2003 - EMESTRADA, exámenes de selectividad de Andalucía

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2003
MATEMÁTICAS II
TEMA 5: INTEGRALES

Junio, Ejercicio 1, Opción A

Junio, Ejercicio 1, Opción B

Junio, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción A

Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

Septiembre, Ejercicio 2, Opción A
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Sea Ln (1  x 2 ) el logaritmo neperiano de 1  x 2 y sea f : (  1,1) 
la función definida por
2
f ( x )  Ln (1  x ) . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1) .
MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos la integral, que es una integral por partes.
x2
ln (1  x ) dx  x ln 1  x  2
dx
1 x 2
x2
dx . Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se
Hacemos la integral racional
1 x 2
descompone en:
x2
1
1
dx  1 dx 
dx   x 
dx
2
2
1 x
1 x
1 x 2
Calculamos las raíces del denominador: 1  x 2  x  1 ; x  1



2

Descomponemos en fracciones simples:

2


1
A
B
A(1  x)  B(1  x)



2
1 x 1 x 1 x
(1  x)(1  x)
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores.
1
x  1  1  2 A  A 
2
1
x  1  1  2B  B 
2
Con lo cual:
x2
1
1
1
1
1
1
1
dx   x 
dx   x 
dx 
dx   x  ln 1  x  ln 1  x
2
2
1 x
1 x
2 1 x
2 1 x
2
2




Por lo tanto la integral que nos pedían es:

ln (1  x 2 ) dx  x ln(1  x 2 )  2

x2
1
1


dx  x ln 1  x 2  2   x  ln 1  x  ln 1  x  
2
1 x
2
2


 x ln 1  x 2  2 x  ln 1  x  ln 1  x  C
Calculamos una primitiva que pase por el punto (0,1) .
1  0  ln1  0  ln1  ln 1  C  C  1
Luego, la primitiva que nos piden es: F ( x)  x ln 1  x 2  2 x  ln 1  x  ln 1  x  1
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Dadas la parábola de ecuación y  1  x 2 y la recta de ecuación y  1  x , se pide:
a) Área de la región limitada por la recta y la parábola.
b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.
MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos los puntos de corte de las dos funciones.
y  1 x 2 
2
  x  x  0  x  0 ; x 1
y  1 x 
El área que nos piden es:
A

1
0
(1  x)  (1  x )  dx 
2

1
0
1
 x2 x3 
1 1 1
 x  x  dx        u 2
3 0 2 3 6
2
2
b) La pendiente de la recta que nos dan es 1, luego:
y '  2x  1  x 
1
1 5
 y  1 
2
4 4
1 5
Calculamos la recta tangente que pasa por el punto  ,  y tiene de pendiente 1.
2 4
y
5
1
4x  3

 1  x    y 
4
2
4

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Se sabe que la función f : 
definida por f ( x )  x 3  ax 2  bx  c tiene un extremo
relativo en el punto de abscisa x  0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de
abscisa x   1 . Conociendo además que

1
0
f ( x ) dx  6 , halla a, b y c.
MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos la primera y segunda derivada de la función.
f '( x)  3x 2  2ax  b ; f ''( x)  6 x  2a
Vamos aplicando las condiciones del problema.
- Extremo relativo en x  0  f '(0)  0  b  0
- Punto de inflexión en x  1  f ''(1)  0   6  2a  0  a  3
1
-

1
0
f ( x) dx  6  
Luego, a  3 ; b  0 ; c 
1
0
 x 4 3x 3

1
19
( x  3x  c) dx   
 cx    1  c  6  c 
3
4
4
0 4
3
2
19
4
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Sea la función f : 
definida por f ( x )  2 x 3  6 x  4 . Calcula el área del recinto limitado
por la gráfica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al máximo relativo
de la función.
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos las coordenadas del máximo de la función.
f '( x)  6 x 2  6  0  x   1 ; f ''(1)  12  0  mínimo ; f ''(1)  12  0  Máximo
Luego, el máximo está en el punto P (  1,8) . La pendiente valdrá f '(1)  6(1) 2  6  0  m  0 .
Por lo tanto, la recta tangente tiene de ecuación: y  8  0  ( x  1)  y  8
Calculamos el área que nos piden.
2
A
2
1
 2x 4 6x 2

 32 24   2 6  27 2
(8  2 x  6 x  4) dx   

 4 x       8      4  
u
2
2
  4 2  2
 4
 1  4
3
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Considera las funciones f , g :  definidas por: f ( x)  6  x 2 ; g( x)  x
a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas de f y g.
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
x .
R E S O L U C I Ó N
a)
b)
- A  2 
2
0

x3 x2 
(6  x  x) dx 2  6 x   
3
2

2
 24 
2
0
16
44 2
4
u
3
3
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Se sabe que la función f : (0, 3) 
es derivable en todo punto de su dominio, siendo
 x  1 si 0  x  2
y que f (1)  0 . Halla la expresión analítica de f.
f '( x )  
  x  3 si 2  x  3
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
 x2
 2  x  C si 0  x  2
Integramos para calcular la expresión de f ( x) , que será: f ( x)  
.
2
  x  3x  D si 2  x  3
 2
A continuación aplicamos las condiciones del problema para calcular C y D.
f (1)  0 
1
1
1 C  0  C 
2
2
La función tiene que ser continua, luego:

x2
1 1
lim
x 

x 2
1
7
2
2 2
 4 D   D  
2
2
2
x
lim 
 3x  D  4  D 

x 2
2
 x2
1
 2  x  2 si 0  x  2
Por lo tanto, la expresión de f es: f ( x)  
.
2
  x  3x  7 si 2  x  3
 2
2
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Sea f :  la función definida por f ( x )  x 2  2 x  2 .
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x  3 .
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje OY.
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) El punto tiene de coordenadas P (3,5) . La pendiente valdrá f '(3)  2  3  2  4  m  4 .
Por lo tanto, la recta tangente tiene de ecuación: y  5  4  ( x  3)  y  4 x  7
b) Calculamos el área que nos piden.
A
3
0
 x  2 x  2    4 x  7  dx  


2
3
0
 x 3 6x 2

 x  6 x  9  dx   
 9x
2
3

3
2
0
 27 54

    27   9 u 2
2
3

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definida por f ( x )  ax 2  bx  c tiene un máximo absoluto en
3
32
el punto de abscisa x  1 , que su gráfica pasa por el punto (1, 4) y que  f ( x ) dx 
. Halla a,
1
3
b y c.
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
Se sabe que la función f :

R E S O L U C I Ó N
Calculamos la primera y segunda derivada de la función.
f '( x)  2ax  b ; f ''( x)  2a
Vamos aplicando las condiciones del problema.
- Máximo en x  1  f '(1)  0  2a  b  0
- Pasa por (1, 4)  f (1)  4  a  b  c  4
3
-

3
1

32  ax 3 bx 2
28a
32
(ax  bx  c) dx 


 cx  
 4b  4c 
3
2
3
3
 3
 1
2
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Resolviendo el sistema sale: a  1 ; b  2 ; c  3
En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo  0, 2 la gráfica de la parábola de
ecuación y 
x2
. Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales.
4
m
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
-

m
1
2 
 x3 
x2
x2 
dx   1   dx   
m
4
4 

 12 
m
1

x3 
 x  
 12 
2
m 3 1 m 3
4
17


m  m 
12
12
3
12
m
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Sea f :  la función definida por f ( x )  3 x .
a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x  1 .
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida.
c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) La recta tangente pasa por el punto P (1,1) y su pendiente vale y '(1) 
1
1
 m  . Luego, la
3
3 x
3
2
1
x2
recta tangente es: y  1  ( x  1)  y 
3
3
b)
c)
A

1
 x2 3 
 x

3

8 
4 

 x 2 2x x 3 
dx   
 
4
3
6

3

1

1 2 3 64 16
27 2
     12 
u
6 3 4 6 3
4
8
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Determina el valor positivo de  para el que el área del recinto limitado por la parábola y  x 2
y la recta y   x es 1.
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones.
y  x2
2
  x  x  0  x  0 ; x  
y  x 
A



 x 2 x 3 
3
(x  x ) dx  
  
1  
3 0 6
 2
2
0
3
6
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Sea f : (0,  ) 
la función definida por f ( x )  ( x  1)  Ln x . Calcula la primitiva de f cuya
3

gráfica pasa por el punto  1,   .
2

MATEMÁTICAS II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Vamos a calcular la integral, que es una integral por partes.
1
dx
x
x2
dv  ( x  1) dx ; v 
x
2
u  ln x ; du 
 x2


 x2

1  x2
1 2
I  ( x  1)  ln x dx    x   ln x 
  x  dx    x   ln x  x  x  C
x 2
4
 2


 2



3

Calculamos una primitiva que pase por el punto  1,   .
2

 x2

1
3 1 
1
9
F ( x)    x   ln x  x 2  x  C      1  ln 1   1  C  C  
4
2 2 
4
4
 2

 x2

1
9
Luego, la primitiva que nos piden es: F ( x)    x   ln x  x 2  x 
4
4
 2

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x
Sea f :  la función definida por f ( x )  e 3
a) ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?.
Halla la ecuación de dicha tangente.
b) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f, la recta tangente
obtenida y el eje de ordenadas.
MATEMÁTICAS II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
x
a
a


e3
e3
m
a) El punto será P  a, e 3  y la pendiente valdrá: y ' 
.
3
3


a
a
3
e3
( x  a ) . Como queremos que pase por el origen
La ecuación de la recta tangente será: y  e 
3
de coordenadas, se debe cumplir que:
a
a
3
a
a
e3
0e 
(0  a)   3e 3   ae 3  a  3
3
e
ex
Luego, el punto será: P  3, e  y la recta tangente: y  e  ( x  3)  y  .
3
3
1
 cos x y el eje de abscisas
2
1
1
2
 cos x  0  cos x    x 
2
2
3
b) Vamos a calcular los puntos de corte de la función y 
Por lo tanto, el área pedida será:
3
A
3
0
 3x ex 
 3x ex 2 
9e 
3e

2
 e   dx  3e 
   3e     3   3 u
3
6
6
2




0 
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