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Productos7notables. Parte II
Semana
Factorización. Parte I
Semana 6
¡Empecemos!
El tema que estudiarás en esta
sesión está muy relacionado
con el de productos notables, la
relación entre estos y la factorización, dado que son operaciones inversas. Así como la resta
es la operación contraria de la
adición, la factorización es una
herramienta que permite simplificar expresiones algebraicas
complejas. La comprensión de la factorización, conjuntamente con su práctica constante, te permitirá:
• Identificar expresiones algebraicas que puedan factorizarse.
• Reconocer los diferentes casos de factorización.
• Aplicar correctamente los métodos de factorización en las expresiones
algebraicas. ¿Qué sabes de...?
1. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 3y-5
2. ¿Qué significan las soluciones de una ecuación de segundo grado?
3. Desarrolla el siguiente producto notable: (12x-5)(12x-5)
El reto es...
Con el estudio de esta semana podrás resolver problemas como el siguiente:
un acuario en forma de prisma rectangular tiene un volumen de 2x3-20x2+50x
¿Cuál es la longitud del prisma en función de x de la longitud de la caja?
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Semana 7
Factorización. Parte I
Vamos al grano
Los números pueden ser expresados como producto de dos o más números,
así 60 se puede escribir de diversas maneras como:
60=12·5
60=10·6
60=(-10)·(-6)
60=10 ·2·3
60=5·22·3
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso
de multiplicar.
Factorizar una expresión (un número, polinomio…) significa descomponerla como producto de dos o más expresiones (factores). Cuando se factoriza
una expresión, se obtiene una expresión equivalente a la original.
Los polinomios, al igual que los números, pueden ser expresados como el
producto de dos o más factores algebraicos (polinomios de menor grado).
Casos de factorización
Para realizar la factorización se pueden utilizar varias técnicas: sacar factor
común, productos notables o aplicar la regla de Ruffini (esta última no será
abordada en este semestre). A continuación esbozaremos algunos métodos;
cabe agregar que estos son los más elementales y que no todas las expresiones pueden factorizarse con los citados en esta guía.
Caso 1. Factor común
Recordarás que en la multiplicación de un monomio con un polinomio utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar cada término del monomio
por el polinomio. Al factorizar hacemos lo contrario, “sacamos” el factor común: número, letra o ambos (monomios) que aparecen en cada uno de los
términos del polinomio.
Detalla los siguientes ejemplos:
a) 5x2y+5xy3
b) -2a2b+4a2b+6b2ax
c) 3z4-6z3+18z2-9z
d) 6x+18
Observa que en el ejercicio a) en todos los monomios aparece el 5, la x y la
y, así 5xy es un factor común; en el b) el factor común es 2ab, ¿por qué? En el
caso c) determina cuál es el factor común; en d) a simple vista pareciera que
no tiene términos comunes, pero el 18 se puede descomponer como 6·3=18,
reescribimos la expresión 6x+18=6x+3·6 y observamos que el 6 es común a
los dos términos.
En general, ¿cómo factorizamos este tipo de expresiones?
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Semana 7
Factorización. Parte I
Se debe transformar la expresión polinómica dada en un producto, donde
uno de los factores es común entre todos los términos y el otro se obtiene al
dividir cada término del polinomio “original” entre el factor común.
Fíjate en la factorización del siguiente polinomio: 7m3z-21m2nz-56m2z
El M.C.D. de (7, 21,
56)=7, luego el factor
común es 7m2z
Observa que m2z está en cada término, además los coeficientes son múltiplos de 7. Así
el factor común es 7m2z. Otra manera es calcular el máximo común divisor de los coeficientes y multiplicarlo por la menor potencia
de mz (en este caso es m2z).
(7m3 z)/(7m2 z)−
(21m2 nz)/(7m2 z)−
(56m2 z)/(7m2 z)=
m−3n−8
Se divide cada término del polinomio entre
el factor común.
El polinomio es igual al producto del factor
común por el polinomio obtenido en el paso
anterior.
7m3z-21m2nz-56m2z =
7m2z · (m-3n-8)
Relacionemos este caso con algunas de las formas de la función cuadrática,
por ejemplo y=6x2+24x. Si tienes que hallar el punto de corte con el eje de las
x, ¿qué tienes que hacer? Debes sustituir y=0 en la función, obteniendo así la
ecuación de segundo grado: 0=6x2+24x. Cuando estudiamos la función cuadrática resolvimos esta ecuación mediante la fórmula general:
x=
-b±
b2-4ac
2a
Esta fórmula fue abordada en semestres anteriores. Veamos que es posible resolverla aplicando factor común: 0=6x(x+4). Cuando el producto de los
factores es cero, al menos una de las cantidades es cero, así 6x=0 o x+4=0;
al despejar la x de ambas ecuaciones, resulta que x=0 o x=-4. Es importante
observar que en 6x2+24x=6x(x+4) el miembro derecho es la factorización y
está expresado como el producto de dos factores de menor grado, 1, que el
polinomio original, cuyo grado es 2.
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Semana 7
Factorización. Parte I
Caso 2. Factorización por grupos
Observa la siguiente expresión3xy+15x-4y-20
¿Hay factor común? Puede darse el caso que aunque no aparece factor común en todos sus términos, es posible factorizarlo en grupos iguales de términos y luego se aplica el caso 1.
El polinomio de 4 términos puede factorizarse en dos grupos, se eligen de
tal manera que los polinomios que quedan al factorizarlos (factor común)
sean iguales, como se muestra a continuación:
(3xy+15x)+(-4y-20)
3x(y+5)-4(y+5)
(3x-4) (y+5)
Otro ejemplo más: a(m+4n)+bm+4bn
Agrupamos los términos:
=a(m+4n)+b(m+4n) Factor común a y b
=(a+b)(m+4n)
Factorizamos (m+4n)
Caso 3. Diferencia de cuadrados
Dado el siguiente polinomio: 9z2-16 ¿es posible escribirlo como el producto
de dos factores? Revisa la semana 5, donde abordamos productos notables
en este semestre. El caso del producto notable de la suma por su diferencia es
igual a la diferencia de cuadrados, es decir:
(x-a) (x+a) = x2 -a2(1)
Suma por su diferencia
Diferencia de cuadrados
La expresión 9z2-16 es una diferencia de cuadrados. Al reescribirla (3z)2-42,
se corresponde con el miembro derecho de la igualdad notable (1), así que su
factorización de (3z) 2-42 viene dada por el miembro izquierdo: (3z-4)(3z+4).
En general, para factorizar diferencia de cuadrados se halla la raíz cuadrada
de cada término, y se escriben estos dos valores como el producto de la suma
por su diferencia.
121n2-169m2= (11n+13m)(11n+13m)
121n2=11n x11n
169m2=13mx13m
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Se obtiene la raíz cuadrada
Semana 7
Factorización. Parte I
Observa otro ejemplo más:
1 a4-64b6= ( 1 a2)2 - (8b3)2 Re-escribiendo.
3
9
1 2
1 2
=(
a +8b3) (
a - 8b3) Aplicando la diferencia de cuadrados.
3
3
Caso 4. Trinomios cuadrados perfectos
De acuerdo a lo estudiado en el tema de productos notables, sabes que el
cuadrado de un binomio es (a±b)2=a2±2ab+b2, donde el lado derecho de la
igualdad se denomina trinomio cuadrado perfecto y se puede escribir como
un cuadrado de una suma o diferencia.
¿Cómo identificar si el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto? Observa
el procedimiento a través del siguiente ejemplo: 4y2+81z2+36yz.
4y2-36yz+81z2
4y2
81z2
El primer y el segundo término son cuadrados perfectos.
Raiz
2y
9z
2·2y·9z= 36yz
Ordenas el trinomio en forma decreciente
con respecto a una variable.
Y si el segundo término es el doble producto
de las raices cuadradas de los términos, entonces el polinomio es un trinomio cuadrado
perfecto.
Un número cuadrado perfecto es aquel
cuya raíz cuadrada es un número entero.
Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto, ya que 9=3
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Semana 7
Factorización. Parte I
¿Cómo se factorizan?
Se extrae la raíz cuadrada del primer y el tercer
término (ordenado).
Verificar que el producto doble de las raices
sea igual al segundo
término.
Se forma una suma (o
resta) de las raices elevada al cuadrado, si el
segundo término del
trinomio es positivo (es
negativo).
Factoricemos el siguiente polinomio:
49x2-140x+100
Se ordena 49x2-140x+100
La raíz cuadrada de 49x2, es 7x. La raiz de
100, es 10.
El doble producto de ambas 2·7x·10=140x
A=
(7x-10)2=(7x-10)(7x-10)
La expresion factorizada es:
49x2-140x+100=(7x-10)2
La función cuadrática puede aparecer también como trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, la función y=x2+12x+36, puede factorizarse así:
y=x2+12x+36=(x+6)2. Esta forma es muy útil para buscar el punto de corte con
el eje x, 0=(x+6)2. No tienes necesidad de aplicar la fórmula general. Observa
que el único valor que anula al miembro derecho es -6, con lo cual la parábola
tiene un punto de corte con el eje x.
Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias
Las fracciones algebraicas son aquellas en que su numerador y denominador son polinomios.
Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, primero se factorizan
numerador y denominador, de acuerdo a los casos estudiados y luego se dividen (o cancelan) las expresiones iguales que aparecen en el numerador y
denominador. Veamos algunos ejemplos simplificando las siguientes expresiones algebraicas:
(a3-36a)
1. (2a2-20a+72)
(a -36a)
(2a2-20a+72)
3
200
Diferencias
de cuadrados
=
a(a -36)
2(a2-10a+36)
Trinomio cuadrado
perfecto
2
Se “sacó” factor común tanto en el numerador como en el
denominador.
Semana 7
Factorización. Parte I
=
a(a-6)(a+6)
2(a2-10a+36)
=
a(a-6)(a+6)
a(a+6)
=
2(a-6)(a-6)
2(a-6)
2.
=
a(a-6)(a+6)
2(a-6)2
Se identifica los casos
de factorización y se
procede a resolver.
Se usaron propiedades de la potencia
(a-6)
para cancelar:
=(a-6)1-1=(a-6)0=1
(a-6)
x2+2xy
x(x+2y)
x(x+2y)
x(x+2y)
x
= 2
=
=
=
2
x +2xy-4x-8y (x +2xy)-(4x+8y) x (x+2y)-4(x+2y) (x-4) (x+2y) x-4
Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización empleados.
3. Halla las soluciones de 2z3-16z2+32z=0
La ecuación está igualada a cero. Hay que factorizar e igualar sus factores
a cero y resolver en términos de z.
z(z− 4)2=z(z− 4)(z-4)=0
2z (z2-8z+16)=0
z=0, z-4=0 z=4
Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización empleados.
Para saber más…
En la siguiente dirección web http://goo.gl/hrrDS puedes visualizar
cómo resolver las ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización.
Aplica tus saberes
Retoma el problema propuesto al inicio, pues tienes los conocimientos necesarios para darle solución, factorizando la expresión: 2x3-20x2+50x. Observa
que x aparece en los tres términos, ¿qué casos aplicarías?
Comprobemos y demostremos que…
1. Entrega a tu facilitador estos ejercicios factorizando las expresiones,
usando el caso más conveniente.
a) 20x3y2+25x2y3
b) 10a4b5x3+35a2b7x2
c) x(3ª+1)+6a+2
d) y(5x+2)-15x-6
e) x2-2x+1
f ) y2+6xy+9x2
g) 100y -49y
h)16a -9
6
4
2
201