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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da
sua derivada.
Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é
denominada equação diferencial ordinária.
EXEMPLOS:
dy
d2 y
dy
= x + 5;
+ 3 + 2 y = 0 ; xy '+y = 3 ; y ' ' '+2( y ' ' ) 2 + y ' = cos x
dx
dx
dx 2
Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação
é denominada equação diferencial parcial.
∂z ∂ 2 z ∂ 2 z
∂z
+
= x2 + y
EXEMPLOS:
=z+x ;
∂x
∂y ∂x 2 ∂y 2
ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: é a ordem da mais alta derivada que nela
aparece.
GRAU
DE UMA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL: considerando as derivadas como uma
polinómio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.
SOLUÇÃO
OU
INTEGRAL GERAL: é toda a função que verifica, identicamente, a
equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes
arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante,
se é de segunda ordem, duas constantes, etc..
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Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas
(denominadas curvas integrais).
EXEMPLO: a equação diferencial
dy
= sen x tem como solução geral a seguinte
dx
família de curvas a que chamamos campo de direcções da equação diferencial:
SOLUÇÃO PARTICULAR OU INTEGRAL PARTICULAR: é toda a solução da equação
diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s)
constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família
de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.
EXEMPLO: no caso anterior para a constante c=2 temos
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Para a particularização das constantes, com vista à obtenção duma solução ou integral
particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a uma mesmo
valor da variável independente, condições iniciais.
Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral
ou integral geral ou sendo dadas condições, determinar a solução ou integral particular
que as satisfazem.
Forma Geral das Equações Diferenciais e das suas Soluções Gerais
Ordem Forma Geral da Equação Diferencial Forma Geral da Solução Geral
1ª
f ( x , y, y ' ) = 0
f ( x , y, c) = 0
2ª
f ( x, y, y ' , y ' ' ) = 0
f(x,y,c1 ,c2 ) = 0
...
...
f ( x , y, y ' ,..., y n ) = 0
n
...
f(x,y,c1,...,cn ) = 0
Inversamente, sendo dada uma família de curvas, é sempre possível determinar a
equação diferencial que lhe está associada, isto é, a equação diferencial que admite
essa família de curvas como solução geral. Para isso, deverá Ter-se em conta o
número de constantes arbitrárias que aparecem na família de curvas, o que nos
indicará a ordem da equação diferencial que se pretende obter, procedendo-se do
seguinte modo:
 derivar a função que representa a família de curvas dada, até à ordem que
coincida com a ordem da equação diferencial procurada;
 eliminar as constantes arbitrárias entre a equação da família de curvas dada
e as equações obtidas por derivação.
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EXEMPLO: Determinar a equação diferencial associada à família de curvas
y 2 = cx + 2 y .
A equação procurada é de primeira ordem, derivando em ordem a x, tem-se
2 yy ' = c + 2 y '
c = 2 y ' (y − 1 ) ,
ou
eliminando
a
constante
arbitrária
vem
y 2 = 2 xy ' (y −1 ) + 2 y .
Teorema da existência e unicidade da solução
TEOREMA:
Se
na
equação


f  x, y , y ' , y ' ' ,..., y 


y , y ' , y ' ' ,..., y 
n −1


y( n ) = f  x , y, y ' , y ' ' ,..., y 

n − 1 
 ,

a
função
n − 1 
 e as suas derivadas parciais em ordem a

forem funções contínuas num certo domínio
(
)
D ⊆ ℜ n + 1 e se a 0 ,a1 , a 2 ,...,a n ∈ D , então existe uma solução única
y = ϕ(x)
( )
da equação diferencial que satisfaz as
( )
y a 0 = a1 ,
( )
y ' a 0 = a 2 ,..., y (n − 1) a0 = an .
Forma Diferencial ou Forma Canónica de uma equação diferencial
Uma equação diferencial de primeira ordem, na forma normal, tem a estrutura
y ' = f ( x, y ) . Como f ( x , y ) pode sempre ser considerada um quociente da forma
f ( x, y ) =
M( x , y )
dy M ( x, y )
, a equação diferencial pode também escrever-se
=
− N( x , y )
dx − N( x, y )
ou seja
M ( x, y )dx + N( x, y )dy = 0
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
Se numa equação diferencial da forma M ( x, y )dx + N( x, y )dy = 0 , é possível
decompor os coeficientes M ( x , y ) e N ( x, y ) em factores tais que as variáveis x e y
aparecem separadas, isto é, M ( x, y ) = a( x ).b( y ) e N ( x, y ) = c( x ).d ( y ) , a equação
classifica-se de variáveis separáveis.
Resolução de Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis
Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma
canónica M ( x, y )dx + N( x, y )dy = 0 para a forma a( x ).b( y )dx + c( x ).d( y )dy = 0 .
Separando as variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam
respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas.
Assim vem:
a( x )
d( y )
dx +
dy = 0
c( x )
b( y )
Integrando temos:
a( x )
d( y )
dx
+
∫ c( x )
∫ b( y ) dy = c
A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis separáveis.
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÉNEAS
DEFINIÇÃO: Uma função diz-se homogénea, de grau n, nas variáveis x e y, se para
todo o real λ se tiver f ( λx,λy ) = λn f ( x, y ) .
Consideremos uma equação diferencial na forma canónica M ( x, y )dx + N( x, y )dy = 0
e sejam M ( x , y ) e N ( x, y ) funções homogéneas e do mesmo grau, a equação
classifica-se de equação homogénea.
Resolução de Equações Diferenciais Homogéneas
Para resolver uma equação diferencial homogénea fazemos a substituição y=xt.
Substituindo a variável y teremos de substituir dy. Como y=xt vem dy=tdx+xdt,
diferencial de uma função de duas variáveis.
A equação transformada que se obtém da equação homogénea é uma equação de
variáveis separáveis.
y
x
No final eliminamos t, fazendo t = .
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função
incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por
y' +P( x ) y = Q( x )
com P(x) e Q(x), funções contínuas.
Se Q(x)=0, y' + P( x ) y = 0 diz-se uma equação linear homogénea, que é uma equação
de variáveis separáveis. Se Q(x) ≠ 0 , a equação linear é não homogénea, completa ou
com segundo membro.
Resolução de Equações Diferenciais Lineares
Para resolver equações diferenciais lineares utilizamos expressão
y = e− ∫ P( x )dx  ∫ e ∫ P( x )dx Q( x )dx + c 

1
com c1 constante arbitrária.
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EQUAÇÕES DE BERNOUILLI
Uma equação de primeira ordem diz-se de Bernouilli se pode ser reduzida à forma
canónica
y '+ P ( x ) y = Q ( x ) y n
com P(x) e Q(x), funções contínuas e n constante.
Resolução de Equações de Bernouilli
Para resolver uma Equação de Bernouilli primeiro que tudo multiplicamos ambos os
membros da equação por y − n e obtemos
y − n y '+ P ( x ) y 1 − n = Q ( x )
Seguidamente fazemos a mudança de variável z = y1 − n com z ' = (1− n) y − n y' e
obtemos
z'
+ P( x) z = Q( x) ⇒ z '+(1− n) P( x) z = (1− n)Q( x)
1− n
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Integra-se e seguidamente regressa-se à variável y fazendo z = y1 − n
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