CIMA – Competencia Interuniversitaria Matemática Argentina 4ta

CIMA – Competencia Interuniversitaria Matemática Argentina
4ta Realización – 2 de junio de 2016
Participante N◦ :
(1) Probar que
1−
1 1 1
1
1
1
1
1
1
+ − + ··· +
−
=
+
+
+ ··· +
.
2 3 4
2015 2016
1009 1010 1011
2016
(2) Dado un número complejo z = a + ib, sean Re(z) = a e Im(z) = b las partes real e imaginaria de z,
respectivamente.
Para cada n ∈ N, n > 1, sea zn = (1 + i/n)2n . Probar que Re(zn ) < 0 < Im(zn ).
(3) Demostrar que si las cuatro caras de un tetraedro (pirámide de base triangular) tienen la misma área,
entonces son congruentes.
(4) Decidir si existen polinomios A, B, C, D, E y F con coeficientes racionales tales que
1 + xy + x2 y 2 + x3 y 3 = A(x)B(y) + C(x)D(y) + E(x)F (y).
(5) Sea f : R → R una función continua y acotada tal que
Z x+1
f (x) =
f (y) dy
para todo x ∈ R.
x
Probar que f es constante.
(6) Para cada entero n ≥ 2 llamamos Tn al tablero triangular de lado n formado por hexágonos como muestra
la figura para n = 2, 3, 4.
Determinar para qué valores de n el tablero Tn puede cubrirse con piezas formadas por tres hexágonos
alineados como en la figura,
sin superponerse ni salirse del tablero.
No se permiten consultas bibliográficas ni el uso de dispositivos electrónicos.
Cada problema vale 10 puntos. Se otorgan puntajes parciales.