Práctico 3 File - Eva - Universidad de la República

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
Segundo semestre 2014
Práctico 3
1. En cada caso, hallar un dominio máximo de definición y estudiar la continuidad de f , donde f
viene dada por las siguientes fórmulas:
p
f (x, y) = x4 + y 4 − 4x2 y 2 , f (x, y) = log(x2 + y 2 ), f (x, y) = Arcsen x/ x2 + y 2 .
2. Investigar la continuidad de f : R2 → R definida mediante
(p
1 − x2 − y 2 , si x2 + y 2 < 1,
f (x, y) =
0,
si x2 + y 2 ≥ 1.
3. Sea f : D ⊂ Rn → R una función continua en a ∈ D y tal que f (a) > 0. Probar que existen k > 0
y δ > 0 tal que f (x) > k > 0 para todo x ∈ B(a, δ) ∩ D.
4. Demostrar que el conjunto de puntos (x, y, z) de R3 que verifican
(
x2 + y 2 = 1
y2 + z2 = 2
es un conjunto compacto.
5. Probar que los subespacios propios de Rn son conjuntos cerrados con interior vacı́o.
6. Sean X = {(r, θ) ∈ R2 : r > 0, 0 ≤ θ < 2π} e Y = R2 \ {(0, 0)}. Se define f : X → Y mediante
f (r, θ) = (r cos θ, r sen θ), ∀(r, θ) ∈ X. (El cambio a coordenadas polares.)
(a) Probar que f es continua y biyectiva.
(b) Hallar explı́citamente f −1 : Y → X.
(b) Probar que f −1 no es continua.
7. Sea A un conjunto abierto. Si x, y ∈ A, escribimos x ∼ y cuando existe una poligonal contenida
en A que une x con y.
1. Probar que ”∼” es una relación de equivalencia en A.
2. Sea a ∈ A. Probar que [a] := {x ∈ A : x ∼ a} es un conjunto abierto y conexo.
3. Probar que A se escribe en forma única como unión disjunta de conjuntos abiertos y conexos.
Estos conjuntos son las componentes conexas de A.
8. Consideremos D ⊂ Rn un conjunto abierto, conexo y acotado (luego D es compacto) y f : D ⊂
Rn → R una función continua no constante. Sean M = máx{f (x) : x ∈ D}, m = mı́n{f (x) : x ∈ D}
y b ∈ R tal que m < b < M . Probar que existe p ∈ D tal que f (p) = b.
Sugerencia: primero probar que existen q, r ∈ D tales que m ≤ f (q) < b < f (r) ≤ M ; luego
considerar la función auxiliar g : D ⊂ Rn → R definida mediante g(x) = f (x) − b, para todo x ∈ D.
9. Sea A = (aij ) ∈ Mm×n (R) y x ∈ Rn . Se define la norma de A mediante kAk =
P
1. kAxk2 = i |Ai · x|2 , siendo A1 , . . . , Am las filas de A.
qP
i,j
a2ij . Probar:
2. kAxk ≤ kAkkxk, para todo x ∈ Rn .
10. Una función f : X ⊂ Rn → Rm se dice lipschitziana, cuando existe k > 0 tal que:
kf (x) − f (y)k ≤ kkx − yk ∀x, y ∈ X.
(a) Probar que toda transformación lineal T : Rn → Rm es lipschitziana.
(b) Probar que la función norma k k : Rn → R es una función lipschitziana y determinar una
constante que verifique la definición.
(c) Probar que toda función lipschitziana es uniformemente continua.
√
(d) Probar que f : [0, +∞) → R definida por f (x) = x es uniformemente continua pero no lipschitziana.
Ejericios opcionales.
11. Probar que si A ⊂ Rn es un conjunto abierto y cerrado, entonces A = ∅ o A = Rn .
Sugerencia: Suponer que existe ∅ =
6 A ( Rn abierto y cerrado, y razonar como sigue:
1. Caso n = 1. Observar que podemos suponer que existen a ∈ A y b ∈ Ac tales que a < b. Probar
que el conjunto {x ∈ A : x < b} tiene supremo y llegar a una contradicción.
2. Caso n > 1. Sean a ∈ A y b ∈ Ac . Definir f : R → Rn mediante f (t) = ta + (1 − t)b, t ∈ R y
llevarlo al caso n = 1.
12. Demostrar que si todo cubrimiento abierto de un conjunto X ⊂ Rn admite una subcubrimiento
finito, entonces el conjunto X es compacto. (Se trata del recı́proco del teorema de Borel-Lebesgue.)
Sugerencia: para probar que X es acotado, cubrir X con bolas de radio 1. Para probar que es
c
0
cerrado,
S∞suponer que no lo es. Luego existe a ∈ X \ X. Si Ak = B(a, 1/k) , k = 1, 2, . . . , probar que
X ⊂ k=1 Ak y llegar a una contradicción.