Análisis Matemático I

Análisis Matemático I
por Marı́a Luisa Pérez Seguı́
Introducción
Se presenta aquı́ el material correspondiente a un primer curso en Análisis Matemático. Se
intercalan numerosos ejemplos inmediatamente después de que se ha introducido un concepto
nuevo, de manera que sea más completa la comprensión del concepto. Se proponen también
diversos ejercicios; algunos de ellos son rutinarios, mientras que la solución de otros requiere
de un mayor esfuerzo, imaginación y dedicación.
En la primera sección se establecen los conceptos básicos del conjunto de los números
reales. En ella se estudia el conjunto de los números reales en comparación con otros sistemas
numéricos. En particular se trata su tamaño, su orden y su estructura algebraica.
En la segunda sección, además de definir los conceptos más básicos en topologı́a general,
se estudian las peculiaridades topológicas del espacio euclidiano; en particular se demuestran
los importantes teoremas de Bolzano Weierstrass, de Heine Borel, de intersección de Cántor,
de la cubierta de Lebesgue y del punto más cercano.
La sección número 3 estudia el tema de sucesiones. Se dan criterios de convergencia.
En la sección 4 se inicia dando un resumen de las propiedades básicas de las funciones.
Posteriormente se da la definición de continuidad y se estudia la relación con los conceptos
topológicos definidos en las secciones anteriores. Aquı́ se demuestran los teoremas del punto
más cercano y del valor intermedio. También se tratan los temas de continuidad uniforme y
de sucesiones de funciones (y convergencia uniforme).
En las sección 5 se da la definición de espacio métrico y se hace una comparación con el
estudio del espacio euclidiano, estableciendo las posibles generalizaciones a espacios métricos.
El material de estas notas constituyó el curso del mismo nombre impartido en la Facultad
de Ciencias de Fı́sico-Matemáticas de la Universidad Michoacana durante el primer semestre
de 2008.
i
Índice
Introducción
I
1. El conjunto de los números reales
1
ii
1.
El conjunto de los números reales
En cursos previos hemos tenido oportunidad de familiarizarnos con los números reales y
con otros sistemas numéricos pero no han quedado establecidos, de manera formal, muchos
conceptos. Una formalización completa de esos conceptos corresponde a un curso de Lógica;
nosotros trataremos de hacer algo intermedio, buscando acercarnos, mediante la intuición,
a los axiomas formales. Analizaremos de esta manera la diferencia entre el conjunto de los
números reales y otros sistemas numéricos. Veremos las diferencias como conjuntos, compararemos los tamaños, y también estudiaremos sus diferencias como estructuras algebraicas y
como conjuntos ordenados.
Los sistemas numéricos que hemos trabajado con frecuencia son:
N = {1, 2, 3, . . .}, el conjunto de los números naturales.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}, el conjunto de los números enteros.
Q = { ab : a, b ∈ Z, b 6= 0}, el conjunto de los números racionales. Aquı́ debe considerarse
que ab = dc si y sólo si ad = bc.
R = {A.a1 a2 ... : A ∈ Z, an ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 9}} para n ∈ N, el conjunto de los números
reales. Aquı́ también debe considerarse que hay repeticiones cuando hay “colas” de 00 s o
90 s (por ejemplo 23.04999 . . . = 23.05000 . . .). R es el conjunto de “lı́mites” de racionales, de
manera que los reales nos sirven para medir distancias (con signo) y podemos representar a
los reales en una recta numérica y viceversa. Los elementos de R \ Q se llaman irracionales.
C = {(a, b) : a, b ∈ R}, el conjunto de los números complejos.
Diferencias como conjuntos.
1.1 Observación. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C y estas inclusiones son propias.
Demostración. Es claro que −1 ∈ Z \ N; 21 ∈ Q \ Z. También, para considerar R como
subconjunto de C se piensa que los elementos reales de C son los que tienen su segunda
coordenada igual a 0 (y es obvio que la
√ contención es propia). Para probar que
√ Q está contenido propiamente en R veamos que 2 no pertenece a Q. Supongamos que 2 = ab , con a
y b enteros sin factores en común; entonces, despejando y elevando al cuadrado tenemos que
2b2 = a2 , de donde a es par: a = 2c; pero entonces 2b2 = 4c2 , ası́ que b2 = 2c2 y entonces b
1
es par, contradiciendo nuestra suposición de que a y b no tienen factores en común. ♦
Diferencias por tamaño
Veremos aquı́ que N, Z y Q tienen el mismo tamaño pero que el tamaño de R es mayor.
Debemos precisar qué significa esto del tamaño o cardinalidad de manera medianamente
formal.
Dados dos conjuntos A y B, decimos que el cardinal de A es menor o igual que el
de B, en sı́mbolos |A| 4 |B| o ]A 4 ]B , si existe una función inyectiva de A en B.
Sea f : A → B una función. Recordemos que f es inyectiva si para a1 , a2 ∈ A distintos
se tiene que f (a1 ) 6= f (a2 ). Decimos que f es suprayectiva si el conjunto imagen, Im(f ),
definido por
Im(f ) = {f (a) : a ∈ A},
es todo B. Recordemos también que f es inyectiva si, y sólo si, tiene inversa izquierda, es
decir, existe g : B → A que cumple con que g ◦ f es la función idéntica en A, idA : A → A,
dada por idA (a) = a para todo a ∈ A) y que f es suprayectiva si, y sólo si, f tiene inversa
derecha (es decir, si existe g : B → A que cumple con que f ◦ g = idB . (Ver [Notas de clase
de Álgebra Superior I].)
1.2 Observación. |A| 4 |B| si, y sólo si, existe una función suprayectiva de B en A.
Demostración. Para esto sólo basta notar que si g ◦ f = idA entonces f es inyectiva y g
es suprayectiva. ♦
Dados dos conjuntos A y B decimos que A y B tienen la misma cardinalidad, |A| = |B|,
si existe una función biyectiva de A en B.
1.3 Observación. Es fácil ver que la “relación” 4 entre cardinales es reflexiva (|A| 4 |A|
porque le función idA es inyectiva), transitiva (pues la composición de funciones inyectivas
es inyectiva); también es antisimétrica, lo cual no es obvio y es el contenido del Teorema
de Schroeder-Bernstein que se demuestra en un curso de Teorı́a de Conjuntos); la razón
por la que no es obvio es que es fácil construir funciones f : A → B y g : B → A ambas
inyectivas, aun cuando ninguna de las dos sea biyectiva (por ejemplo tomando A = B = N
y f = g : N → N definidas por f (n) = g(n) = 2n para toda n ∈ N. El ejemplo que dimos
es muy trivial y resulta rebuscado pues la función idéntica es biyectiva; sin embargo, más
adelante probaremos que |N| = |Q| dando funciones inyectivas de uno en otro (y no es obvio
cómo construir una función biyectiva entre ambos).
2
Decimos que un conjunto A es numerable si |A| = |N|. Al cardinal de N se le llama alef
0 y se le denota por ℵ0 .
1.4 Proposición. Si A y B son numerables, entonces A ∪ B también lo es.
Demostración. Consideremos una función biyectiva de N en A y llamemos an a la imagen
del natural n bajo esta función. De esta manera podemos escribir A = {a1 , a2 , a3 , . . .} (y
en esta escritura no hay repeticiones). Análogamente, el que B sea numerable nos dice que
podemos “numerar” los elementos de B: B = {b1 , b2 , b3 , . . .}. Entonces, al escribir A ∪ B =
{a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , . . .} estamos numerando los elementos de A ∪ B, con la salvedad de que
puede haber repeticiones (pues A y B podrı́an tener elementos en común); sin embargo esto
no es problema porque la numeración que dimos es lo mismo que haber establecido una
función suprayectiva de N en A ∪ B: 1 7→ a1 , 2 7→ b1 , 3 7→ a2 , . . . ası́ que, por la proposición
que demostramos arriba, |A ∪ B| 4 |N| y, como es obvio que |N| = |A| 4 |A ∪ B| (pues la
función inclusión i : A → A ∪ B definida por i(a) = a para todo a es inyectiva), el Teorema
de Schroeder-Bernstein nos da el resultado. ♦
1.5 Corolario. Z es numerable.
Demostración. Tomar A = {0, −1, −2, −3, . . .} y B = N. ♦
1.6 Proposición. Si A y B son numerables, entonces también lo es el producto cartesiano de ellos A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Demostración. Sean A = {a1 , a2 , a3 , . . .} y B = {b1 , b2 , b3 , . . .}. Escribamos los elementos de A × B en una tabla y numerémoslos en zigzag siguiendo las flechas como indica el
esquema: ♦
3
1.7 Proposición. Q es numerable.
Demostración. Podemos establecer una función suprayectiva de N × N en el conjunto de
los racionales positivos por (m, n) 7→ m
. El resto de la demostración se deduce fácilmente de
n
las proposiciones anteriores. ♦
1.8 Nota. Observemos que hemos probado que el conjunto de los racionales es numerable utilizando el Teorema de Shroeder-Bernstein, y que no es obvio cómo dar una función
biyectiva entre N y Q.
1.9 Proposición. R no es numerable.
Demostración. Supongamos que sı́ lo es y demos una numeración para los elementos
positivos de R:
A1 = B1 .b1,1 b1,2 b1,3 · · ·
A2 = B2 .b2,1 b2,2 b2,3 · · ·
A3 = B3 .b3,1 b3,2 b3,3 · · ·
..
.
Construyamos un elemento c = 0.c1 c2 c3 ∈ R que no esté en esta numeración tomando: cn
cualquier dı́gito distinto de 0, 9 y de bn,n . ♦
Dentro de la Teorı́a de Conjuntos se prueba que hay conjuntos con cardinal mayor que
el de R. Otra idea importante en este sentido es la pregunta de si hay conjuntos que tienen
cardinalidad intermedia entre la de N y la de R. Se prueba que la existencia o no es independiente de la axiomática más estándar de la Teorı́a de Conjuntos. En ciertos contextos
se toma la no existencia como axioma y se le llama hipótesis del continuo. Todo esto
corresponde a un estudio muy complicado dentro de la Lógica.
Diferencias algebraicas
Las diferencias algebraicas principales son: En N no hay inversos aditivos (en los otros
sı́); en Z no hay inversos multiplicativos (en Q y en R sı́ para elementos distintos de 0). La
diferencia entre Q y R es de tipo geométrico: en Q no todo se puede medir (en R sı́).
1.10 Proposición. Un número real es racional si y sólo si su expansión decimal es
periódica.
4
Demostración. Para ver que si un número real tiene una expansión periódica, entonces el
número es racional, llamemos x al número; es claro que lo podemos multiplicar por potencias
apropiadas de 10 de tal manera que al restar una de otra se elimine el periodo, y después
despejar x de una expresión de enteros: por ejemplo, si x = 3.825, entonces 103 x − 10x =
. Para ver el recı́proco, sea ab el número considerado,
3825.25 − 38.25 = 3787, ası́ que x = 3787
990
donde a y b son enteros y b 6= 0; al hacer la división según el algoritmo usual, los residuos
que van quedando son enteros entre 0 y b − 1, ası́ que forzosamente deberá haber alguna
repetición; a partir de ese momento, los cocientes y los residuos que se van obteniendo van
formando un periodo de repetición. ♦
Propiedad (R1). R es un campo, es decir, en R hay dos operaciones binarias: + (suma)
y · (producto) que satisfacen:
(1) Hay neutro para + llamado neutro aditivo, es decir, un elemento 0 tal que a + 0 =
0 + a = a para todo real a.
(2) Hay inversos aditivos, es decir, dado a real existe otro real que denotamos por −a
que satisface a + (−a) = (−a) + a = 0.
(3) La suma es asociativa, es decir, para a, b, c ∈ R se tiene que (a + b) + c = a + (b + c).
(4) La suma es suma!conmutativa, es decir, para a, b ∈ R se tiene que a + b = b + a.
(5) Hay neutro para · llamado neutro multiplicativo, es decir, un elemento 1 tal que
a · 1 = 1 · a = a para todo real a.
(6) Hay inversos multiplicativos para todos los elementos distintos de 0, es decir, dado
a real no cero existe otro real que denotamos por a1 que satisface a · a1 = a1 · a = 1.
(7) El producto es asociativo, es decir, para a, b, c ∈ R se tiene que (a · b) · c = a · (b · c).
(8) El producto es conmutativo, es decir, para a, b ∈ R se tiene que a · b = b · a.
(9) Se satisface la propiedad distributiva del producto sobre la suma es decir,
para a, b, c ∈ R se tiene que a · (b + c) = a · b + a · c.
Las propiedades algebraicas que nosotros conocemos y hemos usado ya innumerables
veces se deducen de las propiedades de campo. Enunciaremos algunas a continuación.
1.11 Proposición. (a) Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0; vale la cancelación aditiva y
multiplicativa (de elementos no cero).
(b) a · 0 = 0.
(c) 0, 1 y los inversos aditivos y multiplicativos son únicos.
(d) −(a + b) = (−a) + (−b), −a = (−1) · a, −(−a) = a, (−1) · (−1) = 1,
a 6= 0), (−a) · (−b) = a · b,
1
−a
=
− a1 .
5
1
1
a
= a (para
Demostración. Probaremos como ilustración algunas de ellas; las demás se dejan como
ejercicio para el lector.
En (b), a · 0 + 0 = a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 de donde, sumando el inverso aditivo
de a · 0, obtenemos el resultado.
En (c), para probar que sólo hay un neutro aditivo, supongamos que 00 y 000 son neutros.
Entonces 00 = 00 + 000 = 000 , en donde en la primera igualdad utilizamos que 000 es neutro y
en la segunda, que 00 lo es.
En (d), la propiedad −a = (−1)·a afirma que (−1)·a es el inverso aditivo de a (aquı́ −1 es
el inverso aditivo de 1), lo cual es fácil de comprobar sumando a con él y usando la propiedad
distributiva. ♦
Diferencias como conjuntos ordenados
Empezaremos esta parte recordando algunas propiedades de las relaciones, en particular
trabajaremos propiedades de la relación de orden.
Formalizaremos aquı́, en términos de conjuntos, lo que significa una relación; nosotros
hemos trabajado ya innumerables ejemplos de relaciones: por ejemplo, dentro del conjunto
de las personas podemos hablar de la relación ”ser hermano de”; también las funciones son
relaciones entre conjuntos (si f : A → B es función, relacionamos cada elemento a ∈ A con
su imagen f (a)).
Una relación de un conjunto A a un conjunto B es un subconjunto R del producto
cartesiano. Si (a, b) ∈ R decimos que a está relacionado con b y escribimos aRb.
La definición que acabamos de dar resulta poco natural; sin embargo, para tener bien
estructuradas las Matemáticas deben ponerse en un lenguaje axiomático, basado en la Teorı́a
de Conjuntos, todos los conceptos. Desde luego, una vez que ya queda bien establecido el
concepto, uno lo usa tranquilamente de manera más ligera (no hacerlo le impedirı́a avanzar
y harı́a la teorı́a muy tediosa). En los ejemplos que daremos a continuación empezaremos
haciendo estableciendo cómo algunas relaciones que nos son familiares se pueden ver como subconjuntos de un producto cartesiano; posteriormente definiremos algunas relaciones
importantes en Matemáticas de manera más informal.
1.12 Ejemplo. (a) En la relación “ser hermano de”, los conjuntos A y B son conjuntos
de personas y (a, b) ∈ R ⇔ a es hermano de b.
(b) En la relación dada por la función f : A → B, donde A es el conjunto de los paı́ses,
6
B es el conjunto de las ciudades y f (a) = capital de a, la relación tiene por elementos
a las parejas (a, f (a)), variando a en el conjunto de paı́ses. Notemos que la costumbre es
considerar a este conjunto relación como la gráfica de la función (en este nuevo lenguaje,
ambos conceptos son uno mismo).
(c) Si A = B = N la relación “ser múltiplo de” tiene por elementos (a, b) con a = xb para
alguna x ∈ N.
(d) Dado un conjunto Z, en su conjunto potencia P(Z), definido por
P(Z) = {X : X ⊂ Z}
podemos definir la relación de contención o inclusión es decir, decimos que X está relacionado con Y si y sólo si X ⊂ Y .
(e) En cualquier conjunto A se considera la relación de igualdad.
(f) Para A el conjunto de los triángulos en el plano, una relación importante es la relación
de semejanza.
(g) Dado un natural n, la congruencia módulo n es una relación en A = Z.
(h) En R es importante la relación “≤”.
1.13 Ejercicio. Dada una relación R ⊂ A × B, determinar condiciones necesarias y
suficientes para que R sea función, para que sea función inyectiva y para que sea función
suprayectiva.
En lo que sigue tomaremos los conjuntos A y B como uno mismo.
Una relación R en un conjunto A es:
Reflexiva si aRa para todo a ∈ A. En 1.12 son reflexivas las relaciones definidas en (c),
(d), (e) (f), (g) y (h).
Simétrica si aRb implica bRa. En 1.12 son simétricas las relaciones definidas en (a), (e),
(f) y (g).
Transitiva si aRb y bRc implica aRc. En 1.12 son transitivas las relaciones definidas en
(a), (c), (d), (e), (f), (g) y (h).
Antisimétrica si aRb y bRa implica a = b. En 1.12 son antisimétricas las relaciones
definidas en (c), (d), (e) y (h).
Orden parcial si es reflexiva, transitiva y antisimétrica. En 1.12 son orden parcial (c),
(d), (e) y (h).
Relación de equivalencia si es reflexiva, transitiva y simétrica. En 1.12 son relación
7
de equivalencia (e), (f) y (g).
La definición de antisimetrı́a es un poco más difı́cil de entender. Notemos, por ejemplo,
que la relación definida en (c) no es antisimétrica si se define en Z en lugar de N pues
5R(−5) y (−5)R5 pero 5 6= −5. También notemos que la relación “ser padre de” definida en
el conjunto de las personas es antisimétrica por vacuidad, es decir, el conjunto de elementos
que satisfacen la hipótesis (aRb y bRa) es vacı́o.
Las relaciones de equivalencia y los órdenes parciales son muy importantes en Matemáticas. A continuación profundizamos un poco sobre estos conceptos.
De costumbre, cuando se tiene una relación de equivalencia R, en lugar de escribir aRb
se pone a ∼ b y se dice que a es equivalente a b.
1.14 Observación. Si f : X → Y es una función, entonces la relación ∼ definida en X
por a ∼ b ⇔ f (a) = f (b) es relación de equivalencia. La relación es la misma si se cambia el
codominio de la función por la imagen, es decir, si se considera la función como suprayectiva.
Si un conjunto A es la unión de subconjuntos ajenos, A =
{Ai : i ∈ I} se le llama partición de A.
S
i∈I
Ai , al conjunto de los
1.15 Observación. Si {Ai : i ∈ I} es una partición del conjunto A, entonces en A
está definida de manera natural una relación a ∼ b ⇔ a y b son elementos del mismo Ai .
Recı́procamente toda relación de equivalencia ∼ en un conjunto A parte a A en subconjuntos
ajenos; cada uno de esos subconjuntos consiste de todos los elementos relacionados entre sı́.
Si a ∈ A, al conjunto de elementos relacionados con a se le llama clase de a y se le denota
usualmente por a o por [a].
Si ∼ es una relación de equivalencia en un conjunto A, a la partición {a : a ∈ A} se llama
cociente de A por la relación y se le denota por A/ ∼.
1.16 Observación. Si ∼ es una relación de equivalencia en un conjunto A y p : A →
A/ ∼ es la función definida por p(a) = a, entonces los elementos relacionados son precisamente los que tienen la misma imagen bajo la función p. Además la función p es suprayectiva.
A p se llama proyección natural de A en A/ ∼.
De las observaciones hechas aquı́ arriba tenemos que es esencialmente lo mismo el hablar
de relaciones de equivalencia, de particiones o de funciones suprayectivas.
1.17 Ejercicio. En cada una de las relaciones de equivalencia definidas en 1.12 determinar cuáles son las clases y cómo está definida la proyección natural.
El ejemplo clásico de orden parcial es el de ≤ en R o en algún subconjunto de R. Es
costumbre denotar cualquier orden parcial por este mismo sı́mbolo. Como muchos de nuestros
8
ejemplos son con números y no coincide la noción de ≤ con la del orden parcial que definimos,
para no confundir denotaremos por un orden parcial genérico.
Sea un orden parcial en un conjunto A. Decimos que:
es orden total (o cadena) si dados a, b ∈ A se tiene forzosamente que a b o b a.
Observemos que (c), (d) y (e) en 1.12 no son órdenes totales.
Un elemento a0 ∈ A es minimal c si (a a0 ⇒ a = a0 ).
Un elemento es a0 ∈ A es menor si para todo a ∈ A se tiene que a0 a
Análogamente, dado un orden parcial se define elemento maximal y elemento mayor.
1.18 Ejemplo. Las definiciones de minimal y de menor se parecen pero no son la misma.
Estudiemos qué pasa en los ejemplos de 1.12.
En (c), 1 es elemento menor y minimal, pero si en lugar de N tomamos como conjunto
base a N \ {1}, entonces ya no hay ningún elemento menor y todos los primos son minimales.
En ninguno de los dos casos hay maximal ni mayor, pero si la misma relación la tomamos
en N ∪ {0} entonces 0 es elemento mayor y maximal.
En (d), ∅ es elemento menor y minimal y N es mayor y maximal. La misma relación
definida en P \ {∅} no tiene elemento menor y cada subconjunto de N que conste de un solo
elemento es elemento minimal de la relación.
En (e), todos los elementos son minimales y maximales (y no hay menor ni mayor cuando
el conjunto tiene más de un elemento).
En (h), no hay elementos minimales, ni menor, ni maximal, ni mayor. Si se cambia el
conjunto base por A = (0, 1] entonces no hay elementos minimales ni menor pero 1 es mayor
y maximal.
1.19 Observación. (i) En caso de existir un elemento menor éste es único, también es
el único minimal (y lo mismo para elemento mayor).
(ii) Los elementos minimales pueden no existir y, en caso de que existan, puede haber
más de uno (y lo análogo para mayor y maximal).
(iii) Si el orden es total, entonces los conceptos de minimal y menor son iguales (y lo
análogo para mayor y maximal).
Enunciamos a continuación una propiedad muy importante que tiene N como conjunto
9
ordenado y que no la comparte con Z (ni con Q, R o C).
Principio del Buen Orden. Todo conjunto no vacı́o de N tiene un elemento menor.
A continuación vamos a profundizar un poco sobre este principio. Para ello empecemos
por observar que en cursos anteriores hemos hecho demostraciones por inducción cuando
trabajamos con números naturales (o con subconjuntos de N o, incluso, con conjuntos que
se parecen a N en el sentido del orden). Enunciaremos aquı́ el principio bajo el cual las
demostraciones por inducción son correctas (según la Lógica Matemática).
Principio de Inducción. Si un subconjunto S de N contiene al 1 y cada vez que contiene
a un natural n también contiene a su sucesor n + 1, entonces S = N.
Veremos que los dos principios son equivalentes, es decir, si se supone uno de ellos como
cierto, el otro resulta ser una proposición. Como habı́amos dicho anteriormente, en Lógica se
fundamentan las Matemáticas y se dan definiciones o axiomas de los conceptos; los axiomas
deben ser independientes unos de otros (ninguno debe poder probarse suponiendo otro y
tampoco debe haber contradicciones entre ellos). En el caso que estamos tratando ahora,
cualquiera de los dos principios puede tomarse como axioma dentro de la definición de N (y
el otro es una proposición).
1.20 Proposición. El Principio de Inducción y el Principio del Buen Orden son equivalentes.
Demostración. Empecemos probando que el Principio de Inducción implica el del Buen
Orden. Sea ∅ =
6 A ⊂ N y supongamos que A no tiene primer elemento; apliquemos el
Principio de Inducción a S = N \ A; como 1 no puede estar en A (pues serı́a su primer
elemento) entonces 1 ∈ S; y si n ∈ S, entonces, como A no tiene primer elemento, entonces
los números 1, 2, . . . , n no pertenecen a A (pues el más chico de los que sı́ perteneciera serı́a
el primer elemento de A); entonces tampoco n + 1 ∈ A (por la misma razón), ası́ que hemos
probado que n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S, de donde, por el Principio de Inducción, S = N, pero
entonces A = ∅, lo cual es una contradicción. ♦
1.21 Ejercicio. Probar que el Principio del Buen Orden implica el de Inducción.
Por satisfacer el Principio del Buen Orden decimos que N está bien ordenado.
1.22 Observación. Todo conjunto finito ordenado totalmente está bien ordenado. Es
claro que Z no lo está pues él mismo no tiene primer elemento. También es obvio que cualquier
conjunto que contenga a Z no puede estar bien ordenado. Sin embargo observemos que hay
más razones (aparte de contener a Z), en cuanto al orden, para que Q no esté bien ordenado,
pues, por ejemplo, el conjunto de los racionales positivos tampoco está bien ordenado ya
que, por ejemplo, el subconjunto A = {x ∈ Q : x > 2} no tiene primer elemento (2 no es
10
elemento en A).
Decimos que dos conjuntos ordenados X y Y son isomorfos como conjuntos ordenados si existe una función biyectiva f : X → Y que respeta el orden (es decir, si X y
Y denotan los órdenes en X y Y , respectivamente, y x1 , x2 ∈ X entonces x1 X x2 ⇔
f (x1 ) Y f (x2 ). Observemos que dos conjuntos son isomorfos cuando son esencialmente uno
mismo si lo que nos interesa de ellos es exclusivamente su cardinalidad y su orden. Tenemos
por ejemplo que los siguientes conjuntos son todos isomorfos a N con el orden usual:
A = {n ∈ Z : n ≥ −7},
B = {3n : n ∈ N},
1
C = {1 − : n ∈ N},
n
D = {n ∈ Z : n < 0},
donde el orden en los conjuntos A, B y C es el usual, y el orden en D es el orden invertido
(es decir a b ⇔ a ≥ b).
1.23 Nota. Es claro que si dos conjuntos ordenados son isomorfos y uno de ellos está bien
ordenado, entonces el otro también lo está. También es claro que los conjuntos totalmente
ordenados finitos están bien ordenados. Una pregunta natural es ¿Hay otros conjuntos bien
ordenados aparte de (los isomorfos a) N y los finitos? La respuesta a esta pregunta es afirmativa y corresponde a la teorı́a de ordinales (es decir, conjuntos bien ordenados). Para
construir ordinales distintos de N y los finitos podemos, por ejemplo, agregar un elemento
mayor al conjunto de los naturales (un conjunto isomorfo a éste dentro de R es {1− n1 }∪{1}).
Agregando más elementos mayores que los que se tienen podemos construir otros conjuntos
ordenados no isomorfos; inclusive esto podemos hacerlo indefinidamente y construir el ordinal {1 − n1 } ∪ N. Observemos que el procedimiento marcado puede incluso iterarse de manera
que se construya un nuevo ordinal {a − n1 : a, n ∈ N}.
1.24 Ejercicio. Probar que si en X = N×N definimos el orden lexicográfico (llamado
ası́ por su similitud con el orden del diccionario) por (a, b)R(c, d) ⇔ (a < c) o (a = c y b ≤ d),
entonces X está bien ordenado y es isomorfo a {a − n1 : a, n ∈ N}.
Todos los ordinales que hemos construido aquı́ son numerables. En Teorı́a de Conjuntos
se prueba que todo conjunto se puede bien ordenar; como corolario se tiene que el conjunto
de los números reales se puede bien ordenar; desde luego el orden que se le darı́a no tendrı́a
nada que ver con el orden usual y las propiedades de compatibilidad con las operaciones
en R (por ejemplo a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c no se darı́an); simplemente, el resultado dice
que hay conjuntos bien ordenados de la cardinalidad de R (y de cualquier cardinalidad). En
conjuntos bien ordenados se puede hacer demostraciones por inducción (llamada inducción
transfinita); para ello debe tomarse en cuenta si el elemento particular que se toma es
11
sucesor (es decir le sigue inmediatamente a otro) o no (o sea, es un elemento lı́mite). (Por
ejemplo en ?? los elementos lı́mite son todos los de la forma (n, 1) para n ∈ N, y todos los
demás son sucesores.)
Pasemos ahora al estudio del orden en R.
Propiedad (R2). Hay un conjunto no vacı́o P de R que satisface:
(a) Si a, b ∈ P entonces a + b ∈ P .
(b) Si a, b ∈ P entonces ab ∈ P .
(c) Si a ∈ R, entonces exactamente una de las siguientes es cierta: a ∈ P , −a ∈ P o
a = 0.
Decimos que a > b si a − b ∈ P . Definimos también ≥, < y ≤. La costumbre es poner
una recta horizontal representando geométricamente a R y entonces veremos abajo que los
puntos más a la derecha son “más grandes” que los que están más a la izquierda, y que
los elementos de P son precisamente los que están a la derecha del 0, es decir, que P es
el conjunto de los reales positivos. Ésta es la formalización de la definición de orden que
conocemos (y que hace de R un conjunto totalmente ordenado).
También las propiedades de orden que hemos usado con frecuencia se deducen de (R2),
como veremos a continuación.
1.25 Proposición. (a) a2 ≥ 0, 1 > 0 y N ⊂ P .
(b) Si a ≥ b y c ≥ d entonces a + c ≥ b + d y, si una de las dos primeras desigualdades
es estricta, también lo es la tercera.
(c) Si a ≥ b, c ≥ 0 y d ≤ 0, entonces ac ≥ bc y ad ≤ bd.
(d) a > 0 si y sólo si
1
a
> 0.
(e) ab > 0 si y sólo si ambos a y b son positivos o ambos son negativos.
Demostración. Probaremos, como ilustración, algunas de ellas
(a) Por (R2)(c) tenemos tres casos: Si a = 0 entonces a2 = 0; si a ∈ P , entonces a2 ∈ P
por (R2)(b); si −a ∈ P , entonces a2 ≥ 0 también por (R2)(b), pero (−a)2 = a2 , ası́ que
a2 ∈ P . Para ver que 1 ∈ P basta observar que 1 = (−1)2 y utilizar lo que acabamos de
probar. Un argunento por inducción y (R2)(a) nos permiten concluir que N ⊂ P .
(b) a ≥ b nos dice que a − b ∈ P ; análogamente y c ≥ d significa c − d ∈ P . Usando
(R2)(a) vemos que a − b + c − d ∈ P , de donde obtenemos lo que querı́amos.
(d) Como a y a1 son cada uno inverso multiplicativo del otro, basta demostrar una implicación, digamos (⇒); además es claro que a1 6= 0, ası́ que supongamos que − a1 ∈ P ; pero
12
entonces 1 = a ·
1
a
6∈ P , lo cual es un absurdo. ♦
Las propiedades (R1) y (R2) dicen que R es un campo ordenado.
A partir de ahora usaremos las propiedades algebraicas y de orden que hemos visto arriba
de manera natural, sin mencionar que las estamos usando y como hemos hecho en nuestros
cursos de Cálculo.
Dado a ∈ R definimos el valor absoluto de a, en sı́mbolos |a|, por
a, si a ≥ 0
|a| =
−a, si a < 0
Notemos que |a| es la distancia (sin signo) que hay de a a 0 en la recta real.
1.26 Ejercicio. Probar que, para a, b ∈ R, se tiene que |a| ≤ |b| si, y sólo si a2 ≤ b2 .
1.27 Proposición. (a) |a| ≥ 0; se da la igualdad si y sólo si a = 0.
(b) | − a| = |a|.
(c) |ab| = |a||b|.
(d) Para r > 0, |a| < r significa que −r < a < r.
(e) −|a| ≤ a ≤ |a|.
(f) Desigualdad del triángulo: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Demostración. Las pruebas de (a), (b), (c) y (d) son fáciles y se dejan como ejercicio.
Para probar (e), usamos el ejercicio anterior para observar que es equivalente a probar que
(a + b)2 ≤ (|a| + |b|)2 , que es equivalente a probar que 2ab ≤ 2|a||b|, lo cual es obvio. ♦
Dados a, b reales definimos [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. De la manera usual definimos
también (a, b), (−∞, b], etc., y a todos ellos los llamamos intervalos aunque, si queremos
ser más especı́ficos, los intervalos en los que un extremo es ∞ o −∞ le llamamos rayo. Los
intervalos de la forma [a, b] son cerrados y los intervalos de la forma (a, b) son abiertos.
Intervalos de la forma [a, b) o (a, b] se llaman semiabiertos (o semicerrados).
1.28 Ejercicio. Hacer un dibujo en la recta real del conjunto {x ∈ R : 3(x − 1)(x − 4) ≥
0}.
1.29 Ejercicio. Hacer un dibujo en la recta real del conjunto {x ∈ R : |2x + 1| ≥ 1}.
1.30 Ejercicio. Hacer un dibujo del conjunto de puntos en R que satisfacen |x + 3| <
|x − 2|.
13
1.31 Ejercicio. Probar que si a2 + b2 = 0 entonces a = 0 y b = 0.
1.32 Ejercicio. Determinar exactamente para qué elementos a ∈ R se tiene que a2 ≥ a.
Una cota superior para un subconjunto A de un conjunto totalmente ordenado X es
un elemento x0 tal que a ≤ x0 para todo a ∈ A. La existencia de una cota superior nos dice
que A está acotado superiormente. Una cota inferior mı́nima para el conjunto A se llama
supremo de A y, en vista de que, en caso de existir el supremo es único, lo denotamos por
sup A. Análogamente se define cota inferior, conjunto acotado inferiormente, e ı́nfimo
(denotado por inf A). Cuando un conjunto A está acotado superior e inferiormente decimos
simplemente que está acotado.
1.33 Ejemplo. (a) N no tiene cota superior; −π, 0, 37 , 1 son cotas inferiores y 1 es ı́nfimo.
(b) El conjunto de cotas inferiores de A = { n1 : n ∈ N} es R \ P ; 0 es ı́nfimo y 1 es
supremo.
(c) Si A = (−∞, − 17 ), entonces A no tiene ı́nfimo y sup A = − 71 . Todo número mayor o
igual que − 17 es cota superior para A.
√
√
(d) Si A = {x ∈ R : x2 ≤ 2} entonces sup A =√ 2 e inf A = − 2.√(Para ver√esto,
observemos que la desigualdad es equivalente a |x| ≤ 2, ası́ que A = {x : − 2 ≤ x ≤ 2}.)
(e) Si A = {x ∈ R : |x(x − 1)| ≤ 2} entonces sup A = 2 e inf A = −1. (Para ver
esto observemos que la desigualdad es equivalente a −2 ≤ x2 − x ≤ 2; sumando 14 para
2
completar cuadrados obtenemos − 47 ≤ x − 12 ≤ 94 ; la primera desigualdad
no nos
dice nada pues todocuadrado es no negativo; la segunda nos dice que x − 12 ≤ 32 de donde
− 23 ≤ x − 21 ≤ 32 y ası́ A = [−1, 2].)
(f) Si A = {x ∈ R : |x − 2| ≥ 2} entonces A no está acotado ni inferior ni superiormente.
(g) Si A = {x2 − x + 1 : 0 ≤ x < 2} entonces inf A = 43 y sup A = 3. (Para ver esto,
hay que considerar la gráfica de
f donde f (x) = x2 − x + 1 para 0 ≤ x < 2 y ver
la función
1
1
3
que 2 es un mı́nimo, que f 2 = 4 , que f (0) = 1 y que limx→2 f (x) = 3, de manera que
A = {x : 34 ≤ x < 3}.)
(h) Si A = {x ∈ R : 0 ≤ x2 − x + 1 < 2} entonces inf A =
14
√
1− 5
2
y sup A =
√
1+ 5
.
2
(Para
ver esto, resolvemos la doble desigualdad completando cuadrados:
0 ≤x2 − x + 1 < 2
−1 ≤x2 − x < 1,
3
1
5
− ≤x2 − x + < ,
4
4
4
2
1
3
5
− ≤ x−
< .
4
2
4
Observamos
entonces
desigualdad
√
√ siempre se da y que
√ la segunda
√ es equiva
√5 que la primera
5
5
1− 5
1+ 5
1
1
lente a x − 2 < 2 , de donde − 2 ≤ x − 2 < 2 y de aquı́ que 2 ≤ x < 2 .)
En los ejemplos (g) y (h) conviene hacer un dibujo de la gráfica de la función f dada por
f (x) = x2 − x + 1 y observar que en el ejemplo (g) el conjunto A está representado en el eje
de las y, mientras que en el ejemplo (h) el conjunto está representado en el eje de las x.
1.34 Observación. Hemos visto que un conjunto puede tener muchas cotas inferiores
(o superiores) o no tener ninguna; sin embargo supremos e ı́nfimos, en caso de existir, son
únicos. También observamos que el supremo y el ı́nfimo de A pueden estar en A o no.
1.35 Observación. Dado A ⊂ R un número real s es supremo si y sólo si s es cota
superior para A y para todo ε > 0 existe a ∈ A tal que s − ε < a. Análogamente i es ı́nfimo
si y sólo si dado ε > 0 existe a ∈ A tal que a < s + ε.
(R3) Principio del Supremo. Todo subconjunto no vacı́o de R y acotado superiormente en R tiene supremo en R.
Conociendo sólo Q, a partir de él se puede “construir” un conjunto que satisfaga las
propiedades (R1), (R2) y (R3). Además se prueba que cualquier conjunto que satisfaga esas
propiedades resulta ser isomorfo como campo ordenado a R (es decir, hay una función
biyectiva entre R y ese conjunto que respeta el orden y las operaciones). De esta manera,
pueden considerarse estas propiedades como “axiomas” de definición de R.
1.36 Proposición. (a) Si un conjunto de números reales A está acotado superiomente,
entonces el conjunto −A, definido por −A = {−a : a ∈ A}, está acotado inferiormente e
inf (−A) = −sup A.
(b) Propiedad del ı́nfimo. Todo subconjunto no vacı́o de R y acotado inferiormente
en R tiene ı́nfimo en R.
(c) Si B está acotado superiormente y A ⊂ B, entonces A también está acotado superiormente y sup A ≤ sup B.
(d) Si A y B están acotados superiormente entonces el conjunto A + B definido por
15
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} también lo está y sup(A + B) = sup A + sup B.
Demostración. Demostraremos sólo (a) y dejaremos el resto como ejercicio. (a) Sea s =
sup A; entonces para todo a ∈ A se tiene que a ≤ s; al multiplicar esta desigualdad por −1
tenemos que −a ≥ −s para todo a ∈ A, ası́ que −s es cota inferior para −A. Además, si
ε > 0, entonces existe a ∈ A tal que s − ε < a de donde, al multiplicar esta desigualdad por
−1 obtenemos que −s + ε > −a, con lo cual queda probado que −s es ı́nfimo. ♦
Utilizando el Principio del Supremo podemos probar la siguiente propiedad, también muy
importante de R, la cual es equivalente a que el conjunto N no es acotado.
Principio Arquimedeano. Dado a número real positivo existe n ∈ N tal que na > 1.
Demostración. Supongamos falso el resultado. Entonces 1 es cota superior del conjunto
C = {na ∈ R : n ∈ N}. Sea s = sup C. Entonces s − a no es cota superior de C, ası́ que
existe n ∈ N tal que s − a < na. Pero entonces s < na + a = (n + 1)a ∈ C, lo cual es una
contradicción. ♦
1.37 Corolario. N no es acotado.
Demostración. Supongamos que sı́ lo es. Entonces existe a ∈ R tal que n ≤ a para todo
n ∈ N. Como a > 0 entonces también a1 > 0, por tanto, por el Principio Arquimedeano existe
n ∈ N tal que n · a1 > 1, de donde n > a lo cual es una contradicción. ♦
1.38 Ejercicio. Suponiendo que N no es acotado probar el Principio Arquimedeano.
Otras formas del Principio Arquimedeano son las siguientes. Las demostraremos usando
el Principio (es claro que cada una de ellas lo implica).
1.39 Corolario. (a) Dado ε > 0 existe n ∈ N tal que
1
n
< ε.
(b) Dados a y b reales con a > 0 existe n ∈ N tal que na > b.
(c) Dado a > 0 existe un único n ∈ N tal que n − 1 ≤ a < n.
Demostración. Probaremos (a) y dejaremos (b) y (c) como ejercicio. (a) Sea n ∈ N tal
que nε > 1. ♦
1.40 Corolario. Dados a y b números reales con a < b existe q racional tal que a < q < b.
Esta propiedad nos dice que Q es denso en R.
Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que a > 0 (esto puede hacerse
porque, en caso contrario, si b > 0 podemos probar el resultado para 2b en lugar de a, y si
b ≤ 0 entonces podemos trabajar con −b < −a, los cuales son ambos positivos). Tenemos
16
que b − a > 0 ası́ que, por el inciso (a) del corolario anterior existe n ∈ N tal que n1 < b − a;
además,
(b) del corolario anterior consideremos m el menor natural tal que
usando el incisom−1
1
m · n > a. Entonces n ≤ a < m
. Entonces es claro que m
< b puesto que m
− m−1
=
n
n
n
n
m−1
1
<
b
−
a
<
b
−
.
♦
n
n
0 n1
|
|
|{z}
a
|
|
b
|
}
...............................................................................................................................................................................................................................................................................
1
n
{z
b−a
De la siguiente propiedad tenemos que también el conjunto de los números irracionales
es denso en R. La demostración se deja como ejercicio.
1.41 Corolario. Dados a y b números reales con a < b y ξ > 0 número irracional, existe
q racional tal que a < qξ < b. ♦
Otra propiedad muy importante del conjunto de los números reales es la siguiente.
1.42 Teorema. Propiedad de los Intervalos
T Anidados. Si I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ es una
cadena de intervalos cerrados no vacı́os entonces n∈N In 6= ∅.
Demostración. Escribamos In = [an , bn ]. Como A = {an : n ∈ N} es un conjunto acotado
superiormente (por ejemplo b1 es una cota superior), entonces A tiene
T supremo, digamos a0 .
Análogamente {bn : n ∈ N} tiene ı́nfimo b0 . Probemos que a0 ∈ n∈N In . Fijemos k ∈ N y
probemos que ak ≤ a0 ≤ bk (ası́ que a0 ∈ Ik ). La primera desigualdad es obvia. Para ver la
segunda observemos que bk ≥ an para toda n (es decir, bk es cota superior de {an : n ∈ N})
pues si n ≤ k entonces an ≤ ak < bk ≤ bn y si n > k entonces an < bn ≤ bk . Ası́, por
definición de supremo, a0 ≤ bn para toda n. ♦
1.43 Observación. El resultado anterior es falso si los intervalos no son cerrados, es
decir, la intersección de intervalos anidados no cerrados puede ser vacı́a, por ejemplo, consideremos In = (0, n1 para n ∈ N.
Sean
C0 = [0, 1]
2
1
∪ ,1
C1 = 0,
3
3
1
2 1
2 7
8
C2 = 0,
∪ ,
∪ ,
∪ ,1
9
9 3
3 9
9
..
.
17
Es decir, para n ≥ 1, Cn es el conjunto que se obtiene
T de Cn−1 al eliminar el tercio de enmedio
de cada subintervalo en Cn−1 . El conjunto C = n∈N Cn se llama conjunto de Cántor.
1.44 Proposición. (a) El conjunto numerable de los extremos de los Cn está contenido
en el conjunto de Cántor.
(b) El conjunto de Cántor consta de todos los elementos de R que tienen una expansión
ternaria de la forma 0.a1 a2 . . . (es decir, a31 + a322 + a333 + · · · ) donde cada an es 0 o 2.
(c) El conjunto de Cántor no es numerable.
Demostración. El inciso (a) es claro. Para convencerse de que el inciso (b) es cierto
basta fijarse en la representación geométrica de los conjuntos Cn . Para probar el inciso (c)
observemos que existe una biyección entre el conjunto de Cántor y el intervalo [0, 1] (la
biyección es a31 + a322 + a333 + · · · 7→ a21 + a222 + a233 + · · · ). ♦
18
2.
Topologı́a del espacio euclidiano
Recordemos que la distancia euclidiana entre dos puntos x = (x1 , x2 , . . . , xs ), y =
(y1 , y2 , . . . , ys ) de Rs se define como
p
d(x, y) = ||x − y|| = (x1 − y1 )2 + · · · + (xs − ys )2 .
Dado un número real r > 0 y x ∈ Rs , la bola con centro en x y radio r es el conjunto
de puntos de Rs cuya distancia a x es menor que r, en sı́mbolos,
Br (x) = {y ∈ Rs : d(x, y) < r}.
Sea A un subconjunto de Rs . Decimos que A es abierto si para todo a ∈ A existe r > 0
tal que Br (x) ⊂ A. Al conjunto de abiertos se le llama topologı́a para Rs .
En cada uno de los siguientes ejemplos conviene hacer un dibujo del conjunto en cuestión
para tener una buena idea geométrica de lo que ocurre.
2.1 Ejemplo. (1) En R2 el conjunto A = {(x, 0) : x > 0} es abierto, pero el conjunto
B = {(x, 0) : x ≥ 0} no lo es. (Aquı́ A y B son semiplanos.)
(2) Para cualquier r real positivo y x ∈ Rs la bola Br (x) es abierta y también lo es
{y ∈ Rs : d(y, x) > r}.
(3) En R2 el conjunto A = {(x, y) : x > y} es abierto. (Aquı́ A es un semiplano limitado
por la recta con ecuación x = y.
(4) En R un intervalo de la forma [a, b) no es abierto pero sı́ lo es un intervalo de la forma
(a, b).
(5) En R3 el conjunto A = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1} no es abierto. (Aquı́ A es la
cáscara de una esfera.)
(6) En R el conjunto Q de los números racionales no es abierto.
(7) El conjunto de Cántor no es abierto en R.
2.2 Nota. La condición de ser abierto es relativa, es decir, un conjunto puede ser abierto
como subconjunto de Rs y no serlo como subconjunto de Rm para naturales distintos m y
n. Por ejemplo R es abierto como subconjunto de sı́ mismo pero no lo es cuando lo vemos
dentro de R2 (como {(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R}).
2.3 Proposición. El conjunto de todos los abiertos de Rs satisface las siguientes propiedades:
(a) ∅ y Rs son abiertos.
(b) La unión arbitraria de abiertos es abierto, es decir, si {Uλ : λ ∈ Λ} es una familia de
19
abiertos (aquı́ Λ es un conjunto de ı́ndices arbitrario), entonces
S
λ∈Λ
Uλ también es abierto.
(c) La intersección finita de abiertos es abierto, es decir, si n ∈ N y U1 , U2 , . . . , Un son
abiertos entonces también lo es U1 ∩ · · · ∩ Un .
S
Demostración. El inciso (a) es claro. Para ver (b), tomemos x ∈ λ∈Λ Uλ . Entonces x ∈ Uλ
para algún λ y, como
S éste es abierto, hay una bola alrededor de x totalmente contenida en Uλ
y, por tanto, en λ∈Λ Uλ . Probemos (c): Si x ∈ U1 ∩ · · · ∩ Un , entonces para cada i = 1, . . . , k
existe ri real positivo tal que Bri (x) ⊂ Ui . Sea r el menor elemento de {r1 , . . . , rn } Entonces
Br (x) está contenida en todas las Bri (x), ası́ que también está contenida en la intersección
U1 ∩ · · · ∩ Un . ♦
2.4 Proposición. Un subconjunto A de R es abierto si y sólo si es la unión de una
cantidad numerable de intervalos abiertos.
Demostración. Por lo anterior ya sabemos que la unión de intervalos abiertos es un
conjunto abierto. También sabemos que todo abierto A de R es unión de intervalos abiertos
puesto que en R las bolas son intervalos y para
S cada x ∈ A existe Ix bola (intervalo)
alrededor de x tal que Ix ⊂ A, ası́ que A = x∈A Ix . Sin embargo esta unión no tiene
porqué ser numerable. Para ver que sı́ podemos poner A como unión numerable de intervalos
consideremos sólo x ∈ A ∩ Q y, para cada uno de éstos, sea Λx S
= {r ∈ Q : Br (x) ⊂ A} =
{rx,1 , rx,2 , rx,3 , . . .}. Por la densidad de Q en R tenemos que A = x,i Brx,i (x) donde la unión
se toma sobre todas las x ∈ A ∩ Q y sus correspondientes radios rx,i en Λx : Dado y ∈ A,
existe s > 0 racional tal que Bs (y) ⊂ A; sea x racional en A con distancia a y menor que
s
; entonces y ∈ B 2s (x) ⊂ Bs (y) ⊂ A y B 2s (x) es una de las bolas consideradas en la unión
2
numerable. ♦
Un subconjunto A de Rs es cerrado si su complemento Rs \ A es abierto.
2.5 Observación. Cerrado no es lo contrario de abierto, es decir, un conjunto puede ser
tanto abierto como cerrado (por ejemplo ∅) o no ser ninguna de las dos cosas (por ejemplo
[0, 1) como subconjunto de R).
2.6 Proposición. El conjunto de todos los cerrados de Rs satisface las siguientes propiedades:
(a) ∅ y Rs son cerrados.
(b) La intersección arbitraria de cerrados es cerrado, es decir, si {Cλ T
: λ ∈ Λ} es una
familia de cerrados (aquı́ Λ es un conjunto de ı́ndices arbitrario), entonces λ∈Λ Cλ también
es cerrado.
(c) La unión finita de cerrados es cerrado, es decir, si n ∈ N y C1 , C2 , . . . , Cn son cerrados
entonces también lo es C1 ∪ · · · ∪ Cn .
20
Demostración. (a) es obvio. Las demostraciones de (b) y de (c) utilizan las Leyes de
De Morgan. Hagamos (b)
T y dejemos
S (c) como ejercicio. Sea {Cλ : λ ∈ Λ} una familia de
cerrados. Entonces Rs \ λ∈Λ Cλ = λ∈Λ (Rs \ Cλ ) que es un abierto por ??(b). ♦
En cada uno de los siguientes ejemplos conviene hacer un dibujo del conjunto en cuestión
para tener una buena idea geométrica de lo que ocurre.
2.7 Ejemplo. (1) En R2 el conjunto {(x, 0) : x > 0} no es cerrado, pero el conjunto
{(x, 0) : x ≥ 0} sı́ lo es.
(2) Para cualquier r real positivo y x ∈ Rs , el conjunto Dr (x) = {y ∈ Rs : d(x, y) ≤ r}
(llamado disco de radio r alrededor de x) es cerrado.
(3) En R2 el conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x1 } ∪ (0 × [0, ∞)) es cerrado. (Aquı́ A es la
región del primer cuadrante comprendida entre el eje x, el eje y la hipérbola con ecuación
y = x1 .)
(4) En R un intervalo de la forma [a, b) no es cerrado, pero sı́ lo es un intervalo de la
forma [a, b].
(5) En R3 el conjunto {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1} es cerrado.
(6) En R el conjunto Q de los números racionales no es cerrado.
(7) El conjunto Z es cerrado en R.
Sea A ⊂ Rs . Entonces (a) El interior de A es el conjunto
Int(A) = Ao = {x ∈ Rs : ∃r > 0, Br (x) ⊂ A}.
Intuitivamente, los puntos interiores son aquéllos que están “muy dentro” de A en el
sentido de que una bola alrededor de ellos está contenida en A.
(b) La frontera de A es el conjunto
∂(A) = F r(A) = {x ∈ Rs : ∀r > 0, Br (x) ∩ A 6= ∅, Br (x) ∩ (Rs \ A) 6= ∅}.
Intuitivamente los puntos frontera son aquéllos en la orilla de A puesto que cualquier bola
a su alrededor intersecta tanto a A como a su complemento.
(c) La cerradura de A es el conjunto
A = {x ∈ Rs : ∀r > 0, Br (x) ∩ A 6= ∅}.
Intuitivamente los puntos cerradura de A son aquéllos que están “muy pegados“ a A, en
el sentido de que cualquier bola a su alrededor debe intersectar a A.
(d) El conjunto de puntos de acumulación de A es el conjunto
A0 = {x ∈ Rs : ∀r > 0, (Br (x) \ {x}) ∩ A 6= ∅}.
21
Intuitivamente un punto de acumulación de A es un punto que “está pegado“ a los demás
puntos de A.
2.8 Nota. La definiciones anteriores también son relativas al Rs en donde se esté trabajando.
En cada uno de los siguientes ejemplos conviene hacer un dibujo del conjunto en cuestión
para tener una buena idea geométrica de lo que ocurre.
2.9 Ejemplo. (1) Sea A = [0, 1) ∪ {2} ⊂ R. Entonces Int(A) = (0, 1), ∂(A) = {0, 1, 2},
A = [0, 1] ∪ {2} y A0 = [0, 1].
(2) Sea A = Q ⊂ R. Entonces Int(A) = ∅, ∂(A) = R, A = R y A0 = R.
(3) A = {(x, y) : x > y} ⊂ R2 . Entonces Int(A) = A, ∂(A) = {(x, y) : x = y},
A = {(x, y) : x ≥ y} y A0 = {(x, y) : x ≥ y}.
(4) A = {(x, y, z) : x = 0 o y = 0 o z = 0} ⊂ R3 . Entonces Int(A) = ∅, ∂(A) = A, A = A
y A0 = A.
(5) A = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] ⊂ R3 . (Aquı́ A es un cubo.) Entonces Int(A) = (0, 1) ×
(0, 1) × (0, 1), ∂(A) = ({0, 1} × [0, 1] × [0, 1]) ∪ ([0, 1] × {0, 1} × [0, 1]) ∪ ([0, 1] × [0, 1] × {0, 1})
(las seis caras del cubo), A = A y A0 = A.
(6) A = { n1 : n ∈ N} × [0, 1] ⊂ R2 . (Aquı́ A consiste en lı́neas verticales que se acercan
al eje y.) Entonces Int(A) = ∅, ∂(A) = A ∪ ({0} × [0, 1]), A = A ∪ ({0} × [0, 1]) y A0 =
A ∪ ({0} × [0, 1]).
(7) Z × Z ⊂ R2 . Entonces Int(A) = ∅, ∂(A) = A, A = A y A0 = A.
2.10 Proposición. Sea A ⊂ Rs . Entonces
S
(a) Int(A) es el mayor abierto contenido en A, de manera que IntA = λ∈Λ Uλ donde
{Uλ : λ ∈ Λ} es la familia de todos los abiertos de Rs que están contenidos en A.
T
(b) A es el menor cerrado que contiene a A, de manera que A = λ∈Λ Cλ donde {Cλ :
λ ∈ Λ} es la familia de todos los cerrados de Rs que están contenidos en A.
Demostración. (a) Es claro que Int(A) ⊂ A. Probemos ahora que Int(A) es abierto:
Sea x ∈ Int(A) y sea r > 0 tal que Br (x) ⊂ A; veamos que esta misma bola también
está contenida en Int(A); para esto, tomemos y ∈ Br (x) y sea s = r − d(x, y); este radio es
mayor que 0 pues y ∈ Br (x). Además es claro que Bs (y) ⊂ Br (x) (para convencerse de esto
basta hacer un dibujo; la demostración algebraica hace uso de la desigualdad del triángulo).
De aquı́ tenemos que Bs (y) ⊂ A y ası́, y ∈ Int(A). Ahora demostremos que todo abierto
contenido en A está contenido en Int(A): Sea U abierto contenido en A. Entonces, para todo
x ∈ U existe r > 0 tal que Br (x) ⊂ U ⊂ A, ası́ que x ∈ Int(A). Sólo falta ver que Int(A)
es la unión de todos los abiertos de Rs que están contenidos en A, pero esto ya es claro de
lo que tenemos pues Int(A), al ser abierto, es uno de los uniendos y entonces está contenido
22
en la unión; la otra inclusión se demostró ya.
(b) Es claro que A ⊂ A. Veamos que A es cerrado; para ello debemos probar que su
complemento es abierto. Sea x ∈ Rs \ A. Como x 6∈ A, existe una bola Br (x) que no
intersecta a A, ası́ que está contenida en el complemento de A; queremos probar que esta
misma bola también está contenida en el complemento de A. Supongamos que esto no es
cierto y sea y ∈ Br (x) ∩ A. Entonces toda bola alrededor de y intersecta a A (por estar y en
la cerradura de A) y también toda bola intersecta al complemento de A (pues el mismo y
está en ese complemento), de manera que y ∈ ∂(A); ahora, como y ∈ Br (x), que es abierto,
hay una bola con centro en y contenida totalmente en Br (x), ası́ que Br (x) intersecta a A, lo
cual es un absurdo y hemos probado lo que querı́amos. El resto de la demostración es como
(a) y se deja como ejercicio. ♦
2.11 Proposición. Sea A ⊂ Rs . Entonces
(a) A = Int(A) ∪ ∂(A) = A ∪ ∂(A) = A ∪ A0 .
(b) ∂(A) = A ∩ (Rs \ A).
Demostración. Se sigue fácilmente de las definiciones. ♦
2.12 Lema. Sea A ⊂ Rs y sea x ∈ Rs . Entonces
(a) x es punto cerradura de A si y sólo si existe una sucesión (a1 , a2 , . . .) de elementos de
A tal que d(an , x) < n1 .
(b) x es punto de acumulación de A si y sólo si existe una sucesión (a1 , a2 , . . .) de elementos
de A \ {x} tal que d(an , x) < n1 .
Demostración. (a) (⇒) Sea x ∈ A. Para cada n ∈ N tomemos un punto an en A ∩ B 1 (x)
n
(sabemos que existe porque x ∈ A). (⇐) Sea r > 0 y sea n ∈ N tal que n1 < r. Entonces
an ∈ Br (x), ası́ que Br (x) ∩ A 6= ∅ y entonces x ∈ A.
(b) La demostración es como en el inciso (a) pero tomando los puntos en A ∩ (B 1 (x) \
n
{x}). ♦
2.13 Observación. En la proposición anterior se puede sustituir la condición de que
d(an , x) < n1 por la condición de que la sucesión (an )n converja a x (ver la siguiente sección).
De las proposiciones anteriores se deducen fácilmente las siguientes:
23
2.14 Observación. Sea A ⊂ Rs . Entonces
(a) A es abierto si y sólo si A = Int(A).
(b) A es cerrado si y sólo si A = A.
(c) Int(Int(A)) = Int(A)
(d)A = A.
(e) A es cerrado si y sólo si ∂(A) ⊂ A.
(f) A es cerrado si y sólo si A0 ⊂ A. ♦
2.15 Observación. Sean A, B ⊂ Rs .
(a) Si A ⊂ B, entonces Int(A) ⊂ Int(B).
(b) Si A ⊂ B, entonces A ⊂ B. ♦
2.16 Proposición. (a) Int(A ∪ B) ⊃ Int(A) ∪ Int(B). Esta inclusión puede ser propia.
(b) Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B).
(c) A ∪ B = A ∪ B.
(d) A ∩ B ⊂ A ∩ B. Esta inclusión puede ser propia.
(e) Si {Aλ : λ ∈ Λ} es una familia de subconjuntos de Rs , entonces
Esta unión puede ser propia.
S
λ∈Λ
Aλ ⊂ overline
S
λ∈Λ
Demostración. Las demostraciones se siguen directamente de las definiciones correspondientes. Haremos sólo algunas para ilustrar cómo puede simplificarse la demostración utilizando las propiedades vistas arriba. Dado el caso, daremos ejemplos que prueben que las
inclusiones pueden ser propias.
(a) Para ver que la inclusión puede ser propia consideremos el caso de A = [0, 1] y
B = [1, 2].
(b) La inclusión Int(A ∩ B) ⊃ Int(A) ∩ Int(B) se sigue de que Int(A) ∩ Int(B) es
un abierto contenido en A ∩ B y de que sabemos que Int(A ∩ B) es el mayor abierto
contenido en A ∩ B. Para ver la otra inclusión sólo observemos que A ∩ B ⊂ A implica que
Int(A ∩ B) ⊂ Int(A) y lo mismo con B.
(d) La inclusión es propia en el caso A = [0, 1) y B = (1, 2].
(e) La inclusión es propia si Λ = Q y Aq = {q} para cada q ∈ Q. ♦
Un subconjunto A de Rs es perfecto si es cerrado y no tiene puntos aislados, es decir,
todos sus puntos son puntos de acumulación.
24
Aλ .
2.17 Proposición. El conjunto de Cántor C es perfecto.
Demostración. Como C es la intersección de intervalos cerrados, él mismo es cerrado.
Para ver que todo punto es de acumulación, sea x ∈ C y construyamos una sucesión de
puntos (c1 , c2 , . . .) de C \ {x} cuya distancia a x tienda a 0 como sigue: Recordemos que C
es la intersección conjuntos Cn , y que cada uno de éstos es la unión de intervalos cerrados
de longitud 31n . Como x pertenece a todos ellos podemos tomar, para cada n ∈ N, cn un
extremo del intervalo en Cn al cual x pertenece, cuidando sólo que sea distinto al mismo x
(es decir, si x es uno de los extremos, tomamos el otro). ♦
Una celda en Rs es el producto cartesiano de s intervalos. Decimos que la celda es abierta
(resp. cerrada) si cada intervalo que la compone es abierto (resp. cerrado).
2.18 Observación. Una celda abierta (resp. cerrada) es un subconjunto abierto (resp
cerrado) de Rs .
Un subconjunto A de Rs es acotado si existe una celda en la cual está contenido (o,
equivalentemente, existe R ∈ R tal que A ⊂ BR (0)).
Dado un subconjunto acotado A de Rs su diámetro es diam(A) = sup{d(a, b) : a, b ∈ A}.
(Nótese que el que A sea acotado garantiza la existencia de este supremo).
La siguiente proposición es una generalización (y consecuencia) del teorema de los intervalos anidados.
2.19 Proposición. Teorema de las celdas anidadas. SeaT{Cn : n ∈ N} una familia
de celdas cerradas tal que Cn ⊃ Cn+1Tpara toda n. Entonces n∈N Cn 6= ∅. Más aún, si
diam(Cn ) → 0 para n → ∞, entonces n∈N Cn es un punto.
Demostración. La intersección de intervalos cerrados anidados es no vacı́a ası́ que, trabajando “coordenada a cordenada” obtenemos el resultado. ♦
2.20 Corolario. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Todo subconjunto infinito y acotado de Rs tiene punto de acumulación.
Demostración. Sea A un subconjunto infinito y acotado de Rs . Queremos ver que A0 6= ∅.
Como A está acotado, consideremos una celda cerrada que lo contenga y partamos cada uno
de los s intervalos que definen a la celda a la mitad, de manera que la celda quede partida
en 2s celdas cerradas. Alguna de ellas debe tener un subconjunto infinito de A; partamos esa
celda en forma similar. Obtenemos una familia anidada de celdas cerradas. Por la proposición
anterior, la intersección de ellas es no vacı́a. Además, el diámetro de estas celdas tiende a
0 ası́ que la intersección es exactamente un punto. Ese punto es claramente un punto de
25
acumulación de A. ♦
Sea AS⊂ Rs . Una cubierta abierta para A es una familia de abiertos {Uλ : λ ∈ Λ} tal
que A ⊂ Uλ .
Un subconjunto A de Rs es compacto si para toda cubierta abierta {Uλ : λ ∈ Λ}
existe un subconjunto finito {λ1 , . . . , λk } de Λ tal que A ⊂ Uλ1 ∪ · · · ∪ Uλk . (Decimos que
{Uλ1 , . . . , Uλk } es subcubierta finita de {Uλ : λ ∈ Λ}.)
2.21 Ejemplo. (a) R no es compacto pues la cubierta abierta {(n − 1, n + 1) : n ∈ Z}
de R no tiene subcubierta finita.
(b) (0, 1] no es compacto porque la cubierta abierta {( n1 , 2) : n ∈ N} de (0, 1] no tiene
subcubierta finita.
(c) Si A = {a1 , . . . , an } es un subconjunto finito de Rs , entonces A es compacto. (Para
ver esto, sea {Uλ : λ ∈ Λ} una cubierta abierta de A; para cada i ∈ N sea λi ∈ Λ tal que
ai ∈ Uλi ; la subcubierta buscada es {Uλ1 , . . . , Uλn }.)
2.22 Proposición. El intervalo cerrado [0, 1] es compacto.
Demostración. Sea ∆ = {Uλ : λ ∈ Λ} una cubierta abierta de [0, 1] y sea T = {x ∈ [0, 1] :
[0, x]} está cubierto por un número finito de elementos de ∆}. Es claro que 0 ∈ T ası́ que
T 6= ∅. Además T está acotado superiormente (por ejemplo 1 es cota superior), ası́ que T
tiene supremo. Sea x0 = sup T . Probaremos que x0 = 1 y que x0 ∈ T . Sea Uλ0 un elemento de
∆ que contenga a x0 . Como Uλ0 es abierto existe ε > 0 tal que (x0 −ε, x0 +ε) ⊂ Uλ0 ; entonces,
por ser x0 = sup T , existe x1 ∈ (x0 − ε, x0 ) tal que [0, x1 ] está cubierto por un número finito
de elementos de ∆. Agregando Uλ0 a esa colección finita obtenemos una colección finita de
elementos de ∆ que cubren al intervalo [0, x0 ], probando ası́ que x0 ∈ T . Ahora observemos
que para [0, x0 + 2ε ] también está cubierto por una cantidad finita de elementos de ∆, ası́ que
si x0 < 1 habrı́a un elemento en T mayor que x0 , lo cual es imposible. ♦
La esencia del lema siguiente es que la compacidad es una propiedad absoluta en el
sentido de que si un subconjunto de Rs es compacto, entonces un conjunto idéntico a él
dentro de Rt (para t posiblemente distinto de s) también es compacto. Lo probaremos en un
caso particular para ilustrar, aunque la demostración serı́a muy parecida en el caso general.
2.23 Lema. Si un subconjunto A de R es compacto, entonces A × {0} es un subconjunto
compacto de R2 (y lo análogo para Rs ).
Demostración. Tomemos ∆ = {Uλ : λ ∈ Λ} una cubierta abierta de A×{0}. Cada uno de
los abiertos de ∆ es unión de bolas de R2 , ası́ que al intersectarlo con R × {0} obtenemos una
unión de intervalos abiertos (posiblemente vacı́os). De esta manera, la cubierta de A × {0} en
R2 pasa a ser una cubierta de abiertos de A en R y entonces podemos extraer una subcubierta
26
finita; al considerar los subconjuntos de ∆ que determinan esta subcubierta finita obtenemos
la subcubierta buscada. ♦
2.24 Corolario. Toda celda cerrada es compacta.
Demostración. Es claro que en la demostración de que [0, 1] es un subconjunto compacto
de R podemos sustituir [0, 1] por cualquier intervalo cerrado. Por simplicidad probemos que
[0, 1] × [0, 1] es compacto. (La generalización a cualquier celda en Rs es inmediata.) Sea
∆ = {Uλ : λ ∈ Λ} una cubierta abierta de [0, 1] × [0, 1]. Sea T = {y ∈ [0, 1] : [0, 1] × [0, y]
está cubierto por un número finito de elementos de ∆}. Por el lema, 0 ∈ T , ası́ que T 6= ∅.
Es claro que T está acotado superiormente, ası́ que T tiene supremo y0 . Como antes, veamos
que y0 = 1 y que y0 ∈ T . Para cada x ∈ [0, 1] sea Ux ∈ ∆ tal que (x, y0 ) ∈ Ux y sea
Bx bola alrededor de (x, y0 ) contenida en Ux . Entonces {Bx : x ∈ [0, 1]} es una cubierta
abierta de [0, 1] × {y0 } que, como en el lema, es compacto, ası́ que tiene una subcubierta
finita Bx1 , . . . , Bxk ; supongamos (sin pérdida de generalidad) que esta subcubierta es mı́nima
(eliminando las que estén contenidas en unión de otras, para que las bolas que queden sean
todas necesarias para cubrir) y que x1 < · · · < xk . Las intersecciones de las orillas de cada
pareja de bolas consecutivas nos definen una cantidad finita de puntos fuera de la recta
horizontal con altura y0 ; al tomar la distancia mı́nima ε de estos puntos a la recta notamos
que la franja [0, 1] × [y0 + ε) ⊂ Bx1 ∪ · · · ∪ Bxk ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxk , ası́ que, como en la
demostración de la proposición anterior, y0 = 1 y y0 ∈ T . ♦
2.25 Lema. Si A es un subconjunto cerrado de un conjunto compacto K ⊂ Rs , entonces
A es compacto.
Demostración. Sea ∆ = {Uλ : λ ∈ Λ} una cubierta abierta para A. Consideremos la
cubierta abierta para K que se obtiene al agregar Rs \ A a ∆. Como K es compacto, esta
nueva cubierta tiene una subcubierta finita. Es claro que los elementos de ∆ que pertenezcan
a esta nueva cubierta cubren a A ası́ que esa es la subcubierta finita buscada. ♦
2.26 Proposición. Teorema de Heine-Borel. Los compactos de Rs son los conjuntos
cerrados y acotados.
Demostración. Empecemos por probar que si A ⊂ Rs es compacto, entonces A es cerrado
y acotado. Consideremos la cubierta abierta {Bn (0) : n ∈ N}. Como A es compacto esta
cubierta tiene una subcubierta finita: {Bn1 (0), . . . , Bnk (0)}; pero estas bolas están anidadas
ası́ que hay una de ellas Bn0 (0) que contiene a todas y entonces también a A. Para ver que
A es cerrado tomemos un punto x en el complemento y consideremos la cubierta abierta
{Un : n ∈ N} de A, donde Un = {z ∈ Rs : d(x, z) > n1 }. Como A es compacto, esta cubierta
tiene una subcubierta finita; pero los elementos de la cubierta están anidados, ası́ que A ⊂ Un
para alguna n. Eso implica que B 1 (x) está contenida en el complemento de A, probando
2n
ası́ que A es cerrado. Ahora veamos que si A es cerrado y acotado entonces es compacto.
Sea C celda cerrada que contenga a A (existe pues A es acotado). Entonces C es compacto
27
ası́ que por el lema anterior, A también lo es. ♦
2.27 Proposición. Teorema de intersección T
de Cántor. Sean K1 , K2 . . . compactos
s
no vacı́os en R tales que K1 ⊃ K2 ⊃ · · · . Entonces n∈N Kn 6= ∅.
T
Demostración.SSupongamos
que
Un = Rs \Kn . Entonces
n∈N Kn = ∅ y sea,
S
T para cada n,
s
s
s
U1 ⊂ U2 ⊂ · · · y n∈N Un = n∈N (R \ Kn ) = R \ n∈N Kn = R \ ∅ = Rs . Pero entonces
{Un : n ∈ N} es una cubierta abierta para K1 y como este conjunto es compacto existe una
subcubierta finita; pero como las Un están encadenadas tenemos que K1 ⊂ Un0 para alguna
n0 . Pero Kn0 ⊂ K1 , ası́ que también
T Kn0 está contenido en Un0 , lo cual es un absurdo al que
llegamos por haber supuesto que n∈N Kn = ∅. ♦
2.28 Proposición. Teorema de la cubierta de Lebesgue. Sea K compacto y sea
U una cubierta abierta de K. Existe δ > 0 tal que si A es un subconjunto de K con
diam(A) < δ, entonces A ⊂ U para alguna U ∈ U.
Demostración. Para x ∈ K sea Ux ∈ U tal que x ∈ Ux . Sea r(x) > 0 tal que B2r(x) (x) ⊂
Ux . Consideremos B = {Br(x) (x) : x ∈ K}. ésta es una cubierta abierta de K que es compacto; extraigamos una subcubierta finita: {Br(x1 ) (x1 ), . . . , Br(xt ) (xt )}. Sea δ = min{r(x1 ), . . . , r(xt )}.
Entonces si A es un subconjunto de K con diámetro menor que δ y a ∈ A, al tomar
i ∈ {1, . . . , t} tal que a ∈ Br(xi ) (xi ) tenemos que, como el diámetro de A es menor que
δ, A ⊂ B2r(xi ) (xi ) ⊂ Uxi . ♦
Observemos que si un número δ cumple las condiciones de la proposición anterior, entonces también lo cumple cualquier número positivo menor que δ. Cualquiera de ellos es un
número de Lebesgue para la cubierta.
2.29 Proposición. Teorema del punto más cercano. Sea C cerrado no vacı́o y sea
a 6∈ C. Entonces existe c0 ∈ C tal que d(c0 , a) ≤ d(c, a) para todo c ∈ C.
Demostración. Sea d = d(a, C) = inf {d(a, c) : c ∈ C}. Como C es cerrado, entonces
d > 0 (si no, existirı́a una sucesión (cn )n de elementos de C tal que d(a, cn ) < n1 , de donde,
por ??(a), a ∈ C = C). Para cada n ∈ N sea Cn = {c ∈ C : d(c, a) ≤ d + n1 }. Entonces
Cn = C ∩ {x ∈ Rs : d(x, a) ≤ d + n1 }, ası́ que Cn es cerrado y acotado y, por lo tanto,
compacto.
Como C1 ⊃ C2 ⊃ · · · , por el teorema de intersección de Cántor, podemos tomar
T
c0 ∈ n∈N Cn y es claro que d(c0 , a) = d ≤ d(c, a) para todo c ∈ C. ♦
Una separación para un conjunto A de Rs es una pareja de abiertos (U, V ) tal que
(a) U ∩ A 6= ∅ y V ∩ A 6= ∅ (es decir, tanto U como V tienen puntos de A.
(b) A ⊂ U ∪ V (es decir, entre U y V cubren a A).
(c) A ∩ U ∩ V = ∅ (es decir, U y V no se intersectan dentro de A).
28
Un subconjunto C de Rs es conexo si no existe separación para C. En caso contrario,
se dice que C es disconexo.
2.30 Ejemplo. (a) El subconjunto (0, 1) ∪ [π, ∞) de R es disconexo ((−2, 2), (3, ∞)) es
una separación).
(b) El subconjunto Z × Z de R2 es disconexo. (Una separación puede ser (( 41 , ∞) ×
R, (−∞, 34 ) × R); nótese que aquı́ los conjuntos que definen la separación se intersectan pero
su intersección es fuera de Z × Z.)
√
√
(c) El conjunto Q de los números racionales es disconexo. ((−∞, 2), ( 2, ∞)) es una
separación).
2.31 Proposición. El intervalo [0, 1] es un subconjunto conexo de R.
Demostración. Supongamos que no y sea (U, V ) una separación. Sin pérdida de generalidad, 0 ∈ U . Sea T = {x ∈ [0, 1] : [0, x] ⊂ U } y sea x0 el supremo de T . Queremos probar
que x0 = 1 y que x0 ∈ T (lo cual implicarı́a que [0, 1] está todo contenido en U , ası́ que
V ∩ [0, 1] = ∅, que es una contradicción). Sabemos que [0, x0 ) ⊂ U , ası́ que si x0 ∈ V ,
entonces el que V sea abierto nos dirı́a que hay un intervalo alrededor de x0 todo contenido
en V , lo cual dirı́a que V intersecta a U dentro de [0, 1], lo cual es falso; de aquı́ tenemos
entonces que x0 ∈ U ; otra vez, por ser U abierto, [x0 , x0 + ε) ⊂ U , pero esto contradice el
que x0 = sup T a menos que x0 = 1. ♦
2.32 Nota. Al igual que la compacidad, la conexidad no depende de la dimensión del
espacio euclidiano en el que esté contenido el conjunto.
2.33 Lema. Si C es un subconjunto conexo de A y (U, V ) es una separación para A,
entonces C ⊂ U o C ⊂ V .
Demostración. Es claro porque si no (U, V ) serı́a una separación para C. ♦
S 2.34 Lema. Si {Cλ : λ ∈ Λ} es una familia de conexos con
λ∈Λ Cλ es conexo.
T
λ∈Λ
Cλ 6= ∅, entonces
S
Demostración. Suponiendo que no, sea (U, V ) una separación para C = λ∈Λ Cλ y sea
c ∈ C. Sin pérdida de generalidad, c ∈ U ; cada Cλ debe estar contenido en U o en V , pero
como todos intersectan a U , entonces todos están contenidos en U , por lo que V ∩ A = ∅. ♦
2.35 Ejercicio. Si A es un intervalo o rayo (abierto, cerrrado, semiabierto, etc.) o A = R,
entonces A es conexo.
2.36 Ejercicio.
S Sea {C1 , C2 , . . .} una familia de conexos tal que Cn ∩ Cn+1 6= ∅ para
toda n. Entonces n∈N Cn es conexo.
29
S 2.37 Ejercicio. Sea {Cλ : λ ∈ Λ} una familia de conexos tal que
λ Cλ es conexo.
T
λ
Cλ 6= ∅. Entonces
2.38 Ejercicio. Toda celda es un conjunto conexo.
Dados dos puntos a y b en Rs el segmento de a a b es el conjunto de puntos [a, b] =
{(1 − t)a + tb : t ∈ [0, 1]}. Una poligonal de a a b es la unión de una cantidad finita de
segmentos: [c0 , c1 ] ∪ [c1 , c2 ] ∪ · · · ∪ [cn−1 , cn ], donde c0 = a y cn = b. Si existe una poligonal
de a a b decimos que a y b se pueden unir mediante una poligonal.
2.39 Observación. La propiedad de unirse mediante una poligonal es reflexiva, simétrica y transitiva. ♦
2.40 Lema. Toda poligonal es un conjunto conexo.
Demostración. Por ??, basta ver que todo segmento [a, b] es conexo. No daremos una
demostración formal de esto; simplemente observemos que un segmento es un conjunto muy
parecido al intervalo [0, 1] que ya vimos que es conexo (aun como subconjunto de Rs ). ♦
2.41 Proposición. Sea A un subconjunto de Rs . Si para cualesquiera dos puntos a y
b en A existe una poligonal de a a b toda contenida dentro de A entonces A es conexo. Si
además A es abierto, entonces el recı́proco también es cierto, es decir, el que A sea conexo
implica que existe una poligonal dentro de A entre cualesquiera dos puntos de A.
Demostración. Primero probemos que si cualquier pareja de puntos de A se puede unir
mediante una poligonal dentro de A, entonces A es conexo.
Primera forma. Supongamos que no y sea (U, V ) una separación para A. Sean a ∈ U ∩ A
y b ∈ V ∩ A y consideremos una poligonal P de a a b dentro de A. Entonces (U, V ) es una
separación para P , lo cual es una contradicción.
Segunda
forma. Sea a0 ∈ A. Para cada a ∈ A sea Pa una poligonal
de a0 a a. Entonces
S
T
A = a∈A Pa , ası́ que A es conexo por ?? pues cada Pa lo es y a0 ∈ a∈A Pa . Ahora probemos
que si A es abierto y conexo entonces existe una poligonal de cualquier punto fijo a a cualquier
otro. Para ello, sea U el conjunto de puntos x de A tales que existe una poligonal de a a
x. Veamos que U es abierto: Sea x ∈ U ; como A es abierto, existe r > 0 tal que Br (x)
está contenido en A. Sea y ∈ Br (x); es claro que el segmento [x, y] está contenido en Br (x)
ası́ que, al agregar este segmento a la poligonal de a hasta x, obtenemos una poligonal de a
hasta y, probando ası́ que y ∈ U ; de esta manera tenemos que Br (x) ⊂ U y de aquı́ que U
es abierto. Sea V = A \ U ; un argumento similar al que probó que U es abierto nos dice que
V también es abierto (pues si un punto y de A no se puede unir mediante una poligonal a a,
entonces ningún punto de una bola alrededor de y contenida en A se puede unir mediante
una poligonal a a). Como U es no vacı́o (pues a ∈ U ) y A es conexo, obtenemos que V = ∅
30
(si no, (U, V ) serı́a una separación para A). Entonces U = A y con esto concluimos que
todo punto de A se puede unir a a mediante una poligonal. Como a era arbitrario, cualquier
pareja de puntos de A se puede unir mediante una poligonal. ♦
2.42 Ejemplo. Un conjunto no abierto conexo en R2 y en el que no es cierto S
que dos
puntos
cualesquiera
se
puedan
unir
mediante
una
poligonal
es
C
=
({0}
×
[0,
1])
∪
∪
n An S
1
1
1
n Bn donde para n ∈ N, An = { n } × [0, 1] y Bn es el segmento que va de n , 0 a n+1 , 1 .
S
S
Demostración. Es claro que n An ∪ n Bn pues cualesquiera dos puntos están unidos
por una poligonal. Para ver que C es conexo, usamos el siguiente ejercicio. ♦
2.43 Ejercicio. Probar que si C ⊂ Rs es conexo y D es tal que C ⊂ D ⊂ C entonces D
es conexo.
31
3.
Sucesiones
Intuitivamente, una sucesión en un conjunto X es una ”lista” de elementos de X (no
necesariamente distintos) en la que importa cómo están ordenados estos elementos. Consideraremos sólo sucesiones infinitas, o sea, ”listas” infinitas. Damos a continuación la definición
formal.
Una sucesión en un conjunto X es una función A : N → X. A la imagen del natural n
bajo esta función lo denotamos por an y le llamamos término n-ésimo de la sucesión, y a la
misma sucesión A la denotamos escribiendo sus imágenes en X, es decir, A = (a1 , a2 , a3 , . . .)
o, en forma sintética, A = (an )n∈N o, simplemente, A = (an )n . El rango de una sucesión es
el conjunto {an : n ∈ N} de sus términos.
3.1 Ejemplo. (a) La sucesión an = n es la sucesión (1, 2, 3, . . .). El rango de esta sucesión
es N.
(b) La sucesión definida por an = (−1)n es la sucesión (−1, 1, −1, 1, . . .) y es distinta de
la sucesión definida por bn = (−1)n+1 que es (1, −1, 1, −1, . . .) aun cuando sus rangos son el
mismo conjunto de dos elementos {−1, 1}.
(c) Una sucesión constante es una en la que todos los términos son iguales, por ejemplo,
la sucesión constante 1 es (1, 1, 1, . . .).
Una sucesión (an )n en Rs converge a a ∈ Rs si para todo real ε > 0 existe un número
natural N tal que si n ≥ N entonces d(an , a) < ε. En otras palabras, a partir de cierto lugar
N todos los términos de la sucesión están en la bola con centro en a y radio ε. En este caso
escribimos an → a. Una sucesión no convergente se llama divergente.
3.2 Observación. an → a si y sólo si ||an − a|| = d(an , a) → 0.
3.3 Proposición. En caso de existir, el punto de convergencia es único.
Demostración. Supongamos que an → a y an → b y que a 6= b. Entonces ε = d(a,b)
2
es positivo. Por definición de convergencia a a, sabemos que existe N1 tal que si n ≥ N1
entonces an ∈ Bε (a); por otro lado, la convergencia a b nos dice que existe N2 tal que si
n ≥ N2 entonces an ∈ Bε (b). Pero entonces si tomamos un natural n mayor que el máximo
entre N1 y N2 tendremos que an ∈ Bε (a) ∩ Bε (b), lo cual es un absurdo porque las dos bolas
no se intersectan por la definición de ε. ♦
3.4 Nota. Gracias a la proposición anterior podemos escribir lim an = a cuando la
n→∞
sucesión (an )n converge a a; decimos además que a es el lı́mite de la sucesión.
Una sucesión en Rs es acotada si su rango es un conjunto acotado.
32
3.5 Proposición. Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración. Supongamos que (an )n es una sucesión convergente a a. Entonces, para ε =
1, tenemos que existe un natural N tal que si n ≥ N , entonces d(an , a) < 1. En consecuencia,
para toda n ≥ N , se tiene que ||an || ≤ ||a|| + 1. Sea R = max{||a1 ||, . . . , ||aN −1 ||, ||a|| + 1}.
Entonces todo elemento de la sucesión tiene norma menor o igual que R. ♦
Dadas sucesiones A = (an )n y B = (bn )n en Rs y c real definimos nuevas sucesiones como
sigue:
(a) La sucesión suma A + B tiene término n-ésimo an + bn .
(b) El producto por el escalar c se obtiene multiplicando cada término de la sucesión
por c: cA = (can )n .
(c) Si s = 1 definimos el producto de las sucesiones A y B por AB = (an bn )n .
(d) Si s = 1 y bn 6= 0, el cociente de A entre B es la sucesión cuyo término n-ésimo es
an
.
bn
3.6 Proposición. Si an → a y bn → b, entonces
(a) an + bn → a + b.
(b) can → ca.
(c) an bn → ab
(d) Si b 6= 0, entonces
an
bn
→ ab .
Demostración. Haremos sólo (a) y (c); dejaremos (b) y (d) como ejercicio. (a) Sea ε > 0.
Entonces ||(an + bn ) − (a + b)|| ≤ ||an − a|| + ||bn − b||. Como an → a, existe N1 ∈ N tal que
si n ≥ N1 , entonces ||an − a|| < 2ε . Análogamente, existe N2 ∈ N tal que si n ≥ N2 , entonces
||bn −b|| < 2ε . Sea N = max{N1 , N2 }. Entonces para n ≥ N tenemos que ||an −a||+||bn −b|| <
ε
+ 2ε , lo cual implica que ası́ que ||(an + bn ) − (a + b)|| < ε. (c) Sea ε > 0. Entonces
2
||an bn −ab|| = ||an bn −an b+an b−ab|| ≤ ||an bn −an b||+||an b−ab|| = ||an ||||bn −b||+||an −a||||b||.
Aquı́ podemos proceder como en (a), buscando ver que cada uno de los sumandos es tan
chico como queramos para n suficientemente grande. Consideremos el primer sumando: El
que la sucesión (an )n sea convergente implica que es acotada, digamos, por M > 0. Entonces,
ε
. El segundo sumando puede acotarse
sea N1 tal que para n ≥ N1 se tenga que ||bn − b|| < 2M
ε
de la misma manera por 2 (pues ||b|| es constante y, si fuera 0, no serı́a problema) y la
demostración termina como en (a). ♦
La siguiente proposición nos permite estudiar la convergencia de sucesiones en Rs fijándonos sólo en el caso s = 1, en vista de que una sucesión en Rs es convergente si y sólo si lo
es en cada coordenada y, además, el lı́mite puede calcularse ”coordenada a coordenada” (en
R).
33
3.7 Proposición. Sea (an )n una sucesión en Rs y sea, para cada n, an = (an,1 , an,2 , . . . , an,s )
la expresión de an mediante sus coordenadas reales. Entonces an converge a b = (b1 , b2 , . . . , bs ) ∈
Rs si y sólo si
an,1 → b1 ,
an,2 → b2 ,
..
.
an,s → bs .
Demostración. La demostración es estándar y está basada en la misma idea que ya hemos
manejado anteriormente: Toda bola tiene dentro un cubo y todo cubo tiene dentro una bola.
Demostremos por ejemplo la implicación (⇐): Sea ε > 0. Sea, ε0 > 0 tal que el cubo con
centro en b y lado 2ε0 esté contenido en Bε (b). Tomemos N suficientemente grande para que
si n ≥ N entonces en todas las coordenadas i se tenga an,i ∈ (bi − ε0 , bi + ε0 ). Entonces para
n ≥ N se tiene que an ∈ Bε (b). ♦
3.8 Proposición. La sucesión definida por an =
1
n
converge a 0.
Demostración. Sea ε > 0; por el Principio Arquimedeano existe N ∈ N tal que N > ε;
entonces, para n ≥ N , se tiene n1 ≤ N1 < ε, como querı́amos probar. ♦
Sea (an )n una sucesión de reales. Decimos que an tiende a infinito (en sı́mbolos, an → ∞)
si para todo número real R existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces an > R. Análogamente,
decimos que an → −∞ si para todo número real R existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces
an < R.
3.9 Ejercicio. Probar que una sucesión (an )n de elementos positivos tiende a infinito si
y sólo si la sucesión de recı́procos ( a1n )n tiende a 0.
3.10 Proposición. Sean f (n) y g(n) dos polinomios: f (n) = bk nk + · · · + b1 n + b0 y
g(n) = cl nl + · · · + c1 n + c0 , con las bi y las cj reales y bk y cl distintos de 0. Entonces

bk
, si k = l,
ck
f (n) 
lim
=
0, si k < l,
n→∞ g(n)

±∞, si k > l.
En el último caso el signo es el mismo que el de bk .
Demostración. Es fácil darse cuenta de la validez de este resultado si en cualquiera de
los casos dividimos numerador y denominador por la potencia máxima de n que aparezca y
utilizamos las propiedades de lı́mite vistas en ??. ♦
34
3.11 Proposición. Criterio de Comparación. Si an → a, bn → b y an ≤ bn para
toda n, entonces a ≤ b.
Demostración. Supongamos que es falso el resultado, es decir, que a > b; sea ε = a−b
.
2
Sea N ∈ N tal que, para n ≥ N , an ∈ (a − ε, a + ε) y bn ∈ (b − ε, b + ε). Entonces
aN < a + ε ≤ b − ε < bN , lo cual es una contradicción. ♦
3.12 Corolario. Lema del Sandwich. Si an ≤ bn ≤ cn para toda n ∈ N y lim an =
n→∞
L = lim cn , entonces (bn )n es convergente y lim bn = L.
n→∞
n→∞
Demostración. Sea ε > 0. Queremos encontrar N ∈ N tal que si n ≥ N , entonces
|bn − L| < ε. Sea N1 tal que si n ≥ N1 entonces |an − L| < ε y sea N2 tal que si n ≥ N2
entonces |cn − L| < ε. Entonces, para n ≥ max{N1 , N2 }, tenemos que bn ≥ an > L − ε y
bn ≤ cn < L + ε, ası́ que bn ∈ (L − ε, L + ε), como querı́amos demostrar. ♦
3.13 Proposición. Sea a un número real. Si |a| < 1 entonces an → 0.
Demostración. Como |a| < 1 podemos escribir |a| =
Teorema del Binomio de Newton tenemos que
0 ≤ |a|n =
1
1+r
con r > 0. Entonces, por el
1
1
1
=
<
→ 0.
(1 + r)n
1 + nr + . . .
1 + nr
Entonces |a|n → 0 y de aquı́ es claro que también a → 0. ♦
3.14 Ejercicio. Probar que si a > 1 entonces an → ∞.
3.15√Proposición. Sea (an )n una sucesión de reales positivos convergente a a. Entonces
an → a.
√
√
Demostración.
Sea
ε
>
0.
Queremos
probar
que
|
a
a| < ε. Si a = 0, entonces
n −
√
√
√
√
| an − a| = | an | = an , y este último es menor que ε si |an | < ε2 , lo cual es posible
lograr para n suficientemente grande pues an → 0. Si a 6= 0, entonces
√ √
√
√
√
|( an − a)( an + a|
√
|an − a|
|a − a|
√
√ ≤ n√
= √
.
| an − a| =
√
| an + a|
| an + a|
a
√
Este último es menor que ε si√
|an − a| < aε, lo cual es posible lograr para n suficientemente
grande puesto que an → a y aε > 0. ♦
√
A continuación calcularemos algunos lı́mites utilizando los resultados vistos arriba.
2n
n→∞ n!
3.16 Ejemplo. (a) lim
0<
= 0 ya que, para n grande,
2 × 2 × ··· × 2
2
2n
=
≤ 2 × → 0.
n!
1 × 2 × ··· × n
n
35
n
n
−2
(b) lim 33n +2
n = 1 lo cual puede verse fácilmente al dividir numerador y denominador
n→∞
entre 3n y utilizar las proposiciones ??, ?? y ??.
1
. Para ver esto basta utilizar la
(c) Si |a| < 1 entonces lim 1 + a2 + · · · + an = 1−a
n→∞
an+1 −1
2
n
proposición ?? recordando que 1 + a + · · · + a = a−1 .
√
= 0. Esto se comprueba fácilmente al dividir numerador y denominador
(d) lim 1+√n−1
n+2n
n→∞
entre n.
(e) lim 1 + 21 + 13 + · · · + n1 = ∞. Para probar esto observemos que si sustituimos cada
n→∞
término k1 por 21r para 2r−1 < k ≤ 2r , entonces la suma decrece, es decir,
1 1
1 1
1
+ > + = ,
3 4
4 4
2
1
1
1
4
1
1
+ ··· + > + ··· + = = ,
5
8
8
8
8
2
1
1
1
1
8
1
+ ··· +
>
+ ··· +
=
= ,
9
16
16
16
16
2
..
.
Entonces, es claro que la sucesión tiende a infinito pues sus términos van creciendo y los
términos en posición potencia de 2 no están acotados pues a2k > 1 + k2 . ♦
Una sucesión (an )n es monótona creciente (respectivamente, monótona decreciente)
si an ≤ an+1 (resp. an ≥ an+1 ) para toda n.
3.17 Proposición. Teorema de la convergencia monótona. Sea (an )n una sucesión
acotada y monótona creciente (resp. decreciente); entonces (an )n es convergente y
lim an = sup{an : n ∈ N} (resp. inf {an : n ∈ N}).
n→∞
Demostración. Haremos el caso de la sucesión creciente. Sea a0 = sup{an : n ∈ N} y
sea ε > 0. Por definición de supremo, a0 − ε no es cota superior, ası́ que existe N ∈ N tal
que aN > a0 − ε. Ahora, la sucesión es creciente ası́ que, para n ≥ N , an ≥ aN , de donde
an > a0 − ε; por otro lado, como a0 es cota superior, tenemos que an ≤ a0 , ası́ que, para
n ≥ N , an ∈ (a0 − ε, ε] ⊂ (a0 − ε, a0 + ε), como querı́amos demostrar. ♦
En el siguiente ejemplo veremos cómo puede aplicarse el Teorema de la Convergencia
Monótona. Una vez que sepamos que la sucesión es convergente, haremos un truco algebraico
para calcular el lı́mite.
36
3.18 Ejemplo. Sea (an )n la sucesión definida en forma recursiva como sigue: a1 = 1 y,
+3
. Determinar si la sucesión es convergente y, en ese caso, calcular
para n ≥ 2, an = 2an−1
4
su lı́mite.
Solución. Probemos por inducción que la sucesión es creciente y que está acotada por 2.
Tenemos que a2 = 45 < 2, ası́ que a1 < a2 < 2. Además, suponiendo que an−1 ≤ an < 2,
+3
tenemos que 2an−1
≤ 2an4+3 < 2·2+3
< 2, es decir, an ≤ an+1 < 2. El Teorema de la
4
4
Convergencia Monótona nos dice entonces que la sucesión es convergente, sin embargo, no
nos dice cuál es el lı́mite. Por otro lado, podemos usar la misma fórmula recursiva que nos
+3
→ 2a+3
, ası́ que
define la sucesión para calcular el lı́mite pues si an → a, entonces 2an−1
4
4
2a+3
3
a = 4 y, despejando a de esta ecuación, tenemos a = 2 . ♦
3.19 Nota. El truco que aplicamos en el ejemplo anterior sólo debe aplicarse una vez que
sabemos que la sucesión es convergente; por ejemplo, si tratáramos de aplicarlo a la sucesión
definida por a1 = 1 y para n ≥ 2, an = 2an−1 + 1, concluirı́amos que la sucesión converge al
número a que satisface 2a + 1 = a, es decir, a = −1, lo cual es claramente incorrecto pues la
sucesión es no acotada.
3.20 Proposición. La sucesión (an )n definida por an = 1 +
entre 2 y 3.
1 n
n
converge a un número
Demostración. Veremos que la sucesión es creciente y que está acotada por 3. Usando el
desarrollo dado por el Teorema del Binomio de Newton tenemos que
n(n − 1)(n − 2) 1
n(n − 1) · · · 1 1
1 n(n − 1) 1
+
+
+ ··· +
2
3
n
n
3! n
2! n
n! n 1
1
1
1
2
1
1
n−1
=1+1+
1−
+
1−
1−
+ ··· +
1−
··· 1 −
.
2!
n
3!
n
n
n!
n
n
an = 1 + n
Análogamente,
an+1
1
=1+1+
2!
1−
1
1
1
2
+ ··· +
1−
1−
+ ···+
n+1
3!
n+1
n+1
1
1
n
1−
··· 1 −
.
(n + 1)!
n+1
n+1
Al comparar término a término vemos que an < an+1 . Para ver que 3 es una cota superior,
1
1
1
observemos que, para k = 2, . . . , n, tenemos que k!1 = k(k−1)···1
≤ 2···2·1
= 2k−1
; además, para
i
i = 1, . . . , n − 1, tenemos que 0 < 1 − n < 1. Entonces
an ≤ 1 + 1 +
1 1
1
+ + · · · + n−1 < 3.
2 4
2
37
Entonces (an )n converge a un número entre 2 y 3. ♦
El número al que converge la sucesión de la proposición anterior se llama e.
3.21
Si k es un número entero, la sucesión (an )n definida por an =
Proposición.
k n
k
1 + n converge a e .
Demostración. Para k = 0, el resultado es obvio. Supongamos entonces que k 6= 0.
Tenemos
n nk
k
1 k
1+
= 1+ n
.
n
k
Entonces basta observar que cuando n → ∞ también
n
k
→ ∞. ♦
Sea (an )n una sucesión en un conjunto A. Una subsucesión de (an ) es una sucesión
(aσ(k) )k∈N donde σ : N → N es una función creciente. En otras palabras, si llamamos
σ(k) = nk , la subsucesión es (an1 , an2 , an3 , . . .), y se obtiene eliminando algunos términos
(posiblemente una cantidad infinita) de la sucesión original (a1 , a2 , a3 , . . .).
3.22 Ejemplo. (a) La subsucesión de términos pares de una sucesión se obtiene
mediante la función σ : N → N dada por σ(n) = 2n. Análogamente definimos la sucesión de
términos impares. Por ejemplo, la sucesión de términos pares de la sucesión (1, −1, 1, −1, . . .)
es la sucesión constante −1 y la sucesión de términos impares es la sucesión constante 1.
(b) Una subsucesión cola es la que se obtiene mediante una función σ : N → N de la forma
σ(n) = n + c, donce c es una constante; en otras palabras, una subsucesión cola se obtiene
eliminando los primeros c términos de la sucesión; por ejemplo, la sucesión ( 51 , 16 , 17 , . . .) es
cola de la sucesión (an )n donde an = n1 (aquı́ c = 4).
(c) La sucesión definida por bn = 2n es subsucesión de la sucesión definida por an = n
(aquı́ σ(n) = 2n ).
La siguiente observación es clara a partir de la definición de convergencia.
3.23 Observación. (a) Si (an )n es una sucesión convergente a a entonces cualquier
subsucesión de (an )n también converge a a.
(b) Si una cola de una sucesión converge entonces también la sucesión converge. ♦
3.24 Teorema. Teorema de Bolzano Weierstrass (para sucesiones). Toda sucesión acotada tiene subsucesión convergente.
Demostración. Sea (an )n una sucesión acotada. Tenemos dos casos: que el rango R =
{an : n ∈ N} sea finito o que sea infinito. Si R es finito, entonces hay un valor que se repite
una infinidad de veces; sea a este valor. Entonces la subsucesión constante con valor a es
38
subsucesión de (an )n y es obvio que converge a a. Si R es infinito, entonces, por el Teorema
de Bolzano Weierstrass ??, R tiene un punto de acumulación a y, en consecuencia, para toda
k la bola con centro en a y radio k1 tiene una infinidad de términos de la sucesión (pues si
sólo tuviera una cantidad finita, entonces la bola agujerada más pequeña Br (a) \ {a}, donde
r es la menor de las distancias a los puntos de la sucesión dentro de B 1 (a) \ {a}, no tendrı́a
k
puntos de la sucesión). Definamos la subsucesión escogiendo puntos de la sucesión como
sigue: an1 es un elemento de la sucesión en B1 (a) \ {a}, an2 es un elemento en la sucesión
de manera que n2 > n1 y an2 ∈ B 1 (a) \ {a}, etc. (en general construimos nk+1 > nk y
2
ank+1 ∈ B 1 (a) \ {a}). ♦
k+1
Una sucesión (an )n en Rs es de Cauchy si dado ε > 0 existe N ∈ N tal que para
n, m ≥ N , d(an , am ) < ε.
3.25 Nota. . La sucesión (an )n en Rs es de Cauchy si y sólo si para todo k ∈ N se tiene
que d(an+k , an ) → 0.
3.26 Proposición. Toda sucesión convergente en cualquier subconjunto de Rs es de
Cauchy.
Demostración. Sea (an )n una sucesión convergente a a y sea ε > 0. Sea N ∈ N tal que para
n ≥ N , d(an , a) < 2ε . Entonces, para n, m ≥ N se tiene que d(an , am ) < d(an , a) + d(a, am ) <
ε
+ 2ε = ε. ♦
2
Una consecuencia (indirecta) del Principio del Supremo es que el recı́proco de la proposición anterior también es cierto en Rs . Gracias a ella decimos que Rs es completo.
Probaremos esto a continuación.
3.27 Proposición. Toda sucesión de Cauchy en Rs es convergente.
Demostración. Sea (an )n una sucesión de Cauchy y sea N ∈ N tal que para n, m ≥
N , d(an , am ) < 1. En particular, la cola de la sucesión a partir de N está contenida en
B1 (aN ) ası́ que, por el Teorema de Bolzano Weierstrass para sucesiones ??, ésta tiene una
subsucesión convergente, digamos a a. Veamos que la sucesión original converge también a
a: Sea ε > 0. Sea N1 ∈ N tal que para n, m ≥ N1 , d(an , am ) < 2ε . Además, sea ak0 un
témino de la sucesión cuya distancia a a sea menor que 2ε y tal que k0 > N1 (dicha k0
existe pues hay una subsucesión que converge a a). Entonces, para n ≥ k0 se tiene que
d(an , a) ≤ d(an , ak0 ) + d(ak0 , a) < 2ε + 2ε = ε. ♦
3.28 Nota. . El conjunto de los √
racionales no es completo pues, por ejemplo, una sucesión
de racionales que converja en R a 2 (como (1, 1.4, 1.41, . . .)) es de Cauchy pero su lı́mite
no es racional.
39
Al igual que hicimos antes con la proposición ??, podemos usar ?? para determinar que
cierta sucesión es convergente, y después usar que sı́ lo es para encontrar el lı́mite, como
veremos en el siguiente ejemplo.
3.29 Ejemplo. Probar que la sucesión de promedios (an )n definida recursivamente por
a1 = 0, a2 = 1 y, para n ≥ 2, an+1 = an +a2 n−1 , es convergente y encontrar su lı́mite.
Solución. Como esta sucesión no es monótona, no podemos usar ??; sin embargo, no
es difı́cil probar que es de Cauchy, como veremos a continuación. Observemos primero que
|an+1 − an | = 21n ; entonces, para k ≥ 0,
|an+k − an | ≤ |an+k − an+k−1 | + · · · + |an+1 − an |
1
1
1
1
1
= n+k−1 + · · · + n = n (1 + · · · + k−1 ) ≤ n−1 → 0.
2
2
2
2
2
El truco que usamos para encontrar el lı́mite a en ?? no sirve aquı́ puesto que sólo nos
, de lo cual no podemos extraer ninguna nueva información. Sin embargo
dirı́a a = a+a
2
consideremos la sucesión de términos impares: (0, 12 , 12 + 18 , . . . , 21 (1 + 14 + · · · + 41n ), . . .) cuyo
lı́mite ya sabemos calcular y es 12 1−1 1 = 23 . El lı́mite de la sucesión debe ser entonces también
2
3
4
(por ??). ♦
40