3; : : : ; n. Entonces, tiene
n
X
sentido hablar de la suma de Riemann
f .ci /xi , ya que independientemente de la partición realizada,
i D1
cada término f .ci /xi está bien definido.
Aún más, si además de ser continua, f .x/ 0 para cada a x b, entonces la integral definida
Z
b
f .x/ dx
a
puede ser interpretada como el área de la región del plano limitada por la curva y D f .x/ y las rectas y D 0,
Z b
x D a, x D b. En general, para f continua en Œa; b, la integral definida
f .x/ dx puede interpretarse
a
como una suma algebraica de áreas (sumandos positivos); o bien, como una suma algebraica de números
Z b
(positivos o negativos) . En cualquiera de los casos, la integral definida
f .x/ dx es un número real fijo.
a
canek.azc.uam.mx: 20/ 5/ 2015/ 597
1
2
Cálculo integral
Ahora trataremos con integrales definidas en las que no se cumple la continuidad de la función f en un
intervalo cerrado Œa; b; es decir, trataremos con integrales definidas donde no se cumplen al menos una
de las dos condiciones: continuidad de la función en el intervalo de integración y finitud del intervalo de
integración.
Denominamos integrales impropias aquellas que cumplen:
1. El intervalo de integración tiene longitud infinita, sección 2.7.1.
2. El integrando f tiene una ası́ntota vertical en el intervalo de integración, sección 2.7.2 (pág. 7).
2.7.1
Las integrales impropias
Z
C1
f .x/ dx,
a
Z
b
Z
f .x/ dx,
1
C1
f .x/ dx
1
Vamos a considerar cada uno de los casos.
Z C1
i. ¿Cómo calcular
f .x/ dx?
a
Suponiendo la continuidad de la función f en el intervalo Œa; 1/, se puede asegurar que f es continua
en el intervalo cerrado Œa; r  para r > a.
Aquı́ procedemos de la siguiente manera.
Primero, calculamos la integral definida
Z
r
f .x/ dx, la cual resulta ser una función g.r /.
a
Segundo, se permite a r crecer indefinidamente y se calcula
lı́m g.r / D lı́m
r !C1
r !C1
Z
r
f .x/ dx:
a
Se concluye según sea el resultado del lı́m g.r /.
r !C1
Z
C1
a. Cuando lı́m g.r / D L, con L 2 R, se dice que la integral impropia
f .x/ dx converge
r !C1
a
Z C1
a L y se escribe
f .x/ dx D L. Es decir, en este caso se asigna un valor numérico .L/ a la
aZ
C1
integral impropia
f .x/ dx.
a
b. Cuando lı́m g.r / D 1, se dice que la integral impropia
r !C1
Z
C1
aZ
f .x/ dx diverge a 1. En este
C1
caso no se asigna un valor numérico a la integral impropia
f .x/ dx. Se puede escribir
a
Z C1
Z C1
diverge a
f .x/ dx D 1, pero teniendo presente que
f .x/ dx
! 1, y que 1 … R.
a
Ejemplo 2.7.1 Calcular la integral impropia
a
Z
tiende a
C1
e
x
dx.
0
H La función f .x/ D e x es continua en todo R, luego es continua en el intervalo Œ0; C1/ y por lo
mismo es continua en el intervalo cerrado Œ0; r  para r > 0.
2
2.7 Integrales impropias
3
Calculamos la integral definida
r
Z
x
e
dx.
0
r
Z
x
dx D Πe
e
x
dx D g.r / D 1
0
)
x r
0
e
r
D e
e0 D e
r
Z
0
r
e
:
r
C1D 1
e
r
)
Ahora calculamos lı́m g.r /.
r !C1
)
e r / D lı́m
lı́m g.r / D lı́m .1
r !C1
r !C1
Z r
lı́m
e x dx D 1:
r !C1
r !C1
1
er
1
D1
0D1 )
0
Entonces, la integral impropia
C1
Z
x
e
dx converge a 1.
0
Z
C1
x
e
dx D 1:
0
En este caso se asigna el valor numérico 1 a la integral impropia
Z
C1
e
x
dx.
0
Ejemplo 2.7.2 Calcular la integral impropia
Z
C1
1
dx
p .
x
1
La función f .x/ D p es continua en todo su dominio Df D .0; C1/, por lo que es continua en
x
el intervalo cerrado Œ1; r  para r > 1. Ahora,
H
Z
1
r
dx
p D
x
Z
r
1
2
x
1
Es decir,
Z
1 r
2
dx D 2x
r
1
1
p
dx
p D g.r / D 2 r
x
Luego,
lı́m g.r / D lı́m
r !C1
r !C1
Entonces,
p
2 r
lı́m g.r / D lı́m
r !C1
Z
1
1
r !C1
1
r
1
Ejemplo 2.7.3 Calcular la integral impropia
Z
2:
2:
2 D C1:
dx
p D C1:
x
dx
p diverge a C1.
x
1
Z 1
dx diverge a
dx
p
p D 1.
! C1 y podemos escribir
x tiende a
x
1
Por lo tanto, la integral impropia
Es decir,
Z
Z
p
p
2 1D2 r
p
D2 r
1
xe
2x
dx.
0
3
4
Cálculo integral
Por ser f .x/ D xe
2x
una función continua en todo su dominio R, podemos asegurar
Z r su continuidad en el intervalo cerrado Œ0; r  para r > 0. Determinaremos la integral definida
xe 2x dx,
0
Z
calculando primero la integral indefinida xe 2x dx mediante integración por partes.
H
Z
2x
š
uDx
xe
&
du D dx
&
dx
dv D e
vD
2x
1
e
2
Dx
D
1
xe
2
1
e
2
2x
Z
1
e
2
2x
1
xe
2
dx D
2x
C
1
2
1
e
2
2x
CC D
dxI
2x
:
2x
1
C e
4
2x
CC D
1
e
4
2x
.2x C 1/ C C:
Luego,
r
1
1
2x
xe
dx D
.2x C 1/e
D
.2r C 1/e
4
4
0
0
Z r
2r C 1
1
)
xe 2x dx D g.r / D
1
:
4
e 2r
0
Z
r
2x
2r
1 0
1
C e D
1
4
4
2r C 1
e 2r
)
Entonces, aplicando la regla de L’Hôpital,
1
2r C 1
1
.2r C 1/0
1 2r C 1
lı́m g.r / D lı́m
D
lı́m
D
lı́m
D
2r
2r
r !1
r !1 4
4e
4 r !1 4e
4 r !1 .4e 2r /0
1
2
1
1
D
lı́m
D
0D
)
2r
4 rZ!1 8e
4
4
r
1
) lı́m g.x/ D lı́m
xe 2x dx D :
r !1
r !1 0
4
Z 1
1
En este caso, la integral impropia
xe 2x dx converge a .
4
0
Z 1
Por lo tanto, en este caso, la integral impropia
xe 2x dx tiene un valor numérico asignado, que es
0
Z 1
1
xe 2x dx D .
4
0
Z b
ii. ¿Cómo calcular la integral impropia
f .x/ dx?
1
Generalmente la expresión algebraica r es asociada mentalmente con un número negativo, lo cual es
debido a la presencia explı́cita del signo negativo . / y sabemos que esto es cierto . r < 0/ cuando
r > 0. Por simplicidad haremos uso de esta relación.
Considerando que r > 0 podemos asegurar que r < 0 y además que r ! 1 cuando r ! C1.
Z b
Hecha esta aclaración procedemos a calcular la integral impropia
f .x/ dx bajo el supuesto de que
1
la función f sea continua en el intervalo . 1; b. El procedimiento es análogo al efectuado en el caso
anterior. Con f continua en el intervalo . 1; b se asegura la continuidad de f en el intervalo cerrado
Z b
Œ r; b para r < b y calculamos la integral definida
f .x/ dx, la cual resulta ser una función g.r /.
r
Luego permitimos que r ! C1, para ası́ lograr que r ! 1, y calculamos lı́m g.r /.
r !C1
Se concluye, como en el caso anterior, diciendo si la integral impropia converge o diverge.
4
2.7 Integrales impropias
5
Ejemplo 2.7.4 Calcular la integral impropia
H
Z
0
e x dx.
1
Considerando r > 0 aseguramos que r < 0 y además que r !
1 cuando r ! C1.
La función f .x/ D e x es continua en toda la recta real, por lo que es continua en el intervalo cerrado
Z 0
Œ r; 0. Calculamos la integral definida
e x dx.
r
0
Z
r
Es decir,
0
e x dx D e x D e 0
e
r
Z
Entonces,
0
r
e x dx D g.r / D 1
lı́m g.r / D lı́m
r !C1
r !C1
1
er
1
Esto es,
lı́m g.r / D lı́m
r !C1
Por lo tanto, la integral impropia
Z
r
r !C1
0
Z
1
:
er
D1
1
:
er
D1
0 D 1:
0
r
e x dx D 1:
x
e dx converge a 1 y escribimos
1
En este caso se asigna un valor numérico .1/ a la integral impropia
Ejemplo 2.7.5 Calcular la integral impropia
H
Z
1
1
Considerando r > 1 aseguramos que r <
Z
0
Z
1
e x dx D 1.
0
e x dx.
1
dx
p
.
3
x
1 y además que r ! 1 cuando r ! C1.
1
La función f .x/ D p
es continua en el intervalo cerrado Œ r; 1.
3
x
Z 1
dx
Calculamos la integral definida
p
.
3
x
r
Z 1
Z 1 1
i 1
dx
3 2 1
3 hp
3
2 3 dx D x 3 p
D
x
D
x
3
D
x
2
2
r
r
r
r
i
i
p
p
3 hp
3 hp
3
3
3
3
3
2
2
2
D
. 1/
. r/ D
1
r D
1
2
2
2
Es decir,
Z
Luego,
1
r
dx
3
p
dx
D
g.r
/
D
1
3
x
2
3
1
r !C1 2
lı́m g.r / D lı́m
r !C1
Esto es,
lı́m g.r / D lı́m
r !C1
r !C1
p
3
r2 :
3
p
3
r2 D
2
Z
1
r
p
3
r2 :
1D
1:
dx
p
D 1:
3
x
5
6
Cálculo integral
Se tiene en este caso que la integral impropia
1
dx
p
Expresado de otra manera,
3
x
1
sente que 1 no es valor numérico.
Z
iii. ¿Cómo calcular la integral impropia
1
Z
1
diverge a
dx
p
diverge a 1.
3
x
1, y podemos escribir
!
tiende a
Z
1
1
dx
p
D
3
x
1 teniendo pre
C1
Z
f .x/ dx?
1
Por supuesto, se supone que f es una función continua en toda la recta real R D . 1; 1/.
Teniendo presente los dos casos anteriores, podemos generar el intervalo . 1; C1/ a partir
Z del interr
valo Œ r; r  para r > 0 y haciendo que r ! C1. Calcularemos primero la función g.r / D
f .x/ dx,
Z r
Zr 1
para luego obtener lı́m g.r / D lı́m
f .x/ dx. Concluiremos para la integral impropia
f .x/ dx
r !C1
r !C1
r
1
como en los casos anteriores: la integral converge a un valor numérico o bien la integral diverge.
Ejemplo 2.7.6 Calcular la integral impropia
Z
1
1
2x
dx.
1 C x2
2x
dx es continua en todo R, por lo que se puede asegurar su
1 C x2
continuidad en el intervalo cerrado Œ r; r  para r > 0.
Z r
2x
Calculamos la integral definida
dx.
1
C
x2
r
Z r
r
2x
2 dx
D
ln
1
C
x
D ln 1 C r 2
ln 1 C . r /2 D ln 1 C r 2
ln 1 C r 2 D 0:
2
r 1Cx
r
La función racional f .x/ D
H
En este caso:
g.r / D
Por lo cual,
lı́m
r !1
Es decir, la integral impropia
numérico asignado:
Z
Z
r
r
C1
1
Z
r
r
2x
dx D 0:
1 C x2
2x
dx D lı́m g.r / D lı́m .0/ D 0:
r !1
r !1
1 C x2
2x
dx converge a 0. Esto es, la integral impropia tiene un valor
1 C x2
Z
C1
1
2x
dx D 0:
1 C x2
Ejercicios 2.7.1 Integrales impropias. Soluciones en la página 13
1.
Z
1
Z
1
1
2.
1
6
dx
.
x4
dx
p
.
4
x
3.
Z
1
Z
1
1
4.
1
dx
p .
x3
ln x
dx.
x
5.
6.
Z
Z
1
9e
3x
dx.
0
0
1
x
dx.
x2 C 1
2.7 Integrales impropias
Z
7.
1
e
Z
8.
7
ln x
dx.
x2
4xe
2x
1
13.
Z
Z
1
x2e
dx.
0
Z
1
Z
1
2.7.2
1
12.
Z
1
e
10.
1
1
dx
.
x.ln x/2
x dx
.x 2 C
3
1/ 2
x
dx.
0
0
9.
Z
11.
0
.
14.
0
Integrales impropias
Z
arctan x
dx.
x2 C 1
ex
dx.
x
e C1
ex
dx.
1 C e 2x
Z
0
15.
1
16.
Z
1
17.
Z
Z
18.
1
1
x
dx.
e x2
dx
.
x2 C 1
2x 3
.x 2 C 1/2
0
0
1
dx.
x2
dx.
x2 C 1
a
f .x/ dx con ası́ntota vertical
b
Aquı́ consideramos integrales impropias del tipo:
i.
Z
a
Z
a
Z
a
f .x/ dx, con f continua en .a; b y con x D a ası́ntota vertical.
b
ii.
f .x/ dx, con f continua en Œa; b/ y con x D b ası́ntota vertical.
b
iii.
b
f .x/ dx, con f continua en Œa; b, excepto en c 2 .a; b/ donde f tiene una discontinuidad infinita.
¿Cómo proceder para calcular estos tipos de integrales impropias?
En general, para calcular estas integrales impropias, se propone evitar al punto problemático x D a en las
integrales de primer tipo; x D b en las de segundo tipo; x D c en las de tercer tipo.
¿Cómo evitar el punto problemático? Guardando una sana distancia de él. Dicha distancia será lograda
considerando un número real positivo , que servirá para denotar una separación del punto problemático.
Es decir, el número > 0 será utilizado para evitar el punto problemático:
i. x D a, considerando el intervalo cerrado Œa C ; b en vez del intervalo semiabierto .a; b:
a
bc
aC
bb
b
>0
ii. x D b, considerando el intervalo cerrado Œa; b
 en vez del intervalo semiabierto Œa; b/:
a
b
b
b
bbc
>0
iii. x D c, considerando los intervalos cerrados Œa; c
a
b
c
 y Œc C ; b en vez de los intervalos Œa; c/ y .c; b:
b
c
>0
bc
c C
b
bb
>0
7
8
Cálculo integral
Ya sabemos cómo evitar el punto problemático. Ahora procedemos a calcular la integral definida de una
función continua en un intervalo cerrado.
Z b
i. Calculamos
f .x/ dx, con f continua en un intervalo cerrado ŒaC; b. Aquı́ se obtiene una función:
aC
g./ D
ii. Calculamos
función:
Z
b
Z
f .x/ dx:
aC
b f .x/ dx, con f continua en un intervalo cerrado Œa; b
. Aquı́ se obtiene una
a
g./ D
iii. Calculamos las integrales definidas
Z
Z
b f .x/ dx:
a
c f .x/ dx &
a
Z
b
f .x/ dx en los intervalos cerrados Œa; c

cC
& Œc C ; b, respectivamente. También aquı́ se obtiene una función:
Z c Z b
g./ D
f .x/ dx C
f .x/ dx:
a
cC
Para cada caso tenemos una g./. Ahora proponemos ! 0C y calculamos lı́m g./. Finalmente, con!0C
cluimos aclarando si la integral impropia converge o diverge, ası́ como en los casos anteriormente ejemplificados. Esto es,
Si lı́m g./ D L, con L 2 R, entonces la integral impropia correspondiente converge a L;
!0C
Si lı́m g./ D 1, entonces la integral propia correspondiente diverge a 1.
!0C
Ejemplo 2.7.7 Calcular la integral impropia
Z
5
1
dx
p
.
x 1
dx
es continua en todo su dominio Df D .1; C1/ y además la recta x D 1 es
La función f .x/ D p
x 1
1
una ası́ntota vertical para f ya que lı́m f .x/ D lı́m p
D C1.
C
C
x!1
x!1
x 1
Z 5
dx
p
Entonces, la integral
es impropia con f continua en el intervalo .1; 5. Evitamos el punto prox 1
1
blemático x D 1 tomando un número > 0 y considerando el intervalo cerrado Œ1 C ; 5 donde f es
continua.
Z 5
dx
p
Calculamos la integral definida
.
x 1
1C
5
Z 5
Z 5
p
1
1 5
dx
2
2
p
D
.x 1/ dx D 2.x 1/ D 2 x 1 D
x 1
1C
1C
1C
1C
p
p
p
p
D 2 5 1 2 1 C 1 D 2.2/ 2 D 4 2 :
p
Se tiene aquı́ la función g./ D 4 2 .
H
Calculamos lı́m g./:
!0C
lı́m g./ D lı́m
!0C
8
!0C
h
4
2
p i
D4
2.0/ D 4:
2.7 Integrales impropias
9
Es decir,
lı́m g./ D lı́m
!0C
!0C
5
Z
1C
dx
p
D 4:
x 1
5
Z
dx
p
converge a 4 y escribimos
x Z1
1
5
dx
p
es, se asigna el valor numérico 4 a la integral impropia
.
x 1
1
Se tiene en este caso que la integral impropia
Ejemplo 2.7.8 Calcular la integral impropia
4
Z
.x
2
H
La función f .x/ D
1
2/2
.x
1
una ası́ntota vertical para f ya que lı́m f .x/ D lı́m
Z
1
5
dx
p
D 4. Esto
x 1
dx
.
2/2
es continua en todo su dominio Df D R
x!2C
Z
x!2C
.x
2/2
f2g y además la recta x D 2 es
D C1, ası́ como lı́m f .x/ D C1.
x!2
4
dx
es impropia con f continua en el intervalo .2; 4. Evitamos el punto
.x
2/2
2
problemático x D 2 tomando un número > 0 y considerando el intervalo cerrado Œ2 C ; 4 donde f es
continua. Ahora bien,
Z 4
Z 4
dx
.x 2/ 1 4
1 4
2
D
.x
2/
dx
D
D
D
2/2
1
x 2 2C
2C .x
2C
2C
1
1
1
1
1 1
D
C
D
C D
:
4 2
2C 2
2
2
Entonces, la integral
Veamos la función g./ D
1
1
.
2
Esta función cumple:
lı́m g./ D lı́m
!0C
!0C
Es decir,
lı́m g./ D lı́m
!0C
!0C
Z
Entonces, en este caso, la integral impropia
2
esta integral impropia.
4
.x
Z
1
4
2C
1
D C1:
2
dx
D C1:
.x 2/2
dx
diverge a C1, y no se asigna un valor numérico a
2/2
Ejemplo 2.7.9 Calcular la integral impropia
Z
1
2
dx
p
.
3
2 x
1
La función g.x/ D p
es continua en todo su dominio Dg D R f2g y además la recta x D 2 es
3
2 x
1
una ası́ntota vertical ya que lı́m g.x/ D lı́m p
D C1.
3
x!2
x!2
2 x
Z 2
dx
p
Entonces, la integral
es impropia, con g continua en el intervalo Œ1; 2/. Evitamos el punto
3
2 x
1
problemático x D 2 tomando un número > 0 y considerando el intervalo cerrado Œ1; 2  donde g es
H
9
10
Cálculo integral
continua. Ahora,
Z
2 dx
p
3
2
1
D
x
Z
3
2
.2
1
3
x/
3
Œ2
2
2
3
/ 3 C .2
2
.2
lı́m h./ D lı́m
!0C
!0C
3
2
2
1
./ 3
D
Es decir,
Z
lı́m h./ D lı́m
!0C
Por lo tanto, la integral impropia
2
Z
p
3
1
!0C
dx
2
Ejemplo 2.7.10 Calcular la integral impropia
1
.3
x/3
1
D
3 2
3
./ 3 C :
2
2
2
1/ 3 D
x
Z
2 1
3
.3
3
p
3
2 D :
2
3
lı́m 1
2 !0C
dx
3
p
D :
3
2
2 x
converge al número
0
La función f .x/ D
3 2
./ 3 .
2
Entonces:
H
2
2
x/ 3
3
.2
2
dx D
1
D
Se tiene aquı́ la función h./ D
2 3
y escribimos
2
x!3
x!3
1
p
3
dx
2
x
D
3
.
2
f3g y además la recta x D 3 es una
D C1.
x/3
.3
1
2
dx
.
x/3
es continua en su dominio Df D R
ası́ntota vertical ya que lı́m f .x/ D lı́m
Z
3
dx
es impropia, con f continua en el intervalo Œ0; 3/. Evitamos al punto
.3
x/3
0
problema x D 3 tomando un número real > 0 y considerando el intervalo cerrado Œ0; 3  donde f es
continua. Ahora bien,
Entonces, la integral
Z
3 0
Z
dx
D
.3 x/3
D
Tenemos aquı́ la función g./ D
3 Z
.3
x/
3
0
1
.3
2Œ3
1
2 2
.3
dx D
1
/2
0/2
2.3
x/
2
D
2
3
0
1
2 2
D
1
:
18
1
2.3
3
2
x/ 0
D
1
.
18
De lo que se obtiene
lı́m g./ D lı́m
!0C
!0C
1
D C1:
18
1
2 2
Es decir,
lı́m g./ D lı́m
!0C
Por lo tanto, la integral impropia
Z
0
3
.3
!0C
3 .3
0
dx
D C1:
x/3
dx
diverge a C1.
x/3
Ejemplo 2.7.11 Calcular la integral impropia
Z
0
10
Z
3
p
3
dx
x
1
.
2.7 Integrales impropias
11
1
La función g.x/ D p
es continua en todo su dominio Dg D R f1g y además la recta x D 1 es
3
x 1
1
1
una ası́ntota vertical de g ya que lı́m g.x/ D lı́m p
D 1 & lı́m p
D C1.
3
3
C
x!1
x!1
x!1
x 1
x 1
Z 3
dx
p
Entonces, la integral
es impropia, con g continua en el intervalo Œ0; 3 excepto en x D 1 donde
3
x 1
0
tiene una discontinuidad infinita.
H
Aislamos el punto problemático x D 1 tomando un número > 0 y considerando los intervalos cerrados
Œ0; 1  & Œ1 C ; 3 donde la función g es continua. Ahora bien, por la propiedad de aditividad respecto
al intervalo:
Z
Z
Z
3
0
donde las integrales
Z
1
0
dx
p
&
3
x 1
1
g.x/ dx D
Z
3
3
g.x/ dx C
0
g.x/ dx;
1
dx
p
son impropias.
3
x 1
1
Por esta razón calculamos la suma de las integrales
Z
1 0
p
3
dx
x
1
C
Z
3
1C
dx
p
D
3
x 1
1 Z
.x
1
3
1/
0
dx C
Z
3
.x
1/
1
3
1C
dx D
2 1 2 3
3
3
.x 1/ 3 C .x 1/ 3 D
2
2
0
1C
2
2
2
3
3
3
3
.1 1/ 3
.0 1/ 3 C
.3 1/ 3
.1 C D
2
2
2
2
2
2
3
3
3 2 3 2
D . / 3
. 1/ 3 C .2/ 3
./ 3 D
2
2
2
2
i
p
p
p
3 hp
3
3
. /2
. 1/2 C 3 .2/2 3 ./2 D
D
2
i
p i
p
p
3 hp
3 hp
3
3
3
3
D
2
1 C 4 3 2 D
4 1 :
2
2
D
Para luego calcular
lı́m
!0C
"Z
0
1 dx
p
3
x
y debido a que, cuando ! 0C ,
"Z
0
1
1 C
Z
3
1C
dx
p
3
x
podemos decir que la integral impropia
1
Z
Z
0
3
3 p
3
D lı́m
4
C
2
!0
1
x
C
3
0
Es decir,
p
3
#
dx
p
3
Z
3
1C
dx
x
1
p
3
dx
x
1
#
!
converge a
dx
3 p
3
p
D
4
3
2
x 1
Z
0
3
1
D
3 p
3
4
2
1 :
dx
p
;
3
x 1
3 p
3
4
2
1 :
2
1/ 3 D
1 .
Ejercicios 2.7.2 Integrales impropias. Soluciones en la página 13
11
12
Cálculo integral
Z
5
1.
5
2.
Z
Z
3
3
4.
Z
2
5.
Z
e
6.
Z
1
1
3.
1
1
12
dx
.
.x 1/2
dx
p
.
3 x
dx
.
.3 x/3
p
3
0
0
dx
p
.
x 1
dx
2
x
ln x dx.
.
7.
Z
e
x ln x dx.
0
1
8.
Z
4
9.
Z
x2
0
0
e
10.
Z
1
11.
Z
12.
Z
1
0
0
1
ex
2
dx.
dx
.
.x 1/2
dx
.
x ln x
dx
p
.
1 x2
tan x dx.
13.
Z
14.
Z
15.
Z
16.
Z
17.
Z
18.
Z
3
1
dx
p
.
3
x 2
1
x 2 ln x dx.
0
1
0
x
1
dx
.
1 x2
2
x dx
.
x2 1
2
x dx
p
.
4 x2
0
1
0
e x
p
1 e
dx.
2.7 Integrales impropias
13
Ejercicios 2.7.1 Integrales impropias. Preguntas, página 6
1
1. Converge a .
3
2. Diverge a 1.
3. Converge a 2.
4. Diverge a 1.
5. Converge a 3.
6. Diverge a 1.
2
7. Converge a .
e
8. Converge a 1.
14. Converge a
.
4
9. Converge a 1.
1
.
2
10. Converge a 0.
15. Converge a
11. Converge a 2.
16. Converge a .
12. Converge a
2
8
13. Diverge a 1.
.
17. Diverge a 1.
18. Diverge a 1.
Ejercicios 2.7.2 Integrales impropias. Preguntas, página 11
1. Converge a 4.
2. Diverge a 1.
p
3. Converge a 2 2.
4. Diverge a 1.
3
5. Converge a p
.
3
2
6. Converge a 0.
e2
.
4
1
Converge a .
e
Diverge a 1.
Diverge a 1.
Converge a .
2
Diverge a 1.
7. Converge a
8.
9.
10.
11.
12.
13. Converge a 0.
1
.
9
p
15. Converge a 2 1
14. Converge a
e
1.
16. Diverge a 1.
17. Diverge a 1.
18. Converge a 2.
13