Clase 2 numeros racionales - DME-UFRO

NÚMEROS RACIONALES
Números racionales
a
Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números enteros y b
b
distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.
na
o
Q=
/a, b ∈ Z ∧ b 6= 0
b
a
Un número racional de la forma es también llamado fracción, donde a y b se llaman numerador
b
y denominador respectivamente.
a
Definición (Fracciones equivalentes): Diremos que la fracción es equivalente a la fracción
b
c
si y sólo si a · d = c · b, es decir,
d
a
c
a c
, ∈ Q,
= ⇔a·d=c·b
b d
b
d
Operatoria
Al igual que los números naturales y enteros, los números racionales son cerrados para la suma y
la multiplicación.
Suma
Al sumar dos o más fracciones, tenemos dos casos posibles:
Todas las fracciones tiene el mismo denominador: En este caso sólo debemos sumar los numeradores y conservar el denominador.
Fracciones con distinto denominador: Para sumarlas debemos transformarlas a fracciones
con denominador común a través de la amplificación (generalmente es el M.C.M. entre los
denominadores) y luego proceder como el caso anterior.
Ejemplo
3 5 7
9
10 −28
9 + 10 − 28
9
3
+ − =
+
+
=
=− =−
4 6 3
12 12
12
12
12
4
Observación:
1. El inverso aditivo (u opuesto) de
a
a
−a
a
es − , el cual se puede escribir también como
o
b
b
b
−b
b
A·c+b
2. El número mixto A representa a la fracción:
c
c
Multiplicación
En la multiplicación de fracciones, la fracción resultante es la que tiene en el numerador el producto
de todos los numeradores de las fracciones involucradas y en su denominador el producto de todos
los denominadores de las mismas fracciones involucradas, esto es:
Ejemplo
an
a1 · a2 · a3 · ... · an
a1 a2 a3
·
·
· ... ·
=
b1 b2 b3
bn
b1 · b2 · b3 · ... · bn
2 4
8
· =
3 5
15
Observación
El inverso multiplicativo o recı́proco de
a −1
a
b
es
= , con a 6= 0
b
b
a
División
a c
Sean , ∈ Q, b, c, d 6= 0, se define la división de fracciones de la siguiente manera:
b d
a d
ad
a c
: = · =
b d
b c
bc
Definición (Fracción irreducible)
Diremos que una fracción es irreducible si el máximo común divisor entre el numerador y el denominador es 1, es decir, el numerador y el denominador son primos relativos entre sı́.
Definición (Amplificación)
La amplificación corresponde al proceso mediante el cual una fracción se trasforma en otra equivalente multiplicando el numerador y denominador por un mismo número natural no nulo.
Podemos hacer notar que este proceso es de mucha utilidad cuando se quiere igualar el denominador de dos o más fracciones que se están sumando.
Ejemplo: Si queremos realizar la siguiente suma: 43 + 65 − 73 debemos darnos cuenta que todas
las fracciones involucradas pueden escribirse como fracciones equivalentes con denominador 12, de
esta manera
3
3·3
9
5
5·2
10
7
7·4
28
=
= ,
=
= ,
=
=
4
4·3
12
6
6·2
12
3
3·4
12
Con lo cual la suma de fracciones inicial quedará escrita de la siguiente forma, que resolveremos
más adelante.
9
10 28
3 5 7
+ − =
+
−
4 6 3
12 12 12
Definición (Simplificación)
La simplificación corresponde al proceso mediante el cual una fracción se transforma en otra equivalente dividiendo numerador y denominador por un mismo número natural no nulo. Para esto es
necesario que el numerador y el denominador sean múltiplos de ese número. En caso contrario se
dice que la fracción no se puede simplificar y se convierte en una fracción irreductible.
Ejemplo: Al simplificar la fracción 18
la podemos simplificar por 2, por 3 y por 6 lo más conveniente
24
en este caso es simplificar inmediatamente por 6 obteniéndose 43 la cual es una fracción irreducible.
Relación de orden en Q
Sean
a
c
a c
, ∈ Q y b, d ∈ Z+ , entonces ≥ ⇔ ad ≥ bc
b d
b
d
Observaciones
1. Para comparar números racionales, tambien se pueden utilizar los siguientes procedimientos:
a) Igualar numeradores.
b) Igualar denominadores.
c) Convertir en número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
Números Decimales
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo
decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.
a. Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0, 425 tiene 3
cifras decimales.
b. Son aquellos que están formados por la parte entera y el perı́odo. Ejemplo: 0, 4444 · · · = 0, 4
c. Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperı́odo y el perı́odo. Ejemplo:
24, 4232323 · · · = 24, 423
Operatoria con números decimales
1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales
se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal
bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.
Ası́ por ejemplo:
0, 19
3, 81
+ 22, 2
26, 20
2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales,
se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de
derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.
Ası́ por ejemplo:
3, 21 · 2, 3
963
642
7, 383
3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar
el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.
Ası́ por ejemplo, 2, 24 : 1, 2 se amplifica por 100 resultando 224 : 120 y se divide como
números enteros.
Transformación de Decimal a Fracción
Existen tres casos posibles:
Decimal finito a fracción: Para transformar un número decimal finito a fracción se procede
de la siguiente manera, el número decimal queda expresado como la fracción que en su
numerador está formado por todo el número sin la coma decimal y el denominador por la
potencia de 10 que tiene tantos ceros como cifras decimales existan.
La justificación de esta regla podemos verla en el siguiente ejemplo: Sea x = 4, 4713 multiplicamos x por 10000 y obtenemos 10000x = 44713 despejando x obtenemos lo buscado
x = 4, 4713 =
44713
10000
Ejemplo
0, 123 =
123
1000
2, 13 =
213
100
−3, 1 = − 31
.
10
Decimal periódico a fracción: Para transformar un número decimal periódico a fracción, el
numerador de la fracción resultante esta formado por la diferencia entre el número completo,
sin la coma decimal y la parte entera del número decimal (todo lo que no está en el periodo)
y el denominador corresponde a un número entero formado por tantos nueves como cifras
tenga el periodo.
La justificación de esta regla podemos verla en el siguiente ejemplo, sea x = 1, 7, multiplicamos x por 10 (una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tiene el periodo), para luego
restar x al resultado. Quedando:
10x − x = 17, 7 − 1, 7 tenemos entonces que
9x = 16 despejando x llegamos a que
x = 1, 7 =
16
9
Ejemplo
1, 34 =
134 − 1
133
=
99
99
−2, 321 = −
2321 − 2
2319
=−
999
999
Decimal semiperiódico a fracción: Para transformar un número decimal semiperiódico a fracción, el numerador de la fracción resultante está formado por la diferencia entre el número
completo sin la coma decimal y la parte del número que no pertenece al periodo (sin la coma decimal) y el denominador está formado por tantos nueves como dı́gito tiene el periodo,
seguido por tantos ceros como números hay entre la coma decimal y el periodo (anteperiodo).
Por ejemplo, sea x = 12, 237 multiplicamos x por 100 (una potencia de 10 con tantos ceros
como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo:
100x = 1223, 7
(1)
con lo cual obtenemos un número periódico, el cual multiplicamos por 10 (una potencia de
10 con tantos ceros como cifras tiene el periodo) resultando:
1000x = 12237, 7
(2)
luego al restar (1) de (2), nos queda:
1000x − 100x = 12237, 7 − 1223, 7
900x = 11014 de donde obtenemos el resultado despejando x
x = 12, 237 =
11014
900
=
5507
450
Ejemplo
0, 421 =
421 − 42
379
=
900
900
−1, 568 = −
1568 − 15
1553
=−
990
990
Aquellos decimales que no se pueden
expresar como fracción pertenecen al conjunto de números
√
irracionales, como por ejemplo 2.
Aproximaciones
Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación con
menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.
Redondeo
Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dı́gito que se conserva
(redondeo por exceso), si el primero de los dı́gitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera
cifra a eliminar es menor que 5, el último dı́gito que se conserva se mantiene (redondeo por
defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los
números 4, 748 y 9, 5237 se obtiene 4, 75 y 9, 52 respectivamente.
Truncamiento
Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha dela
última cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número
2, 5698 resulta 2, 56.
Estimaciones
Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a
las dadas, reemplazando dı́gitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).
Ejercicios
1. 5 ·
0, 05
0, 5
a) 0, 5
b) 0, 05
c) 0, 005
d ) 50
e) 500
2
5
3
2. El orden de los números a = , b = y c = de menor a mayor es:
3
6
8
a) a < b < c
b) b < c < a
c) b < a < c
d) c < a < b
e) c < b < a
3. 40 − 20 · 2, 5 + 10 =
a) 0
b) −20
c) 60
d ) 75
e) 250
4.
9 3
− =
8 5
a) 0, 15
b) 0, 5
c) 0, 52
d ) 0, 525
e) 2
5. El resultado de la operacion 3, 9 − 12, 9 es un número:
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d ) Solo I y II
e) Solo I y III
I) Racional
II) Natural
III) Entero
6.
1
3
− 0, 75
8
a)
b)
c)
d)
e)
+
1
3
− 0, 25
8
=
15
3
16
3
16
−
3
4
8
3
7. Si t = 0, 9 y r = 0, 01, entonces
t−r
=
r
a) 0, 89
b) 0, 9
c) 8, 9
d ) 89
e) Ninguno de los valroes anteriores.
1
1
1
= − , si P y R se reducen a la mitad, entonces para que se mantenga
P
Q R
el equilibrio, el valor de Q se debe:
8. En la igualdad
a) Duplicar.
b) Reducir a la mitad.
c) Mantener igual.
d ) Cuadruplicar.
e) Reducir a la cuarta parte.
9. Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe que cobran $ 1.000 por jugar
media hora de pool y $ 600 por media hora de internet, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a) Solo III
b) Solo I y II
c) Solo I y III
d ) Solo II y III
e) I, II y III
I) Juan puede jugar a lo mas 3 horas de pool.
II) Juan puede conectarse a lo mas 5 horas a internet.
III) Juan puede jugar 1, 5 horas de pool y conectarse
2, 5 horas a internet.
10.
1 1 1
+ + =
x x x
a) 3
1
b) 3
x
3
c)
x
1
d)
3x
3
e) 3
x
1
11. Si P = RH, entonces H −1 es igual a:
2
a)
b)
c)
d)
e)
12.
2P
R
R
−
2P
2P
−
R
2R
P
R
2P
2
2
+
es:
0, 1 0, 01
a) 220
b) 0,55
c) 22
d ) 2,2
e) 55
13.
2, 6 − 2 · 3, 8
=
2, 6 · 6 + 3, 8
a) −
1
3
5
19, 4
5
c)
19, 4
2, 28
d)
19, 4
7, 6
e)
9, 8
b) −
14. En las operaciones que se indican ¿Qué resultados están correctos?
1
3
I) 3 · =
a) SÓLO I Y IV
2
2
b) SOLO II Y III
c) SÓLO III Y IV
d ) SÓLO I Y III
e) TODOS SON INCORRECTOS
II) 3 ÷
1
1
=
2
6
III)
1
1
·3=
2
2
IV)
1
1
÷3=
2
6
50
+ 0, 5
=
15. 100
0, 5 · 2
a) 10
b) 1
c) 0,1
d ) 0,25
e) 0,75
5
16. Un dı́a asistieron a clases de los alumnos de un curso compuesto por 36 estudiantes ¿cuántos
9
alumnos faltaron a clases ese dı́a?
a) 20
b) 16
c) 14
d ) 12
e) 6
17. Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta entre las fracciones:
3
3
3
p=
t=
r=
a
a−1
a+1
a) p < t < r
b) r < p < t
c) t < r < p
d) r < t < p
e) p < r < t
18. Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $a y
9 litros del licor Q valen $b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
a+b
3
a+b
$
5
$(2a + 2b)
3a + 2b
$
18
5 · (3a + 2b)
$
18
a) $
b)
c)
d)
e)
1
19. Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 2 litros. ¿Cuántos litros le
3
faltan para llenarlo?
1
3
2
2
3
3
2
2
1
3
3
2
1
3
a) 2
b)
c)
d)
e)
20. El doble de p es
1
1
y el triple de r es , entonces 8p + 6r =
4
2
a) 8
b) 16
1
c)
8
1
d)
16
e) 2
21. Se define a ∗ b =
a)
b)
c)
d)
e)
1
, entonces a ∗ (b ∗ c) es igual a:
ab
1
abc
a
bc
bc
a
ab
c
c
ab
a
22. Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sı́ y distintos de cero. Si P = + d y
b
a
Q = + d, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)?
c
a) Sólo I
b) Sólo III
c) Sólo I y III
d ) I, II y III
e) Ninguna de ellas.
I) P − Q 6= 0
II)
P
c
=
Q
b
III) P · Q =
a2
+ d2
bc
1
23.
1
1+
1+
a)
b)
c)
d)
e)
=
1
1+1
5
2
2
5
1
3
5
1
5
24. Tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3 segundos, Arturo 11,02
segundos y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a) Solo I
b) Solo I y II
c) Solo I y III
d ) Solo II y III
I) Javier llegó después de Marcelo
II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundos
de diferencia al llegar a la meta
III) Arturo llegó primero
e) I, II y III
25. En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea
preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para obtener
cuántos gramos de azúcar se necesitan?
a) 33, 3
b) 200
c) 1.200
d) 6
e) 0,03
26. ¿Cuánto es la octava parte de 0, 4?
a) 0,8
b) 0,5
c) 0,20
d ) 0,08
e) 0,05
5
27. ¿Cuántos séptimos son equivalentes a 2 ?
7
a) 19
b) 17
c) 14
d ) 10
e) 5
28. El valor de la expresión
4·5−2·7+1
es:
10
a) −2
4
b) −
10
4
c)
10
5
d)
10
7
e)
10
3
29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de de litro, todas llenas y otra con cuatro botellas
4
1
de 1 de litro, todas llenas también. ¿Cuál es el número de botellas de medio litro con las
4
que se puede envasar todo el lı́quido?
a) 5
b) 9
c) 10
d ) 19
e) 20
30. Sea n un número entero, ¿cuál de las afirmaciones siguientes es (son) siempre verdadera(s)?
a) Solo I
n+3
I)
es racional.
n−2
b) Solo II
c) Solo III
d ) I y II
e) Ninguna de las anteriores.
II)
III)
n+3
es una fracción impropia.
n−2
1
n+3
=−
n−2
2